Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe"

Transkrypt

1 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej. Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku Na potrzeby opisu zjawisk zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X 1, X i X 3. Położenie dowolnego punktu opisują trzy współrzędne x 1, x i x 3, które można zapisać w zapisie wskaźnikowym x i, (10.1) w którym i=1,, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X 1 do osi X będzie się wkręcała w kierunku osi X 3. Podobnie śruba kręcąca się od osi X do osi X 3 będzie się wkręcała w kierunku osi X 1. Na koniec, jeżeli śruba będzie się kręciła od osi X 3 do osi X 1 to będzie się wkręcała w kierunku osi X. Przedstawia to rysunek 10.. Z=X 3 A O x 3 Y=X x 1 x X=X 1 Rys Prawoskrętny układ współrzędnych. Z=X 3 Z=X 3 Z=X 3 Y=X Y=X Y=X X=X 1 X=X 1 X=X 1 Obrót śruby prawoskrętnej Rys Obrót śruby prawoskrętnej.

2 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor A przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3 posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie. Z=X 3 A 3 A A 1 O A Y=X X=X 1 Rys Składowe wektora A. Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci [A1 A 3], A (10.) lub w zapisie wskaźnikowym A i, (10.3) w którym i=1,, 3. Jeżeli dwa wektory A i B są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek A i =B i. (10.4) Jeżeli pomnożymy wektor A przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy B, który spełnia zależność

3 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 3 B=a A. (10.5) Równanie (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie miało postać B i =a A i. (10.6) Sumowanie dwóch wektorów A i B można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się wektor C o współrzędnych C i =A i B i. (10.7) Wektor o module równym jeden nazywamy wektorem jednostkowym. Jeżeli kierunek i zwrot wektora jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy wersorem. Wersory przedstawia rysunek Z=X 3 e 3 e 1 O e Y=X X=X 1 Rys Wersory. Dowolny wektor A można zapisać w postaci sumy 3 A=A 1 A e A 3 = i=1 A i e i. (10.8) Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono umowę sumacyjną Einstaina. Umowa ta mówi, że jeżeli w jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaźnik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem wszystkich możliwych wartości tego wskaźnika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać

4 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 4 A=A i e i, (10.9) w którym powtarzający się wskaźnik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i zmieniających się od 1 do 3. Wskaźnik ten nazywa się wskaźnikiem sumacyjnym lub niemym, ponieważ może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaźniki są wskaźnikami żywymi. Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaźniki należy ująć w nawiasy. Iloczynem skalarnym dwóch wektorów A i B nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów wektorów A i B oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami. A B= A B cos. (10.10) Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano e 1 = e e = e 3 =1 (10.11) oraz e 1 e = e = e 1 = e 3 = e = e 3 e =0 (10.1) gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub /. Wektor A można wyrazić A=A 1 A e A 3. (10.13) Wektor B można wyrazić B=B 1 B e B 3. (10.14) Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru A B= A 1 A e A 3 B 1 B e B 3. (10.15) Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.1) otrzymano

5 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 5 3 A B=A 1 B 1 A B A 3 B 3 = i=1 A i B i =A i B i. (10.16) Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora A przez B oraz wektora B przez wektor A będzie identyczny. Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci e i e j = ij ={ 1 gdy i= j 0 gdy i j. (10.17) Wartość d ij nazywamy symbolem Kroneckera. Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego. Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania A i = ij B j. (10.18) Wskaźnik j jest wskaźnikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci A i = i1 B 1 i B i3 B 3. (10.19) Wzór (10.19) można przedstawić w postaci A 1 = 11 B 1 1 B 13 B 3 A = 1 B 1 B 3 B 3 A 3 = 31 B 1 3 B 33 B 3. (10.0) Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.0) można zapisać A 1 =B 1 dla i=1 A =B dla i= A 3 =B 3 dla i=3. (10.1) Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać A i = ij B j =B i. (10.)

