2. Liczby rzeczywiste są to wszystkie liczby (liczby niewymierne i wymierne).

Transkrypt

1 1. Zm stępujące zbiory liczbowe: zbiór liczb turlych (N) zbiór liczb cłkowitych (C) zbiór liczb wymierych (W) zbiór liczb iewymierych (NW) zbiór liczb rzeczywistych (R). ODPOWIEDZI DO PYTAŃ Z MATEMATYKI 2. Liczby rzeczywiste są to wszystkie liczby (liczby iewymiere i wymiere). 3. Liczby turle są to liczby cłkowite ieujeme:0,1,2,3,4, Liczby cłkowite są to liczby turle orz przeciwe do turlych:...,-3,-2,-1,0,1,2,3, Liczby wymiere są to tkie liczby, które moż przedstwić z pomocą ułmk p zwykłego:, gdzie p, q C, q 0, ich rozwiięci dziesięte są skończoe lub q ieskończoe okresowe. 6. Liczby iewymiere są to tkie liczby, których ie d się przedstwić w postci ułmk zwykłego, mją rozwiięci dziesięte ieskończoe ieokresowe, p.: 0, ,, Liczby pierwsze są to tkie liczby, które mją tylko dw dzieliki: smą siebie i jede. 8. Liczby złożoe są to tkie liczby które mją więcej iż dw dzieliki, le ich skończoą ilość (0 i 1 ie są i pierwsze i złożoe). 9. Liczby ieujeme są to wszystkie liczby większe od zer wrz z zerem. 10. Liczby iedodtie są to wszystkie liczby miejsze od zer wrz z zerem. 11. Liczby przeciwe są to tkie liczby, których sum wyosi Liczby odwrote są to tkie liczby, których iloczy jest rówy Wrtość bezwzględ jest to odległość liczby od zer osi liczbowej. def: x, dl x 0 x x, dl x Cechy podzielości liczb przez: 2 liczb dzieli się przez 2 wtedy, gdy jest to liczb przyst. 3 - liczb jest podziel przez 3 jeżeli sum jej cyfr jest podziel przez trzy. 4 liczb jest podziel przez 4 jeżeli jej dwie osttie cyfry tworzą liczbę podzielą przez liczb jest podziel przez 5 jeżeli ostti cyfr w liczbie to 5 lub 0. 8 liczb jest podziel przez 8 jeżeli jej trzy osttie cyfry tworzą liczbę podzielą przez 8. 9 liczb jest podziel przez 9 jeżeli sum jej cyfr jest podziel przez

2 10 liczb jest podziel przez 10 jeżeli ostti cyfr tej liczby to liczb jest podziel przez 25 jeżeli jej dwie osttie cyfry to: 00, 25, 50, liczb jest podziel przez 100 jeżeli jej dwie osttie cyfry to Ze dziłi liczbch to: dodwie : skłdik + skłdik = sum odejmowie : odjem odjemik = różic możeie : czyik czyik = iloczy dzieleie : dziel dzielik = ilorz potęgowie ; - podstw potęgi, - wykłdik potęgi pierwistkowie- - -liczb podpierwistkow 0, stopień pierwistk N Wyrżeie lgebricze to tkie wyrżeie, gdzie obok liczb, wisów i zków dziłń występują litery. 19. Nzwę wyrżei lgebriczego tworzymy od osttiego dziłi, wykoywego zgodie z kolejością dziłń. 20. Jedomi jest to iloczy liczb i liter lub pojedyczy zpis liczby. 21. Sum lgebricz jest to sum jedomiów. 22. Wyrzy podobe są to jedomiy, różiące się jedyie współczyikmi liczbowymi. 23. Redukcj wyrzów podobych poleg zstąpieiu kilku wyrzów podobych jedym. 24. Aby dodć dwie sumy lgebricze leży opuścić wisy i do wyrzów pierwszej sumy dopisć wyrzy drugiej sumy bez zmiy zku. 25. Aby odjąć sumy lgebricze leży opuścić wisy i do wyrzów pierwszej sumy dopisć wyrzy drugiej sumy ze zmią zku. 26. Możąc sumę lgebriczą przez jedomi możymy kżdy wyrz sumy przez dy jedomi. 27. Możąc sumę lgebriczą przez sumę lgebriczą możymy kżdy wyrz pierwszej sumy przez kżdy wyrz drugiej sumy. 28. Sposoby zmiy sumy lgebriczej iloczy to: grupowie wyrzów, wyłączie wspólego czyik przed wis, zstosowie wzorów skrócoego możei; 29. Liczbę przystą zpisujemy z pomocą wzoru: 2 (- liczb turl). 30. Liczbę ieprzystą zpisujemy z pomocą wzoru: (- liczb turl)

