III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.

Transkrypt

1 III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem siebie z pewną prędkością kątową ω Ruch na obracającej się Ziemi Jan Królikowski Fizyka IBC 1

2 Newtonowska absolutna przestrzeń i absolutny czas W końcu XVII w Izaak Newton postulował istnienie niezależnych od siebie absolutnej przestrzeni (euklidesowej) i absolutnego czasu. Zasady matematyczne filozofii naturalnej (1687): Jan Królikowski Fizyka IBC 2

3 Newtonowska absolutna przestrzeń i absolutny czas cd. Te postulaty stanowiły istotną część struktury mechaniki klasycznej. Podkreślając ich znaczenie w strukturze mechaniki klasycznej i poznania ludzkiego w ogóle, żyjący w XVIII w. filozof Immanuel Kant zakwalifikował istnienie absolutnego czasu i absolutnej przestrzeni do zdań syntetycznych a priori. Matematycznym wyrazem niezależności przestrzeni i czasu jest niezmienniczość długości dowolnego odcinka r i dowolnego odstępu czasu t względem transformacji Galileusza, granicznej postaci transformacji Lorentza dla małych prędkości względnych układów. Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 Przestrzeń absolutna a pierwsza zasada dynamiki Newtona I zasada dynamiki: Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego jeżeli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu. Ciało spoczywa w absolutnej przestrzeni Newtona. I zasada to postulat istnienia wyróżnionej klasy układów odniesienia- układów inercjalnych (UI), połączonych ze sobą transformacjami Galileusza. Jan Królikowski Fizyka IBC 4

5 Transformacja obrotu i układy obracające się Będziemy mieli do czynienia z dwiema sytuacjami: r. akad. 2005/ 2006 Dwa UW w tym samym (inercjalnym) UO mają wersory baz obrócone względem siebie. Jak opisywać ten sam wektor w obu układach? Jest to problem matematyczny. Dwa UO (i UW) obracają się względem siebie z pewną prędkością kątową. Jakie konsekwencje dla opisu ruchu w obu UO niesie obrót? Jeżeli jeden z UO jest inercjalny to drugi, obracający się względem niego, już nie jest inercjalny. ω Jest to problem fizyczny; w układzie obracającym się względem układu inercjalnego pojawiają się dodatkowe przyspieszenia tzw. przyspieszenia pozorne. Jan Królikowski Fizyka IBC 5

6 Obroty układów współrzędnych_ sformułowanie matematyczne UW opisywany jest przez zbiór wersorów bazy {, i=1,3}, zaś UW jest obrócony względem niego i opisywany zestawem wersorów bazy { ê, i=1,3}. Początki układów pokrywają się. i Pomiędzy wersorami baz zachodzi liniowa transformacja ortogonalna, opisywana macierzą ortogonalną R: ê i r. akad. 2005/ 2006 eˆ = i ij j j R eˆ 1 ji eˆ = R eˆ i Uwaga: we wzorach stosujemy konwencję sumacyjną- sumujemy po powtarzających się wskaźnikach 1 =δ = 1 = ij jm im ik km ki km RR R R R R Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 Obroty układów współrzędnych_ sformułowanie matematyczne cd. Macierz obrotów wyraża się przez cosinusy kierunkowe wersorów ê : i R:{e} ˆ {e} ˆ R :{e ˆ } {e ˆ } 1 i j j i ( ˆ ˆ ) R = e e ij i j R R = R 1 = T ij ij ji r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 Macierze obrotu cd... Wektor A może być opisywany przez swoje współrzędne w UW lub w UW : A A = = Aeˆ i i Ae ˆ j j Wzory na transformacje współrzędnych wektora A A= A ˆ kek A= Ae ˆ = A R eˆ = A R eˆ k k ( ) ( ) j j j jk k j jk k A = R A = R A jk A = R A km j m 1 kj j Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 Tworzenie 3-wymiarowej macierzy obrotu z macierzy obrotów 2 wymiarowych. Kąty Eulera Macierze obrotu dookoła osi OZ, OX,OY o kąty θ i : cosθ1 sin θ1 0 c1 s1 0 R1 = sinθ1 cosθ 1 0 = s1 c c3 0 s3 R2 = 0 c2 s 2 ; R3 = s c s 0 c Składając trzy obroty R i możemy uzyskać dowolny obrót: R θ, θ, θ = R R R ( ) Kąty θ i nazywamy kątami Eulera Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 Lemat: pochodna wersora bazy obracającej się Niech układ współrzędnych U obraca się z prędkością kątowąω względem pewnego układu inercjalnego U. Pochodne wersorów bazy U są prostopadłe do wersorów bazy i do wektora ω. Zachodzi następujący oczywisty związek: deˆ dt = ω ê Jan Królikowski Fizyka IBC 10

11 Układy obracające się: transformacja prędkości i przyspieszenia Układ U obraca się względem inercjalnego układu U. Dowolny wektor możemy wyrazić albo w U albo w U : A = A eˆ = A eˆ = A i i k k U y Obliczając pochodne znajdujemy: da da k = ê k dt dt da d da deˆ k da = ( Ae ˆ k k) = + A k = + ω A dt dt dt dt dt U z y 0 z ω x x Jan Królikowski Fizyka IBC 11

12 Układy obracające się: transformacja prędkości i przyspieszenia cd. r. akad. 2005/ 2006 Zastosujemy w/w wzory do wektorów prędkości i przyspieszenia punktu materialnego: dr v = = V + v + ω r dt dv dω a= = A + a + r + 2ω v + ω ( ω r ) dt dt a = a A ε r + 2ω v ω ( ω r ) Na czerwono zaznaczyliśmy t.zw. przyspieszenia pozorne, działające w układzie nieinercjalnym Dla większej ogólności dodaliśmy: prędkość unoszenia U wzgl. U V oraz przyspieszenie unoszenia A. Jan Królikowski Fizyka IBC 12

13 Przyspieszenia pozorne związane z obrotami UO i działające w UO Przyspieszenie Coriolisa: a = 2ω v C Przyspieszenie odśrodkowe: 2 a odsr = ω ( ω r) = ω r Przyspieszenie związane z przyspieszeniem kątowym obrotu U względem U: a =ε r ε Jan Królikowski Fizyka IBC 13

14 Przykład: ruch na obracającej się Ziemi r. akad. 2005/ 2006 Założenie upraszczające: Ziemia jest kulą. U inercjalny, początek w środku Ziemi (zaniedbujemy małą prędkość kątową Ziemi dookoła Słońca). U obraca się razem z Ziemią. Okres obrotu Ziemi (doba gwiazdowa): T=23 h 56 m 4 s.. x N x z, z ω y y 2 π ω= = s T 5 1 S Jan Królikowski Fizyka IBC 14

15 Kierunek przyspieszenia ziemskiego Uwaga: kąty i wielkość przyspieszenia odśrodkowego są znacznie przesadzone. g = g ω ω r eff tgα= ( ) ω Rcosφsinφ g ω 2 2 Rcos φ ω ( ω r ) g eff α R φ r g 0 N S Jan Królikowski Fizyka IBC 15

16 Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi Na półkuli północnej składowa horyzontalna przyspieszenia Coriolisa powoduje skręcanie ciała w prawo. Jan Królikowski Fizyka IBC 16

17 Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi cd. Wirowy ruch cyklonów na Ziemi Jan Królikowski Fizyka IBC 17

18 Wahadło Foucaulta. Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi cd. Dla obserwatora inercjalnego O płaszczyzna wahań pozostaje niezmienna, dla obserwatora O na Ziemi płaszczyzna wahań obraca się z częstością: ω=ωz sin φ W Warszawie ω=~12 /godz Jan Królikowski Fizyka IBC 18