6 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 6 Z powyższego przykładu wynika, że działanie symbolem Kroneckera na wektor B j powoduje w nim zmianę wskaźnika j na i. Symbol Kroneckera nazywa się symbolem zmiany wskaźnika. Wartość delty Kroneckera przy jednakowych wskaźnikach wynosi ii = =1 1 1=3. (10.3) Iloczynem wektorowym dwóch wektorów A i B nazywamy wektor C, którego moduł wynosi C = A B sin. (10.4) Moduł wektora C równa się polu równoległoboku, który można zbudować na wektorach A i B. Wektor C jest prostopadły do płaszczyzny, na której znajdują się wektory A i B. Natomiast zwrot wektora C spełnia regułę śruby prawoskrętnej, która mówi, że kręcąc śrubą od wektora A w kierunku wektora B śruba będzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora C. Przedstawia to rysunek C B A Rys Iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym czyli A B= B A. (10.5) Iloczyn skalarny wersora przez siebie wynosi e 1 e 1 = e e = e 3 e 3 =0 (10.6) Iloczyn skalarny wersora e 1 przez e wynosi

7 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 7 e 1 e = e e 1 = e 3. (10.7) Iloczyn skalarny wersora e przez e 3 wynosi e e 3 = e 3 e = e 1. (10.8) Iloczyn skalarny wersora e 3 przez e 1 wynosi e 3 e 1 = e 1 e 3 = e. (10.9) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów A i B można zapisać w postaci A B= A 1 A e A 3 B 1 B e B 3. (10.30) Wzór ten po wymnożeniu będzie miał postać A B=A 1 B 1 e 1 A 1 B e A 1 B 3 e 3 A B 1 e e 1 A B e e A B 3 e e 3. (10.31) A 3 B 1 e 1 A 3 B e A 3 B 3 e 3 Uwzględniając (10.6), (10.7), (10.8) i (10.9) wzór (10.31) będzie miał postać A B= A B 3 A 3 B A 3 B 1 A 1 B 3 e A 1 B A B 1. (10.3) Wzór (10.3) można zapisać w postaci wyznacznika 1 e e 3 A B= e A 1 A A 3 3. B 1 B B (10.33) W zapisie wskaźnikowym iloczyn wektorowy można zapisać w postaci

8 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 8 A B=e ijk e i A j B k, (10.34) w którym e ijk stanowi symbol permutacyjny, który można wyrazić jako e ijk ={ gdy i= j lubi=k lub j=k gdy i, j, k przedstawiają permutację dodatnią gdy i, j, k przedstawiają permutację ujemną. (10.35) Permutacja dodatnia oznacza kolejne występowanie liczb 1,, 3. Permutacja ujemna oznacza kolejne występowanie liczb 3,, 1. Przedstawia to rysunek Permutacja dodatnia Permutacja ujemna Rys Permutacja dodatnia i ujemna. Na podstawie rysunku 10.6 permutacja dodatnia oznaczają kolejność liczb 13, 31, 31, (10.36) natomiast permutacja ujemna oznacza kolejność liczb 13, 31, 13. (10.37) 10. Transformacja układu współrzędnych W rozdziale tym podane zostaną wzory opisujące transformację (obrót) układu współrzędnych. Pierwotnym układem jest układ X 1X X 3. Układ transponowany (obrócony) to układ X 1'X 'X 3'. Oba układy zostały pokazane na rysunku Osie układu współrzędnych X 1'X 'X 3' tworzą z osiami X 1X X 3 kąty, których kosinusy kierunkowe opisuje zależność a i ' j =cos x i ', x j. (10.38)

