Przegląd metod wieloatrybutowych wspomagających podejmowanie decyzji

Transkrypt

1 Przegląd metod wieloatrybutowych wspomagających podejmowanie decyzji dr inż. Mirosław Kwiesielewicz Wydział Elektrotechniki i utomatyki Katedra utomatyki Gdańsk, sierpień 998

2 . Wprowadzenie Celem niniejszej pracy jest dokonanie przeglądu wieloatrybutowych metod podejmowania decyzji pod kątem ich zastosowania do analizy ryzyka w systemie przemysłowym. Ze względu na złożoność rozważanego systemu przyjmuje się następujące założenia:. Podejmowanie decyzji ma charakter hierarchiczny,. Poszczególne warianty decyzji charakteryzowane są wieloma atrybutami,. trybuty mogą posiadać postać liczbową lub lingwistyczną,. Poszczególnym atrybutom mogą być przypisane wagi, 5. Na poszczególnych poziomach decyzyjnych mogą występować różne grupy uczestniczącym w podejmowaniu decyzji (ekspertów) grupowe podejmowanie decyzji, lub różni eksperci, 6. Podstawę procesu podejmowania decyzji na każdym poziomie stanowi macierz decyzyjna D w której wiersze odpowiadają alternatywom (wariantom) natomiast kolumny atrybutom (kryteriom), np. :.0 low 5.5 small D =.5 high 6.5 medium,.8 average.5 small. very high.0 big gdzie i warianty, i atrybuty oraz wektor wag w dla poszczególnych atrybutów, np.: w = [ ] W szczególnym przypadku wagi mogą być sobie równe i wtedy zagadnienie na danym poziomie sprowadza się do zagadnienia bez wag. Warto zauważyć, że kolumny macierzy decyzyjnej wyrażają uporządkowanie (ranking) alternatyw w sensie danego atrybutu. Uporządkowanie to może być wykonane przez eksperta, grupę ekspertów lub obliczone na niższym poziomie (Rys..). W zaproponowanym podejściu pojawiają się następujące zagadnienia:. Utworzenie tablicy decyzyjnej i wektora wag,. Określenie uporządkowania alternatyw na podstawie danej tablicy decyzyjnej i wektora wag,. gregacja ocen różnych ekspertów (w przypadku szczególnym należy wziąć pod uwagę możliwość przyporządkowywania wag poszczególnym ekspertom), W niniejszym opracowaniu uwaga skoncentrowana zostanie głównie na określeniu uporządkowania.

3 Poziom D = low high average very high small medium small big w = [ ] (, Poziom) F DKryterium, Poziom' wkryterium, Poziom ( ) D = Poziom D = high near zero small negative w = [ ] Rys.. Schemat hierarchicznej struktury podejmowania decyzji. Przegląd metod wieloatrybutowego podejmowania decyzji Metody wieloatrybutowego podejmowania decyzji można podzielić na następujące grupy (Hwang and Yoon 98):. Metody nie wymagające informacji związanej z preferencjami dotyczącymi atrybutów (metoda dominacji, MMIN oraz MIM). Metody dla zadanego standardowego poziomu atrybutu (metoda grupowania, metoda wydzielania). Metody dla porządkowej preferencji dotyczącej atrybutów (metoda leksykograficzna, metoda eliminacji, metoda permutacji). Metody dla numerycznie określonej preferencji dotyczącej atrybutów (metoda przypisania liniowego, prosta addytywna metoda wagowa, metoda ELECTRE) Ponieważ metody nie wymagające informacji związanej z preferencją atrybutów nie spełniają założeń przyjętych w pracy, nie będą one brane pod uwagę w dalszych rozważaniach. Metoda hierarchicznego procesu decyzyjnego (ang. nalytic Hierarchy Process), wprowadzona przez Saaty ego (980) zawiera wszystkie elementy związane z hierarchicznym wieloatrybutowym podejmowaniem decyzji, począwszy od metody tworzenia tablicy decyzyjnej w oparciu o subiektywne oceny ekspertów, a skończywszy na agregacji ocen ekspertów i obliczeniu wag. Ponadto zostało opracowane rozmyte rozwinięcie tej metody, które pozwala na operowanie zmiennymi lingwistycznymi. W związku z powyższym metoda ta zostanie równiez omówiona... Metody dla standardowego poziomu atrybutu Metoda grupowania (ang. Conjunctive method) (Dawes 96) W praktycznych sytuacjach, związanych z podejmowaniem decyzji bardzo często zdarza się, że dany atrybut nie może być mniejszy od pewnej z góry założonej wielkości. Może to na przykład wynikać z pewnych przepisów prawnych dotyczących

