Wybrane Zagadnienia Algebry Anna Romanowska 20 października 2016 Konspekt wyk ladu Spis Treści 1. Dzia lania monoidów i grup na zbiorach 2. Pó lgrupy, monoidy i grupy wolne 3. P-grupy i twierdzenia Sylova 4. Grupy a quasigrupy 5. Quasigrupy a konfiguracje kombinatoryczne Literatura 1. A. Bialynicki-Birula, Zarys Algebry, PWN, Warszawa 2. W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra Wspó lczesna z Zastosowaniami, WNT, Warszawa, 2008 3. M. Ch. Klin, R. Poeschel, K. Rosenbaum, Algebra Stosowana dla Matematyków i Informatyków, WNT, Warszawa, 1992 4. J. D. H. Smith, Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, 2008 1 Dzia lania monoidów i grup na zbiorach 1.1 Dzia lania monoidów Niech (M,, 1) be dzie monoidem i X zbiorem. Czasami be dziemy mówić po prostu o monoidzie M bez dok ladnego wypisywania operacji. Definicja 1.1. Każdy homomorfizm φ : M X X z monoidu M w monoid X X przekszta lceń ze zbioru X w zbiór X, nazywamy dzia laniem monoidu M na zbiorze X. Pare (X, φ : M X X ), lub krótko (X, M), nazywamy M-zbiorem. 1
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 2 A zatem, jeśli φ : M X X ; m (φ m : X X; x φ m (x)) jest dzia laniem monoidu M na zbiorze X, to φ mn (x) = φ(m n)(x) = φ(m)(φ(n)(x)) = (φ(m) φ(n))(x) = φ m φ n (x) oraz φ 1 (x) = φ(1)(x) = x = id X (x). Dzia lanie φ nazywamy wiernym, jeśli φ jest zanurzeniem. W tej sytuacji φ jest izomorfizmem monoidu M z pewnym monoidem przekszta lceń zbioru X. Jeśli w powyższych definicjach pominiemy jedynke 1, otrzymamy definicje dzia lania i dzia lania wiernego pó lgrupy na zbiorze X. Przypomnijmy dwie konwencje zapisywania dzia lań monoidów (i pó lgrup) na zbiorach. Dzia lanie φ = R monoidu M na zbiorze X nazywamy prawym, jeśli zapisujemy je w postaci R : M X X ; m (R m : X X; x R m (x) =: xm). Analogicznie, dzia lanie φ = L nazywamy lewym, jeśli zapisujemy je w postaci L : M X X ; m (L m : X X; x L m (x) =: mx). Zauważmy, że dla zbiorów X, Y oraz Z zachodzi naste cy zwia zek X Z Y = (X Y ) Z. Ten izomorfizm zbiorów wyznaczony jest przez przyporza dkowanie (f : (z, y) x) (z (f z : y x)). Sta d wyżej zdefiniowane dzia lania prawe i lewe zapisać można również w postaci naste cych przekszta lceń w przypadku dzia lania prawego, oraz M X X; (m, x) xm M X X; (m, x) mx w przypadku dzia lania lewego. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy X = M, każde z dzia lań R i L można wykorzystać do dowodu twierdzenia o reprezentacji dla monoidów. Na przyk lad, dla dzia lania prawego mamy twierdzenie naste ce.
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 3 Twierdzenie 1.2. Niech M be dzie monoidem. Wtedy dzia lanie prawe R : M M M ; m (R m : M M; x R m (x) = xm) jest zanurzeniem monoidu M w monoid wszystkich funkcji ze zbioru M w zbiór M. Zauważmy, że iloczyn xm w powyższym wzorze oznacza iloczyn dwóch elementów monoidu M. Definicja 1.3. Niech φ be dzie dzia laniem monoidu M na zbiorze X. Stabilizatorem elementu x X nazywamy zbiór Stabx := {m M φ m (x) = x}. Orbita elementu x X nazywamy zbiór Orbx := {φ m (x) m M}. W przypadku dzia lania prawego orbite x oznaczamy również symbolem xm, a w przypadku dzia lania lewego symbolem M x. Stabilizator x oznacza sie czasem symbolem M x. Przypomnijmy, że każde dzia lanie monoidu M na zbiorze X możemy rozważać jako algebre unarna, M-zbiór (X, M). Zauważmy, że podzbiór S zbioru X jest M-podzbiorem M-zbioru (X, M) (lub jest niezmienniczy), jeśli dla każdego s S, orbita sm jest zawarta w S. M-zbiór (X, M) jest nieredukowalny, jeśli zawiera tylko trywialne M-podzbiory oraz X. M- zbiór (X, M) jest nierozk ladalny, jeśli nie jest roz la czna suma nietrywialnych M-podzbiorów. Stwierdzenie 1.4. Każdy M-zbiór nieredukowalny jest nierozk ladalny. Niech (X, M) be dzie M-zbiorem. Element x X jest punktem sta lym dzia lania monoidu M na zbiorze X, jeśli {x} jest M-podzbiorem M-zbioru (X, M). Niech F ix(x, M) be dzie zbiorem wszystkich punktów sta lych (X, M). Stwierdzenie 1.5. Zbiór F ix(x, M) jest M-podzbiorem M-zbioru (X, M). Stwierdzenie 1.6. Niech α be dzie kongruencja M-zbioru (M, M). Wtedy klasa 1/α jedynki jest podmonoidem monoidu (M,, 1).
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 4 Przyk lad 1.7. Każdy uk lad dynamicznym (X, T ) wyznacza dzia lanie monoidu wolnego {T } na zbiorze X. Przyk lad 1.8. Ogólniej, każdy pó lautomat (S, X, δ) wyznacza dzia lanie monoidu wolnego X na zbiorze S. Przekszta lcenie f : X S S ; x (f x : S S; s f x (s) =: sx) rozszerza sie jednoznacznie do homomorfizmu monoidów f : X S S ; x 1... x n ( f x1...x n : S S; s f x1...x n (s) =: sf x1... f xn ). Dodatkowo f(λ) = id. Przypomnijmy również inne dzia lania podobne do dzia lań monoidów. Jeśli monoid jest grupa, otrzymujemy dzia lanie grupy na zbiorze, omówione szerzej w naste pnym paragrafie. Reprezentacja liniowa grupy skończonej G w przestrzeni V jest to homomorfizm grupy G w grupe automorfizmów AutV przestrzeni V ϱ : G AutV ; g ϱ g : V V. A zatem reprezentacja taka jest pewnego rodzaju dzia laniem grupy na zbiorze V. Twierdzenie o reprezentacji dla pierścieni można przedstawić jako dzia lanie pierścienia P na zbiorze P. Na przyk lad przekszta lcenie L : P End(P, +,, 0); r (L r : P P ; x rx) jest zanurzeniem pieścieni. Modu l M nad pierścieniem P można zdefiniować jako grupe przemienna M wraz z dzia laniem pierścienia P na zbiorze M R : P End(M, +,, 0); r (R r : M M; m mr).