9 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 9 Z=X 3 Z'=X 3' Z=X 3 e 1 e 3 O e Y=X e3' e ' O Y'=X ' Y=X e 1' X=X 1 X=X 1 X'=X 1' Rys Układ pierwotny i transponowany (obrócony). Kosinusy kierunkowe tworzą tablicę x 1 x x 3 x 1 ' a 1 ' 1 a 1' a 1' 3 x ' a ' 1 a ' a ' 3 (10.39) x 3 ' a 3 ' 1 a 3' a 3' 3 nazywaną macierzą transformacji układu współrzędnych. Macierz ta nie jest macierzą symetryczną, ponieważ A i ' j A j' i. (10.40) Oznacza to na przykład, że kosinus kąta między osią X 1' i osią X 3 (a 1'3) jest różny od kosinusa kąta między osią X 3' i osią X 1 (a 3'1). Wartość kosinusa kierunkowego równa się iloczynowi skalarnemu wersora e i ' i e j e i ' e j = 1 1 cos x i ', x j =cos x i ', x j =a i ' j. (10.41) W układzie X 1X X 3 znajduje się wektor A, który można zapisać równaniem (10.8) lub (10.9). Współrzędna A ' w układzie osi X 1'X 'X 3' równa się rzutowi tego wektora na oś X '. Przedstawia to rysunek Współrzędna A ' wynosi A ' = A cos. (10.4)

10 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 10 Z=X 3 Z'=X 3' Z=X 3 A 1 A 3 O A A Y=X A e ' A ' O Y'=X ' Y=X X=X 1 X=X 1 X'=X 1' Rys Rzut wektora na oś układu transponowanego. Kosinus kąta a można wyznaczyć z iloczynu wektorowego wektora A i e '. Kosinus ten wynosi A e ' = A 1 cos = A cos. (10.43) Wzory (10.4) i (10.43) są sobie równe czyli można zapisać A ' = A e '. (10.44) Podstawiając równanie (10.8) do (10.44) otrzymano A ' = A 1 A e A 3 e '. (10.45) Po wymnożeniu wzór (10.45) będzie miał postać A ' =A 1 e ' A e e ' A 3 e '. (10.46) Uwzględniając (10.41) wzór (10.46) będzie miał postać A ' =A 1 a ' 1 A a ' A 3 a ' 3. (10.47)

11 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 11 Wzór (10.47) można zapisać wskaźnikowo w postaci A ' =a ' j A j. (10.48) Ogólnie wzór (10.48) można zapisać w postaci A i ' =a i ' j A j. (10.49) Wzór (10.49) możemy także uogólnić na współrzędne punktu x 1x x 3 i x 1'x 'x 3' x i ' =a i ' j x j (10.50) Inaczej kosinusy kierunkowe można wyznaczyć obliczając pochodną cząstkową funkcji współrzędnej x 1' względem x 1. Pochodna ta wynosi x 1' x 1 = x 1 x 1 a 1' 1 x a 1' x 3 a 1' 3 =a 1' 1. (10.51) Ogólnie można zapisać x i ' x j =a i ' j. (10.5) Wzór (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie zapisana w postaci (pochodną oznacza się przecinkiem) x i ' x j =x i ', j =a i ' j. (10.53) Obrót układu współrzędnych, podobnie jak obrót bryły sztywnej w przestrzeni trójwymiarowej, ma tylko trzy stopnie swobody. Oznacza to, że tylko trzy spośród dziewięciu kosinusów kierunkowych są niezależne. Współrzędne wersora e 1' w układzie X 1X X 3 równają się odpowiednim kosinusom kierunkowym. Przedstawia to rysunek 10. Wersor e 1' możemy wyrazić za pomocą wzoru e 1' =e 1 e e e 3 =a 1' 1 a 1' e a 1' 3. (10.54)

12 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 Z=X 3 e 3 e e 1 O e 1' X'=X 1' Y=X cos =a 1' 1 cos =a 1' cos =a 1' 3 X=X 1 Rys Współrzędne wersora osi X 1'. Wzór (10.54) można zapisać w postaci e i ' e p. (10.55) Wzór (10.55) można zapisać także w postaci e j' =a j' q e q. (10.56) Mnożąc skalarnie wersory (10.55) i (10.56) otrzymano e i ' e j' = a i ' p e p a j' q e q e p e q. (10.57) Na podstawie definicji symbolu Kroneckera (10.17) można zapisać e i ' e j' = i ' j' (10.58) oraz e p e q = pq. (10.59) Uwzględniając (10.58) i (10.59) wzór (10.57) będzie miał postać