4 na przykład ochrony środowiska. Metoda grupowania polega na usunięciu wariantu dla którego atrybut jest mniejszy od założonej wartości. Metoda ta nie wymaga informacji dotyczącej atrybutu w formie numerycznej. W praktyce stosowana jest przede wszystkim do podzielenia alternatyw na kategorie akceptowalne i nieakceptowalne. Metoda ta może być stosowana w hierarchicznym podejmowaniu decyzji w celu wyeliminowania wariantów, które nie mogą być zrealizowane ze względu na przekroczenie pewnych wielkości, które nie mogą być przekroczone. Warto zauważyć, że jeśli jakiś wariant zostanie usunięty na najniższym poziomie, powinien on zostać usuniety z całego drzewa decyzyjnego. Metoda wydzielania (ang. Disjunctive Method) (Dawes 96) W przeciwieństwie do poprzednio omówionej metody, w metodzie wydzielania definiuje się najwyższą wartość atrybutu. Służy ona do wyboru wariantów, dla których wartość danego atrybutu jest większa od założonego progu. Pozwala ona na wybór alternatyw z danym atrybutem przewyższajacym wcześniej założoną wartość. Posiada ona podobne własności jak metoda poprzednia i również może być w rozważanym przypadku stosowana do wstępnej selekcji wariantów lub ich grupowania.. Metody dla porządkowej preferencji dotyczącej atrybutów Metoda leksykograficzna (Luce 956, Tversky 969) W pewnych sytuacjach decyzyjnych pojedynczy atrybut może wydawać się najważniejszy (na przykład koszt). W sytuacji takiej celowe wydaje się porównanie wariantów biorąc pod uwagę ten atrybut. Metoda wymaga wcześniejszego uszeregowania atrybutów od najważniejszego do najmniej ważnego. Uszeregowanie alternatyw odbywa się kolejno względem przyjętego uszeregowania dotyczącego atrybutów. Metoda ta nie wymaga wartości numerycznych i może być stosowana do hierarchicznego podejmowania decyzji. Warto zwrócić uwagę, że wagi dla poszczególnych atrybutów nie muszą mieć również postaci numerycznej, wystarczy natomiast, aby były uporządkowane. Metoda eliminacji (Tversky 97) Metoda eliminacji oparta jest na klasycznym procesie podejmowania decyzji przec człowieka. Zakłada ona minimalną wartość dla każdego atrybutu. Wybierany jest pierwszy atrybut i wszystkie alternatywy z atrybutem o wartości mniejszej niż zadana są usuwane, następnie wybierany jest drugi atrybut, itd. W efekcie na końcu takiej procedury pozostaje pewien zbiór alternatyw, który może być zbiorem pustym. Wybór atrybutów dokonywany jest losowo. Z tego też powodu metoda może dawać w wyniku alternatywę gorszą od wyeliminowanych. Nie poleca się jej zatem do zastosowania w rozważanym zagadnieniu. Metoda permutacji (Paelnick 977) Metoda permutacji opiera się na zbiorze permutacji wszystkich uszeregowań alternatyw. Uwzględnia ona przypisanie wag poszczególnym atrybutom. Każdy z elemetów zbioru permutacji sprawdzany jest w sensie zgodności uporządkowania i wybierane jest uporządkowanie najlepsze w sensie testu zgodności. Metoda permutacji może być zastosowana w hierarchicznym podejmowaniu decyzji wymaga jednak ona wielu obliczeń.

