Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona? 4. Co to jest cz ± rzeczywista/urojona liczby zespolonej? 5. Co oznacza ª czno± mno»enia liczb zespolonych? 6. Czym jest liczba przeciwna/odwrotna/sprz»enie/moduª/argument danej liczby zespolonej? 7. Jak podzieli liczby zespolone w postaci algebraicznej? 8. Co to jest posta trygonometryczna liczby zespolonej? 9. Jak wykona mno»enie/dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej? 10. Podaj wzory de Moivre'a. 11. Podaj denicj pierwiastka ntego stopnia z liczby zespolonej. Ile pierwiastków ma liczba zespolona? 12. Co to jest macierz? 13. Co to jest stopie«macierzy? 14. Co to jest macierz symetryczna? 15. Co to jest macierz sko±nosymetryczna? 16. Co to jest macierz diagonalna? 17. Co to jest macierz trójk tna? 18. Co to jest macierz osobliwa? 19. Co to jest ±lad macierzy? 20. Jaki warunek musz speªnia dwie macierze, aby móc je do siebie doda? 21. Jaki warunek musz speªnia dwie macierze, aby móc je od siebie odj? 22. Jaki warunek musz speªnia dwie macierze, aby móc je przez siebie pomno»y? 23. Jaki warunek musz speªnia dwie macierze, aby móc je przez siebie podzieli? 1
24. Jaki macierze mo»na transponowa? 25. Czym jest wyznacznik macierzy? Jakie macierze posiadaj wyznacznik? 26. Czym jest minor macierzy? Jakie macierze posiadaj minory? 27. Czym jest dopeªnienie algebraiczne elementu macierzy? Jakie macierze posiadaj dopeªnienia algebraiczne swoich elementów? 28. Jak operacje elementarne na wierszach macierzy wpªywaj na warto± jej wyznacznika? 29. Jak operacje elementarne na kolumnach macierzy wpªywaj na warto± jej wyznacznika? 30. Jak si zmieni wyznacznik macierzy po pomno»eniu wszystkich jej elementów przez dwa? 31. Jak si zmieni wyznacznik macierzy po pomno»eniu wszystkich jednej jej kolumny elementów przez trzy? 32. Jak si zmieni wyznacznik macierzy po pomno»eniu wszystkich jednego jej wiersza elementów przez dwa? 33. Jak wyznaczy rz d macierzy za pomoc wyznaczników? 34. Podaj tre± twierdzenia KroneckeraCapelli'ego. 35. Jakie ukªady równa«mo»na rozwi zywa metod wyznaczników? 36. Co wiadomo o liczbie rozwi zy«ukªadu równa«, je»eli wyznacznik gªówny jest równy zero? 37. W jaki sposób przy metodzie Cramera rozpozna ukªady sprzeczne? 38. Jakie macierze posiadaj macierz odwrotn? 39. Co to jest macierz doª czona? 40. Co to jest dopeªnienie algebraiczne? 41. Dla jakich macierzy mo»na wyznaczy dopeªnienia algeraiczne? 42. Kiedy ukªad n równa«z n niewiadomymi postaci jest jednoznacznie rozwi zywalny? A x = b 43. Jak dzielimy ukªady równa«liniowych ze wzgl du na liczb rozwi za«? 44. Co to jest równanie liniowe jednorodne? 2
45. Co to jest jednorodny ukªad równa«liniowych, co wiemy o jego rozwi zywalno±ci? 46. Co to jest rozwi zanie ukªadu równa«? 47. Co to jest macierz wspóªczynników ukªadu równa«? 48. Co to jest rozszerzona macierz wspóªczynników ukªadu równa«? 49. Wymie«operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej wspóªczynników ukªadu równa«. 50. W jaki sposób zmienia si zbiór rozwi za«ukªadu równa«przy zastosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej? 51. W jaki sposób zmienia si zbiór rozwi za«ukªadu równa«przy zastosowaniu operacji elementarnych na kolumnach macierzy rozszerzonej? 52. Podaj tre± twierdzenia Cayley'aHamiltona. 53. Podaj denicj ci gu. 54. Jaki ci g nazywamy malej cym (rosn cym, ograniczonym)? 55. Podaj denicj granicy (wªa±ciwej) ci gu. 56. Pod jakimi warunkami granica sumy (ró»nicy, iloczynu, ilorazu) ci gów jest równa sumie (ró»nicy, iloczynowi, ilorazowi) ich granic? 