PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESR V Człowiek- nalepsza inwestyca Proekt współfinansowany przez Unię Europeską w ramach Europeskiego Funduszu Społecznego
Wykład II Wprowadzenie Podstawy teoretyczne przetwarzania sygnałów
Szereg Fouriera i przekształcenie Fouriera Jean Baptiste Joseph Fourier.3.768 6.5.83 8 stwierdził, że pewne funkce można przedstawić w postaci nieskończone sumy harmonicznych teoria transmisi ciepła, teoria drgań, efekt szklarniowy, prace nad liczbą rozwiązań równań algebraicznych sekretarz Akademii Francuskie, członek Królewskie Szwedzkie Akademii Nauk
rygonometryczny szereg Fouriera ft okresowa, okres, spełnia warunki Dirichleta; rozwinięcie ft w szereg trygonometryczny Fouriera: n f t a [ a cos n t b sin n t] n n =/, n=,,,... współczynniki rozwinięcia: a / f t / dt / a cos n f t n t dt bn / / / f tsin n t dt
Wykładniczy szereg Fouriera rozwinięcie ft w szereg wykładniczy Fouriera: n t Fn exp n n f t współczynniki rozwinięcia F n F n e arg F n F n / f / t exp n t d { F n } - widmo amplitudowe, {argf n } widmo fazowe { F n } - widmo mocy sygnału ft Związek między współczynnikami rozwinięcia w szereg wykładniczy i w szereg trygonometryczny dla n>=: F n a n b n F n a n b n
Przykłady rozwinięć w SF I A rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: =/ F n / / A / rect texp n t dt Aexp nt dt exp nt / n / / F n A n exp n t / / A [exp n / exp n / ] n A [cos n / n sin n / cos n / sin n / ]
Przykłady rozwinięć w SF I B rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: =/ F n A [cos n / n sin n / cos n / sin n / ] A n sin n / A sin n / n / A sin n / n / A n sin c F n A n sin n / A sin n / n F n A n sin c
Przykłady rozwinięć w SF I C rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: F n A n sin c =/ przebiegi współczynników rozwinięcia dla różnych wartości i ustalone wartości.
Przykłady rozwinięć w SF I D rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia /: =/ współczynniki rozwinięcia: F n A n sin c rozwinięcie funkci rect t : rect A n t Fn exp n t sin c exp n n n t
Przykłady rozwinięć w SF II A Dla wypełnienia 5% i symetrii przebiegu względem obu osi znika składowa stała, a współczynniki są rzeczywiste. Współczynniki: Rozwinięcie w szereg Fouriera: 4A a n sin n / n rect 4 A t an exp n t [cos t cos3 t cos5 t n 3 5...] Analizowany przebieg prostokątny est sumą nieparzystych harmonicznych funkci cos t z maleącymi amplitudami, nie zawiera składowe stałe średnie.
Przykłady rozwinięć w SF II B 4A a n sin n / n Sygnał moduły współczynników rozwinięcia 4A rect t [cos t cos3 t cos5 t 3 5...] Analizowany przebieg - suma nieparzystych harmonicznych z maleącymi amplitudami, nie zawiera składowe stałe średnie.
Przykłady rozwinięć w SF II C 4A rect t [cos t cos3 t cos5 t 3 5...] Przebieg prostokątny aproksymowany sumą edne, dwóch, trzech i czterech harmonicznych.
Przykłady rozwinięć w SF III Ciąg t: k t t k współczynniki rozwinięcia: F n / / / / k t kexp n t dt texp nt dt =/ rozwinięcie ciągu t: : t Fn exp n t exp n t exp n n n n t
Przekształcenie Fouriera Proste i odwrotne przekształcenia Fouriera funkci ft F=F{ft} ftf F f texp t dt f t F exp t d istnieą gdy ft est bezwzględnie całkowalna Zapis Fω argfω - widmo gęstości amplitudy - widmo fazowe F F e arg F
Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera I
Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera II ransformata pochodne ft ft F f t F, f n t n F Przesunięcie w czasie ft F ft-t exp-t F
Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera III ransformata splotu funkci f tf, f tf est iloczynem transformat splatanych funkci!!! F{ f t* f t} F F
Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera IV ransformata iloczynu funkci f tf, f tf est splotem transformat mnożonych funkci!!!!!! F{ f t f t} F * F
Przykłady transformat Fouriera I Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F f texp t dt rect exp t dt F rect exp t dt / / Aexp t dt A exp t / / F A exp t A [exp / exp / / / ]
Przykłady transformat Fouriera II Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: / sin ] / sin / cos / sin / [cos ] / exp / [exp A A A F sin sin / sin c A A A F
Przykłady transformat Fouriera III Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c F est funkcą rzeczywistą parzystą część uroona est zerowa. Wykres F
Przykłady transformat Fouriera IV Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c Położenia zer części rzeczywiste i modułu F ω=±kπ/ k> Szerokość listka głównego 4π/ mierzona ako odległość między zerami modułu F Położenia ekstremów listków bocznych ω m = ±3π/±mπ/ m=,... Szerokość listków bocznych π/
Przykłady transformat Fouriera V Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c Wartość maksymalna listka głównego A Wartość maksymalna modułu pierwszego listka bocznego - A/3π Asinc3π/; Stosunek maks. wartości modułów listka pierwszego i głównego /3π=.
Przykłady transformat Fouriera VI Znormalizowany moduł F sygnału prostokątnego rect o czasie trwania : F sin c A linia ciągła czas trwania sygnału ; linia przerywana czas trwania /. Maksymalna wartość listka głównego modułu F dla czasu trwania ; dla czasu trwania / / Maksymalna wartość modułu pierwszego listka bocznego po normalizaci /3π Stosunek maks. wartości modułów listka pierwszego i głównego /3π=.
Przykłady transformat Fouriera VII Dystrybuca delta Diraca: Właściwość dystrybuci: f t t t t f f t t f ransformata dystrybuci: F{ t} texp t dt
Przykłady transformat Fouriera VIII Funkca stała F nie istniee w myśl definici funkca nie est bezwględnie całkowalna. Można wyznaczyć wartość główną F przy ->+: F lim lim / / exp t dt lim sin c sin c Definica delty Diraca: k t lim k sinc kt
Przykłady transformat Fouriera IX Funkca stała Właściwość symetrii F!!!!! ft F Ft f- Skoro F delty Diraca est funkcą stałą: F{ t} texp t dt Na mocy właściwości symetrii F transformata funkci stałe ma postać delty Diraca: F
Przykłady transformat Fouriera X Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / / / / / ] exp [exp ]exp exp [exp exp cos dt t t dt t t t dt t t / / exp cos ]exp / / [ cos exp dt t t dt t t t t dt t t f F
Przykłady transformat Fouriera XI Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / ] exp [exp dt t t / / / / / / exp exp ] exp [exp t t dt t t
Przykłady transformat Fouriera XII Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / exp t / exp t / Analogia do obliczania F okna prostokątnego: F A exp t A [exp / exp / / / ] A [exp / exp / ] A [cos / sin / cos / sin / ] A sin / zostae zastąpione przez - bądź +
Przykłady transformat Fouriera XIII Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie ] sin [sin exp exp / / / / c c t t / sin A Analogia do obliczania F okna prostokątnego: zostae zastąpione przez - bądź +
Przykłady transformat Fouriera XIV Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie F [sin c sin c ] Moduł F paczki funkci cosinus o czasie twania, oś Y znormalizowana do /. Położenia ekstremów, zer, wartości maksymalne listka głównego i listków bocznych określamy podobnie ak w przypadku F okna prostokątnego.
Przykłady transformat Fouriera XV Sygnał cosinusoidalny F nie istniee w sensie definici, ponieważ funkca cosinus nie est bezwzględnie całkowalna. Można wyznaczyć wartość główną F paczki fali cos przy ->+. / F cos texp t dt [sin c sin c ] / Definica delty Diraca: k t lim k sinc kt F{cos t} lim [ sin c sin c ] [ ]
Przykłady transformat Fouriera XVI Sygnał sinusoidalny F nie istniee w sensie definici. Można wyznaczyć wartość główną F paczki fali sin przy ->+. F paczki fali sin: F{sin t } [ sin c sin c ] F{sin t} [ ] na rysunku Fω!!
Przykłady transformat Fouriera XVII Zespolony sygnał wykładniczy exp t cos t sin t Sygnał cosinusoidalny F{cos t} [ ] Sygnał sinusoidalny na rys. F{sinω o t} F{sin t} [ ] F{exp t} F{cos t} F{sin t} Jest to tzw. sygnał analityczny posiada niezerowe wartości F tylko po edne stronie początku układu.
Przykłady transformat Fouriera XVIII F dowolne funkci okresowe nie istniee w sensie definici Można taką funkcę rozwinąć w SF: t Fn exp n n f t a następnie przeprowadzić F rozwinięcia - ponieważ znamy F zespolone funkci wykładnicze!!! F n n n F
Przykłady transformat Fouriera XIX F dowolne funkci okresowe nie istniee w sensie definici Można taką funkcę rozwinąć w SF, potem przeprowadzić F rozwinięcia Ciąg dystrybuci Diraca posiada następuące rozwinięcie w SF: t t Fn exp n t exp n n n wobec tego ego F est równa: F { t} n n n n
Przykłady transformat Fouriera XX Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób I Współczynniki rozwinięcia w SF Wyznaczamy rozwinięcie w SF sygnału prostokątnego, a następnie F rozwinięcia: F n A n sin c / exp n t dt / F{ rect t} F{ n F n exp n t} A A n n n sin c n n sin c n
Przykłady transformat Fouriera XXI Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób II okresowy sygnał prostokątny est wynikiem splotu okresowego ciągu delt Diraca o okresie i okna prostokątnego o amplitudzie A i czasie trwania rect t rect t* t rect t* t k k k rect t k F splotu funkci est iloczynem F! F{ f t* f t} F F F obu splatanych funkci znamy!!! F { t} n n F A sin c
Przykłady transformat Fouriera XXII Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób II okresowy sygnał prostokątny est wynikiem splotu okresowego ciągu delt Diraca o okresie i okna prostokątnego o amplitudzie A i czasie trwania F { t} n n F A sin c F{ rect t} F{ t} F{ rect } [ n n ] A sin c A A n n n sin c n n sin c n
ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości Sygnał rzeczywisty parzysty - F rzeczywista, parzysta przykład cos t, rectt Sygnał rzeczywisty nieparzysty przykład sin t, - F uroona, nieparzysta Sygnał uroony parzysty przykład cos t - F uroona, parzysta Sygnał uroony nieparzysty przykład sin t - F rzeczywista, nieparzysta
ransformata Fouriera Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, >> k t t k F { t} n n F{cos t} [ ] F iloczynu funkci est splotem transformat! Należy wyznaczyć splot F funkci cosinusoidalne i F ciągu delt Diraca!!! F{cos t t} F{cos t}* F{ t}
ransformata Fouriera Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, > Splot transformat funkci cosinusoidalne i ciągu delt Diraca: {cos } {[ ]}*[ F t t n] n F {cos t t} n n
F tw. o próbkowaniu I Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, > ransformata iloczynu funkci cosinusoidalne i ciągu delt Diraca: F {cos t t} n n ransformata iloczynu dowolne funkci i ciągu delt Diraca: F { f t t} F * F{ t} F n n
F tw. o próbkowaniu II F { f t t} F n n Widmo sygnału spróbkowanego est okresowe z okresem równym częstotliwości pulsaci próbkowania!! Jak wynika z rysunku obok, aby kolene repliki widm nie nałożyły się na siebie, należy spełnić warunek: f >=f max ω >=ω max!!!!!! Jest to tzw. twierdzenie o próbkowaniu tw. Shannona, warunek Nyquista, które wymaga, by sygnał był próbkowany z częstotliwością/pulsacą conamnie równą podwoone wartości maksymalne częstotliwości/pulsaci widma sygnału. W praktyce warunek ten musi być spełniony z nadmiarem. Jest to twierdzenie o fundamentalnym znaczeniu dla cyfrowego przetwarzania sygnałów. Jego niespełnienie skutkue niemożnością odtworzenia sygnału ciągłego na podstawie ego próbek.
F tw. o próbkowaniu III F { f t t} F n n wierdzenie o próbkowaniu wymaga, by sygnał był próbkowany z częstotliwością/ pulsacą conamnie równą podwoone wartości maksymalne częstotliwości/ pulsaci widma sygnału. f >=f max ω >=ω max Niespełnienie tego warunku skutkue nakładaniem się widm tzw. aliasing patrz obszary w czerwonych elipsach obok i niemożnością odtworzenia sygnału czasu ciągłego na podstawie ego próbek.
Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy
Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy I Sygnały o skończonym czasie trwania i skończone energii w skończonym przedziale czasu sygnały nieokresowe, bezwzględna całkowalność, moc średnia równa zero, energia sygnału E określona est przez zależność tw. Parsevala : E = f tdt= - - F d Zastosowanie przekształcenia Fouriera Fω - widmowa gęstość energii Ω
Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy II Sygnały okresowe Rozwinięcie w szereg Fouriera - okres sygnału F n = / -/ ft exp -ntdt F n - widmo amplitudy F n - widmo mocy moc sygnału P tw. Parsevala energia tracona w ednostce czasu w oporności Ω związki z elektrotechniką P = / -/ f tdt Fn
Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy III Sygnały o nieskończonym czasie trwania i nieskończone energii w nieskończonym przedziale czasu Sygnały o nieskończonym czasie trwania np. okresowe - energia nieskończona w nieskończonym przedziale, F z definici nie istniee funkca nie est bezwzględnie całkowalna, można określić moc średnią P uśrednienie za czas obserwaci : P lim / / f t dt = lim - F d d - Φω - widmowa gęstość mocy: w praktyce - ze względu na ograniczoną długość rekordu danych = lim F = F