3 31. Liczbę dwucyfrową zpisujemy z pomocą wzoru: 10x + y ( x- cyfr dziesiątek; y- cyfr jedości). 32. Liczbę trzycyfrową zpisujemy z pomocą wzoru: 100z + 10x + y (z- cyfr setek; x cyfr dziesiątek; y- cyfr jedości). 33. Wzory skrócoego możei: Kwdrt sumy dwóch wyrżeń ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 Kwdrt różicy dwóch wyrżeń ( b) 2 = 2-2b + b 2 Różic kwdrtów dwóch wyrżeń ( + b)( b) = 2 b 2, gdzie i b to dowole wyrżei 34. Kwdrt sumy dwóch wyrżeń jest rówy kwdrtowi pierwszego wyrżei plus podwojoy iloczy pierwszego wyrżei przez drugie, plus kwdrt drugiego wyrżei. ( + b) 2 = 2 + 2b + b Kwdrt różicy dwóch wyrżeń jest rówy kwdrtowi pierwszego wyrżei mius podwojoy iloczy pierwszego wyrżei przez drugie plus kwdrt drugiego wyrżei. ( b) 2 = 2-2b + b Różic kwdrtów dwóch wyrżeń jest rów iloczyowi sumy tych wyrżeń przez ich różicę. ( + b)( b) = 2 b 2 c 37. Proporcj jest to rówość dwóch ilorzów:, b 0 d 0 b d, d -wyrzy skrje, b, c - wyrzy środkowe. 38. Włsości proporcji: iloczy wyrzów skrjych jest rówy iloczyowi wyrzów środkowych. moż przestwić wyrzy skrje moż przestwić wyrzy środkowe. 39. Zmiee x i y są wprost proporcjole wtedy, gdy wrz ze wzrostem jedej wielkości, drug wielkość rośie tyle smo rzy (zleżość postci y = x, - współczyik proporcjolości prostej ). 40. Zmiee x i y są odwrotie proporcjole wtedy, gdy wrz ze wzrostem jedej wielkości drug wielkość mleje tyle smo rzy. (zleżość postci y = x, - współczyik proporcjolości odwrotej). 41. Średi rytmetycz jest to ilorz sumy wrtości liczb przez ilość tych liczb. 42. Medi jest to środkow wrtość w rosącym szeregu liczb, od łcińskiego słow medius środkowy. 43. Wyróżimy ułmki: zwykłe dziesięte - 3 -

4 44. Ułmek dziesięty jest to ułmek zwykły o miowiku 10,100, ; zzwyczj zpisywy przy użyciu przecik oddzieljącego cłości od części ułmkowych. 45. Ułmek zwykły jest to ilorz dwóch liczb cłkowitych zpisy z pomocą kreski ułmkowej. Dziel to liczik, dzielik miowik, kresk ułmkow zstępuje zk dzielei (miowik ie może wyosić 0). 46. Liczby miesze skłdją się z liczby cłkowitej i ułmk włściwego. 47. Ułmek włściwy to tki ułmek, w którym liczik jest miejszy od miowik. Ułmek iewłściwy to tki ułmek, w którym liczik jest większy od miowik bądź rówy miowikowi. 48. Możeie ułmków dziesiętych wykoujemy tk, jk możeie liczb turlych, w otrzymym iloczyie oddzielmy przecikiem tyle miejsc od końc, ile cyfr po przeciku jest w obu czyikch rzem. 49. Aby pomożyć ułmki zwykłe, leży pomożyć przez siebie licziki i miowiki tych ułmków, pmiętjąc o skrciu. 50. Dzieląc ułmki dziesięte, trzeb w dzieliku i w dzielej przesuąć przeciek o tyle miejsc w prwo, by doprowdzić dzielik do liczby cłkowitej, stępie wykoć dzieleie. 51. Aby podzielić ułmki zwykłe, leży pomożyć pierwszy ułmek przez odwrotość drugiego ułmk. 52. Możeie ułmków dziesiętych przez 10, 100, poleg przesuięciu przecik w tym ułmku, o tyle miejsc w prwo ile zer jest w 10, 100, Dzieleie ułmków dziesiętych przez 10, 100, poleg przesuięciu przecik w tym ułmku, o tyle miejsc w lewo ile zer jest w 10, 100, Tk, kżdy ułmek zwykły moż zmieić dziesięty skończoy lub ieskończoy okresowy. 54. Ułmek zwykły moż zmieić dziesięty przez podzieleie liczik przez miowik, sprowdzeie miowik do 10, 100, (jeśli to możliwe) 55. Ułmek zwykły może mieć rozwiięcie dziesięte skończoe lbo ieskończoe okresowe. 56. Ułmek zwykły m rozwiięci dziesięte skończoe wtedy, gdy jego miowik w rozkłdzie czyiki pierwsze m tylko dwójki, tylko piątki lub dwójki i piątki. 57. Aby zokrąglić ułmek do pewego rzędu, leży odrzucić cyfry rzędów iższych i: jeżeli pierwsz z odrzucych cyfr jest większ lub rów pięć, to do osttiej z zostwiych dodjemy jede jeżeli pierwsz z odrzucych cyfr jest miejsz iż pięć, to osttią cyfrę zostwimy bez zmi