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 5 1.2 Dzia lania grup Jeśli monoid M jest grupa (G,, 1, 1), to dzia lanie M na zbiorze X jest dzia laniem grupy G na zbiorze X. Obraz dzia lania grupy G na X sk lada sie z pewnych bijekcji określonych na zbiorze X. A zatem dzia laniem grupy G na zbiorze X jest homomorfizm φ : G X! grupy G w grupe X! wszystkich bijekcji pkreślonych na zbiorze X. Dzia lanie φ jest wierne, jeśli φ jest zanurzeniem. W tej sytuacji φ jest izomorfizmem z grupy G na pewna grupe bijekcji zbioru X. Przypomnijmy twierdzenie znane z podstawowego kursu algebry. Twierdzenie 1.9. Niech dane be dzie dzia lanie φ grupy G na zbiorze X i niech x, y X. (a) Dla każdego x X, stabilizator Stabx elementu x jest podgrupa grupy G. (b) Relacja określona w X naste co: x y x i y należa do tej samej orbity dzia lania φ jest relacja równoważności. (c) G = Stabx Orbx. Z Twierdzenia 1.9 wynika w szczególnosci, że Orbx = G / Stabx jest indeksem podgrupy Stabx w grupie G. Zauważmy również, że relacja określona w punkcie (b) nie musi być relacja równoważności w przypadku dzia lania monoidu (nie be da cego grupa ) na zbiorze X. Wniosek 1.10. Jeśli G jest grupa skończona, to liczba elementów każdej orbity w każdym G-zbiorze (X, G) dzieli rza d tej grupy. Przyk lad 1.11. Niech H be dzie podgrupa grupy G. Wtedy i : H Aut w (G); h i h jest homomorfizmem grupy H w grupe Aut w (G) automorfizmów wewne trznych i g : G G; x gxg 1
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 6 grupy G. Homomorfizm i jest wie c dzia laniem grupy H na zbiorze G. Stabilizatorem x G jest Stabx = {h H hxh 1 = x} = {h H hx = xh}. W przypadku, gdy H = G, podgrupe te nazywa sie centralizatorem x w G i oznacza symbolem C(x, G). Elementy x, y G sa sprze żone w G, gdy należa do tej samej orbity, tzn. gdy istnieje takie g G, że i g (x) = y lub rówoważnie, gdy gxg 1 = y. Orbity dzia lania i sa zatem klasami elementów sprze żonych. Przypomnijmy, że centrum C(G) grupy G jest to zbiór tych elementów G, które sa przemienne ze wszystkimi elementami G. Centrum grupy G jest jej podgrupa. Zauwazmy, że, klasa elementów sprze żonych z x jest równa {x} wtedy i tylko wtedy, gdy C(x, G) = G, tzn. gdy x należy do centrum grupy G. Niech H be dzie podgrupa grupy G. Przekszta lcenia L : H G!; h (L h : G G, x hx = L h (x)), R : H G!; h (R h : G G, x xh = R h (x)), sa dzia laniami grupy H na zbiorze G. W przypadku, gdy H = G, każde z tych dzia lań jest zanurzeniem, i każde można wykorzystać do dowodu naste cego znanego twierdzenia. Twierdzenie 1.12 (Cayley). Każda grupa G jest izomorficzna z pewna grupa bijekcji określonych na zbiorze G. Wniosek 1.13. Każda grupa rze du skończonego n zanurza sie w grupe wszystkich permutacji zbioru n-elementowego. Orbity dzia lania L Orbx = {L h (x) h H } = {hx h H } =: Hx sa warstwami prawostronnymi podgrupy H w grupie G, a orbity dzia lania R Orbx = {R h (x) h H } = {xh h H } =: xh sa warstwami lewostronnymi podgrupy H w grupie G. Zbiory warstw prawoi lewostronnych oznaczamy odpowiednio symbolami H \ G := {Hg g G}
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 7 oraz Znane twierdzenia mówia, że oraz G/H := {gh g G}. G/H = H \ G, a, b G, Ha = Hb, i podobnie ah = bh. Przypomnijmy również, że liczbe [G : H] = G/H = H \ G nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G. Na mocy Twierdzenia Lagrange a G = H [G : H]. Jeśli dla każdego g G, gh = Hg, tj. gdy warstwy lewostronne i prawostronne podgrupy H sa równe, podgrupa H jest podgrupa normalna (lub dzielnikiem normalnym) grupy G. Przypomnijmy również, że rozk lad grupy G na warstwy wzgle dem podgrupy normalnej H wyznacza kongruencje grupy G, której klasami abstrakcji sa te warstwy. Dzia lanie grupy G na zbiorze X możemy traktować jako algebre unarna, G-zbiór (X, G). Daje to nam możliwość stosowania do badania G-zbiorów definicji i twierdzeń dotycza cych dowolnych algebr abstrakcyjnych. Nieredukowalne i nierozk ladalne G-zbiory definiuje sie, jak w przypadku M-zbiorów. Lemat 1.14. Niech (A, G) be dzie G-zbiorem i niech (B, G) (A, G). Niech B := {x A x / B}. Wtedy ( B, G) (A, G). Stwierdzenie 1.15. G-zbiór (A, G) jest nierozk ladalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieredukowalny. Lemat 1.16. Niech (A, G) be dzie G-zbiorem i niech (B, G) (A, G). G- zbiór (B, G) jest nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy B jest orbita pewnego x A. Twierdzenie 1.17. Niech (B, G) be dzie G-podzbiorem G-zbioru (A, G). Naste ce warunki sa równoważne. (a) G-zbiór (B, G) jest nieredukowalny.
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 8 (b) G-zbiór (B, G) jest nierozk ladalny. (c) Zbiór B jest orbita pewnego elementu zbioru A. Lemat 1.18. Niech R : G X!; g (R g : X X; x xg) be dzie (prawym) dzia laniem grupy G na zbiorze X. Wtedy dla każdego t X, przekszta lcenie L t : G X; g tg jest homomorfizmem G-zbioru (G, G) w G-zbiór (X, G). Ponadto dla każdego g G g/kerl t = G t g, a wie c G t \ G = G/kerL t. Lemat 1.19. Niech H be dzie podgrupa grupy G. Przekszta lcenie R : G (H \ G)!; g ( R g : H \ G H \ G; Hx Hxg). jest (prawym) dzia laniem grupy G na zbiorze H \ G warstw prawostronnych Hx. Wniosek 1.20. G-zbiór (H \ G, G) jest nieredukowalnym G-zbiorem. Zauwazmy, że w szczególności, G-zbiór jest G-zbiorem nieredukowalnym. (G t \ G, G) = (G/kerL t, G) Twierdzenie 1.21. Niech G be dzie grupa i niech (X, G) be dzie nierozk ladalnym niepustym prawym G-zbiorem. Dla każdego t X, istnieje izomorfizm Jeśli ponadto u X oraz u t, to (G t \ G, G) = (X, G). (G t \ G, G) = (G u \ G, G).
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 9 Niech T be dzie zbiorem reprezentantów orbit dzia lania grupy G na zbiorze X, po jednym z każdej orbity. Zbiór X jest roz la czna suma orbit: X = t T tg, a ponadto każda orbita jest (nierozk ladalnym) pod-g-zbiorem G-zbioru (X, G). Twierdzenie 1.22 (struktura G-zbiorów). Dla każdego prawego G-zbioru (X, G) (X, G) = t T(G t \ G, G). Zauważmy, że oba twierdzenia sformu lować można również w terminach lewych G-zbiorów. 1.3 Dzia lania grup permutacji Niech G be dzie grupa i niech (X, G) be dzie G-zbiorem danym przez dzia lanie R : G X!; g (R g : X X; x xg). Mówimy, że G-zbiór (X, G) jest wierny, jeśli dzia lanie R jest wierne, tzn. R jest zanurzeniem. W sytuacji, gdy R jest dzia laniem wiernym, twierdzenie o izomorfizmie dla grup pozwala utożsamiać grupe G z jej obrazem R(G), a zatem z pewna grupa bijekcji na zbiorze X. Dla każdej dodatniej liczby ca lkowitej n, pote ga (X, G) n = (X n, G) G-zbioru (X, G) wyznacza dzia lanie grupy G na zbiorze X n tzw. dzia lanie indukowane. R : G (X n )!; g ( R g : X n X n ; (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n )g = (x 1 g,..., x n g)), Lemat 1.23. Jeśli R jest dzia laniem wiernym, to również dzia lanie indukowane R jest dzia laniem wiernym. Stwierdzenie 1.24. Jesli R jest dzia laniem wiernym, to grupa G jest izomorficzna z pewna grupa bijekcji na zbiorze X n.
