dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x y x~y Nektóre własośc relac preferec: a) x, y X x y y x (zupełość), b) x, y, z X (x y) (y z) x z (przechodość) c) x, y X xf y y f x x ~ y d) (x y y x ~ y e) (x y (y ) xfy f) (x y yfz) xfz g) x, y, z X ( xf y y f z) x f z, h) x, y, z X ( x ~ y y f z) x f z Wykłady -3 Mchał Koopczyńsk
Defca 2 Obszarem oboętośc względem daego koszyka x X azywamy zbór K x wszystkch koszyków ależących do przestrze towarów X dyferetych z koszykem x, co zapsuemy: K = { y X x ~ y} x W przypadku gdy =2 obszar oboętośc azywamy róweż krzywą oboętośc Defca 4 Relacę preferec kosumeta azywamy cągłą a przestrze towarów X, eżel take otoczea Uε ( X, Uε ( y) X, że: x, y X, xf y steą x ' U, y' U ( y) x' f y' ε ( ε Defca 6 Lową kombacą wypukłą koszyków azywamy każdy koszyk z postac x, y R + z = α x + βy, gdze α β są takm dowolym lczbam rzeczywstym, że α, β 0 oraz α + β = Defca 5 Relacę preferec azywamy sle wypukłą a przestrze towarów X, eżel α, β > 0 : α + β =, x, y X spełoy est waruek: (x y, x y ) α x + βyf y Wykłady -3 2 Mchał Koopczyńsk
Twerdzee 2 Jeżel relaca preferec est sle wypukła, to α, β > 0 : α + β = spełoe są waruk: () x, y X ( xf y, x y) α x + βy f y, () () x, y X ( x ~ y, x y) α x + βyf y, x, y X ( x ~ y, x y) α x + βyf x 2 Fukca użyteczośc Defca 2 Fukcą użyteczośc kosumeta azywamy określoą a przestrze towarów R + fukcę + u : R R R + spełaącą dla dowole pary koszyków x,y waruk: () u( > u(y) xfy, () u( = u(y) x~y Twerdzee 2 Jeżel u = u( est fukcą użyteczośc zwązaą z relacą preferec P oraz g = g(u) est fukcą rosącą (względem u), to fukca złożoa g ( = g( u( ) est fukcą użyteczośc zwązaą z tą samą relacą preferec P Wykłady -3 3 Mchał Koopczyńsk
Twerdzee 22 Jeżel X R+ = relaca preferec est cągła a przestrze towarów X, to stee cągła fukca użyteczośc u : R+ R opsuąca tę relacę Defca 22 Fukca R + u : R+ R est cągła w pukce x, eżel dla każdego cągu { } = x puktów ależących do R + zbeżego do x, cąg { ( )} = u x est zbeży do u(, co zapsuemy ( x R + x u( x ) u( Defca 23 Fukca u : R+ R est cągła a R +, eżel est R + cągła w każdym pukce x Twerdzee 23 Jeżel fukca użyteczośc cągła a u : R+ R est R +, to relaca preferec, którą ta fukca opsue, est też cągła a R + Wykłady -3 4 Mchał Koopczyńsk
Defca 25 Fukcę eżel u : R+ R azywamy rosącą a x, y R + prawdzwa est mplkaca: R +, ( x y x y) u ( > u( y) Defca 27 Krańcową użyteczoścą -tego towaru w koszyku x azywamy pochodą cząstkową (perwszego rzędu) u ( u( x, x + x,, u( x = lm x 0 x,, x ) Krańcowa użyteczość -tego towaru formue o le (w przyblżeu) zme sę użyteczość koszyka x, eżel lość -tego towaru wzrośe o edostkę (a lośc pozostałych towarów e ulegą zmae) Jeżel fukca użyteczośc u : R+ R est rosąca sle wklęsła a u( R +, to: x > 0 > 0, =,, x Wykłady -3 5 Mchał Koopczyńsk
Defca 24 Fukcę u : R+ R azywamy sle wklęsłą a R +, eżel α, β > 0 : α + β =, x, y R, ( x y) spełoy est waruek: u( α x + βy) > αu( + βu( y) + Twerdzee 24 Jeżel fukca użyteczośc sle wklęsła a u : R+ R est R +, to relaca preferec, którą ta fukca opsue, est sle wypukła a R + Prawo Gossea Jeżel fukca użyteczośc u : R+ R est różczkowala sle wklęsła, to krańcowa użyteczość każdego towaru u( x malee wraz ze wzrostem lośc tego towaru w koszyku x (przy założeu, że lośc pozostałych towarów e ulegaą zmae) Wykłady -3 6 Mchał Koopczyńsk
Weźmy dowoly koszyk y > 0 załóżmy, że u( y ) = c > 0 Obszar oboętośc K względem koszyka y (zbór wszystkch koszyków y dyferetych z y) w kategorach fukc użyteczośc moża zapsać w postac { x R u(x = c } Ky = + ) Defca 20 Krańcową stopą substytuc towaru -tego przez towar -ty (w koszyku azywamy wyrażee: s x ( x ) = = lm x 0 x Z defc wyka, że krańcowa stopa substytuc s ( formue o le edostek (w przyblżeu) ależy zwększyć w koszyku x lość -tego towaru przy zmeszeu lośc -tego towaru o edostkę, aby użyteczość koszyka e uległa zmae Defca 2 Elastyczoścą substytuc towaru -tego przez towar -ty (w koszyku azywamy wyrażee: x x / x ε ( x ) = = x x lm x 0 x / Elastyczość substytuc formue o le procet ależy zwększyć w koszyku x lość -tego towaru przy zmeszeu o ede procet lośc -tego towaru, aby użyteczość koszyka e uległa zmae Wykłady -3 7 Mchał Koopczyńsk
+ Twerdzee 27 Jeżel fukca użyteczośc u : R R speła założee 2 (str46), to rówość: s R + u( u( ( x ) = = : x t spełoa est x u u x s ( ( ε ( = ( = : x x x x 3 Fukca popytu kosumeta Defca 6 Lą (płaszczyzą) budżetową azywamy zbór wszystkch tych koszyków, których kupo wymaga wydaa całego dochodu, t zbór { R p x = I } x, + D(={ x R x I } + Twerdzee 3 Jeżel fukca użyteczośc u : R+ R est cągła sle wklęsła, to I > 0, p > 0 w zborze D( stee dokłade ede optymaly koszyk x spełaący waruek: u ( > u( x D ( x x Wykłady -3 8 Mchał Koopczyńsk
ZADANIE MAKSYMALIZACJI UŻYTECZNOŚCI KONSUMPCJI: max u( x I, (3) x 0 Twerdzee 32 Jeżel fukca użyteczośc u : R+ R est rosąca, różczkowala sle wklęsła dla koszyków x > 0, to koszyk x > 0 est rozwązaem optymalym zadaa (3) wtedy tylko wtedy, gdy stee taka lczba λ > 0 (zwaa możkem Lagrage a), że para ( x, λ ) speła astępuący układ + rówań: u( = λp x = I =,, Defca 3 Fukcą popytu kosumeta azywamy odwzorowae + R + R+ ϕ :, które każde parze ( p, I ) > 0 przyporządkowue odpowadaące e rozwązae x = ϕ ( > 0 zadaa maksymalzac użyteczośc kosumpc Twerdzee 33 Jeżel pewe dwe fukce użyteczośc u ( ) u 2 ( opsuą tę samą relacę preferec kosumeta, to odpowada m eda ta sama fukca popytu ϕ ( x Wykłady -3 9 Mchał Koopczyńsk
Twerdzee 34 Fukca popytu kosumeta ϕ ( est dodato edoroda stopa zero, tz że: p > 0, I > 0, λ > 0 ϕ( λ λ = ϕ( Twerdzee 36 Wzrost dochodu kosumeta powodue wzrost popytu a przyame ede towar, tz ( > 0 take, że ϕ ( > 0 I Jeżel ze wzrostem dochodu popyt a pewe towar rośe [malee], to tak towar azywamy towarem wyższego rzędu [ższego rzędu] Twerdzee 37 Wzrost cey akegokolwek towaru powodue spadek popytu a przyame ede towar, tz ( > 0 take, że ϕ ( < 0 p Jeżel ze wzrostem cey popyt a pewe towar malee [rośe], to tak towar azywamy towarem ormalym [Gffea] Wykłady -3 0 Mchał Koopczyńsk
Twerdzee 38 Jeżel wraz ze wzrostem cey popyt a towar rośe, to wraz ze wzrostem dochodu popyt a te towar malee, tz ( p, > 0 eżel ϕ ( I ) ϕ (, ) > 0, to p I < 0 p I Zatem każdy towar Gffea est towarem ższego rzędu Róweż każdy towar wyższego rzędu est towarem ormalym (eżel wraz ze wzrostem dochodu popyt kosumeta a pewe towar rośe, to wraz ze wzrostem cey tego towaru popyt a te towar spada) Tabela 3 Klasyfkaca towarów ze względu a elastyczość ceową dochodową popytu Elastyczość ceowa Elastyczość dochodowa Towary wyższego rzędu ε d > 0 Towary ższego rzędu ε d < 0 Towary ormale < 0 c ε masło, szyka, samochód margarya, kaszaka, blety tramwaowe Towary Gffea > 0 c ε chleb, zemak w Irlad pod koec XIX weku Wykłady -3 Mchał Koopczyńsk
Defca 34 Popytem krańcowym a -ty towar względem cey -tego towaru azywamy pochodą: P c ( = ϕ ( I ) p c W przyblżeu P formue, o le edostek zme sę popyt a -ty towar, eżel cea -tego towaru wzrośe (zmalee) o edostkę (a pozostałe cey dochód kosumeta e ulegą zmae) Defca 35 Elastyczoścą popytu a -ty towar względem cey -tego towaru (elastyczoścą ceową) azywamy fukcę postac: ε c ϕ (,I ) p (,I ) p p = p ϕ ( c ε formue o le procet zme sę popyt a -ty towar, eżel cea -tego towaru wzrośe (zmalee) o ede procet (a pozostałe cey dochód kosumeta e ulegą zmae) Defca 32 Pośredą fukcą użyteczośc azywamy odwzorowae + v : R+ R, które każde parze ( p, I ) > 0 przyporządkowue użyteczość u ( optymalego koszyka x = ϕ ( > 0, będącego rozwązaem zadaa maksymalzac użyteczośc kosumpc Wykłady -3 2 Mchał Koopczyńsk
Zauważmy, że pośreda fukca użyteczośc est złożeem fukc użyteczośc z fukcą popytu, co wyrażamy zapsem: v( p, = u( = u( ϕ( ) Defca 33 Krańcową użyteczoścą dochodu azywamy v( pochodą: = I lm I 0 v( I + I ) v( I Krańcowa użyteczość dochodu formue o le wzrośe użyteczość optymalego koszyka, gdy dochód kosumeta wzrośe o edostkę Wykłady -3 3 Mchał Koopczyńsk