Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki tylko 20 godzin powtórki do matury. Spis treści. Wstęp

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki tylko 20 godzin powtórki do matury. Spis treści. Wstęp"

Transkrypt

1 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Spis treści Wstęp. Liczby. Procety 9. Przedziły i wrtość bezwględ. Logrytmy 9 5. Wyrżei lgebricze 6. Rówi liiowe 5 7. Prost w ukłdzie współrzędych 8. Ukłdy ierówości 7 9. Rówi kwdrtowe 0 0. Fukcj kwdrtow i jej wykres 5. Fukcj kwdrtow w zdich 5. Nierówości kwdrtowe 56. Fukcje trygoometrycze 6. Włsości fukcji Ciągi 7 6. Ciąg rytmetyczy i geometryczy w zdich Plimetri 8 8. Zdi z plimetrii Geometri litycz Sttystyk, elemety kombitoryki i rchuek prwdopodobieństw 98

2 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Wstęp Większość ucziów, iestety, ie lubi mtemtyki, ie rozumie jej i w związku z tym ie z. Przedmturle powtórki odkłd późiej, ż w końcu, zwykle w okolicch studiówki strch przed mturą z mtemtyki osiągie pogeum. Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki? Przede wszystkim, ie leży zkłdć, że uczymy się cłego mteriłu przez prę miesięcy, skoro ie udło to się w ciągu trzech lub czterech lt. Lepiej uczyć się rzeczy jwżiejszych i tkich, które jczęściej obece są w zdich mturlych, iż iepotrzebie trcić czs cły, trudy mterił. W tej książce wybro około 60% mteriłu z profilu podstwowego, który obecy jest w około 90% zdń mturlych. Nie zjdziemy tu fukcji wykłdiczej, przeksztłceń fukcji, przeksztłceń płszczyzy, geometrii przestrzeej i iych trudiejszych frgmetów progrmu, których uczeń ie lubiący mtemtyki i ie zjący jej ie uczy się w trkcie powtórek. Wszystko, co jest w książce d się zrozumieć i d się uczyć w ciągu 0 lekcji, co zgwrtuje sukces mturly poziomie powyżej 0%. Uczeń ie lubiący mtemtyki męczy się tkże w trkcie rozwiązywi zdń. Nie m sesu robić coś siłę. Lepiej przeczytć przykłdowe rozwiązi, podptrzeć je, iż smemu trcić czs wywżie otwrtych drzwi. W książce wszystkie przykłdy mogące wystąpić w zdich mturlych są rozwiąze. Rozwiązi te są zwykle zbliżoe do rozumowń ucziowskich, co ozcz, że ie są optymle le łtwo przyswjle. Zdi przedstwioe w książce podzieloo dw rodzje, typowe problemy sprwdze w testch mturlych orz zdi zpropoowe przez CKE. Sposoby rozwiązń tych osttich wielokrotie różią się od propozycji CKE i idą w kieruku rozumowń ucziowskich. Do przeczyti książki i uczei się tego zkresu mteriłu wystrczy 0 godzi. Propoowłbym kżdego di przerobić jedą godzię. Moje wieloletie doświdczeie uczy, że tki dobór mteriłu i metod gwrtują sukces mturly, czego życzę wszystkim czytelikom zdjącym egzmiy dojrzłości. Chciłbym też prosić wszystkich czytelików o przesyłie uwg i dostrzeżoych błędów dres: ksizki07@gmil.com Mriusz Kwecki