57. Podaj tre± twierdzenia o trzech ci gach. 58. Jakie ci gi arytmetyczne s zbie»ne? 59. Jakie ci gi geometryczne s zbie»ne? 60. Jakie ci gi geometryczne s zbie»ne do zera? 61. Podaj denicj granicy wªa±ciwej (granicy wªa±ciwej lewostronnej, granicy wªa±ciwej prawostronnej) funkcji. 62. Podaj tre± twierdzenia dotycz cego obliczania granicy sumy (ró»nicy, iloczynu, ilorazu) funkcji. 63. Co to s wyra»enia nieoznaczone? 64. Jakie funkcje nazywamy ci gªymi (ci gªymi w punkcie, ci gªymi w przedziale)? 65. Scharakteryzuj ci gªo± funkcji wymiernych (pot gowych, wykªadniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych). 66. Podaj twierdzenie o ci gªo±ci funkcji zªo»onej. 67. Co nazywamy asymptot (asymptopt lewostronn, asymptot prawostronn ) wykresu funkcji? 3
68. Co nazywamy asymptot poziom (uko±n ) wykresu funkcji? 69. Podaj wzory do wyznaczenia równania asymptoty uko±nej wykresu funkcji. 70. Jakie funkcje wymierne posiadaj asymptoty poziome (uko±ne)? (Charakterystyka za pomoc stosunku stopni licznika i mianownika) 71. Podaj denicj pochodnej funkcji w punkcie. 72. Jakie funkcje nazywamy ró»niczkowalnymi? 73. Podaj przykªad funkcji ci gªej nieró»niczkowalnej. 74. Co to jest pochodna funkcji? 75. Podaj wzór na pochodn funkcji pot gowej, funkcji wykªadniczej, logarytmu, sinusa, cosinusa, tangensa, arcsin, arccos, arctg. 76. Podaj wzór na pochodn sumy (ró»nicy, iloczynu, ilorazu) funkcji. 77. Podaj wzór na pochodn funkcji zªo»onej (odwrotnej). 78. Co to jest druga pochodna funkcji? 79. Co to znaczy innitezymalny? 80. Podaj wzó stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0. 81. Podaj denicj szybko±ci chwilowej. 82. Podaj tre± twierdzenia Rolle'a (Lagrange'a). 83. Jaka jest zale»no± mi dzy monotoniczno±ci funkcji ró»niczkowalnej a zachowaniem jej pochodnej? 84. Podaj denicj ekstremum lokalnego (ekstremum lokalnego ±cisªego) funkcji. 85. Podaj tre± twierdzenia Fermata. 86. Podaj warunek istnienia ekstremum (minimum, maksimum) funkcji ró»niczkowalnej (charakterystyka zachowania pochodnej). 87. Podaj warunek istnienia ekstremum (minimum, maksimum) funkcji dwukrotnie ró»niczkowalnej (charakterystyka zachowania pochodnej i drugiej pochodnej). 88. Co to jest maksimum (minimum) globalne funkcji? 89. Podaj wzór Taylora (przy speªnionych zaªo»eniach). 90. Podaj rozwini cie funkcji w szereg Taylora (przy speªnionych zaªo»eniach). 91. Podaj rozwini cie funkcji w szereg Maclaurina (przy speªnionych zaªo»eniach). 4
92. Podaj reguª de l'hospitala. 93. Co to jest funkcja pierwotna? 94. Jakie funkcje posiadaj funkcj pierwotn? 95. Co to jest caªka nieoznaczona funkcji? 96. Czym si ró»ni caªka nieoznaczona od funkcji pierwotnej? 97. Co otrzymamy po scaªkowaniu funkcji i zró»niczkowaniu wyniku caªkowania? 98. Co otrzymamy po zró»niczkowaniu funkcji i scaªkowaniu wyniku ró»niczkowania? 99. Co to jest staªa caªkowania? 100. Co to znaczy,»e caªkowanie jest operacj liniow? 101. Na czym polega caªkowanie przez cz ±ci? 102. Na czym polega caªkowanie przez podstawianie? 103. Co to s uªamki proste pierwszego i drugiego rodzaju? 104. Co to jest podziaª odcinka? 105. Co to jest suma caªkowa? 106. Jak deniuje si caªk oznaczon Riemanna? 107. Czym s nieci gªo±ci funkcji pierwszego rodzaju? 108. Czym s nieci gªo±ci funkcji drugiego rodzaju? 109. Jaki funkcje maj caªk oznaczon? 110. Jaki jest zwi zek mi dzy caªk oznaczon a nieoznaczon? 111. Jaki jest zwi zek mi dzy caªk oznaczon a funkcj pierwotn? 112. Co to znaczy,»e caªkowanie oznaczone jest operacj liniow? 113. Co to znaczy,»e caªkowanie oznaczone jest operacj addytywn wzgl dem przedziaªu caªkowania? 114. Na czym polega caªkowanie oznaczone przez cz ±ci? 115. Na czym polega caªkowanie oznaczone przez podstawianie? 116. Co to jest trapez krzywoliniowy i jak policzy jego pole? 117. Podaj wzór na dªugo± ªuku krzywej y = f(x). 5