13 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 13 i ' j' pq. (10.60) Korzystając z delty Kroneckera jako operatora zmiany wskaźnika wzór (10.61) będzie miał postać a i ' p a j' p = i ' j'. (10.61) Wzór (10.61) nazywa się warunkami ortogonalności (osie układu współrzędnych są prostopadłe). Sumowanie we wzorze (10.61) będzie się odbywało po wskaźniku p. Wzór (10.61) będzie miał postać a i ' 1 a j' 1 a i ' a j' a i ' 3 a j' 3 = i ' j'. (10.6) Jeżeli i'=1' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a 1' 1 a 1' a 1' a 1' 3 a 1' 3 = 1' 1' =1. (10.63) Jeżeli i'=' oraz j'=' to wzór (10.6) będzie miał postać a ' 1 a ' 1 a ' a ' a ' 3 a ' 3 = ' ' =1. (10.64) Jeżeli i'=3' oraz j'=3' to wzór (10.6) będzie miał postać a 3' 1 a 3' 1 a 3' a 3' a 3' 3 a 3' 3 = 3' 3' =1. (10.65) Jeżeli i'=1' oraz j'=' lub i'=' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a ' 1 a 1' a ' a 1' 3 a ' 3 = 1' ' =0. (10.66) Jeżeli i'=1' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=1' to wzór (10.6) będzie miał postać a 1' 1 a 3' 1 a 1' a 3' a 1' 3 a 3' 3 = 1' 3' =0. (10.67) Jeżeli i'=' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=' to wzór (10.6) będzie miał postać

14 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 14 a ' 1 a 3' 1 a ' a 3' a ' 3 a 3' 3 = ' 3' =0. (10.68) Wzory (10.63), (10.64) oraz (10.65) powstają z przemnożenia wyrazów z kolejnych wierszy tablicy (10.39) przez siebie. Wzory (10.66), (10.67) oraz (10.68) powstają z przemnożenia wyrazów z wiersza pierwszego przez drugi, wiersza pierwszego przez trzeci oraz wiersza drugiego przez trzeci. Wzory (10.63) do (10.68) stanowią sześć zależności wiążących między sobą kosinusy kierunkowe. Widać więc, że tylko trzy kosinusy kierunkowe są niezależne Pojęcie tensora Dane są dwa wektory A i B, które transformują się zgodnie ze prawem transformacji (10.49) w postaci (zamianie uległ wskaźnik niemy) A i ' A p, (10.69) B j' =a j' q A q. (10.70) Tworząc iloczyn współrzędnych wektorów A i B w postaci 1 A1 B A1 B3 A i B j =[A A B 1 B B 3 ]=[A1 B1 A 1 A B A B 3 ij (10.71) A 3] [ A 3 B 1 A 3 B A 3 B 3]=C otrzymano układ dziewięciu liczb C ij, który nazywa się diadą natomiast iloczyn wszystkich współrzędnych wektorów A i B nazywa się iloczynem tensorowym lub iloczynem zewnętrznym. Diada C ij będzie miała postać C ij =[C 11 C 1 C 13 C 1 C C 3 C 31 C 3 C 33]. (10.7) Diada w układzie obróconym przyjmie postać C i ' j' =A i ' B j' A p B q A p B q, (10.73) którą można zapisać