5 58. Potęgą o podstwie i wykłdiku turlym zywmy iloczy czyików 0 liczby, przy czym 1, 0; Jeśli wykłdik potęgi jest rówy 1, to potęg przyjmuje tką smą wrtość jk podstw, 1 = 60. Jeśli wykłdik potęgi jest rówy 0, to potęg przyjmuje wrtość 1. 0 = 1, Dziłi potęgch o wykłdiku turlym:, m wykłdik potęgi ;, b podstw potęgi możeie potęg o tych smych podstwch, m = + m, gdzie R;,mN. dzieleie potęg o tych smych podstwch, : m = m, gdzie R\0 ;,mn m. możeie potęg o tych smych wykłdikch, b = (b), gdzie,br; N. dzieleie potęg o tych smych wykłdikch, : b = ( : b), gdzie,br, b0, N. potęg potęgi, ( ) m = m, gdzie R,,mN. 62. Iloczy potęg o tych smych wykłdikch jest rówy potędze o tym smym wykłdiku i podstwie rówej iloczyowi podstw czyików. b ; gdzie, b R N b, 63. Ilorz potęg o tych smych wykłdikch jest rówy potędze o tym smym wykłdiku i podstwie rówej ilorzowi podstw dzielej i dzielik. : b gdzie br b N ;,, 0, b b 64. Potęg potęgi jest rów potędze o tej smej podstwie i wykłdiku rówym iloczyowi dych wykłdików. m m ; gdzie R,, mn 65. Iloczy potęg o tych smych podstwch jest rówy potędze o tej smej podstwie i wykłdiku rówym sumie wykłdików czyików. m m, gdzie R,, mn - 5 -

6 66. Ilorz potęg o tych smych podstwch jest rówy potędze o tej smej podstwie i wykłdiku rówym różicy wykłdików dzielej i dzielik. : m m, gdzie R, 0,, mn, m 67. Liczb podiesio do ujemej potęgi, N, rów się odwrotości tej liczby podiesioej do potęgi. 1 gdzie 0 N 68. Liczb podiesio do potęgi z wykłdikiem wymierym rów jest pierwistkowi o stopiu rówym miowikowi tego ułmk z tej liczby podiesioej do potęgi rówej liczikowi tego ułmk. m m, gdzie 0 m, N m Pierwistkiem drugiego stopi (kwdrtowym) z ieujemej liczby zywmy ieujemą liczbę b tką, że b 2 =. Liczbę zywmy liczbą podpierwistkową. b b 2, gdzie, b Pierwistkiem trzeciego stopi (sześcieym) z liczby zywmy tką liczbę b, że b³=. 3 3 b b, gdzie, b R 71. Włsości pierwistków : -t potęg pierwistk -tego stopi z liczby ieujemej jest rów liczbie podpierwistkowej., 0 Pierwistek -tego stopi z iloczyu liczb ieujemych rówy jest iloczyowi pierwistków -tego stopi z tych liczb. b b,, b 0-6 -

7 Pierwistek -tego stopi z ilorzu liczby ieujemej i liczby dodtiej jest rówy ilorzowi pierwistków -tego stopi z tych liczb. b, 0 b 0 b 72. Symetrlą odcik zywmy tę oś symetrii odcik, któr jest do iego prostopdł. Włsość symetrlej: kżdy pukt symetrlej odcik jest rówoodległy od jego końców i odwrotie jeżeli pukt jest rówoodległy od końców odcik, to leży do symetrlej odcik. 73. Trójkąty ze względu miry kątów dzielimy : prostokąte rozwrtokąte ostrokąte 74. Trójkąty ze względu długości boków dzielimy : rówobocze rówormiee różobocze 75. Sum mir kątów wewętrzych w trójkącie wyosi 180 o 76. Aby trójkąt mógł istieć sum dwóch krótszych boków musi być większ od jdłuższego boku. 77. Wysokość w trójkącie jest to odciek prostopdły łączący wierzchołek z przeciwległym bokiem. 78. Ortocetrum trójkąt to pukt przecięci wysokości trójkąt lub ich przedłużeń. W trójkącie ostrokątym zjduje się wewątrz trójkąt, w prostokątym w wierzchołku kąt prostego, w rozwrtokątym poz trójkątem. 79. Środkow w trójkącie jest to odciek łączący wierzchołek trójkąt ze środkiem przeciwległego boku