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 10 Niech n be dzie liczba ca lkowita dodatnia. Każdy podzbiór zbioru X n nazywamy relacja n-argumentowa lub n-arna na zbiorze X. Struktura relacyjna nazywamy pare (X, R) z lożona ze zbioru X oraz zbioru R relacji na zbiorze X. Np. jeśli M jest monoidem, to (M, R), gdzie R = {{1}, {(x, y, xy) x, y M}} jest systemem relacyjnym. Innego rodzaju przyk ladów dostarczaja dzia lania indukowane grupy G. Jeśli G dzia la na X n oraz X n /G jest zbiorem wszystkich orbit tego dzia lania, to (X, X n /G) jest systemem relacyjnym. Relacje równości (inaczej relacje przeka tniowa ) X na zbiorze X można określić naste co X = {(x, x) x X}. Zauważmy, że X zawarta jest w kazdej (binarnej) relacji zwrotnej na X. Podobnie, (binarna ) relacje różności na X można określić jako X 2 X = {(x, y) x y}. Podzbiory (binarnej) relacji różności, to binarne relacje przeciwzwrotne, a zbiór X z taka relacja, to prosty graf skierowany o zbiorze X wierzcho lków. Jeśli przeciwzwrotna relacja α na X jest symetryczna, to X z taka relacja jest prostym nieskierowanym grafem o zbiorze X wierzcho lków. Skierowane i nieskierowane grafy sa systemami relacyjnymi (X, {α}), zapisywanymi zwykle prościej jako (X, α). Niech teraz k N oraz k > 1. Relacja k-arna na X nazywa sie przeciwzwrotna, jeśli żaden (x 1,..., x k ) α nie zawiera powtarzaja cych sie e- lementów. Najwie ksza k-arna przeciwzwrotna relacje {(x 1,..., x k ) X k k = {x 1,..., x k } } na X nazywamy k-arna relacja różności na X. G-zbiór (X, G) jest k-przechodni, jeśli k-arna relacja różności jest nieredukowalnym G-podzbiorem G-zbioru (X k, G). Jeśli zbiór X jest skończony, to (X, X!) jest X -przechodni. G-zbiór jest przechodni, gdy jest 1-przechodni tzn. jest nieredukowalny. W dalszym cia gu zak ladać be dziemy, że zbiór X jest skończony. Automorfizmem systemu relacyjnego (X, R) nazywamy taka bijekcje T : X X, że każda relacja α R jest niezmiennicza wzgle dem T, tzn. jeśli α X n, to α jest T -podzbiorem T -zbioru (X n, T ), gdzie T = {T n n N}. Zbiór Aut(X, R) automorfizmów systemu relacyjnego (X, R) tworzy podgrupe grupy X! bijekcji na X. Jak wiadomo, każda skończona grupa jest izomorficzna z pewna grupa permutacji. Naste pne twierdzenie pokazuje, że każda skończona grupa per-
1 DZIA LANIA MONOIDÓW I GRUP NA ZBIORACH 11 mutacji jest izomorficzna z grupa automorfizmów pewnego systemu relacyjnego. Twierdzenie 1.25 (Krasner-Wielandt). Niech G be dzie grupa permutacji skończonego n-elementowego zbioru X. Niech 1 k n i niech X k /G be dzie zbiorem wszystkich orbit dzia lania G na X k. Wtedy 1. Aut(X, X n /G) Aut(X, X n 1 /G) Aut(X, X/G). 2. G = Aut(X, X n /G). Twierdzenie 1.26 (Burnside-Cauchy-Frobenius). Niech G be dzie grupa permutacji skończonego n-elementowego zbioru X. Liczba orbit dzia lania G na X wynosi X/G = 1/ G F ixt. T G Niech (X, G) be dzie G-zbiorem, jak w Twierdzeniu wyżej. Charakterem permutacyjnym φ G-zbioru (X, G) nazywamy funkcje φ : G N; T F ixt. Zauważmy, że dla dowolnych M-zbiorów (A, M) i (B, M) Sta d dla każdego k N F ix(a B, M) = F ix(a, M) F ix(b, M). X k /G = 1/ G g G φ(g) k. Twierdzenie 1.26 stosuje sie do wyznaczania liczby istotnie różnych obiektów o zdanych w lasnościach, przy czym dwa obiekty uznajemy za takie same, jeżeli można je nawzajem z siebie otrzymać poprzez zastosowanie pewnych operacji określonych warunkami zadania. Przyk lad 1.27 (Problem naszyjników). Dany jest zapas bia lych i czarnych koralików, które nawlekamy na sznurek i la czymy w pe tle. Ile istotnie różnych naszyjników otrzymamy z n koralików? Malujemy wierzcho lki n-ka ta foremnego na bia lo i czarno, co można zrobić na 2 n sposobów. Dwa pokolorowania sa różne, jeśli nie stnieje przekszta lcenie
2 PÓ LGRUPY, MONOIDY I GRUPY WOLNE 12 należa ce do grupy D n (symetrii n-ka ta foremnego), które jedno z tych pokolorowań przekszta lca na drugie. Nasz problem sprowadza sie do odpowiedzi na pytanie, ile jest różnych takich pokolorowań. Niech A = {1,..., n}. Grupa D n dzia la na zbiorze X = {f : A {bialy, czarny}}. Odpowiednie dzia lanie opisane jest naste co. gdzie φ : D n X!; α (φ α : X X; f fα), fα : A {bialy, czarny}; j f(α j ). Przy czym f jest punktem sta lym permutacji α wtedy i tylko wtedy, gdy f przyjmuje te sama wartość dla wszystkich elementów należa cych do jednego cyklu permutacji α. 2 Pó lgrupy, monoidy i grupy wolne Niech K be dzie klasa algebr podobnych. Algebre (A, F ) K nazywamy wolna w klasie K, jeśli posiada taki zbiór generatorów X, że każde przekszta lcenie f : X B w zbiór elementów algebry (B, F ) K, może być jednoznacznie rozszerzone do homomorfizmu f : (A, F ) (B, F ). Zbiór X nazywamy zbiorem wolnych generatorów. Stwierdzenie 2.1. Jeśli (A, F ) i (B, F ) sa dwiema algebrami wolnymi w K o równolicznych zbiorach X i Y generatorów wolnych, to algebry te sa izomorficzne. A zatem algebry wolne wyznaczone sa przez moce zbiorów generatorów wolnych. Algebre wolna w klasie K o zbiorze wolnych generatorów X nazywać be dziemy algebra wolna nad X i oznaczać symbolem F K (X). Jeśli zbiór generatorów algebry (B, F ) K jest równoliczny ze zbiorem X, to (B, F ) jest obrazem homomorficznym algebry wolnej F K (X). Nie każda klasa algebr podobnych zawiera algebry wolne. Można wykazać, że jeśli klasa algebr jest zamknie ta ze wzgle du na podalgebry i produkty proste, to posiada wszystkie algebry wolne. W szczególności, każda rozmaitość algebr posiada algebre wolna nad zbiorem generatorów dowolnej mocy. Taka algebra wyznaczona jest jednoznacznie z dok ladnościa do izomorfizmu.
2 PÓ LGRUPY, MONOIDY I GRUPY WOLNE 13 A zatem rozmaitość wszystkich grupoidów, rozmaitość wszystkich pó lgrup i rozmaitość wszystkich monoidów posiadaja odpowiednio grupoidy wolne, polgrupy wolne i i monoidy wolne. Konstrukcja pólgrup i monoidów wolnych znana jest z wyk ladu na roku drugim. Pó lgrupa wolna F P (X) sk lada sie ze skończonych cia gów x 1... x n elementów zbioru X, a monoid wolny F M (X) z takich samych cia gów i cia gu pustego Λ. Dzia laniem pó lgrupowym jest konkatenacja. Grupoid wolny F G (X) można skonstruować w naste cy sposób. Zbiór F G (X) sk lada sie ze wszystkich skończonych cia gów symboli elementów X, elementu i nawiasów (, ) takich, że 1. X F G (X), 2. jeśli w 1, w 2 F G (X), to również (w 1 ) (w 2 ) F G (X). Inaczej mówia c, grupoid wolny F G (X) jest podgrupoidem generowanym przez X grupoidu zbudowanego ze wszystkich możliwych skończonych cia gów symboli ze zbioru X { } oraz nawiasów (, ). Pó lgrupe wolna nad X można otrzymać z grupoidu wolnego nad X, dziela c F G (X) przez kongruencje sklejaja ca dwa elementy w 1 i w 2 wtedy, gdy w 1 = w 2 jest równościa spe lniona w klasie wszystkich pó lgrup. W szczególności w 1 i w 2 sa w jednej klasie takiej kongruencji dok ladnie wtedy, gdy po opuszczeniu wszystkich nawiasów otrzymujemy równe elementy pó lgrupy wolnej. W podobny sposób można skonstruować pó lgrupy wolne w klasie pó lgrup spe lniaja cej jakieś dodatkowe równości. Ta sama uwaga odnosi sie do monoidów. 2.1 Wolne monoidy przemienne Opiszemy teraz strukture przemiennych monoidów wolnych tzn. monoidów wolnych w rozmaitości wszystkich monoidów przemiennych. Niech X be dzie zbiorem. Dla A X, multizbiór M(A) jest zbiorem elementów zbioru A, z których każdy może powtarzać sie z pewna krotnościa. Dla każdego a A, niech M(a) oznacza krotność wyste powania a w M(A). Każdy multizbiór M(A) wyznacza przekszta lcenie M : A N; a M(a). W dalszym cia gu be dziemy czasem identyfikować multizbiór M(A) z przekszta lceniem M. Np. dla A = {a, b, c}, M(A) = a, a, b, b, b, c jest multizbiorem określonym na A, dla którego przekszta lcenie M określone jest naste co: M : A N; a 2, b 3, c 1.
2 PÓ LGRUPY, MONOIDY I GRUPY WOLNE 14 Niech MX be dzie zbiorem wszystkich skończonych multizbiorów określonych na podzbiorach zbioru X. W zbiorze M X zdefiniujemy mnożenie. Iloczyn M(A) M(B) multizbiorów M(A) i M(B) określimy jako ich roz la czna sume. Np. a, a, b, b, b, c a, a, c, c, d, d = a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d. Nietrudno sprawdzić, że XM z tak określonym mnożeniem i z pustym multizbiorem Λ jest monoidem przemiennym. Twierdzenie 2.2. Monoid (MX,, Λ) jest monoidem wolnym nad X w rozmaitości wszystkich monoidów przemiennych. 2.2 Wolne grupy Podamy teraz konstrukcje grupy wolnej F Gr (X) nad zbiorem X. Niech X be dzie zbiorem oraz X 1 := {x 1 x X}. Niech oraz A := X X 1 A := {x ε 1 1... x εn n x i X, ε i {1, 1}}. Dwa cia gi x ε 1 1... x εn n oraz x ε 1 1... x ε k 1 k 1 xε k+2 k+2... xεn n dla pewnego k = 1,..., n 1, sa bezpośrednio równoważne, jeśli x k = x k+1 oraz ε k = ε k+1. Niech be dzie najmniejsza relacja równoważności na A zawieraja ca relacje bezpośredniej równoważności. Relacja jest ja drem homomorfizmu monoidów φ : A A / ; α α/. Ponadto, monoid ilorazowy A / jest grupa. Twierdzenie 2.3. Grupa A / jest wolna nad zbiorem X w klasie wszystkich grup. Każda klase abstrakcji α/ reprezentować można przez s lowo zredukowane, w którym nie wyste podcia gi typu xx 1 lub x 1 x. Niech P be dzie zbiorem wszystkich s lów zredukowanych należa cych do A. Niech r : A / P ; α/ α przyporza dkowuje klasie s lowa α jego postać zredukowana α. Przy odpowiedniej definicji mnożenia w P, przekszta lcenie to jest izomorfizmem grup.
3 P-GRUPY I TWIERDZENIA SYLOVA 15 Rozważmy teraz pó lautomat, którego zbiorem symboli wejściowych jest zbiór A, zbiorem stanów jest zbiór P, a algebra pó lautomatu określona jest naste co: R : A P P ; α (R α : P P ; β βα). Zauważmy, że przekszta lcenie R rozszerza sie jednoznacznie do dzia lania monoidu A na zbiorze P. A zatem monoid A dzia la na zbiorze elementów grupy wolnej F Gr (X). 3 P-grupy i twierdzenia Sylova 3.1 Rozk lady grup na iloczyny Na pocza tek podamy warunki na to, aby dowolna grupa G by la izomorficzna z iloczynem prostym swoich podgrup G 1 oraz G 2. Przypomnijmy, że jeśli G = G 1 G 2, to zachodza naste ce warunki: (a) G = G 1 G 2, (b) jeśli g 1 G 1 oraz g 2 G 2, to g 1 g 2 = g 2 g 1, (c) G 1 G 2 = {1}. Jeśli G = G 1 G 2, to be dziemy utożsamiać grupy G 1 i G 2 z odpowiadaja cymi im (i izomorficznymi z nimi) podgrupami G. Twierdzenie 3.1. Niech G be dzie grupa i niech G 1 i G 2 be da podgrupami tej grupy. Jeśli zachodza warunki (a), (b), (c), to grupa G jest izomorficzna z grupa G 1 G 2. Wniosek 3.2. Grupa G jest izomorficzna z iloczynem prostym G 1 G 2 swoich podgrup G 1 i G 2 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodza warunki (a), (b), (c). Twierdzenie 3.3. Grupa G jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich podgrup G 1 i G 2 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodza warunki (a), (c) oraz G 1, G 2 G. Twierdzenie 3.4. Niech G be dzie grupa i niech {G i } i I be dzie rodzina podgrup grupy G. Grupa G jest izomorficzna z suma prosta i I G i swoich podgrup wtedy i tylko wtedy, gdy
3 P-GRUPY I TWIERDZENIA SYLOVA 16 (A) G = i I G i, (B) jeśli i 1 i 2, g 1 G 1, g 2 G 2, to g 1 g 2 = g 2 g 1, (C) i 1 I, G i1 i I {i 1 } G i = {1}. Twierdzenie 3.5. G = i I G i wtedy i tylko wtedy, gdy zachodza warunki (A), (C) oraz i I, G i G. Skończona grupe G nazywamy p-grupa, jeśli G = p n dla pewnej liczby pierwszej p i liczby naturalnej n. Dla dowolnej grupy przemiennej G określimy G p := {g G n N takie, że p n g = 0}. Zbiory G p nazywaja sie p-prymarnymi sk ladowymi grupy G. Twierdzenie 3.6. Jeśli G jest grupa przemienna, w której każdy element ma rza d skończony, to każda jej sk ladowa prymarna G p jest jej podgrupa, a ponadto G jest izomorficzna z suma prosta wszystkich jej sk ladowych prymarnych. Twierdzenie 3.7. Niech G be dzie skończona grupa przemienna rze du n = p n 1 1... p n k k, gdzie p 1,..., p k sa parami różnymi liczbami pierwszymi. Wtedy ponadto G pi = p n i i. G = G p1 G pk, Wniosek 3.8. Jeśli G jest grupa przemienna rze du n oraz p n, to istnieje w grupie G element g rze du p. Twierdzenie 3.9. Jeśli G jest skończona grupa przemienna, to p-prymarne sk ladowe G p grupy G sa izomorficzne z iloczynami prostymi grup Z p k dla pewnych naturalnych k. Twierdzenie 3.10. Każda skończona grupa przemienna jest iloczynem prostym grup cyklicznych. Rza d każdej z nich jest pote ga liczby pierwszej. Twierdzenie 3.11. Każda skończona grupa przemienna jest iloczynem prostym grup cyklicznych rze dów r 1,..., r m, gdzie r 1 r 2, r 2 r 3,..., r m 1 r m.
3 P-GRUPY I TWIERDZENIA SYLOVA 17 Liczby r i nazywaja sie czynnikami niezmienniczymi grupy G, a rze dy (pote gi liczb pierwszych) wszystkich cyklicznych czynników grupy G z Twierdzenia 3.10 nazywaja sie dzielnikami elementarnymi G. Zauważmy, że G = r 1... r m = p k 1 1... p k m m. Można wykazać, że dwie skończone grupy przemienne G i H sa izomorficzne dok ladnie wtedy, gdy maja te same dzielniki elementarne. Podobnie, grupy G i H sa izomorficzne dok ladnie wtedy, gdy maja te same czynniki niezmiennicze. Powyższe twierdzenia wykorzystuje sie do klasyfikacji skończonych grup przemiennych danych rze dów. 3.2 Twierdzenia Sylova Przypomnijmy, że dla dzia lania i : G A w ; g (i g : G G : x gxg 1 ) grupy G na zbiór G przez sprze żenia, stabilizator elementu t jest równy jego centralizatorowi Stabt = G t = {g G gtg 1 = t} = {g G gt = tg} = C(t, G). Ponadto, elementy x, y G sa sprze żone, jeśli należa do tej samej orbity dzia lania i. Twierdzenie 3.12. Dla dzia lanie i grupy G przez sprze żenia oraz dla dowolnego t G Orbt = [G : Stabt]. Ponieważ klasy sprze żoności sa orbitami dzia lania i, wie c Orbt G. Jeśli C 1,..., C s sa wszystkimi klasami sprze żoności G, to G = C 1 +... C s = [G : G t1 ] +... [G : G ts ]. Zauważmy, że C i = Orbt i = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy t i C(G), gdzie C(G) jest centrum grupy G. Widać sta d, że C(G) jest suma jednoelementowych klas sprze żoności. A zatem G = C(G) + C 1 + + C r, gdzie dla każdego i = 1,... r, C i > 1 oraz C i G.
4 GRUPY A QUASIGRUPY 18 Stwierdzenie 3.13. Jeśli G jest p-grupa rze du wie kszego niż 1, to również centrum C(G) grupy G ma wie cej niż jeden element. Twierdzenie 3.14 (I Twierdzenie Sylova). Niech G be dzie grupa skończona i niech p k be dzie pote ga liczby pierwszej p. Jeśli p k G, to istnieje podgrupa H grupy G, której rza d jest równy p k. Wniosek 3.15 (Twierdzenie Cauchy ego). Jeśli G jest grupa skończona i liczba pierwsza p dzieli rza d grupy G, to grupa G zawiera element rzedu p. Jeśli rza d grupy G jest równy p k 1 1... p k l l, to podgrupy grupy G rze dów p k i i nazywaja sie p i -podgrupami Sylova grupy G. Wniosek 3.16. Jeśli K jest p-podgrupa Sylova grupy G, to również xkx 1 jest p-podgrupa Sylova grupy G dla każdego x G. Twierdzenie 3.17 (II Twierdzenie Sylova). Jeśli P i K sa p-podgrupami Sylova grupy G, to istnieje takie x G, że P = xkx 1. Wniosek 3.18. Dowolne dwie p-podgrupy Sylova grupy G sa ze soba izomorficzne. Wniosek 3.19. p-podgrupa Sylova grupy G jest dzielnikiem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest jedyna p-podgrupa Sylova w G. Twierdzenie 3.20 (III Twierdzenie Sylova). Liczba t p-podgrup Sylova grupy G dzieli rza d G i jest równa 1+pk dla pewnego k N, tj. t 1(modp). Wniosek 3.21. Każda p-podgrupa grupy G zawarta jest w pewnej p-podgrupie Sylova grupy G. 4 Grupy a quasigrupy 4.1 Quasigrupy i lupy Quasigrupa (kombinatoryczna ) nazywamy grupoid (Q, ), w którym dla ustalonych elementów a, b Q, każde z równań a x = b oraz y a = b ma jednoznacznie wyznaczone rozwia zanie. Każda grupa jest quasigrupa, w której mnożenie jest la czne. Zachodzi również twierdzenie odwrotne.
4 GRUPY A QUASIGRUPY 19 Stwierdzenie 4.1. Każda quasigrupa la czna jest grupa. Grupoidy (Z, ), (Z n, n ) oraz (R, ), gdzie x y = x+y 2, sa przyk ladami quasigrup nie la cznych. W quasigrupie (Q, ), lewe dzielenie x\y określone jest jako jedyne rozwia zanie z równania x z = y a prawe dzielenie x/y jako jedyne rozwia zanie z równania z y = x. Inaczej mówia c x (x\y) = y oraz (x/y) y = x. Stwierdzenie 4.2. Niech (Q, ) be dzie quasigrupa, niech x, y Q. Wtedy x\(x y) = y, (y x)/x = y, x = y/(x\y), x = (y/x)\y. Quasigrupa równościowa (lub prymitywna ) nazywamy algebre (Q,, /, \) z trzema binarnymi operacjami, /, \, spe lniaja ca dla wszystkich x, y Q równości: (x/y) y = y (y\x) = x, (x y)/y = y\(y x) = x. W dalszym cia gu, be dziemy cze sto pisać xy zamiast x y. Stwierdzenie 4.3. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy quasigrupami kombinatorycznymi i quasigrupami równościowymi. Każda quasigrupa kombinatoryczna (Q, ) jest quasigrupa równościowa wzgle dem mnożenia i obu dzieleń. Każda quasigrupa równościowa (Q,, /, \) jest ze wzgle du na mnożenie quasigrupa kombinatoryczna. Zauważmy jednak, że podalgebry grupoidów nie musza być podalgebrami grupoidów z dzieleniami. W sytuacjach, w których nie be dzie to prowadzić do niejasności, be dziemy jednak mówić po prostu o quasigrupach, bez rozróżniania, czy mamy na myśli quasigrupy kombinatoryczne czy quasigrupy równościowe, i be dziemy je oznaczać tymi samymi symbolami, co zbiory ich elementów. Tabelka mnożenia każdej skończonej quasigrupy jest kwadratem lacińskim. Każdy kwadrat laciński może s lużyć jako tabelka mnożenia skończonej quasigrupy. Ogólniej, zachodzi naste ce stwierdzenie. Stwierdzenie 4.4. Algebra (Q,, /, \) jest quasigrupa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x Q, prawe i lewe mnożenie przez x jest bijekcja.
4 GRUPY A QUASIGRUPY 20 Quasigrupe Q nazywamy totalnie symetryczna, jeśli dla wszystkich x, y Q spe lnia ona równości xy y = x = y yx. Stwierdzenie 4.5. Każda totalnie symetryczna quasigrupa jest przemienna. Twierdzenie 4.6. Quasigrupa jest totalnie symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy operacje podstawowe sa równe, tzn. xy = x/y = y\x. Do quasigrup równościowych stosować możemy wszystkie znane poje cia i fakty dotycza ce algebr abstrakcyjnych. W szczególności możemy rozważać takie poje cia, jak podquasigrupy, produkty proste quasigrup, homomorfizmy i kongruencje. Jak już zauważyliśmy przy okazji omawiania podgrupoidów quasigrup kombinatorycznych, w przypadku quasigrup kombinatorycznych potrzebna jest pewna ostrożność. Stwierdzenie 4.7. Jeśli przekszta lcenie h : Q Q jest homomorfizmem z quasigrupy (Q, ) w quasigrupe (Q, ), odpowiednio z dzieleniami / oraz \, tzn. jeśli h(xy) = h(x)h(y), to h jest homomorfizmem również ze wzgle du na oba dzielenia. Zanim omówimy w lasności kongruencji quasigrup, wprowadzimy w quasigrupach jeszcze jedna operacje. Operacja Mal ceva na zbiorze A nazywamy ternarna operacje P : A 3 A spe lniaja ca dla wszystkich x, y A równości P (x, x, y) = P (y, x, x) = y. Algebry posiadaja ce operacje Mal ceva nazywaja sie algebrami Mal ceva. Stwierdzenie 4.8. Każda quasigrupa jest algebra Mal ceva, z operacja Mal ceva określona wzorem P (x, y, z) = (x/(y\y))(y\z). W zbiorze CgQ wszystkich relacji kongruencji quasigrupy Q wprowadzimy nowa operacje binarna zwana sk ladaniem kongruencji. Dla α, β CgQ oraz x, y Q definiujemy (x, y) α β : z takie, że x α z β y.
4 GRUPY A QUASIGRUPY 21 Zauważmy, że jeśli α CgQ, to α jest również relacja kongruencji ze wzgle du na operacje P. Mówimy, że kongruencje algebry A sa permutowalne, jeśli dla każdych α, β CgA zachodzi α β = β α. Stwierdzenie 4.9. Kongruencje quasigrup sa permutowalne. Niech Q be dzie relacja równości na zbiorze Q. Stwierdzenie 4.10. Niech Q be dzie quasigrupa i niech α Q Q. Wtedy α CgQ Q α. Quasigrupe z jedynka (elementem neutralnym mnożenia) nazywamy lupa lub pe tla. Stwierdzenie 4.11. Równościowa quasigrupa Q jest (równościowa ) lupa wtedy i tylko wtedy, jeśli dla wszystkich x, y Q x/x = y\y. Stwierdzenie 4.12. Każda grupa jest równościowa lupa wzgle dem mnożenia i dzieleń x/y = xy 1 oraz y\x = y 1 x. 4.2 Homotopie i izotopie quasigrup Z jednego kwadratu lacińskiego można otrzymać różne (na ogó l nieizomorficzne) quasigrupy. Aby badać zwia zki mie dzy kwadratami lacińskimi i odpowiadaja cymi im quasigrupami, bardziej od izomorfizmu przydatne jest poje cie izotopii. Przypomnijmy najpierw, że przekszta lcenie f : Q Q z quasigrupy Q w quasigrupe Q, jest homomorfizmem, jeśli f(x y) = f(x) f(y). Homotopia z quasigrupy Q w quasigrupe Q nazywamy trójke przekszta lceń f i : Q Q, gdzie i = 1, 2, 3, takich, że dla każdych x, y Q zachodzi f 1 (x) f 2 (y) = f 3 (x y). Taka homotopie oznaczamy symbolem (f 1, f 2, f 3 ) : (Q, ) (Q, ).
4 GRUPY A QUASIGRUPY 22 Homotopia, dla której f 1 = f 2 = f 3, jest homomorfizmem. Jeśli f 1, f 2, f 3 sa bijekcjami, to homotopia (f 1, f 2, f 3 ) nazywa sie izotopia. O dwóch quasigrupach Q i Q mówimy, że sa izotopijne ( i piszemy Q Q ), jeśli istnieje izotopia z Q w Q. Quasigrupa Q nazywa sie izotopem quasigrupy Q. Przyk lad 4.13. Quasigrupa (R, ), gdzie x y := (x + y)/2, jest izotopijna z quasigrupa (R, +). Odpowiednia izotopia dana jest wzorem (f 1, f 2, f 3 ) = (1, 1, 2x), gdzie 1 oznacza przekszta lcenie identycznościowe. Istotnie f 1 (x) + f 2 (y) = x + y = (x + y)/2 2 = f 3 (x y). Dla quasigrupy przedstawionej przy pomocy kwadratu lacińskiego be da - cego jej tabelka mnożenia, izotopie (f 1, f 2, f 3 ) interpretuje sie najcze ściej naste co: f 1 jest bijekcja oznaczeń wierszy (kolumna przed kreska ), f 2 jest bijekcja oznaczeń kolumn (wiersz nad kreska ), a f 3 jest bijekcja elementów kwadratu lacińskiego. Dla dwóch homotopii (f, g, h) : (P, ) (Q, ) oraz (f, g, h ) : (Q, ) (N, ), ich z lożenie (f f, g g, h h) : (P, ) (N, ) jest homotopia. Izotopia (f, g, h) nazywa sie izotopia g lówna, jeśli h = id. W takiej sytuacji zbiory P i Q pokrywaja sie. Dla dowolnej izotopii (f, g, h) : (P, ) (Q, ) mamy naste ce zwia zki (P, ), gdzie x y := h 1 (h(x) h(y)), jest quasigrupa izomorficzna z quasigrupa (Q, ), (f, g, h) = (h, h, h) (h 1 f, h 1 g, id). A zatem każda izotopia jest z lożeniem izomorfizmu oraz izotopii g lównej. Twierdzenie 4.14. Dwie quasigrupy (Q, ) oraz (Q, ) maja ten sam kwadrat laciński jako tabelki mnożenia wtedy i tylko wtedy, gdy sa g lównie izotopijne. Stwierdzenie 4.15. Każdy kwadrat laciński jest tabelka mnożenia pewnej lupy. W szczególności wynika sta d, że każda niepusta quasigrupa jest g lównie izotopijna z z pewna lupa.
4 GRUPY A QUASIGRUPY 23 Twierdzenie 4.16. Niech (Q,, /, \) be dzie niepusta quasigrupa, niech a, b Q. Dla dowolnych x, y Q, określimy x y := (x/b) (a\y). Wtedy (Q,, a b) jest lupa g lównie izotopijna z quasigrupa (Q, ). Twierdzenie 4.17. Jeśli lupa jest izotopijna z grupa, to jest z nia izomorficzna. Dowód. Niech (Q,, e ) be dzie lupa, a (Q,, e ) grupa. Rozważmy izotopie g lówna (f, g, id) : (Q,, e ) (Q,, e ). Wtedy dla wszystkich x, y Q Podstawiaja c w (4.2.1) e za x otrzymamy a sta d f(x) g(y) = x y. (4.2.1) f(x) g(e ) = x e = x, f(x) = x g(e ) 1. Podobnie, podstawiaja c w (4.2.1) e za y otrzymamy a sta d f(e ) g(y) = e y = y, g(y) = f(e ) y. Równianie (4.2.1) można teraz napisać w naste cej formie x g(e ) 1 f(e ) 1 y = x y. Mnoża c to równanie z lewej strony przez f(e ) 1 a z prawej przez g(e ) 1 otrzymamy f(e ) 1 x g(e ) 1 f(e ) 1 y g(e ) 1 = f(e ) 1 (x y) g(e ) 1. (4.2.2) Rozważmy teraz bijekcje θ : Q Q; x f(e ) 1 x g(e ) 1. Przy jej pomocy rónanie (4.2.2) można zapisać naste co. θ(x) θ(y) = θ(x y). A zatem θ jest izomorfizmem quasigrup.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 24 Wniosek 4.18. Jeśli dwie grupy sa izotopijne, to sa izomorficzne. Na mocy poprzednich twierdzeń, naste ce pytania sa sobie równoważne. 1. Czy każdy kwadrat laciński może być tabelka mnożenia grupy? 2. Czy każda skończona quasigrupa jest g lównie izotopijna z grupa? 3. Czy każda skończona lupa jest g lównie izotopijna z grupa? 4. Czy istnieje skończona lupa, która nie jest la czna? Równoważność pytań 1 i 2, wynika z Twierdzenia 4.14, pytań 2 i 3 z Twierdzenia 4.16, a pytań 3 i 4 z Twierdzenia 4.17. Nietrudno pokazać, że wszystkie lupy rze dów 2, 3 i 4 sa la czne. Rozważmy teraz 5-elementowa lupe L z podana niżej tabelka mnożenia. 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 4 3 0 2 2 2 0 4 1 3 3 3 2 0 4 1 4 4 3 1 2 0 Lupa ta nie może być la czna, ponieważ wszystkie 5-elementowe grupy sa izomorficzne z przemienna 5-elementowa grupa cykliczna, a lupa L nie jest przemienna. 5 Quasigrupy a konfiguracje kombinatoryczne 5.1 Systemy trójkowe Steinera Systemem trójkowym Steinera (STS), określonym na zbiorze A, nazywamy rodzine S 3-elementowych podzbiorów zbioru A taka, że każdy 2-elementowy podzbiór A zawarty jest dok ladnie w jednym zbiorze rodziny S. Moc zbioru A nazywamy rze dem systemu S. Zauważmy, że STS określony na zbiorze 1- elementowym jest pusty, a STS określony na zbiorze 3-elementowym sk lada sie z jednego elementu. Nie istnieje STS określony na zbiorze 2-elementowym. Twierdzenie 5.1. Niech S be dzie STS określonym na skończonym zbiorze A. Wtedy
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 25 (a) S = A ( A 1)/6, (b) A = 1 lub 3 (mod6). Dowód. (a) Zauważmy, że każdy element S zawiera trzy różne 2-elementowe podzbiory zbioru A, i każdy taki podzbiór należy do jednego elementu S. A zatem ( ) A A ( A 1) = = 3 S. 2 2 (b) Niech a A, i niech T 1,..., T k be da elementami S zawieraja cymi a. Wtedy zbiory T 1 {a},..., T k {a} sa parami różne. Ponadto A {a} = (T 1 {a}) (T k {a}). Sta d 2 A 1. I na mocy (a), A 3 0 lub A 3 1. A zatem A 6 1 lub A 6 3 W szczególności, STS-y moga być zbudowane na zbiorach 7, 9, 13, 15, 19- elementowych. Jeśli A = {1, 2,..., 7}, to S = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {5, 6, 1}, {1, 7, 4}, {2, 7, 5}, {3, 7, 6}, {2, 4, 6}. Istnieja dwie metody algebraizacji STS. Dla STS-a S określonego na zbiorze A zdefiniujemy operacje binarna na A naste co: oraz a b := c, jeśli {a, b, c} S a a := a. Latwo sprawdzić, że tak zdefiniowany grupoid (A, ) spe lnia naste ce równości x x = x, x y = y x, x xy = y. A zatem A jest idempotentna totalnie symetryczna quasigrupa, nazywana quasigrupa Steinera. Przypomnijmy, że w takiej quasigrupie, mnożenie i oba dzielenia pokrywaja sie. Twierdzenie 5.2. Niech (A, ) be dzie idempotentna totalnie symetryczna quasigrupa. Określimy S jako zbiór 3-elementowych pozbiorów {a, b, c} zbioru A takich, że iloczyn dowolnych dwóch elementów takiej trójki daje trzeci. Wtedy S jest STS określonym na zbiorze A.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 26 Dowód. Niech a b = c. Wtedy a ab = ac. I trzeci z aksjomatów implikuje, że b = a c. W podobny sposób, z iloczynu dowolnych dwóch spośród elementów a, b, c można otrzymać trzeci. Idempotentność implikuje, że jeśli dwa elementy sa równe, to sa równe wszystkie trzy. A zatem S jest istotnie systemem trójkowym Steinera. Drugim sposobem algebraizacji STS-a S określonego na A jest do la czenie do A nowego elementu 1, i zasta pienia idempotentności mnożenia przez a a = 1 oraz a 1 = 1 a = a. W ten sposób otrzymujemy grupoid (A {1},, 1) z jedynka, spe lniaja cy równości x x = 1, x y = y x, x xy = y. Grupoid taki jest oczywiście lupa, nazywana czasem lupa Steinera. Twierdzenie 5.3. Niech A be dzie lupa Steinera, przy czym A > 2. Określimy S jako rodzine 3-elementowych podzbiorów zbioru A {1} taka, że iloczyn dowolnych dwóch elementów takiej trójki daje trzeci. Wtedy S jest STS określonym na zbiorze A. Dowód jest podobny do dowodu Twierdzenia 5.2. 5.2 Ortogonalne kwadraty lacińskie Niech (a ij ) oraz (b ij ) be da dwoma kwadratami lacińskimi rze du n o elementach ze zbioru A. Za lóżmy ponadto, że dla każdej pary (a, b) A A istnieje dok ladnie jeden indeks ij taki, że (a, b) = (a ij, b ij ). Takie dwa kwadraty lacińskie nazywamy ortogonalnymi kwadratami lacińskimi. Przyk lad 5.4. Niżej podane kwadraty lacińskie sa wzajemnie ortogonalne. 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 2 2 0 1 1 2 0
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 27 Znana hipoteza Eulera mówi, że nie istnieje para ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n 2(mod4). Dopiero w po lowie wieku XX pokazano, że hipoteza ta jest prawdziwa tylko dla liczb 2 i 6. Dwóm ortogonalnym kwadratom lacińskim określonym na zbiorze A odpowiadaja dwie quasigrupy (A, 1, / 1, \ 1 ) oraz (A, 2, / 2, \ 2 ) takie, że przekszta lcenie (a, b) (a 1 b, a 2 b) jest permutacja zbioru A A. W przypadku, gdy A jest zbiorem skończonym, przekszta lcenie to jest bijekcja wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja funkcje 1 i 2 z A A w A takie, że 1 (a 1 b, a 2 b) = a oraz 2 (a 1 b, a 2 b) = b. W ten sposób otrzymujemy nowa strukture algebraiczna zwana para ortogonalnych kwadratów lacińskich (POKL). Jest to algebra (A, 1, / 1, \ 1, 2, / 2, \ 2, 1, 2 ) z ośmioma binarnymi operacjami spe lniaja cymi naste ce warunki: (A, 1, / 1, \ 1 ) oraz (A, 2, / 2, \ 2 ) sa quasigrupami 1 (a 1 b, a 2 b) = a oraz 2 (a 1 b, a 2 b) = b dla wszystkich a, b A. Lemat 5.5. Jeśli q = p n 3 dla pewnej liczby pierwszej p, to istnieje para ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du q. Dowód. Niech K = GF (q), gdzie q = p k 3, be dzie skończonym cia lem rze du q. Niech e 1, e 2 be da dwoma róznymi niezerowymi elementami K. Na zbiorze K, określimy dwie nowe operacje 1 oraz 2 naste co: a i b = e i a + b. Zauważmy, że sa to operacje quasigrupowe. Ponadto implikuje a sta d (a 1 b, a 2 b) = (c 1 d, c 2 d) e 1 a + b = e 1 c + d oraz e 2 a + b = e 2 c + d, A zatem, jeśli e 1 e 2, to e 1 (a c) = d b oraz e 2 (a c) = d b. a = c oraz b = d. Sta d tabelki mnożenia quasigrup (K, 1 ) oraz (K, 2 ) tworza wzajemnie ortogonalne kwadraty lacińskie.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 28 Z dowodu Lematu 5.5 widać w szczególności, że z cia la K można otrzymać rodzine q 1 parami ortogonalnych kwadratów lacińskich. Twierdzenie 5.6. Jeśli n 0, 1, lub 3 (mod4), to istnieje para ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n. Dowód. Zauważmy, że n 4 0, 1, 3 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2 k p k 1 1... p k r r, gdzie k 1, k i 1 i wszystkie p i sa nieparzystymi liczbami pierwszymi. Przypadek n = 1 jest trywialny. Jeśli n 3, Lemat 5.5 pozwala na skonstruowanie parami ortogonalnych kwadratów lacińskich (POKL) A 0, A 1,... A r rze dów odpowiednio 2 k, p k 1 1,..., p k r r. Ich produkt prosty jest ża dana algebra. Można również wykazać prawdziwość naste cego stwierdzenia, a także pokazać, że istnieje para idempotentnych ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du 54. Stwierdzenie 5.7. Jeśli q = p n 4 dla pewnej liczby pierwszej p, to istnieje para idempotentnych ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n. Troche informacji o zastosowaniach kwadratów lacińskich można znależć w ksia żce: W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra Wspó lczesna z Zastosowaniami, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2008 5.3 Geometrie skończone Niech F be dzie cia lem. Zbiór F n ma określona w znany sposób strukture n-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad cia lem F. Może być również rozważany jako przestrzeń afiniczna zwia zana z n-wymiarowa przestrzenia wektorowa nad F. Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni afinicznej F n sa warstwami wzgle dem podprzestrzeni wektorowych przestrzeni wektorowej F n. Można je też scharakteryzować jako podzbiory F n zawieraja ce z każdymi dwoma punktami x, y F prosta przechodza ca przez te dwa punkty. Prosta taka jest wyznaczona jednoznacznie i sk lada sie z punktów postaci p(x, y) := (1 p)x + py, gdzie p przebiega ca ly zbiór F. Oznaczmy taka prosta symbolem l(x, y). Wtedy l(x, y) = {p(x, y) p F }.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 29 A zatem podprzestrzenie afiniczne przestrzeni afinicznej F n traktować można jako algebry (A, F ), gdzie F = {p p F }. Można też pokazać, że przekszta lcenie z jednej przestrzeni afinicznej nad F w druga jest przekszta lceniem afinicznym dok ladnie wtedy, gdy jest homomorfizmem mie dzy odpowiadaja - cymi im algebrami. Dla danego cia la F o nieparzystej charakterystyce, klasa wszystkich algebr (A, F ) spe lnia dla wszystkich p, q F równości p(q(x, y), q(z, t)) = q(p(x, z)p(y, t)), p(x, x) = p(x, x), 0(x, y) = y = 1(y, x), r(p(x, y), q(x, y)) = r(p, q)(x, y). Rozmaitość wszystkich algebr typu (A, F ) spe lniaja cych powyższe równości może być utożsamiana z klasa wszystkich przestrzeni afinicznych nad F. Geometrycznym podprzestrzeniom afinicznym odpowiadaja podalgebry, przekszta lceniom afinicznym odpowiadaja homomorfizmy algebr. Jeśli cia lo F jest skończone i wymiar przestrzeni (A, F ) jest skończony, to przestrzeń jest również skończona. W przypadku, gdy (A, F ) ma wymiar n = 2, przestrzeń (A, F ) nazywamy p laszczyzna afiniczna i oznaczamy symbolem AG(2, n). Jeśli F jest cia lem Galois rze du n, to n nazywamy rze dem p laszczyzny AG(2, n). P laszczyzna taka ma n 2 punktów, oraz n 2 + n prostych. Jest to n prostych pionowych ( o nieskończonym nachyleniu) o równaniach x = c, oraz dla każdego a GF (n), po n prostych o nachyleniu a, o równaniach y = ax + b. Każda prosta ma n punktów, a każdy punkt leży na n + 1 prostych. Każde dwie różne proste albo sie przecinaja w dok ladnie jednym punkcie, albo sa roz la czne. Jeśli dwie proste l 1, l 2 sa roz la czne lub równe, to mówimy, że sa równoleg le. Relacja równoleg lości jest w zbiorze wszystkich prostych p laszczyzny AG(2, n) relacja równoważności zawieraja ca n + 1 klas abstrakcji, które nazywamy kierunkami. P laszczyzna AG(2, n) ma naste ce w lasności: (PA1) Przez każde dwa różne punkty przechodzi dok ladnie jedna prosta.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 30 (PA2) Dla każdej prostej l i każdego punktu x nie leża cego na tej prostej, istnieje dok ladnie jedna prosta l przechodza ca przez x i równoleg la do prostej l. (PA3) Istnieja trzy różne punkty nie leża ce na jednej prostej. Te trzy w lasności stanowia punkt wyjścia dla geometryczno-kombinatorycznej definicji przestrzeni afinicznej. Zgodnie z ta definicja p laszczyzna afiniczna nazywamy pare (X, L), gdzie X jest zbiorem, którego elementy nazywamy punktami, a L jest pewna rodzina podzbiorów zbioru X, zwanych prostymi, jeśli spe lnione sa warunki PA1, PA2 i PA3. P laszczyzny AG(2, n) sa przyk ladami takich w laśnie kombinatorycznych przestrzeni afinicznych, istnieja jednak również inne. Istnieje ścis ly zwia zek mie dzy p laszczyznami afinicznym rze du n i zbiorami n 1 wzajemnie ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n. Twierdzenie 5.8. P laszczyzna afiniczna rze du n istnieje dok ladnie wtedy, gdy istnieje n 1 wzajemnie ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n. Wniosek 5.9. Istnieje p laszczyzna afiniczna rze du n = p k dla każdej liczby pierwszej p. Widać sta d, że nie istnieje p laszczyzna afiniczna rze du 6. Do niedawna, nie wiadomo by lo, czy istnieje p laszczyzna afiniczna rze du 10. Ostatnio pokazano, że taka p laszczyzna nie istnieje. Cia gle nie wiadomo, czy istnieje p laszczyzna afiniczna rze du 12. P laszczyzne rzutowa definiuje sie jako pare (X, L), gdzie X jest zbiorem elementów zwanych punktami, a L rodzina jego podzbiorów, zwanych prostymi, przy czym spe lnione sa warunki PA1, PA3, natomiast PA2 zasta piony jest przez warunek naste cy. (PR2) Każde dwie różne proste przechodza przez dok ladnie jeden wspólny punkt. Z każdej skończonej p laszczyzny afinicznej rze du n skonstruować można skończona p laszczyzne rzutowa rze du n dodaja c prosta w nieskończoności zawieraja ca n + 1 punktów, każdy odpowiadaja cy jednemu kierunkowi. Każde dwie proste równoleg le przecinaja sie w odpowiadaja cym im punkcie w nieskończoności. Przestrzeń rzutowa rze du n ma n 2 +n+1 punktów oraz n 2 +n+1 prostych. Każda prosta zawiera n+1 punktów i przez każdy punkt przechodzi n + 1 prostych.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 31 Z każdej przestrzeni rzutowej rze du n można otrzymać przestrzeń afiniczna rze du n, wybieraja c dowolna prosta l jako prosta w nieskończoności i usuwaja c ja, oraz usuwaja c z każdej z pozosta lych prostych jej punkt przecie cia z l. Twierdzenie 5.10. P laszczyzna rzutowa rze du n istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje p laszczyzna afiniczna rze du n. 5.4 Izotopie i sieci Wiemy już, że każda quasigrupa jest izotopijna z pewna lupa. również naste ce twierdzenie. Zachodzi Twierdzenie 5.11. Niech (Q,, /, \) be dzie quasigrupa. Niech e Q. Określimy trzy nowe operacje na zbiorze Q: Wtedy x y := (x/(e \ e)) (e \ y), x//y := (x/(e \ y)) (e \ e), x \ \y := e((x/(e \ e)) \ y). (a) (Q,, //, \\, e) jest lupa. (b) (R e\e, L e, 1) : (Q,, /, \) (Q,, //, \\) jest izotopia g lówna. Jeśli k jest liczba ca lkowita wie ksza od 2, to k-siecia nazywamy taka strukture relacyjna (N, (α i ) i=1,...,k ), gdzie α i sa relacjami równoważności na zbiorze N, że dla każdych i, j spe lniaja cych warunek 1 i j k, α i α j jest relacja równości oraz α i α j = N 2. Stwierdzenie 5.12. Niech (N, (α i )) be dzie k-siecia. Zachodza naste ce warunki. (a) Zbiór {α i i = 1,..., k} jest zbiorem relacji parami permutowalnych. (b) Dla 1 i j k, przekszta lcenie N N/α i N/α j ; n (n/α i, n/α j ) jest bijekcja. (c) Wszystkie zbiory N/α i sa izomorficzne.
5 QUASIGRUPY A KONFIGURACJE KOMBINATORYCZNE 32 (d) Jeśli N > 1 oraz i j, to α i α j. (e) Jeśli 1 < N <, to (k 1) 2 N. Każda quasigrupa Q wyznacza 3-sieć Net(Q), w której N = Q 2, a ponadto α i = kerπ i dla i = 1, 2, gdzie π i : Q 2 Q 2 ; (x 1, x 2 ) x i, α 3 = ker(q 2 Q; (x 1, x 2 ) x 1 x 2 ). W szczególności, w przypadku skończonej quasigrupy Q, na 3-sieć N et(q) można patrzeć jak na kwadrat laciński otrzymany z tabelki mnożenia Q przez usunie cie oznaczeń wierszy i kolumn. Przy czym klasy relacji α 1 odpowiadaja wierszom kwadratu, klasy α 2 kolumnom, a klasy α 3 miejscom tabelki z równymi elementami. Dwie 3-sieci, (N, α 1, α 2, α 3 ) oraz (N, α 1, α 2, α 3) uważamy za izomorficzne, jeśli istnieje bijekcja f : N N taka, że dla każdego i (n 1, n 2 ) α i (f(n 1 ), f(n 2 )) α i. Izomorfizm sieci przeprowadza i-linie w i-linie. Można pokazać, że jeśli dwie quasigrupy sa izotopijne, to odpowiadaja ce im 3-sieci sa izomorficzne.