15 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 15 C i ' j' C pq. (10.74) Równanie (10.74) stanowi prawo transformacji tensora natomiast diadę C pq transformującą się zgodnie z równaniem (10.74) nazywa się tensorem rzędu drugiego. W celu usystematyzowania wprowadza się wielkości o różnym charakterze, a mianowicie 1. Tensory rzędu zerowego, do których zalicza się skalary. Skalar jest to pojedyncza liczba, której wartość zależy od miejsca nie zależy natomiast od obrotu układu współrzędnych. Przykładem skalara jest gęstość materiału lub temperatura.. Tensory rzędu pierwszego, czyli wektory. Przykładem wektora może być wektor siły, wektor przemieszczenia punktu, wektor prędkości czy wektor przyśpieszenia. 3. Tensory rzędu drugiego. Przykładem tensora rzędu drugiego jest tensor naprężenia, który zostanie dokładnie omówiony w następnym rozdziale. Pojedyncze składowe tego tensora takie jak naprężenie normalne s X, naprężenie styczne t XZ zostały już omówione we wcześniejszych wykładach. Symbol Kroneckera jest także tensorem rzędu drugiego. Można go zapisać w postaci 0 0 1] =[1 ij (10.75) Tensor (10.75) jest tensorem jednostkowym oraz symetrycznym, ponieważ ij = ji. (10.76) Jest on także izotropowy, ponieważ jego postać nie zmienia się podczas obrotu układu współrzędnych czyli zachodzi równość ij = i ' j'. (10.77) 4. Tensory rzędu trzeciego, powstają z pomnożenia tensora rzędu drugiego przez wektor w postaci B ij C k =A ijk. (10.78) Tensor ten zawiera 7 wielkości skalarnych, które transformować się będą według A i ' j' k ' a k ' r A pqr. (10.79)

16 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 16 Z powyższego zestawienia wynika, że skalar określa jedna liczba (3 0 ), wektor określają trzy liczby (3 1 ), tensor rzędu drugiego określa dziewięć liczb (3 ), a tensor rzędu trzeciego określa dwadzieścia siedem liczb (3 3 ). Można więc stwierdzić, że tensor n-tego rzędu będzie określać 3 n liczb. Prawo transformacji tensora n-tego rzędu będzie miało postać, która jest uogólnieniem prawa transformacji dla tensora rzędu drugiego. Prawo to ma następującą postać A i ' j' k '... n ' a k ' r... a n' s A pqr...s. (10.80) 10.4 Działania na tensorach Pierwszym działaniem, które można wykonać na tensorach jest dodawanie i odejmowanie tensorów. Działanie to można przeprowadzić tylko dla tensorów tego samego rzędu. Można je zapisać C ij =A ij ±B ij. (10.81) Aby udowodnić, że wynik dodawania jest również tensorem należy sprawdzić czy tensor C ij spełnia prawo transformacji tensora C ij =A ij ±B ij A pq ±a i ' p B pq, (10.8) które można zapisać w postaci C ij A pq ±B pq C pq. (10.83) Jak widać ze wzoru (10.83) C ij spełnia prawo transformacji tensora, jest więc to wielkość tensorowa. Drugim działaniem wykonywanym na tensorach jest mnożenie tensorów. Takie mnożenie nazywa się iloczynem zewnętrznym. Mnożąc tensor drugiego rzędu i wektor można otrzymać tensor trzeciego rzędu C ijk =A i B jk. (10.84) Prawo transformacji tensora ma w tym przypadku postać C i ' j' k ' A p a k ' r B qr, (10.85) którą można ostatecznie zapisać jako

17 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 17 C i ' j' k ' a k ' r A p B qr a k ' r C pqr. (10.86) Trzecim działaniem jest zwężenie lub kontrakcja tensora. Działanie to można wykonać tylko dla tensorów rzędu wyższego niż dwa. Działanie to można pokazać na przykładzie tensora A ijk. Przyjmując, że j=k otrzymano wyrażenie A ijj. Powtórzenie się wskaźnika j oznacza sumowanie, co daje w wyniku A ijj =A i11 A i A i33. (10.87) Rozpisując wzór (10.87) po wskaźniku i można otrzymać układ trzech liczb tworzących tensor pierwszego rzędu w postaci A 111 A 1 A 133 dla i=1 A 11 A A 33 dla i= A 311 A 3 A 333 dla i=3. (10.88) Wynik zwężania tensora trzeciego rzędu można zapisać następująco A ijj =C i. (10.89) Prawo transformacji tensora ma w przypadku zwężenia postać (przyjęto, że j=k) A i ' j' j' a j' r A pqr, (10.90) pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność a j' q a j' r = qr. (10.91) Uwzględniając (10.91) wzór (10.90) będzie miał postać A i ' j' j' qr A pqr. (10.9) Traktując symbol Kroneckera jako symbol zmiany wskaźnika wzór (10.9) będzie miał postać