5 . Metoda dla numerycznie określnej preferencji dotyczącej atrybutów Metoda przypisania liniowego (Bernardo and Blin 977) Metoda przypisania liniowego polega na przypisaniu ważności (rangi) alternatywie, odpowiadającej danemu atrybutowi, uszeregowaniu alernatyw zgodnie z przypisaną rangą oraz obliczeniu ważonej sumy ważności dla poszczególnych alternatyw. Metoda wymaga numerycznej wartości poszczególnych wag i jest atrakcyjna z punktu widzenia realizacji numerycznej. Może być zastosowana w rozważanym zagadnieniu. Prosta addytywna metoda wagowa (MacCrimon 968) Prosta addytywna metoda wagowa wymaga dokonania normalizacji macierzy decyzyjnej. Nastepnie uszeregowanie alternatyw odbywa się poprzez przyporządkowanie każdej z nich sumy ważonej wartości atrybutów odpowiadajacych danej alternatywie. Metoda wymaga wartości numerycznych atrybutów i wag, niemniej jednak w prosty sposób może być rozwinięta na przypadek z wartościami numerycznymi i zmiennymi lingwistycznymi przy wykorzystaniu arytmetyki liczb rozmytych. Może ona być z powodzeniem stosowana w hierarchicznym podejmowaniu decyzji. Istnieje również wersja nieliniowa tej metody. Metoda ELECTRE (Banayoun et al. 966) Metoda ELECTRE (fr. Elimination et Choice Translating Reality) opiera się na pojęciu częściowego uporządkowania alternatyw oraz ich porównywaniu parami. Na tej podstawie tworzone są zbiory zgodności i niezgodności. W efekcie otrzymywany jest graf przedstawiający uporządkowanie alternatyw. W szczególnym przypadku można uzyskać uporządkowanie bez preferencji dotyczącej wybranych alternatyw. Ze wzgledu na ten fakt metoda ta nie może być w sposób bezposredni zastosowana w podejściu hierarchicznym. Biorąc jednak pod uwagę fakt, iż metoda ta jest jedną z lepszych metod, ze względu na prosta jej logikę, pełne wykorzystanie informacji zawartej w macierzy decyzyjnej oraz wyrafinowanej procedury numerycznej należało by rozważyć możliwość jej modyfikacji. Należy podkreślić, że metoda ta posiada realizację numeryczną.. Grupowe wieloatrybutowe podejmowanie decyzji w oparciu o metodę porównywania parami w kategoriach HP Metoda hierarchicznego procesu decyzyjnego HP (ang. nalytic Hierarchy Process) została wprowadzona przez Saaty'ego (980). Pozwala ona na utworzenie tablicy decyzyjnej i wektora wag w oparciu o metodę porównywania parami. Obliczenie uszeregowania odbywa się za pomocą prostej addytywnej metody wagowej. Przyjmując odpowiednie założenia można ją stosować w sytuacji grupowego podejmowania decyzji w przypadkach, gdy ekspert odmówi oceny pary alternatyw. Utworzenie tablicy decyzyjnej polega na uszeregowaniu skończonej liczby alternatyw (obiektów) poprzez porównywanie ich parami, korzystając ze skali: S = { 9,...,,,,...,9}. Ekspert (lub osoba podejmująca decyzję), każdej parze obiektów w sposób subiektywny, przyporządkowuje liczbą ze zbioru S. Załóżmy, że mamy n obiektów: F, F,..., Fn. Każdej parze obiektów ( F i, Fj ), i,j=,...,n przyporządkowana jest liczba r ij S zgodnie z subiektywnymi preferencjami danego eksperta (patrz np. (Saaty 980). Następnie wyniki umieszczane są w tzw. macierzy ocen R:

6 r r! r n r r! r n R =. () " " " " rn rn! rnn Koncepcja Saaty'ego polega na przybliżeniu macierzy ocen R za pomocą następującej macierzy ilorazów: α α α α! α αn α α α α! α αn S =. () " " " " αn α αn α! αn αn Innymi słowy macierz R, utworzona przez eksperta jest macierzą z niezgodnymi ocenami. Naszym zadaniem jest znalezienie macierzy S z ocenami zgodnymi, które przedstawione są w postaci ilorazów sij = α i α j, i, j =,,..., n. Otrzymując macierz S otrzymujemy równocześnie wektor rozwiązania rozważanego problemu, a mianowicie: (, ) T s = α #,α n. () Dokonując normalizacji wektora s otrzymujemy wektor: gdzie: * * ( α ) T, #, α * s = n. () n i i i i # * α = α = α, i =,, n. (5) Wektor s stanowi w tym przypadku wektor uszeregowania alternatyw zwizanych z danym atrybutem (kolumna macierzy decyzyjnej). by utworzyć całą macierz decyzyjną należy powyższą procedurę wykonać dla wszystkich atrybutów. W dalszych rozważaniach pomija się indeks "*" oraz zakłada, że wektor s jest znormalizowany, zgodnie z równaniami ()-(5). W celu znalezienia wektora s stosowane są głównie trzy metody: metoda maksymalnej wartości własnej (Saaty 980, Saaty and Vargas 98), metoda najmniejszych kwadratów (Saaty and Vargas 88, Grawford and Willians 985) oraz metoda logarytmicznych najmniejszych kwadratów (Grawford and Williams 985, Saaty and Vargas 98). nalizę i porównanie powyższych metod można znaleźć m.in w pracach (Grawford and Williams 985, Saaty and Vargas 98). Załóżmy, że w rozważanym procesie podejmowania decyzji mamy n obiektów: F, F,..., Fn. Niech naszym zadaniem będzie porównanie ich pod względem m kryteriów C, C,..., Cm przez D ekspertów. Nasze zagadnienie podejmowania decyzji można zdekomponować na następujące podproblemy: ranking kryteriów (utworzenie wektora wag) oraz ranking obiektów pod względem kryterium i, i =,, #, n (utworzenie macierzy decyzyjnej). Ponadto załóżmy, że stosując metodykę opisaną wcześniej otrzymaliśmy następujący, znormalizowany wektor wag T dla kryteriów: w = ( w, #, w n ), oraz następujące wyniki rankingów obiektów odpowiednio pod względem kryterium C i, i =,, #, m : s = ( α,, α ) T. Wówczas i i # in

7 zgodnie z HP otrzymujemy następujący ranking globalny stosując prostą addytywną metodę wagową (Rys..): m α i = w jα ij, i =,,!, n. (6) j= Jak widać problem wielokryterialnego podejmowania decyzji może być zdekomponowany na odpowiednie podproblemy. Podproblemy te rozwiązuje się niezależnie, stosując metodę porównywania parami, a nastepnie dokonuje się agregacji, D =. stosując równanie (6). Warto zauważyć, że [ ] nxm α ij Ranking kryteriów (, #, ) w = w w n T wagi w w... w Ranking obiektów Ranking obiektów Ranking obiektów kryterium kryterium kryterium m s = α (, #, αn) T (,, ) T s = α # α n... (, #, ) s = α α T m m mn α i w, α i, w α mi, w m ranking globalny α i = m j= w α j ij Rys.. Hierarchiczny proces decyzyjny Podejście Saaty ego może być stosowane również w przypadku występowania ocen lingwistycznych. Pozwala na to rozmyte rozwinięcie tej metody zaproponowane przez Laarhovena i Pedrycza (98). Metoda HP posiada realizację numeryczną w postaci pakietu EPERT CHOICE.. Uwagi i wnioski W niniejszej pracy dokonano przeglądu wieloatrybutowych metod podejmowania decyzji pod kątem ich zastosowania do analizy ryzyka w systemie przemysłowym. Zaproponowano hierarchiczną strukturę procesu podejmowania decyzji. Uwagę skoncentrowano głównie na obliczeniach związanych z określeniem uporządkowania wariantów. Do realizacji hierarchicznego procesu decyzyjnego proponuje się zastosowanie metody Saaty ego (980), ponieważ pozwala ona na wykonanie wszystkich kroków związanych z realizacją procesu decyzyjnego począwszy od utworzenia tablicy