8 80. Środkowe trójkąt przeciją się w jedym pukcie, który dzieli je w stosuku 2:1 licząc od wierzchołk. 81. Pukt przecięci środkowych trójkąt zyw się środkiem ciężkości trójkąt. 82. Pole trójkąt obliczmy według wzoru: h P gdzie długość boku, h wysokość spdjąc te bok Wysokość trójkąt rówoboczego obliczmy według wzoru 3 h 2, gdzie długość boku 84. Pole trójkąt rówoboczego obliczmy według wzoru: 2 3 P gdzie długość boku Promień okręgu opisego trójkącie rówoboczym obliczmy według 3 wzoru: R gdzie długość boku Promień okręgu wpisego w trójkąt rówoboczy obliczmy według wzoru: 3 r gdzie długość boku Środkiem okręgu opisego trójkącie jest pukt przecięci symetrlych boków tego trójkąt. Zjduje się o: w trójkącie ostrokątym wewątrz trójkąt w trójkącie prostokątym w połowie przeciwprostokątej w trójkącie rozwrtokątym poz trójkątem 88. Środek okręgu wpisego w trójkąt leży w pukcie przecięci dwusieczych kątów tego trójkąt

9 89. Twierdzeie PITAGORASA brzmi: W trójkącie prostokątym kwdrt długości przeciwprostokątej jest rówy sumie kwdrtów długości przyprostokątych. 90. Twierdzeie odwrote do twierdzei PITAGORASA brzmi: Jeżeli sum kwdrtów długości dwóch krótszych boków trójkąt rów się kwdrtowi długości jdłuższego boku, to te trójkąt jest prostokąty. 91. Cechy przystwi trójkątów : (bbb) jeżeli trzy boki jedego trójkąt są rówe odpowiedim trzem bokom drugiego trójkąt, to te trójkąty są przystjące. (bkb) - jeżeli dw boki i kąt między imi zwrty jedego trójkąt są rówe odpowiedim dwóm bokom i kątowi między imi zwrtemu drugiego trójkąt, to te trójkąty są przystjące. (kbk) - jeżeli bok i dw kąty do iego przyległe jedego trójkąt są rówe odpowiediemu bokowi i kątom do iego przyległym drugiego trójkąt, to te trójkąty są przystjące.. Zpis ABC KLM ozcz, że trójkąt ABC jest przystjący do trójkt KLM. 92. Trójkąt złoty jest trójkątem prostokątym o kątch 30 0, 60 0, Jego przeciwprostokąt jest 2 rzy dłuższ od krótszej przyprostokątej, dłuższ przyprostokąt jest 3 rzy dłuższ od krótszej przyprostokątej. 93. W trójkącie rówormieym prostokątym przeciwprostokąt jest rów 2, gdzie to długość przyprostokątych. 94. Sum mir kątów wewętrzych czworokąt wyosi Trpez czworokąt, który m co jmiej jedą prę boków rówoległych. Boki rówoległe- to podstwy, ierówoległe- to rmio. 96. Trpezy dzielimy : rówormiee(rmio rówej długości) prostokąte (rmię prostopdłe do podstwy) różormiee (rmio różej długości) 97. Wzór pole trpezu : P= 0,5( + b)h podstw trpezu b drug podstw trpezu h wysokość trpezu 98. Rówoległobok czworokąt, który m dwie pry boków rówoległych. 99. Przekąte w rówoległoboku przeciją się w połowie - 9 -

10 100. Wzór pole rówoległoboku : P= h 1 lub P= bh 2 bok rówoległoboku b drugi bok rówoległoboku h 1 wysokość spdjąc bok h 2 wysokość spdjąc bok b 101. Romb rówoległobok, który m wszystkie boki rówej długości Przekąte w rombie przeciją się w połowie, są prostopdłe i dzielą kąty wewętrze rombu połowy Wzór pole rombu : P= h lub P= 0,5d 1 d 2 bok rombu h wysokość rombu, d 1 przekąt rombu d 2 drug przekąt rombu 104. Prostokąt czworokąt, który m wszystkie kąty proste Przekąte w prostokącie mją jedkowe długości i przeciją się w połowie Wzór pole prostokąt : P= b bok prostokąt b drugi bok prostokąt 107. Kwdrt czworokąt, który m wszystkie kąty proste i boki rówe Przekąte w kwdrcie mją jedkowe długości, przeciją się w połowie i są prostopdłe, dzielą kąty wewętrze kwdrtu połowy Wzór przekątą kwdrtu: d= 2 bok kwdrtu d przekąt kwdrtu 110. Wzór pole kwdrtu : P= 2 lub P= 0,5d 2 bok kwdrtu d przekąt kwdrtu 111. Deltoid czworokąt o dwóch prch boków sąsiedich rówej długości Wzór pole deltoidu : P= 0,5d 1 d 2 d 1 przekąt d 2 drug przekąt 113. Przekąte w deltoidzie są prostopdłe, dłuższ przekąt dzieli krótszą połowy orz przeciwległe kąty wewętrze deltoidu połowy N czworokącie moż opisć okrąg, gdy sum przeciwległych kątów wyosi W czworokąt moż wpisć okrąg, gdy sum przeciwległych boków jest tk sm

11 116. N wielokącie moż opisć okrąg wtedy, gdy symetrle wszystkich boków tego wielokąt przetą się w jedym pukcie W wielokąt moż wpisć okrąg, gdy dwusiecze wszystkich kątów tego wielokąt przeciją się w jedym pukcie Okrąg jest opisy wielokącie, jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą tym okręgu Okrąg jest wpisy w wielokąt, gdy kżdy bok wielokąt jest styczy do okręgu Wielokąt foremy m wszystkie boki rówej długości i kąty rówej miry Wzór mirę kąt wewętrzego w - kącie foremym: ilość kątów w wielokącie foremym 122. Okrąg o środku O i promieiu r to zbiór puktów płszczyzy, których odległość od puktu O jest rów r Koło o środku O i promieiu r to zbiór puktów płszczyzy, których odległość od puktu O jest miejsz lub rów r Promień okręgu o środku O to odciek łączący pukt O z dowolym puktem okręgu Cięciw okręgu to odciek łączący dw dowole pukty okręgu Średic okręgu to jdłuższ cięciw.(przechodzi przez środek okręgu) Łuk okręgu to część okręgu ogriczo dwom puktmi jest to stosuek długości okręgu do jego średicy. Jest to liczb iewymier, wyosząc w przybliżeiu 3, Wzór pole koł to 2 P r r promień koł 130. Wzór obwód koł: Ob 2r,r- promień koł A Wzór pole wycik koł: Pw r, r- promień koł, - kąt środkowy O B 132. Wzór pole odcik koł to: P odc = P w - P trójkąt ABO P w - pole wycik koł 133. Wzór długość łuku to: Ł r Ł- łuk, - kąt środkowy, r- promień okręgu

12 134. Stycz do okręgu jest to prost mjąc z tym okręgiem dokłdie jede pukt wspóly. Pukt te zywmy puktem styczości. Włsości styczej do okręgu : stycz do okręgu jest prostopdł do promiei okręgu poprowdzoego do puktu styczości Siecz okręgu jest to prost przecijąc okrąg w dwóch puktch Dw okręgi względem siebie mogą być położoe w stępujący sposób: Mogą ie mieć puktów wspólych i jede okrąg leży zewątrz drugiego. d > r 1 + r 2 r 1, r 2 promieie okręgów r 1 > r 2, d-odległość środków okręgów Okręgi stycze zewętrzie mją ze sobą jede pukt wspóly. d = r 1 + r 2 r 1, r 2 promieie okręgów r 1 > r 2 d-odległość środków okręgów Okręgi przecijące się, mją ze sobą dw pukty wspóle. r 1 - r 2 < d < r 1 + r 2 r 1, r 2 promieie okręgów r 1 > r 2, d-odległość środków okręgów Okręgi stycze wewętrzie mją ze sobą jede pukt wspóly. d = r 1 - r 2 r 1, r 2 promieie okręgówr 1 > r 2, d-odległość środków okręgów Okrąg miejszy leży wewątrz okręgu większego i ie mją ze sobą puktów wspólych. 0 < d < r 1 - r 2 r 1, r 2 promieie okręgów r 1 > r 2, d-odległość środków okręgów Okręgi współśrodkowe. Okrąg miejszy leży wewątrz okręgu większego i mją wspóly środek. d = 0 d-odległość środków okręgów 137. Dwie figury zywmy przystjącymi (rówymi), jeżeli dją się siebie łożyć. Oz. przystwi 138. Dwie figury zywmy podobymi, jeżeli mją te sm ksztłt, różią się co jwyżej wielkością. Oz. podobieństw 139. Włsości figur podobych: odpowiedie odciki są do siebie proporcjole odpowiedie kąty mją rówe miry 140. Stosuek obwodów figur podobych jest rówy skli podobieństw Stosuek pól figur podobych jest rówy kwdrtowi skli podobieństw Dw prostokąty są podobe, jeżeli: stosuek długości dwóch prostopdłych boków jedego prostokąt jest rówy stosukowi długości odpowiedich boków drugiego prostokąt. Kąt zwrty między przekątą i bokiem w jedym prostokącie jest rówy odpowiediemu kątowi zwrtemu między przekątą i bokiem w drugim prostokącie

13 Stosuek długości boku do długości przekątej jedego prostokąt jest rówy stosukowi długości odpowiediego boku do długości przekątej drugiego prostokąt Dw trójkąty prostokąte są podobe, jeśli: stosuek długości przyprostokątych jedego trójkąt jest rówy stosukowi długości odpowiedich przyprostokątych drugiego trójkąt. jede z kątów ostrych w jedym trójkącie m tką smą mirę, jk jede z kątów ostrych w drugim trójkącie. stosuek długości przyprostokątej do długości przeciwprostokątej jedego trójkąt jest rówy stosukowi odpowiediej przyprostokątej do długości przeciwprostokątej drugiego trójkąt Cechy podobieństw trójkątów: Jeżeli trzy boki jedego trójkąt są proporcjole do odpowiedich trzech boków drugiego trójkąt, to te trójkąty są podobe.(bbb) Jeżeli dw kąty jedego trójkąt są przystjące do odpowiedich dwóch kątów drugiego trójkąt, to te trójkąty są podobe (kkk) Jeżeli dw boki jedego trójkąt są proporcjole do odpowiedich dwóch boków drugiego trójkąt i kąty zwrte między imi są przystjące, to te trójkąty są podobe (bkb) 145. Kąty ze względu miry dzielimy : Wypukłe: Zerowe Ostre Proste Rozwrte Półpełe Pełe wklęsłe 146. Kąty wklęsłe są to kąty, które mją mirę większą od miejszą iż Kąty wypukłe są to kąty, które mją mirę większą lub rówą 0 i miejszą lub rówą 180 orz Kąty ostre mją mirę większą od 0 i miejszą od Kąty rozwrte mją mirę większą od 90 i miejszą od Kąty proste mją mirę Kąty półpełe mją mirę Kąty pełe mją mirę Kąty przyległe jest to pr kątów płskich, które mją jedo rmię wspóle, dw ich pozostłe rmio tworzą prostą. Sum ich mir rów się

14 154. Kąty wierzchołkowe jest to pr kątów płskich o rówych mirch, spełijących wruek, że rmio jedego z ich są półprostymi dopełijącymi dl rmio drugiego 155. Kąty 1 i 6, 2 i 5, 4 i 8 orz 3 i 7 są kątmi przemiległymi. Pry tych kątów mją jedkowe miry II b b Kąty 2 i 8, 1 i 7, 4 i 5 orz 3 i 6 są kątmi odpowidjącymi. Pry tych kątów mją jedkowe miry Dwusiecz kąt jest to półprost wychodząc z wierzchołk kąt dzieląc kąt połowy. Włsości dwusieczej: Kżdy pukt leżący dwusieczej kąt jest rówoodległy od rmio kąt. Jeżeli pukt jest rówoodległy od rmio kąt, to leży do dwusieczej kąt Kąt środkowy jest to kąt którego wierzchołkiem jest środek koł, rmio zwierją promieie. Może mieć mirę od 0 0 do Kąt wpisy w okrąg jest to kąt utworzoy przez dwie cięciwy wychodzące z jedego puktu okręgu. Może mieć mirę od 0 0 do Twierdzei dotyczące kątów środkowych i wpisych: Jeżeli kąt środkowy i wpisy oprte są tym smym łuku, to kąt środkowy jest dw rzy większy od wpisego. Jeżeli kąty wpise oprte są tym smym łuku, to mją rówe miry. Kąt wpisy oprty średicy jest kątem prostym Twierdzeie Tles O odcikch rmioch kąt: Jeżeli rmio kąt przetiemy kilkom prostymi rówoległymi to odciki powstłe jedym rmieiu kąt są proporcjole do odpowiedich odcików powstłych drugim rmieiu kąt. O odcikch prostych rówoległych: Jeżeli rmio kąt przetiemy kilkom prostymi rówoległymi to odciki powstłe prostych rówoległych są proporcjole do tych

15 odcików z kżdego rmiei, których początkiem jest wierzchołek kąt Twierdzeie odwrote do tw. Tles: Jeżeli odciki wyzczoe przez proste jedym rmieiu kąt, są proporcjole do odpowiedich odcików wyzczoych przez te proste drugim rmieiu kąt, to proste s rówolegle Procet jest to jed set część cłości. Oz.% Aby zmieić procety liczbę leży liczbę procetów podzielić przez 100, czyli pomożyć przez 0, Aby zmieić liczbę procety leży pomożyć dą liczbę przez 100 i dopisć zk % Aby obliczyć procet z liczby leży pomożyć dą liczbę przez te procet A by obliczyć liczbę mjąc dy jej procet leży ułożyć rówie: liczbę procet pomożyć przez x, co się rów dej liczbie (lub podzielić dą liczbę przez te procet) 167. Aby obliczyć, jkim procetem jedej liczby jest drug, leży podzielić drugą liczbę przez pierwszą i pomożyć przez 100% Promil jest to jed tysięcz część cłości. Oz. o / oo 169. Prostokąty ukłd współrzędych płszczyźie są to dwie wzjemie prostopdłe osie liczbowe, mjące wspóly pukt zerowy zwy początkiem ukłdu współrzędych. Ukłd dzieli płszczyzę 4 części zwe ćwirtkmi. Numerujemy je przeciwie do ruchu wskzówek zegr, zczyjąc od prwej górej Oś poziom ukłdu współrzędych zyw się osią x-ów lub osią odciętych Oś pioow ukłdu współrzędych zyw się osią y-ów lub osią rzędych Pukty leżące w I ćwirtce ukłdu współrzędych mją współrzęde: x>0, y> Pukty leżące w II ćwirtce ukłdu współrzędych mją współrzęde: x<0, y> Pukty leżące w III ćwirtce ukłdu współrzędych mją współrzęde: x<0, y< Pukty leżące w IV ćwirtce ukłdu współrzędych mją współrzęde: x>0, y< Fukcją ze zbioru X w zbiór Y zywmy tkie przyporządkowie, które kżdemu elemetowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokłdie jede elemet y ze zbioru Y. X-dziedzi fukcji, x- rgumet fukcji, Y- przeciwdziedzi fukcji, y- wrtość fukcji Sposoby opisywi fukcji: słowy, tbelk, grf, wykres, wzór

16 178. Ogóly wzór fukcji liiowej to y= x+b, xr. jest to współczyik kierukowy Mówi czy fukcj jest rosąc (>0), mlejąc (<0), czy stł (=0). b jest to wyrz woly. Mówi o pukcie przecięci wykresu z osią OY (0,b) Włsości fukcji to: - dziedzi, - zbiór wrtości fukcji, - miejsce zerowe, - dl jkich rgumetów wrtości fukcji są dodtie dl jkich ujeme - mootoiczość fukcji Miejsce zerowe fukcji jest to tk wrtość rgumetu x, dl którego wrtość fukcji y wyosi zero Fukcj liiow może mieć: - jedo miejsce zerowe, 0 - ieskończeie wiele miejsc zerowych, =0, b=0 - brk miejsc zerowych, =0, b Fukcję zywmy rosącą, jeśli wrz ze wzrostem rgumetów rosą wrtości fukcji Fukcję zywmy mlejącą, jeśli wrz ze wzrostem rgumetów mleją wrtości fukcji Fukcję zywmy stłą, jeśli dl kżdego rgumetu przyjmuje tę smą wrtość Wykresy fukcji liiowych są prostymi rówoległymi, jeśli mją te sm współczyik kierukowy Wykresy fukcji liiowych są prostymi prostopdłymi, jeśli iloczy współczyików kierukowych jest rówy Pukt leży do wykresu fukcji, jeśli jego współrzęde spełiją rówie fukcji Zsdy rozwiązywi rówń: Obie stroy moż przeksztłcić tożsmościowo ( p. opuścić wisy, pozbyć się kreski ułmkowej, zredukowć wyrzy podobe), Do obu stro rówi moż dodć lub odjąć to smo wyrżeie (przeoszeie wyrzów z jedej stroy drugą stroę rów). obie stroy rówi możemy podzielić lub pomożyć przez tę smą liczbę różą od zer Rówie I stopi z jedą iewidomą może:

17 mieć ieskończeie wiele rozwiązń ( tożsmościowe ), ie mieć rozwiązi ( sprzecze ), mieć jedo rozwiązie Pierwistkiem rówi zywmy kżdą liczbę, któr spełi to rówie Rówie jest sprzecze wtedy, gdy ie m rozwiązi (x ) Rówie jest tożsmościowe wtedy, gdy m ieskończeie wiele rozwiązń Nierówości rozwiązujemy tk jk rówi, le jeśli dzielimy obie stroy przez liczbę ujemą to zmieimy zk ierówości przeciwy Rozwiąziem rówi I stopi z dwiem iewidomymi w zbiorze liczb rzeczywistych jest ieskończeie wiele pr liczb Ilustrcją grficzą rówi I stopi z dwiem iewidomymi w zbiorze liczb rzeczywistych jest prost Ukłdy rówń I stopi z dwiem iewidomymi ze względu ilość rozwiązń dzielimy : - ozczoe ( ukłd rówń iezleżych) jedo rozwiązie, pr liczb (x,y) - ieozczoe ( ukłd rówń zleżych) ieskończeie wiele rozwiązń - sprzecze ( ukłd rówń sprzeczych) brk rozwiązń Ilustrcją grficzą ozczoego ukłdu rówń są dwie proste przecijące się w jedym pukcie, którego współrzęde są rozwiąziem dego ukłdu rówń Ilustrcją grficzą ieozczoego ukłdu rówń są dwie proste pokrywjące się Ilustrcją grficzą sprzeczego ukłdu rówń są dwie proste rówoległe, ie pokrywjące się Gristosłup prosty jest to brył (figur przestrze), któr m dwie podstwy będące dowolymi wielokątmi przystjącymi, ściy bocze są prostokątmi Gristosłup prosty zywmy prwidłowym, kiedy jego podstw jest wielokątem foremym Wzór pole powierzchi cłkowitej gristosłup: P c =2P p + P b, P p pole podstwy, P b pole powierzchi boczej Objętość gristosłup oblicz się możąc pole podstwy przez wysokość tego gristosłup Prostopdłości jest to gristosłup prosty o podstwie prostokąt. Wzór pole powierzchi: P=2b+2c+2bc,

18 Wzór objętość: V= bc,,b,c krwędzie wychodzące z jedego wierzchołk 205. Sześci jest to gristosłup, którego wszystkie ściy są kwdrtmi. Wzór pole powierzchi sześciu: P=6 2 Wzór objętość sześciu: V= 3, Wzór przekątą w sześciie: 3. krwędź sześciu Ostrosłup to figur przestrze, któr m jedą podstwę będącą dowolym wielokątem, ściy bocze są trójkątmi schodzącymi się w jedym pukcie zwym wierzchołkiem ostrosłup Ostrosłup prosty zywmy prwidłowym, kiedy w podstwie m wielokąt foremy, krwędzie bocze mją rówe długości Pole powierzchi cłkowitej ostrosłup rówe jest sumie pol podstwy i pól ści boczych. P c =P p + P b, P p pole podstwy, P b pole powierzchi boczej Wzór objętość ostrosłup: 1 V Pp H, H wysokość ostrosłup, P p pole podstwy Czworości foremy jest to ostrosłup którego wszystkie ściy są przystjącymi trójkątmi rówoboczymi Wlec jest to brył obrotow powstł w wyiku obrotu prostokąt wokół prostej zwierjącej jede z jego boków (o kąt 360) Wzór pole powierzchi cłkowitej wlc: P c =2r 2 +2rH, Wzór objętość wlc: V=r 2 H, r- promień podstwy, H wysokość wlc Stożek to brył obrotow powstł w wyiku obrotu trójkąt prostokątego wokół prostej zwierjącej jedą z przyprostokątych (o kąt 360 ) Tworząc stożk to przeciwprostokąt trójkąt prostokątego, w wyiku obrotu którego powstje stożek Wzór pole powierzchi cłkowitej stożk: P c =r 2 + rl Wzór objętość stożk: V= 3 1 r 2 H r- długość promiei podstwy, l tworząc stożk, H wysokość stożk 216. Kul jest to brył obrotow powstł w wyiku obrotu półkol wokół prostej zwierjącej jego średicę (o kąt 360)

19 217. Wzór pole powierzchi cłkowitej kuli: P=4r 2 Wzór objętość kuli: V= 3 4 r 3, r długość promiei kuli 218. Pukty P i P są symetrycze względem prostej, gdy: pukty P i P leżą po przeciwych stroch prostej prostej prostopdłej do tej prostej w jedkowych odległościch od tej prostej Pukty P i P są symetrycze względem puktu S wtedy, gdy: Pukt P leży prostej poprowdzoej przez pukty P i S Odciki PS i SP są jedkowej długości 220. Figur jest osiowosymetrycz wtedy, gdy jest symetrycz sm do siebie względem pewej prostej - zwej osią symetrii. Figury osiowosymetrycze to p: prostokąt (2 osie), kwdrt (4 osie), okrąg (ieskończeie wiele osi) 221. Figur jest środkowosymetrycz wtedy, gdy jest symetrycz sm do siebie względem pewego puktu, zwego środkiem symetrii. Figury środkowosymetrycze to p: romb, prostokąt, rówoległobok, odciek Figur, któr jest osiowosymetrycz, ie jest środkowosymetrycz to p. trpez rówormiey, trójkąt rówormiey, trójkąt rówoboczy. Figur, któr jest środkowosymetrycz, ie jest osiowosymetrycz to p rówoległobok Figury posidjące: - 1 oś symetrii to p.: deltoidy, trpezy rówormiee, trójkąty rówormiee. - 2 osie symetrii to p.: prostokąty, odciki, romby ie będące kwdrtmi. - 3 osie symetrii to p.: trójkąty rówobocze. - 4 osie symetrii to p.: kwdrty - ieskończei wiele osi symetrii to p.: koł i okręgi, proste - osi symetrii ie mją p.: trójkąty różobocze 224. Pukty symetrycze względem osi OY mją odcięte będące liczbmi przeciwymi, tomist rzęde są tkie sme. Pukty symetrycze względem osi OX mją odcięte tkie sme, tomist rzęde są liczbmi przeciwymi Pukty symetrycze względem początku ukłdu współrzędych mją rzęde i odcięte będące liczbmi przeciwymi Nsz system zpisywi liczb zyw się dziesiątkowym i pozycyjym. Dziesiątkowy bo 10 jedostek rzędu iższego tworzy jedą jedostkę rzędu

20 bezpośredio wyższego. Pozycyjy bo wrtość cyfry zleży od pozycji, czyli miejsc, które t cyfr zjmuje Rzymiie do zpisywi liczb używli stępujących zków: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Przy zpisie liczb obowiązywły stępujące zsdy: Gdy zki występują w kolejości mlejącej, to dodjemy ich wrtości Gdy zk miejszy poprzedz większy, to odejmujemy ich wrtości Obok siebie ie mogą występowć dw zki: V, L, D. Mogą występowć kolejo co jwyżej trzy zki: I, X, C, M Zk I występuje tylko przed V i X Zk X występuje tylko przed L i C Zk C występuje tylko przed D i M Wrtość liczby zpisej zkmi rzymskimi moż zwiększyć: Stukrotie zpisując zk liczby w kreskch pioowych Tysiąckrotie podkreśljąc ją u góry