18 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 18 A i ' j' j' A pqq A p11 A p A p33 C p. (10.93) Szczególnym przypadkiem zwężania tensora jest zwężanie tensora drugiego rzędu, który można przedstawić w postaci A ii =A 11 A A 33, (10.94) który jest sumą współrzędnych diagonalnych tensora A ij. Sumę tą nazywa się także śladem macierzy. Czwartym działaniem jest nasuwanie tensorów. Możemy je wykonać dla tensorów dowolnych rzędów. Działanie to zostanie podstawione na podstawie tensora czwartego rzędu, który można otrzymać mnożąc (iloczyn zewnętrzny) tensor trzeciego rzędu A ijk i tensor pierwszego rzędu (wektor) B m. A ijk B m =C ijkm. (10.95) Jeżeli w iloczynie zewnętrznym (10.95) przyjmie się przykładowo k=m to w wyniku takiego mnożenia nazywanego iloczynem wewnętrznym otrzyma się tensor drugiego rzędu w postaci A ijk B k =C ijkk =D ij. (10.96) Prawo transformacji tensora w przypadku nasuwania tensorów ma postać C i ' j' k ' k ' =A i ' j' k ' B k ' a k ' r A pqr a k ' s B s, (10.97) który można zapisać w postaci C i ' j' k ' k ' a k ' r a k ' s A pqr B s. (10.98) pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność a k ' r a k ' s = rs. (10.99) Uwzględniając (10.99) wzór (10.98) można zapisać w postaci C i ' j' k ' k ' rs A pqr B s A pqr B r. (10.100)

19 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 19 Wzór (10.100) można ostatecznie zapisać jako C i ' j' k ' k ' A pqr B r C pqrr D pq. (10.101) 10.5 Tensory drugiego rzędu W dalszych wykładach najczęściej będą stosowane tensory drugiego rzędu. W związku z tym w punkcie tym zostaną podane podstawowe wiadomości o tensorach drugiego rzędu. W tensorze tym można wyodrębnić główną przekątną pokazaną na rysunku A ij =[ A 11 A 1 A 13 A 1 A A 3 A 31 A 3 A 33]Główna przekątna Rys Główna przekątna tensora drugiego rzędu. Tensor drugiego rzędu będzie tensorem symetrycznym, jeżeli zamiana wskaźników miejscami nie zmienia wartości współrzędnych, to znaczy gdy A ij =A ji. (10.10) Jeżeli zamiana wskaźników miejscami powoduje zmianę znaku współrzędnej to tensor jest nazywany tensorem skośnie symetrycznym. Opisuje to zależność B ij = B ji. (10.103) Dla współrzędnych, które mają jednakowe wskaźniki zależność (10.103) jest spełniona jeżeli te współrzędne równają się zero czyli B 11 =B =B 33 =0. (10.104) Dowolny tensor drugiego rzędu C ij można rozłożyć na dwa tensory drugiego rzędu, z których jeden jest symetryczny