8 decyzyjnej, a skończywszy na obliczeniu uporządkowania w oparciu o wcześniej obliczone wagi. Metodę tą, przy pewnych założeniach można również stosować w grupowym podejmowaniu decyzji oraz w przypadku, gdy ekspert odmówi podania oceny dotyczącej pary lub par wariantów. Proponuje się jednak jej pewne modyfikacje. Jeśli dane w tablicy decyzyjnej są określane na podstawie wielkości mierzalnych lub gdy ekspert jest w stanie podać uszeregowanie dla danego atrybutu, nie należy korzystać z metody porównywania parami. Może ona natomiast być korzystna w przypadku grupowego podejmowania decyzji, szczególnie wtedy, gdy oceny ekspertów są rozbieżne. W przypadku, gdy ze względów praktycznych do uszeregowania wariantów bardziej celowe okaże się zastosowanie innej metody niż stosowana przez Saaty ego addytywna metoda wagowa, należy zastosować tą metodę. W szczególności do wstępnej kwalifikacji wariantów należy stosować metody dla standardowego poziomu atrybutu, co może wydatnie skrócić proces obliczeniowy. W sytuacji występowania wag w postaci nienumerycznej przydatna może się okazać metoda leksykograficzna. Warto również rozważyć zastosowanie metody przypisania liniowego (atrakcyjna z punktu widzenia realizacji numerycznej) oraz odpowiednią modyfikację metody ELECTRE, ponieważ ta ostatnia w pełni wykorzystuje informację zawartą w tablicy decyzyjnej. W sytuacji występowania ocen lingwistycznych należy zastosować rozmyte rozwinięcie metody HP. Na zakończenie warto podkreślić, że hierarchiczna struktura podejmowania decyzji występująca w metodzie HP idealnie pasuje do rozwiązania rozważanego zagadnienia. Literatura Banayoun R., Roy B., Sussman N. (966) Manual de Reference du Programme Electre. Note de Synthese et Formation 5, Direction Scientifique SEM, Paris. Bernardo J.J., Blin J.M. (977) programming model of consumer choice among multi-attributed brands. Journal of Consumer Research (): -8. Crawford G., Williams C. (985) note on the analysis of subjective Judgement Matrices. Journal of Mathematical Psychology 9: Dawes R.M. (96) Social selection based on multidimentional criteria. Jounar of bnormal and Social Psychology 68 (): Hwang C.-L, Yoon K, (98) Multiple ttribute Decision Making. Methods and pplications. State-of-the-rt-Survey. Springer-Verlag, Berlin heidelberg New York. Laarhoven van P.J.M., Pedrycz W. (98) fuzzy extension of Saaty s priority theory. Fuzzy Sets and Systems :9-. Luce R.D. (956) Semiorders and a theory of utiliti discrimination. Econometrica (): MacCrimon (968) Decision-making among multiple-attribute alternatives: survey and consolidated approach. RND Memorandum, RM-5877-DOT. Paelnick J.H.P. (977) Qualitative multiple criteria analysis, environmental protection and multiregional development. Papers of the Regional Science ssociation 6: 59-7 Saaty T.L. (980) The nalytic Hierarchy Process. Mc-Graw Hill, New York. Saaty T.L., Vargas L.G (98) Comparison of eigenvalue, logarithmic least squares and least squares methods in estimating ratios. Mathematical Modelling 5: 09-.

9 Tversky. (969) Intrasitivity of preferences. Psychological Review 76 (): -8. Tversky. (97) Elimination by aspects: probabilistic theory of choice. Michigan Mathematical Psychology Program MMP 7-, The University of Michigan, nn rbor, Michigan. Vincke P., Gassner M., Roy B. (99) Multicriteria Decision-id. John Wiley & Sons Ltd., Baffins Lane, Chichester.

10