3 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Godzi Liczby Liczby turle to zbiór liczb postci N {0,,,...}. Czsmi mówi się o liczbch turlych dodtich N {,,...} (liczb 0 ie jest dodti, ie jest też ujem). Wśród liczb turlych wyróżimy liczby pierwsze. Liczby pierwsze to tkie, które są większe od i dzielą się tylko przez i siebie p.,, 5, 7,... Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Liczby, które ie są pierwsze oprócz siebie i mją ie dzieliki p., 6, 8, 9,... Kżdą liczbę turlą moż zpisć jko iloczy liczb pierwszych. Procedurę, któr to czyi zywmy rozkłdem czyiki pierwsze. Poleg o tym, że rozkłdą liczbę dzielimy przez koleje liczby pierwsze dopóki się d Liczb Liczb Jeżeli z obu rozłożoych liczb wybierzemy wspóle czyiki pierwsze i je pomożymy, to otrzym liczb będzie dzielikiem obu wyjściowych i to jwiększym dzielikiem. Tką liczbę zywmy Njwiększym Wspólym Dzielikiem: NWD(0,00) 5 0 Jeżeli do wspólych czyików dopiszemy z obu liczb te czyiki, które wspóle ie są i pomożymy je, to otrzym liczb będzie dzielił się przez obie wyjściowe i będzie jmiejszą o tej włsości. Tką liczbę zywmy Njmiejszą Wspól Wielokrotą: NWW (0,00) Dwie liczby, b dl których NWD(, b) zywją się względie pierwsze p. NWD(7, 0), NWD(0, 9). Sprwdź czy rozumiesz! Policz: NWD (80, 50) i NWW (80,60). Jeżeli do liczb turlych dorzucimy liczby turle poprzedzoe zkiem mius, otrzymmy liczby cłkowite: C {0,,,,,,,...}. Ilorzy (dzieleie) liczb cłkowitych przez siebie tworzą liczby wymiere: W={0,,,, /,...}. Zuwżmy, że 0 0, to ilorzy liczb cłkowitych więc rówież liczby wymiere.

4 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Pozostłe liczby zywmy liczbmi iewymierymi NW {,,,...}. Zuwżmy, że liczb (w przybliżeiu, ) jest liczbą iewymierą. Często używymi liczbmi wymierymi są ułmki dziesięte. Jeżeli w zpisie ułmk dziesiętego ilość cyfr po przeciku jest skończo, to ułmek dziesięty zyw się ułmkiem skończoym p.,5. Jeżeli ilość cyfr jest ieskończo i powtrz się w pewych grupch, to tki ułmek zywmy ułmkiem okresowym,... =, (). Jeżeli ilość cyfr po przeciku jest ieskończo i ie powtrz się w pewych grupch to jest to liczb iewymier:, Sposób zmiy ułmk okresowego zwykły jest brdzo prosty. Spójrzmy przykłdy: 5 0,(), 0,(), 0,(5),,() 0,(), 0,(), bcde 567 0,(5) i ogólie: 0,( bcde) więc 0,(567) Sprwdź czy rozumiesz! Zmień ułmek zwykły: 0,(),, (5) Oprócz czterech podstwowych dziłń (dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie) liczby możemy potęgowć i pierwistkowć. Przypomimy defiicję potęgi: 0,, 0 Symbol 0 ie jest określoy. Liczb, którą podosimy do potęgi ujemej musi być róż od 0. Pierwistkowie, to w grucie rzeczy potęgowie gdyż: Pierwistkując pmiętjmy, że pierwistki stopi przystych istieją tylko z liczb dodtich i sme są liczbmi dodtimi. Pierwistki stopi ieprzystych mogą być wyciąge z liczb ujemych i są wtedy liczbmi ujemymi. 5 5,, ( 7) 7, 8 8,, 7 8 Potęgi i pierwistki spełiją podobe prw, zwróćmy uwgę grupy () i (). 5

5 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. () m m m m () ( ) m m b ( b) b b () ( ) m m b b b b Zdi występujące mturze 5. Ze zbioru liczb, 7,.(), 9, 9, 5,, wybierz liczby wymiere. 7 Liczby wymiere w tym zbiorze to: 5,,(), 9, 5, Pokż, że liczby 80 i 5 ie są względie pierwsze. Rozkłdmy obie liczby czyiki: Obie liczby mją wspóly czyik większy od. Ich NWD(80,5) 5, ztem ie są względie pierwsze. 5. Policz: (, (7) 5 7. Przykłd pozorie wygląd skomplikowy le jk policzymy wrtość wisu kwdrtowego okże się, że: (, (7) Ztem wrtość cłego wyrżei wyosi Policz:. 5 9 : 8 Zuwżmy, że potęgowe liczby sme są potęgo. Przeksztłcmy wyrżeie tk, żeby to wykorzystć: 9 7 ( ) : : ( ) : 8 6

6 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. 5. Porówj liczby: i Zuwżmy, że: 5 5 (5 ) 5 i (7 ) 9, więc Pomiędzy liczby 77 i wstw dwie róże liczby wymiere. 77 Nleży rozszerzyć ułmek, to zczy liczik i miowik pomożyć przez tę smą liczbę większą od. Poiewż mmy wstwić dwie róże liczby pomóżmy liczik i miowik przez, otrzymmy: 9 i Między te liczby moż wstwić: 0 i Gdybyśmy mieli wstwić trzy ie dwie róże liczby, leżłoby pomożyć liczik i miowik przez, dl wstwiei jedej liczby wystrczy pomożyć przez. 7. ) Wyłącz czyik przed pierwistek 0 6. b) Wprowdź czyik pod pierwistek ) 6 8 b) Usuń iewymierość z miowik: ) b) 5 c) W przykłdzie ) liczik i miowik możymy przez sm pierwistek, w przykłdch b) i c) liczik i miowik możymy przez tzw. sprzężeie czyli wyrżeie z miowik ze zmieioym zkiem i korzystmy ze wzoru skrócoego możei ( b)( b) b : ) b) c) ( ) () ( ) ( ) 9. Policz ( ) ( ) ( ) 7

7 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury.,() 0. Policz 8 9 5,() ( ) 8 Zdi propoowe przez CKE. Wrtość wyrżei A. 6 8 B. jest rów: C. D. 6 ( 6) Odwrotością liczby A. 8 B. 8. Liczb A. 8 6 jest rów: 6 B. jest liczb: C. C. D. D ( ) ( ). N tblicy zpiso stępujące potęgi: ( ) ( ), (),, ( ) (). Ile różych liczb reprezetują zpisy? A. B. C. D. ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 6 () () ( ) 6 () () 8

8 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Godzi Procety Procet to jed set % 0,0. Promil to jed tysięcz % o 0, 00. Jeżeli umiesz liczyć ułmkch, to umiesz rówież liczyć procety. Jeżeli chcesz policzyć 5% ze 0 to zczy możysz 0,50 8. Jeżeli ceę towru zwiększoo o 0% przed podwyżką towr kosztowł 50 zł, to terz kosztuje 50 0, zł. Jeżeli terz obiżymy ceę o 0% to ie wrócimy do cey pierwotej, gdyż 0% z 00 odejmujemy od 00: 00 0, 00 0 zł. Postwmy pytie o ile procet leży obiżyć ceę, żeby powrócić do cey wyjściowej 50 zł.? Zuwżmy, że sze pytie moż opisć rówiem: x x00 x 0, , 6% 00 Pukty procetowe to różic tego smego typu wielkości wyrżych w procetch. Dw ośrodki bdwcze bdją jki procet populcji osi w zimie czpki usztki. Jede ośrodek stwierdził, że jest to 5%, drugi, że czpki usztki osi 0% populcji. Ob wyiki różią się o 5 puktów procetowych. Gdybyśmy powiedzieli, że wyiki różią się o 5%, popełilibyśmy błąd gdyż: 5% 5% 5% 0,5 0, 050,5 0,575 5, 75% Co ozcz, że drugi ośrodek musiłby stwierdzić, że czpki usztki osi 5,75% populcji. W zgdieich bkowych wżą rolę odgryw odróżieie procetu prostego od procetu skłdego. Kwot, którą depoujemy w bku zyw się kpitłem. Jeżeli po okresie rozliczeiowym odsetki ie są dopisywe do kpitłu i w stępym okresie rozliczeiowym ie są od ich licze koleje odsetki, to mmy doczyiei z procetem prostym. Wrtość depozytu z tkiej lokty obliczmy zgodie ze wzorem: W K( p ) gdzie W to wrtość depozytu (to co mmy w bku wrz z kpitłem początkowym), K kpitł początkowy, p procet przypdjący okres obliczeiowy, ilość okresów obliczeiowych. Jeżeli po okresie rozliczeiowym odsetki są dopisywe do kpitłu i w stępym okresie rozliczeiowym są od ich licze koleje odsetki, to mmy doczyiei z procetem skłdym. Wrtość depozytu przy procecie skłdym liczymy ze wzoru: W K( p) Zwróćmy uwgę, że w obu wypdkch procet p musi przypdć okres obliczeiowy. Przykłdowo jeżeli bk propouje procet skłdy w wysokości % w skli roku odsetki kpitlizuje kwrtlie to z 000 zł lokty otrzymmy po roku 9

9 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. kwotę W 000( 0, 0) 5,5 zł, gdyż p % : %, (w roku są kwrtły). Gdyby bk propoowł procet zwykły, to: W 000( 0,0) 0 zł, co ozcz, że lokt przy procecie skłdym jest brdziej opłcl. Sprwdź czy rozumiesz! Który z bków dje lepsze wruki: A, gdzie lokt jest 5% w skli roku, odsetki kpitlizowe są kwrtlie czy B, gdzie lokt jest % w skli roku odsetki kpitlizowe są miesięczie? Zdi występujące mturze. ) Oblicz 0% z liczby. b) Jkim procetem liczby 60 jest liczb 00? c) Jk to liczb, której % rów się 5? ),, 00 b) p60 00 p, , 6% 60 5 c) 0, 0x5 x 50 0,0. Z prwidłowe rozwiązie testu moż uzyskć 50 puktów. Jcek uzyskł 5 puktów, Plcek 5. O ile procet wyik Jck był większy od wyiku Plck? O ile puktów procetowych różią się wyiki Jck i Plck. 0 5 p5 5 p5 0 p 0,8 80% 5 Jcek uzyskł: 5 0,9 90% 50 puktów. Plcek uzyskł: 5 0,5 50% 50 puktów. Ob wyiki różią się o 0 puktów procetowych.. Ceę pewego towru zwiększoo o 0%. Poiewż ie zotowo wzrostu sprzedży ową ceę obiżoo o 5%. Po tych opercjch towr kosztuje,75 zł. Jk ce towru był początku? x - początkow ce towru, stąd rówie: ( x0, x) 0,5( x0, x),75, 75,x0,5,x, 75 0,95x, 75 x 50 zł. 0,99. Jk to liczb, której 75% jest rówe tej liczbie zmiejszoej o 0? x - iez liczb, z treści zdi mmy 0,75x x 0, 0,5x 0 0 x 0 0, 5 0

10 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. 5. Zmieszo kg solki 0% z kg solki 0%. Roztwór o jkim stężeiu soli otrzymo? W tego typu zdich leży pmiętć, że ilość soli przed zmiesziem jest rów ilości soli po zmiesziu roztworów. stąd rówie 0, 0, p 5, gdzie p to stężeie soli otrzymego roztworu. 0, 0, 0,8 p 0,6 6% Ile czystej wody leży dodć do kg solki 5% by jej stężeie spdło do 0%? Podobie jk w zdiu poprzedim ilość soli przed i po dodiu wody pozostje iezmie. Niech x ozcz ilość wody, którą leży dodć do solki. 0,5 0,5 0,( x) 0, 5 0, 0, x 0,x0,5 x,5 [kg] 0, 7. Liczb mieszkńców jwiększego mist w pewym krju stowi 0% pozostłej liczby mieszkńców tego krju. Ile procet mieszkńców krju stowi liczb mieszkńców tego mist? x - liczb mieszkńców krju, y - liczb mieszkńców jwiększego mist p - procet mieszkńców krju, którzy są mieszkńcmi jwiększego mist y 0, y 0,( x y) y 0,x0, y, y 0, x 0,857 8,6% x, y px y p 8,6% x 8. Ceę pewego towru obiżoo dwukrotie. Z pierwszym rzem o 5%, z drugim o 0%. O ile procet obiżoo ceę towru po obu obiżkch w stosuku do cey pierwotej? x - początkow ce towru ( x 0,5 x) 0,85x - ce towru po pierwszej obiżce 0,85x 0, 0,85x - ce towru po drugiej obiżce 0,85x 0, 0,85x 0,68x Skoro po obiżkch towr kosztuje 0,68x, jego ceę obiżoo o 0, czyli %. 9. Po pierwszym roku produkcji owego modelu smochodu fbryk sprzedł 0000 sztuk. W ciągu stępych lt sprzedż wzrstł o 0% roczie. Ile smochodów sprzedł fbryk po piątym roku produkcji? Ile smochodów sprzedł fbryk od początku produkcji? Zgodie z wrukmi zdi moż zbudowć tbelkę sprzedży: po I roku po II roku Po III roku Po IV roku Po V roku Ilość

11 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Łącz ilość = =0 Po piątym roku produkcji sprzedo 98 smochodów, łączie sprzedo 0 smochodów. 0. Odsetki dwóch kredytów o łączej wrtości zł wyoszą roczie 5500 zł. Jede kredyt zostł wzięty % w skli roku, drugi %. Oblicz wielkość kżdego kredytu. x - wrtość pierwszego kredytu, (50000 x) - wrtość drugiego kredytu 0, 0x0, 0(50000 x) , 0x6000 0, 0x , 0 x x ,0 Wrtość pierwszego kredytu zł, wrtość drugiego kredytu zł. Zdi propoowe przez CKE. N początku roku kdemickiego mężczyźi stowili 0% wszystkich studetów. N koiec roku liczb wszystkich studetów zmlł o 0% i wówczs okzło się, że mężczyźi stowią % wszystkich studetów. O ile procet zmieił się liczb mężczyz koiec roku w stosuku do liczby mężczyz początku roku? x - liczb wszystkich studetów początku roku p - procet zmiy liczby mężczyz koiec roku Liczb mężczyz początek roku: 0% x x 0 9 Liczb mężczyz koiec roku: % 90% x x x 0 0 xp x p 75% 0 0 Liczb mężczyz koiec roku stowi 75% liczby mężczyz z początku roku, ztem zmlł o 5% w stosuku do liczby mężczyz z początku roku.. N lokcie złożoo 000 zł przy roczej stopie procetowej p% (procet skłdy). Odsetki licze są co kwrtł. Po upływie roku wielkość kpitłu lokcie będzie rów: p p p p A. 000 B. 000 C. 000 D Zgodie ze wzorem procet skłdy poprwe jest D, zwróćmy uwgę, że p p%. 00. Dy jest trójkąt o bokch długości, b, c. Stosuek :b:c jest rówy :5:7. Które zdie jest fłszywe? A. Liczb c jest o,5% miejsz od liczby +b.

12 Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. B. Liczb stowi 0% liczby +b+c. C. Liczb stowi 5% liczby b+c. D. Liczb b to 60% liczby c. Możemy przyjąć =, b=5, c=7 wtedy: A. +b=8,,5% z 8 to, +b-=c, zdie prwdziwe B. +b+c=5, 0% z 5 to =, zdie prwdziwe C. b+c=, 5% z to =, zdie prwdziwe D. zdie fłszywe poiewż 60% z 7 to,. Nomil stop oprocetowi lokty wyosi % w stosuku roczym (bez uwzględiei podtku). Odsetki kpitlizowe są koiec kżdego kolejego okresu czteromiesięczego. Oblicz, jką kwotę wpłcoo tę loktę, jeśli koiec ośmiu miesięcy oszczędzi rchuku lokty było o 96,56 zł więcej iż przy jej otwrciu. Zwróćmy uwgę, że lokt kpitlizow jest co cztery miesiące i trw dw tkie okresy. Stopę procetową roczą leży podzielić przez by obliczyć stopę procetową okres rozliczeiowy ( miesiące). x - kwot wpłco loktę, z wruków zdi mmy: 0,0 x 96,56 x x96,56 x, 00 96,56=0,00x 96,56 x 5600 [zł] 0,00 5. W pewej szkole przez trzy koleje lt zmieił się liczb ucziów. W pierwszym roku liczb ucziów zmlł i koiec roku był o 0% miejsz iż początku. W drugim roku wzrosł i ukończyło go 0% więcej ucziów iż pierwszy. O ile procet, w stosuku do liczby ucziów kończących drugi rok, zmiejszył się ich liczb w stępym roku, jeśli koiec trzeciego roku było tyle smo ucziów co początku pierwszego? Wyik zokrąglij do 0,%. x - liczb ucziów początku pierwszego roku p - procet zmiy liczby ucziów pomiędzy II i III rokiem Treść zdi moż opisć tbelką: Okres Początek I Koiec I roku Koiec II roku Koiec III roku Ucziów x 0,9x 0,9x 0, 0,9x, 08x x, 08 xp x p :, 08 0,959 9, 6% Liczb ucziów zmiejszył się o 7,%

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne. Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

ADAM KONSTANTYNOWICZ ANNA KONSTANTYNOWICZ

ADAM KONSTANTYNOWICZ ANNA KONSTANTYNOWICZ ADAM KONSTANTYNOWICZ ANNA KONSTANTYNOWICZ Korekt: Mrek Kowlik Projekt okłdki: Teres Chylińsk-Kur, KurkStudio Projekt mkiety i oprcowie grficze: Kj Mikoszewsk Producet wydwiczy i redktor serii: Mrek Jsz

Bardziej szczegółowo

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej. 5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż

Bardziej szczegółowo

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

1.1. Zbiory Materiał ponadprogramowy

1.1. Zbiory Materiał ponadprogramowy .. Zbiory Mterił podprogrmowy.. Uzupełij tbelkę. Liczb 8,,, 8 Zbiór dzielików turlych liczby 6 00 69 99.. Wypisz wszystkie elemety zbiorów: : 9 b) : : 7 d) : 5 0.. Podj wszystkie elemety zbioru A, jeśli:

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera /9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach. WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,

Bardziej szczegółowo

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH

ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH Treść: ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH. Tbliczk moŝei. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Nzwy dziłń i ich

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1 lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do

Bardziej szczegółowo

7. Szeregi funkcyjne

7. Szeregi funkcyjne 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2). ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuow bezpłtie Dostęp stroie: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

V. CIĄGI LICZBOWE. V.1-4. Ciągi liczbowe. Maria Kielar, Tomasz Kielar

V. CIĄGI LICZBOWE. V.1-4. Ciągi liczbowe. Maria Kielar, Tomasz Kielar V. CIĄGI LICZBOWE Mri Kielr Tomsz Kielr Wszelkie prw zstrzeżoe. Kopiowie i rozpowszechiie cłości lub frgmetu iiejszej publikcji w jkiejkolwiek postci jest zbroioe. Autorzy orz Wydwictwo Dobry ebook dołożyli

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020 Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0

Bardziej szczegółowo

Powtórka dotychczasowego materiału.

Powtórka dotychczasowego materiału. Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym. I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna

Analiza Matematyczna Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =

Bardziej szczegółowo

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Procent składany wiadomości podstawowe

Procent składany wiadomości podstawowe Procet składay wiadomości podstawowe Barbara Domysławska I Liceum Ogólokształcące w Olecku Procet prosty to rodzaj oprocetowaia polegający a tym, że odsetki doliczae do złożoego wkładu ie podlegają dalszemu

Bardziej szczegółowo

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa / WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Struna nieograniczona

Struna nieograniczona Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY

MATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SŁADANY Zasada procetu składaego polega a tym, iż liczymy odsetki za day okres i doliczamy do kapitału podstawowego. Odsetki za astępy okres liczymy od powiększoej w te sposób podstawy. Czyli

Bardziej szczegółowo

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp... 4

Spis treści. Wstęp... 4 pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D. Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo