Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW)
|
|
- Stanisław Grzelak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział: Elektryczny, Kierunek: Informatyka Projekt zaliczeniowy Przedmiot: Systemy akwizycji i przesyłania informacji Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW) Opracowanie: Grzegorz Hołub Mieczysław Kory Wiesław Kuszaj ZUMFL Rzeszów 2002
2 Przetwarzanie Sygnału Cyfrowego Ten rozdział opisuje podstawowe zasady Szybkiej Transformacji Fouriera i Przerywanej Transformacji Fouriera, oraz jak są one używane w widmowej analizie. Odnosi się do przykładów w examples\analysis\dspxmpl.lib, do przykładów użycia sygnału cyfrowego przetwarzającwego VIs, dostępnych w Functions>>Analyze>>Signal Processing>>Frequency Domain. Szybka Transformacja Fouriera (FFT) Próbki sygnału otrzymane od urządzenia DAQ tworzą reprezentacje sygnału w przedziale czasu. Ta reprezentacja daje amplitudę sygnału w czasie podczas którego próbki były brane. Jakkolwiek w wielu przypadkach chcemy znać raczej częstotliwość sygnału niż amplitudę poszczególnych próbek. Reprezentacja sygnału w warunkach jego indywidualnej częstotliwości jest znana jako reprezentacja przedziału częstotliwości sygnału. Ta reprezentacja może dawać więcej wiadomości o sygnale i systemie skąd została wygenerowana. Algorytm zwykł przekształcać próbki danych z przedziału czasu do przedziału częstotliwości jest znany jako Przerywana Transformacja Fouriera (DFT). DFT ustala stosunek pomiędzy próbkami sygnału w przedziale czasu i jego reprezentację w przedziale częstotliwości. DFT jest szeroko stosowany w polach analizy widmowej, mechanice stosowanej, akustyce, medycynie, analizie liczbowej i telekomunikacji. Rys. 2-1 Szybka Transformacja Fouriera (FFT) 2
3 Na przykład, mamy N próbek sygnału od urządzenia DAQ. Jeżeli stosuje się DFT do N próbek reprezentacji sygnału w przedziale czasu, wynik też jest długości N, ale informacja ta zawiera reprezentacje przedziału częstotliwości. Stosunek między N próbkami w przedziale czasu a N próbkami w przedziale częstotliwości jest przedstawiony poniżej. Jeżeli sygnał jest próbkowany w stosunku f s Hz, wtedy czas odstępu między próbkami jest t, gdzie 1 t = Próbka sygnału oznaczona jest przez x[i], 0<=i<=N-1 (jeżeli mamy N próbek). Kiedy DFT dany jako dla: X k = N 1 i= 0 x e i f s j2πik / N k = 0,1,2,..., N 1 jest stosowany do N próbek, wynik (x[k], 0<=k<=n-1) jest reprezentacją przedziału częstotliwości dla x[i]. Zauważmy, że oba przedziały czasu x i częstotliwości x mają w sumie N próbek. Analogicznie do odstępów czasy od t pomiędzy próbkami x w przdziale czasu, mamy częstotliwość odstępów f= N f s = pomiędzy składnikami x w przedziale częstotliwości. f znana jest jako rozkład częstotliwości. Powiększenie rozkładów częstotliwości (mniejsze f) musi powiększyć ilość próbek N (z f s stałym) lub zmniejszyć częstotliwość próbek (ze stałym N). W następującym przykładzie przejdziemy przez matematyczna równania obliczając DFT dla sygnały D.C. Przykład obliczeń DFT W tej sekcji zobaczymy ścisłe częstotliwości z którymi N próbki DFT się zgadzają. Na wstępie, przyjmijmy że x[0] odpowiada D.C., albo średniej wartości sygnału. Żeby zobaczyć wynik obliczeń kształtu fali DFT z użyciem Równania 2-1, rozważmy sygnał D.C. mający stałą amplitudę +1V. Cztery próbki tego sygnału są pobrane, jak na rys N t 3
4 Rys Próbki DFT Każda z próbek ma wartość +1, dając sekwencję czasu x[0]=x[1]=x[3]=x[4]=1 Używamy Równania 2-1 do obliczeń sekwencji DFT i robimy użytek z identyczności Euler`a mamy N [0] = X π X[1] = x[0] + x[1] cos 2 x[3](cos(3π ) 3π X[3] = x[0] + x[1] cos 2 9π x[3] cos 2 1 i= 0 x e i j2πi0 / N exp(-i0)=cos(0)-jsin(0) = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] = 4 3π 3π x[3] cos j sin = (1 j 1 + j) = X[2] = x[0] + x[1](cos( π ) j sin( π )) + x[2](cos(2π ) j sin(3π )) = = 0 9π j sin = 1 2 π j sin + x[2](cos( π ) 2 3π j sin + x[2]( sos(3π ) 2 j 1 j = 0 j sin( π )) + j sin(2π )) + j sin(3π )) Dlatego poza składnikami DC, x[0], wszystkie inne wartości są zerowe jak tego oczekiwano. Jakkolwiek, obliczenie wartości x[0] zależy od wartości N (ilości próbek). Ponieważ mieliśmy N=4, x[0]=4. Gdyby N=10, wtedy obliczano by x[0]=10. Ta zależność x[ ] od N zdarza się również dla innych składników częstotliwości. Zwykle dzieli się wyjście DFT przez N, tak by otrzymać poprawną wielkość składnika częstotliwości. 4
5 Informacja o Wielkości i Fazie Zobaczyliśmy, że N próbek sygnału wejściowego kończy się N próbkami DFT. To jest, liczba próbek w obu przypadkach, czasie i częstotliwości reprezentowana jest tak samo. Z Równania 2-1 wynika że sygnał wejściowy x[i] jest prawdziwy lub złożony, x[k] zawsze złożony (chociaż urojona część może być zerowa). Ponieważ DFT jest złożone, to zawiera dwie części informacji - amplitudę i fazę. Wynika z tego, że dla sygnałów prawdziwych (x[i] real) tak jak i te otrzymane na wyjściu z jednego urządzenia DAQ, DFT jest symetryczne z następującymi własnościami: oraz X[k] = X[N-k] phase (X[k])=-phase (X[N-k}) Warunki które zwykle opisują tą symetrie są takie że wielkość bezwzględna X[k] jest symetryczna. Pojęcia te są symetryczne i faza (X[k]) jest nieparzysta wobec symetrycznych. Nawet jeden równy symetryczny sygnał, jest symetryczny względem osi y, podczas gdy nieparzysty symetryczny sygnał jest symetryczny względem początkowego. Są to następujące figury: Rys Symetria sygnału względem osi y Skutek tej symetrii jest taki, że tam jest powtarzanie informacji zawartej w N próbkach DFT. Z powodu tego powtarzania informacji, tylko co pół próbki z DFT co powoduje że wynik musi być obliczany i wyświetlony, oraz jaki jest wynik tego powtarzania od połowy poprzedniego. Jeżeli wejście sygnału jest złożone, DFT będzie niesymetryczne i wówczas nie należy tego używać. 5
6 Przerwy Częstotliwości pomiędzy Próbkami DFT/FFT Jeżeli weźmiemy przedział próbek t sekundy i pierwsze próbki (k = 0) dane są przy 0 th sekundy, wtedy k ( k > 0, k całkowite ) dana próbka jest przy k t sekundy. Podobnie jeżeli częstość rozkładu jest f Hz. f s th ( f = ) wtedy k k próbki DFT zdarzy się przy częstotliwości k f Hz. N (Rzeczywiście jest to ważne tylko dla pierwszej połówki częstotliwości składników, druga połówka przedstawia odwrotną częstotliwość składników). W zależności od tego czy liczba próbek N, są równe albo nieparzyste, można mieć różną interpretację częstotliwości odpowiadającej k próbek DFT. th N Na przykład, przypuszczając że N jest równa i pozwala aby p =. Tabela 2-1 pokazuje częstość do której każdy format elementu pierwiastek złożonego odpowiada następne 2 th X. Należy zwrócić uwagę, że p element pierwiastka, X[p], odpowiada Nyquist częstości. Przeczące wejścia w drugiej kolumnie poza Nyquist częstotliwość przedstawiają przeczące częstotliwość. Na przykład jeśli N=8, p=n/2= 4, wtedy f jest pokazana w Tabela 2-1 dla X[p] i dla N = 8. X[p] X[0] X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6] X[7] f DC f 2 f 3 f 4 f (częstotliwość Nyquista) -3 f -2 f - f Tutaj, X[1] i X[7] będzie mieć tę sam wielkość i X[2] i X[6] będzie mieć też tą sam wielkość, oraz X[3] i X[5] też będzie mieć tę sam wielkość. Różnica jest taka że podczas gdy X[1], X[2], i X[3] odpowiada dodatnim częstotliwościom składowym, X [5], X[6], i X [7] będą odpowiednio odrzucać dodatnie częstotliwości składowe. Należy zauważyć że X[4] jest przy częstotliwości Nyquista. 6
7 Rys Złożone Następstwo dla N = 8 Taka reprezentacja, gdzie widać obydwie częstotliwości, są znane kiedy razem były po stronie przekształceń. Należy zauważyć kiedy N są nieparzyste, tam niema składnik przy częstotliwości Nyquista. Na przykład, jeżeli N = 7, p = ( N -1 )/2 = ( 7-1 )/2 = 3, wtedy f jest pokazywany w Tabeli 2-2 dla X [p] równego N = 7. X[p] X[0] X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6] f DC f 2 f 3 f -3 f -2 f - f Teraz X[1] i X[6] ma tę sam wielkość, X[2] i X[5] ma też tą sam wielkość tak jak X[3] i X[4]. Kiedy podczas gdy X[1], X[2], i X[3] odpowiadają dodatnim częstotliwościom, X[4], X[5], i X[6] należy odrzucić ich częstotliwość. Ponieważ N są nieparzyste, tam nie ma żadnych składników przy częstotliwości Nyquista. Rysunek 2-5 ilustruje Tabelę 2-2 dla N = 7. 7
8 Rys X [ p ] dla N = 7 Są to dwie strony przekształcenia, ponieważ są to dwa rodzaje częstotliwości. Szybkie przekształcenia Fouriera 2 Bezpośrednie wykonanie DFT na N próbkach wymaga w przybliżeniu N złożoności działania, co jest czasochłonnym procesem. Jeśli, kiedy rozmiar następstwa jest potęga z 2, m N = 2 dla m = 1, 2, 3,... wtedy można wykonywać obliczenie DFT dla działania w przybliżeniu N log 2 (N). To wykonuje obliczenie DFT dużo bardziej szybciej, i DSP w literaturze odnosi się do tych algorytmów jako szybkie przekształcenia Fourier ( FFTs ). FFT jest nic innego jak tylko szybki algorytm dla obliczania DFT kiedy liczba próbek (N) jest potęgą z 2. Przewagą FFT jest szybkość. I skuteczność pamięci, ponieważ VI może obliczać FFT na miejscu, co powoduje że, do obliczeń nie potrzeba żadnych dodatkowych buforów pamięć. Rozmiar wejściowych sekwencji, chociaż muszą wynosić potęga z 2. DFT może skutecznie przetwarzać różne rozmiaru sekwencji, chociaż DFT są wolniejsze niż FFT i potrzebują więcej pamięci, ponieważ muszą umieszczać dodatkowe bufory dla przechowywania pośrednich wyników podczas przetwarzania. Dopełnianie zerami Techniką, dzięki której rozmiar sekwencji wejściowej będzie równy potędze liczby 2, jest uzupełnianie sekwencji na końcu zerami, tak aby łączna liczba próbek była równa następnej potędze dwójki. Jeśli więc mamy 10 próbek sygnału, można dodać sześć zer, aby łączna liczba próbek była równa 16 (=2 4 potęga liczby 2), tak jak na rysunku
9 Rys Dopełnianie zerami Wprowadzanie zer na końcu kształtu fali w dziedzinie czasu nie zaburza widma sygnału. Dopełnianie zerami nie tylko polega na nadaniu łącznej liczbie próbek wartości będącej potęgą dwójki, co przyspiesza obliczenia przez zastosowanie szybkiego przekształcenia Fouriera. Pozwala także podnieść rozdzielczość częstotliwości (należy pamiętać, że [wzór]), zwiększając liczbę próbek N. Wirtualne przyrządy szybkiego przekształcenia Fouriera Paleta Functions»Analyze»Signal Processing»Frequency Domain zawiera dwa przyrządy wirtualne obliczające szybkie przekształcenie Fouriera danego sygnału. Są to Real FFT VI i Complex FFT VI. Różnica między oboma przyrządami polega na tym, że Real FFT VI oblicza szybkie przekształcenie Fouriera sygnału o wartościach rzeczywistych, natomiast przyrząd Complex FFT VI oblicza szybkie przekształcenie Fouriera sygnału o wartościach zespolonych. Należy jednak pamiętać, że wyniki generowane przez oba przyrządy są zespolone. Większość sygnałów w praktyce ma wartości rzeczywiste, a więc w większości wypadków można używać przyrządu Real FFT VI. Oczywiście, można też użyć przyrządu Complex FFT VI, nadając części urojonej sygnału wartość zerową. Przykładem zastosowania przyrządu Complex FFT VI jest analiza sygnału złożonego zarówno z części rzeczywistej, jak i urojonej. Taki typ sygnału występuje często w telekomunikacji, gdzie kształt fali moduluje się przy użyciu wykładnika zespolonego. Modulacja przy użyciu wykładnika zespolonego daje sygnał zespolony, co widać na rysunku
10 Rys Modulacja przy użyciu wykładnika zespolonego Spektrum mocy Wiemy, że dyskretne (oraz szybkie) przekształcenie Fouriera dla sygnału rzeczywistego jest liczbą zespoloną mającą część rzeczywistą i część urojoną. Moc w każdym elemencie częstotliwości reprezentowanym przez przekształcenie dyskretne/szybkie można uzyskać, podnosząc do kwadratu wartość bezwzględną danego elementu częstotliwości. Dlatego też moc k-tego elementu częstotliwości (k-ty element dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera) jest dana wzorem X[k] 2. Wykres przedstawiający moc w każdym elemencie częstotliwości jest znany jako spektrum mocy. Ponieważ dyskretne/szybkie przekształcenie Fouriera dla sygnału rzeczywistego jest symetryczne, moc przy dodatniej częstotliwości k f jest identyczna, jak moc przy odpowiedniej częstotliwości ujemnej k f (nie licząc elementów DV i Nyquista). Łączna moc elementów DC i Nyquista wynosi odpowiednio [wzór] i [wzór]. Utrata informacji o fazie Ponieważ moc uzyskuje się przez podniesienie do kwadratu wartości bezwzględnej dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera, spektrum mocy jest zawsze rzeczywiste. Wada tego rozwiązania polega na tym, że tracona jest informacja o fazie. Jeśli potrzebne są informacje o fazie, należy korzystać z dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera, dającego wartości zespolone. Spektrum mocy można wykorzystać w zastosowaniach, gdzie informacje o fazie nie są potrzebne (np. do oblizenia mocy harmonicznej w sygnale). Można zastosować wejście sinusoidalne do systemu liniowego, a na wyjściu systemu zaobserwować moc w części harmonicznej. Odstęp częstotliwości między próbkami Przyrząd Power Spectrum VI, znajdujący się w palecie Functions»Analyze»Signal Processing»Frequency Domain, służy do obliczania spektrum mocy próbek danych w dziedzinie czasu. Tak jak w wypadku dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera, liczba próbek z wyjścia przyrządu Power Spectrum VI jest identyczna jak liczba próbek danych wprowadzonych na wejściu. Tak więc odstęp częstotliwości między próbkami częstotliwości wynosi [wzór]. 10
11 Podsumowanie Reprezentacja w dziedzinie czasu (wartości próbek) sygnału może zostać przekształcona w reprezentację w dziedzinie częstotliwości za pomocą algorytmu określanego jako dyskretne przekształcenie Fouriera. Do szybkiego obliczania dyskretnego przekształcenia Fouriera służy algorytm znany jako szybkie przekształcenie Fouriera. Można go użyć, gdy liczba próbek sygnału jest równa potędze liczby dwa. Wyjście zwykłego dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera jest dwustronne, ponieważ zawiera informacje zarówno o dodatnich, jak i ujemnych częstotliwościach. Ten wynik można przekształcić na jednostronne dyskretne/szybkie przekształcenie Fouriera, używając tylko części punktów wyjściowych przekształcenia. Odstęp częstotliwości między próbkami dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera wynosi [wzór]. Spektrum mocy można uzyskać z przekształcenia Fouriera, podnosząc do kwadratu wartość bezwzględną poszczególnych elementów częstotliwości. Przyrząd Power Spectrum VI w bibliotece analiz zaawansowanych wykonuje to automatycznie. Jednostkami wyjściowymi przyrządu Power Spectrum VI są V rms 2. Jednak spektrum mocy nie zawiera żadnych informacji o fazie. Dyskretne i szybkie przekształcenie Fouriera oraz spektrum mocy służą do pomiaru częstotliwościowej zawartości sygnałów ustalonych lub nieustalonych. Szybkie przekształcenie Fouriera daje średnią zawartość częstotliwościową sygnału po całym czasie mierzenia sygnału. 11
DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoSystemy akwizycji i przesyłania informacji
Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział Elektryczny Kierunek: Informatyka Systemy akwizycji i przesyłania informacji Projekt zaliczeniowy Temat pracy: Okna wygładzania ZUMFL
Bardziej szczegółowodr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311
dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w
Bardziej szczegółowoPolitechnika Łódzka. Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Politechnika Łódzka Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Laboratorium komputerowych systemów pomiarowych Ćwiczenie 3 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych 1. Opis stanowiska Ćwiczenie jest
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZEIE 6 Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT 1. Cel ćwiczenia Dyskretne przekształcenie Fouriera ( w skrócie oznaczane jako DFT z ang. Discrete Fourier
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoIMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7
Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE
Bardziej szczegółowoDYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.
CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera i splot
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowo8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)
8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki
Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.09 Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego AM 1. Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoDyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie
Bardziej szczegółowo7. Szybka transformata Fouriera fft
7. Szybka transformata Fouriera fft Dane pomiarowe sygnałów napięciowych i prądowych często obarczone są dużym błędem, wynikającym z istnienia tak zwanego szumu. Jedną z metod wspomagających analizę sygnałów
Bardziej szczegółowoAnaliza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008
Analiza obrazu komputerowego wykład 5 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago
Transformata Fouriera Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera
Szybka transformacja Fouriera (Opis i wydruki programów) Instytut Astronomii UMK, Toruń 1976 2 K. Borkowski PROGRAM OBLICZANIA TRANSFORMAT FOURIERA Wstęp Prezentowany tutaj program przeznaczony jest do
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska
Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.02. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma 1. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma Ćwiczenie to ma na celu poznanie
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy detekcji częstotliwości podstawowej
Algorytmy detekcji częstotliwości podstawowej Plan Definicja częstotliwości podstawowej Wybór ramki sygnału do analizy Błędy oktawowe i dokładnej estymacji Metody detekcji częstotliwości podstawowej czasowe
Bardziej szczegółowoPL B1. Sposób i układ pomiaru całkowitego współczynnika odkształcenia THD sygnałów elektrycznych w systemach zasilających
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 210969 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 383047 (51) Int.Cl. G01R 23/16 (2006.01) G01R 23/20 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoGenerowanie sygnałów na DSP
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Generowanie sygnałów na DSP Wstęp Dziś w programie: generowanie sygnałów za pomocą
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 01 Problem Majac dany szereg czasowy {x i } N i=1 = {x 1, x,..., x N } (zazwyczaj nieciekawy),
Bardziej szczegółowoZastowowanie transformacji Fouriera w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów
31.01.2008 Zastowowanie transformacji Fouriera w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów Paweł Tkocz inf. sem. 5 gr 1 1. Dźwięk cyfrowy Fala akustyczna jest jednym ze zjawisk fizycznych mających charakter okresowy.
Bardziej szczegółowoCyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów Laboratorium EX3 Globalne transformacje obrazów Joanna Ratajczak, Wrocław, 2018 1 Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami globalnych
Bardziej szczegółowo3. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe... 43
Spis treści 3 Przedmowa... 9 Cele książki i sposoby ich realizacji...9 Podziękowania...10 1. Rozległość zastosowań i głębia problematyki DSP... 11 Korzenie DSP...12 Telekomunikacja...14 Przetwarzanie sygnału
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy
Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Grupa: wtorek 18:3 Tomasz Niedziela I. CZĘŚĆ ĆWICZENIA 1. Cel i przebieg ćwiczenia. Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera i analiza spektralna
Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Macierzowy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska
Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.03 Podstawowe zasady modulacji amlitudy na przykładzie modulacji DSB 1. Podstawowe zasady modulacji amplitudy
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoBadanie widma fali akustycznej
Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoSystemy i Sieci Telekomunikacyjne laboratorium. Modulacja amplitudy
Systemy i Sieci Telekomunikacyjne laboratorium Modulacja amplitudy 1. Cel ćwiczenia: Celem części podstawowej ćwiczenia jest zbudowanie w środowisku GnuRadio kompletnego, funkcjonalnego odbiornika AM.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE III ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH. ver.3
1 Zakład Elektrotechniki Teoretycznej ver.3 ĆWICZEIE III AALIZA WIDMOWA SYGAŁÓW DYSKRETYCH (00) Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej dyskretnych sygnałów okresowych przy zastosowaniu szybkiego
Bardziej szczegółowoDiagnostyka obrazowa
Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1 Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Operacja na dwóch funkcjach dająca w wyniku modyfikację oryginalnych funkcji (wynikiem jest iloczyn splotowy). Jest
Bardziej szczegółowoTransformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0
Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0 Procesory Graficzne w Zastosowaniach Obliczeniowych Karol Opara Warszawa, 14 kwietnia 2010 Transformacja Fouriera Definicje i Intuicje Transformacja z dziedziny
Bardziej szczegółowodr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311
dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach
Bardziej szczegółowoANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW (1) Podstawowe charakterystyki widmowe, aliasing
POLITECHNIKA RZESZOWSKA KATEDRA METROLOGII I SYSTEMÓW DIAGNOSTYCZNYCH LABORATORIUM PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW (1) Podstawowe charakterystyki widmowe, aliasing I. Cel ćwiczenia Celem
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoKompresja dźwięku w standardzie MPEG-1
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 7, strona 1. Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1 Ogólne założenia kompresji stratnej Zjawisko maskowania psychoakustycznego Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoKatedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Inormatyki Przedmiot: Zintegrowane Pakiety Obliczeniowe W Zastosowaniach InŜynierskich umer ćwiczenia: 7 Temat: Wprowadzenie do Signal Processing Toolbox 1. PRÓBKOWAIE
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski - p. 732 dr inż. Grzegorz Szwoch - p. 732 dr inż.
Adam Korzeniewski - adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl, p. 732 dr inż. Grzegorz Szwoch - greg@sound.eti.pg.gda.pl, p. 732 dr inż. Piotr Odya - piotrod@sound.eti.pg.gda.pl, p. 730 Plan przedmiotu ZPS Cele nauczania
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoSzybkie przekształcenie Fouriera
Szybkie przekształcenie Fouriera Wprawdzie DFT jest najbardziej bezpośrednią procedurą matematyczną do określania częstotliwościowej zawartości ciągu z dziedziny czasu, jest ona bardzo nieefektywna. Ponieważ
Bardziej szczegółowoAnalizy Ilościowe EEG QEEG
Analizy Ilościowe EEG QEEG Piotr Walerjan PWSIM MEDISOFT 2006 Piotr Walerjan MEDISOFT Jakościowe vs. Ilościowe EEG Analizy EEG na papierze Szacunkowa ocena wartości częstotliwości i napięcia Komputerowy
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoDyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera Dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform - DFT) jest jedną z dwóch najbardziej popularnych i wydajnych procedur spotykanych w dziedzinie cyfrowego
Bardziej szczegółowoTransformacje Fouriera * podstawowe własności
Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie
Bardziej szczegółowoDiagnostyka obrazowa
Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoPodstawy Przetwarzania Sygnałów
Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoZjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe.
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn POLITECHNIKA OPOLSKA Komputerowe wspomaganie eksperymentu Zjawisko aliasingu.. Przecieki widma - okna czasowe. dr inż. Roland PAWLICZEK Zjawisko aliasingu
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego
Bardziej szczegółowo