20 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 0 C ij = 1 C ij C ji, (10.105) a drugi skośnie symetryczny C [ij] = 1 C ij C ji. (10.106) Szczególnym przypadkiem tensora drugiego rzędu jest tensor kulisty nazywany także aksjatorem. W tensorze kulistym współrzędne znajdujące się na przekątnej (współrzędne o jednakowych wskaźnikach) są jednakowe a pozostałe współrzędne (współrzędne o różnych wskaźnikach) są równe zero. Najprostszym tensorem kulistym jest symbol Kroneckera opisanego wzorem (10.75). Z każdego dowolnego symetrycznego tensora drugiego rzędu można wydzielić jego część kulistą, którą opisuje wzór =[1 A O ij = 1 3 A pp ij 3 A pp A pp 0, (10.107) 1 3 pp] A w którym A pp =A 11 A A 33 (10.108) jest sumą wyrazów na głównej przekątnej. Tensor będący różnicą tensora drugiego rzędu i tensora kulistego nazywa się dewiatorem. Można go przedstawić w postaci =[A A pp A 1 A 13 D =A ij 1 3 A pp ij A 1 A 1 3 A pp A. 3 (10.109) A 31 A 3 A pp] A A ij

21 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 Suma współrzędnych na głównej przekątnej w dewiatorze wynosi A D kk =A kk 1 3 A kk kk. (10.110) Zgodnie ze wzorem (10.3) mamy kk =3, (10.111) czyli ostatecznie suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi A D kk =A kk 1 3 A 3=0. kk (10.11) 10.6 Przykłady liczbowe Dany jest tensor drugiego rzędu Przykład numer 1 =[ 6 A ij 3 7] (10.113) Rozłożyć go na tensor symetryczny i skośnie symetryczny. Zgodnie z wzorem (10.105) część symetryczna będzie miała postać 6 6 =[ 1 3 A ij ] 9 0, 7 7 (10.114) która ostatecznie będzie miała postać

22 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE =[ 6 A ij 4,5 9 ] 4,5 6 4,5. 9 4,5 7 (10.115) Zgodnie z wzorem (10.106) część skośnie symetryczna będzie miała postać 6 6 =[ 1 3 A [ij] ] 9 0, 7 7 (10.116) która ostatecznie będzie miała postać =[ 0 A [ij] 7,5 1 ] 7,5 0 4,5. 1 4,5 0 (10.117) Suma (10.115) i (10.117) równa się oczywiście tensorowi A ij czyli =[ 6 A ij 4,5 9 4,5 6 4,5 9 4,5 7 ] [ 0 ]=[ 7, ] 8 7,5 0 4, , (10.118) Dany jest tensor symetryczny Przykład numer =[ 6 B ij 3 7] (10.119) Rozłożyć tensor B ij na aksjator i dewiator. Zgodnie ze wzorem (10.108) suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi

23 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 3 B pp =6 4 7=9. (10.10) Tensor kulisty (aksjator) będzie wynosił A O ij = 1 [ ] 3 9 = ij (10.11) Dewiator będzie wynosił B D ij =[ ]=[ 4]. 8 9 (10.1)

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3) . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU: WYKŁADOWCA: dr hab. inż. Katarzyna ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, paw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak 2012/2013, zima

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE

1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Część STAN NAPRĘŻĘNIA STAN NAPRĘŻENIA SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0 poddane działaniu sił będących w równowadze (rys ) Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Typowe dwie sytuacje, gdy problem ruchu obrotowego jest problemem samym w sobie, to:

Wykład 6. Typowe dwie sytuacje, gdy problem ruchu obrotowego jest problemem samym w sobie, to: Wykład 6 Zajmiemy się dzisiaj bryłą sztywną. Bryłę sztywną możemy rozpatrywać jako zbiór wielu punktów materialnych, między którymi działają siły mające bardzo głębokie minima potencjału, co oznacza praktycznie,

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA

STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA Część. STAN ODKSZTAŁCENIA. STAN ODKSZTAŁCENIA.. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA Rozważymy ciało odkształcalne wypełnione szczelnie materią (rys..). Pod wpływem czynników zewnętrznych (sił powierzchniowych, sił

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Dr Kazimierz Sierański kazimierz.sieranski@pwr.edu.pl www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Forma zaliczenia kursu: egzamin końcowy Grupa kursów -warunkiem

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA OGÓLNA (II) MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2. ROZDZIAŁ J. German: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OIOWA W rozdziale tym zostaną przedstawione równania fizyczne dla materiałów anizotropowych,

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo