Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni Michł ADAMASZEK, Coventry Zcznijmy od wyjśnieni tytułu. Będą ns interesowć przestrzenie topologiczne, których elementmi są podziory innych przestrzeni. Co to dokłdnie znczy? Większość przestrzeni topologicznych, z którymi chcieliyśmy mieć do czynieni, powstje z kilku podstwowych klocków, tkich jk odcinek I = [0, 1] czy okrąg S 1. Do udowy rdziej skomplikownych przestrzeni używmy opercji tkich jk produkt krtezjński X Y, przestrzeń ilorzow X/A czy rdziej ogóln przestrzeń ilorzow X/ ędąc wynikiem sklejeni punktów X w sposó opisny przez relcję. N przykłd okrąg powstje przez sklejenie końców odcink: S 1 = I/0 1. Nstępny przykłd motywuje potrzeę wprowdzeni innego typu konstrukcji. Mmy nczynie w ksztłcie pewnej przestrzeni X w nim dokłdnie n jednkowych, swoodnie poruszjących się cząstek gzu. Chcemy opisć przestrzeń wszystkich możliwych położeń tych cząstek. Mtemtycznie elementmi tej przestrzeni są n elementowe podziory C = {x 1,..., x n } przestrzeni X. Mówimy, że lisko ustlonego podzioru C są wszystkie podziory otrzymne przez młe poruszenie wszystkimi punktmi w C, oczywiście pod wrunkiem, że żdne dw punkty nie ulegną zderzeniu. Znczenie słow młe zleży tu od topologii w przestrzeni X. W ten intuicyjny sposó definiujemy młe otoczeni otwrte, więc ndjemy nszej rodzinie podziorów strukturę przestrzeni topologicznej. Przestrzenie tego typu nzyw się zwykle przestrzenimi konfigurcyjnymi. Ten konkretny egzemplrz możn zdefiniowć rdziej formlnie jko C n (X) = {(x 1,..., x n ) X n : x i x j }/Σ n, gdzie Σ n ozncz grupę n permutcji dziłjącą n współrzędnych. Po tym przykłdzie Czytelnik powinien podejść ze zrozumieniem do przestrzeni, którymi ędziemy się interesowć: P n (X) = przestrzeń co njwyżej n-elementowych, niepustych podziorów przestrzeni X. y 1 A ztem typowy element przestrzeni P n (X) wygląd tk smo, jk w C n (X), czyli jest ziorem złożonym z n różnych punktów w X, le dodtkowo mmy tkże wszystkie konfigurcje zdegenerowne, gdzie punktów jest mniej niż n. Młe otoczenie ustlonego podzioru P definiujemy podonie jk poprzednio, to znczy pozwlmy n młe przemieszczenie wszystkich elementów z P, tym rzem dopuszczjąc możliwość zderzeni i utworzeni konfigurcji o mniejszej liczności. Ozncz to, że zchodzi też zjwisko odwrotne, w którym jeden z punktów w konfigurcji zdegenerownej może zmienić się n kilk punktów leżących rdzo lisko niego. Zilustrujemy tę definicję n przykłdzie. Przestrzeń co njwyżej dwuelementowych podziorów odcink I możn zpisć nstępująco: 0 1 Rys. 1. P 2(I) x P 2 (I) = {(x, y) : 0 x y 1} poniewż kżdy 1- lu 2-elementowy podziór odcink możn jednozncznie reprezentowć przez prę uporządkowną. Sytucj t przedstwion jest n rysunku 1. Przestrzeń P 2 (I) jest więc topologicznie równowżn (fchowo: homeomorficzn) z domkniętym trójkątem. Podziorom jednoelementowym {x} odpowidją punkty postci (x, x). Widzimy, że młe otoczenie podzioru { 1 2 } zwier podziory postci {x, y} gdzie x i y są rdzo liskie 1 2 i niekoniecznie równe. 8
Znim przejdziemy do dlszych przykłdów, zoserwujmy jeszcze dwie proste włsności zchodzące dl dowolnej przestrzeni X: P 1 (X) = X X = P 1 (X) P 2 (X) P 3 (X)... Możemy terz precyzyjnie wyjśnić, dokąd zmierz ten rtykuł. Nszym celem jest jk njlepsze zrozumienie przestrzeni P 3 (S 1 ) złożonej z co njwyżej 3 elementowych podziorów okręgu. Czy jest on topologicznie równowżn z jkąś znną przestrzenią? N rozgrzewkę zdjmy przestrzeń P 2 (S 1 ). Poniewż okrąg powstje z odcink przez utożsmienie końców (S 1 = I 1), więc tkże przestrzeń P 2 (S 1 ) powstje z P 2 (I) poprzez utożsmienie wszystkich wystąpień punktów 0 i 1. Mmy ztem Rys. 2. P 2(S 1 ) P 2 (S 1 ) = P 2 (I)/(0, x) (x, 1). Sprwdźmy, jk to utożsmienie wpływ n trójkąt z rysunku 1. Punkty (0, x) leżą n lewym, (x, 1) n górnym oku trójkąt, ztem musimy skleić te dw oki zgodnie z kierunkiem strzłek n rysunku 2. Możn to zroić eksperymentlnie, zwijjąc lewy ok w okrąg i nwijjąc n niego górny ok (pmiętjmy, że wszystkie trzy wierzchołki trójkąt, (0, 0), (0, 1) i (1, 1), reprezentują terz ten sm podziór {0}). Poniewż nie jest od rzu jsne, co wychodzi, postąpimy inczej, według przepisu z rysunku 3. Rozcinmy trójkąt wzdłuż linii przerywnej i rozsuwmy powstłe części, pmiętjąc, że w rzeczywistości przerywne krwędzie są sklejone wzdłuż strzłek podpisnych. Nstępnie sklejmy trójkąty wzdłuż krwędzi i widzimy już, że mmy do czynieni ze wstęgą Möius oiektem powstłym z psk ppieru poprzez sklejenie ze zminą orientcji pry przeciwległych krwędzi. Udowodniliśmy więc nstępujące twierdzenie. Rys. 3. P 2 (S 1 ) jest wstęgą Möius Twierdzenie. Przestrzeń co njwyżej dwuelementowych podziorów okręgu, P 2 (S 1 ), jest topologicznie równowżn ze wstęgą Möius. Przestrzeń podziorów jednoelementowych P 1 (S 1 ) jest w niej zwrt jko okrąg rzegowy wstęgi. Ay otrzymć drugie z powyższych stwierdzeń wystrczy prześledzić położenie punktów (x, x) w czsie procedury rozcinni i sklejni. Dl rozrywki Czytelnik Wyrfinownego nszkicujemy inny rgument. Przez dw dne punkty n okręgu prowdzimy prostą (jeżeli punkt jest tylko jeden, rysujemy styczną w tym punkcie). Kierunek tej prostej wyzncz element w jednowymirowej przestrzeni rzutowej RP 1, topologicznie równowżnej z S 1. W ten sposó zdefiniowliśmy ciągłe odwzorownie P 2 (S 1 ) S 1. Przesuwjąc ustloną prostą równolegle widzimy, że włókno tego przeksztłceni (przeciworz dowolnego punktu) jest odcinkiem. Ztem przestrzeń P 2 (S 1 ) jest topologicznie równowżn z wiązką odcinków nd okręgiem. Są tylko dwie tkie wiązki: wlec S 1 I i włśnie wstęg Möius. Czytelnik, który dornął do tego etpu rozumowni, łtwo wyeliminuje pierwszą możliwość. 9
Po tej rozgrzewce rozwżmy przestrzenie złożone z trzech punktów. Zczniemy od odcink i jego trójelementowych podziorów P 3 (I). Kżdy 3-, 2- lu 1-elementowy podziór odcink możn zpisć w postci trójki uporządkownej, jednk w przypdku podziorów 2-elementowych {x, z} możn to zroić n dw sposoy (x, x, z) i (x, z, z), które musimy utożsmić. Mmy więc P 3 (I) = {(x, y, z) : 0 x y z 1}/(x, x, z) (x, z, z). C B A Rys. 4. P 3(I) D Ziór {(x, y, z) : 0 x y z 1} jest czworościnem o wierzchołkch A = (0, 0, 0), B = (0, 0, 1), C = (0, 1, 1), D = (1, 1, 1). Przestrzeń P 3 (I) powstje więc z tego czworościnu poprzez utożsmienie ściny ABD (punkty postci (x, x, z)) ze ściną ACD (punkty postci (x, z, z)) w tki sposó, że wierzchołek B przechodzi n C, krwędź AB n AC krwędź BD n CD, jk n rysunku 4. Efekt końcowy łtwo uzyskć, jeśli wyorzimy soie, że cły czworościn jest z gumy, po czym wierzchołek C orócimy wokół osi AD ż zcienione ściny nłożą się n sieie. Otrzymujemy ryłę wyglądjącą jk dw pełne stożki o wierzchołkch A i D, sklejone podstwmi. Topologicznie jest to zwykł kul. Przestrzeń podziorów jednoelementowych postci (x, x, x) jest w niej położon jko średnic AD. N mrginesie, rdziej zwnsowny Czytelnik może wywnioskowć stąd (jk?), że docelow przestrzeń P 3 (S 1 ) jest trójwymirową rozmitością (czyli kżdy jej punkt m otoczenie, które jest otwrtą kulą). Przestrzeń P 3 (S 1 ) możemy terz uzyskć utożsmijąc, jk poprzednio, punkty 0 i 1. Mmy ztem: C B D P 3 (S 1 ) = P 3 (I)/(0, y, z) (y, z, 1). Tk więc P 3 (S 1 ) powstje z czworościnu ABCD poprzez sklejenie ścin ABD i ACD (jk w P 3 (I)) orz dodtkowo ściny ABC (punkty postci (0, y, z)) ze ściną BCD (punkty postci (y, z, 1)) w tki sposó że krwędzie AB, BC, CA zostją sklejone, kolejno, z krwędzimi BC, CD, DB, co zznczone zostło n rysunku 5. To drugie utożsmienie zncząco komplikuje sprwę. Nsze poprzednie techniki rozcinnie, sklejnie czy udownie modeli mogą okzć się niewystrczjące. A Rys. 5. P 3(S 1 ) W rzeczywistości odpowiedzi n pytnie czym jest P 3 (S 1 ) udzielili jko pierwsi Krol Borsuk (1905-1982) i Roul Bott (1923-2005). Tego pierwszego nie trze chy polskiemu Czytelnikowi specjlnie przedstwić. Dość powiedzieć, że we współczesnej mtemtyce jest on znny m.in. z definicji korozwłóknieni tkże z hipotezy Borsuk (Czy kżdy ziór wypukły w R d możn podzielić n d + 1 ziorów o mniejszych średnicch?), rozstrzygniętej negtywnie w roku 1993 orz z twierdzeni Borsuk-Ulm, którego populrne sformułownie stnowi, iż w kżdej chwili istnieją n powierzchni Ziemi dw punkty ntypodyczne w których pnuje t sm tempertur i ciśnienie. Z kolei mtemtyk węgierskiego pochodzeni Roul Bott ył jednym z czołowych przedstwicieli nowoczesnej topologii lgericznej, kojrzonym głównie ze słynnym, z początku zskkującym twierdzeniem o periodyczności dl grupy unitrnej, które okzło się wkrótce po udowodnieniu odegrć zsdniczą rolę w rodzącej się kurt K-teorii. 10
Histori odpowiedzi, jkiej udzielili Borsuk i Bott, jest równie ciekw, jk sm odpowiedź. W 1949 Borsuk opulikowł prcę [1], w której pokzł, że P 3 (S 1 ) jest topologicznie równowżn z produktem S 2 S 1 zwykłej sfery i okręgu. Trzy lt później w Fundment ukzł się prc Bott [2], mjąc formę listu do Borsuk i zczynjąc się od słów (oznczeni oryginlne): In your pper On the third symmetric potency of the circumference (...) you ssert tht the third symmetric potency of S (3) 1 of the circle S 1 is homeomorphic to the Crtesin product of S 1 nd the two sphere S 2. (...). But in fct the identifiction you hve mde is incorrect nd in consequence your finl conclusion (...) is flse. A quite simple nd short rgument shows tht S (3) 1 hs vnishing fundmentl group whence (...) S (3) 1 is simply connected lensespce, i.e. the three sphere S 3. A ztem prc Borsuk zwier łąd i prwidłow odpowiedź powinn rzmieć: Twierdzenie. Przestrzeń P 3 (S 1 ) jest topologicznie równowżn ze sferą trójwymirową S 3. Jeśli Czytelnik przechodzą cirki n smą myśl o trójwymirowej sferze, to njłtwiej ędzie myśleć o niej, przez nlogię z niżej-wymirowymi odpowiednikmi, jk o przestrzeni R 3 z dodtkowym punktem w nieskończoności. W tym miejscu Czytelnikowi nleży się wyjśnienie, Krolowi Borsukowi usprwiedliwienie. Otóż prc Borsuk, choć skomplikown, jest zsdniczo poprwn, łąd wkrdł się dopiero pod sm koniec rozumowni. Podkreśl to zresztą sm Bott, który poprwi tylko końcówkę dowodu Borsuk. Minowicie po dłuższych przeksztłcenich Borsuk dochodzi do wniosku, że interesując ns przestrzeń może yć otrzymn z dwóch pełnych torusów, których rzegi są w pewien sposó utożsmione. Prolem w tym, że w grę wchodzą dw możliwe sposoy sklejeni tkich torusów: południki jednego utożsmimy z południkmi lo z równoleżnikmi drugiego. W pierwszym przypdku otrzymujemy włśnie S 2 S 1 (co widć dość łtwo), w drugim S 3 (co już nieco trudniej). Czytelnik oeznny choć trochę z podstwowymi zklęcimi topologii lgericznej może smodzielnie sprwdzić, kto m rcję. Choć nsz opis P 3 (S 1 ) jko przestrzeni ilorzowej czworościnu ABCD jest trudny koncepcyjnie, jednk świetnie sprwdz się jko jej rozkłd komórkowy (rdzo ściśle: rozkłd jko -kompleks). Ndje się przez to do liczeni tkich niezmienników topologicznych jk grup podstwow i grupy homologii. Wyznczmy ztem, podonie jk zroił to Bott, grupę podstwową π 1 (P 3 (S 1 )) przestrzeni P 3 (S 1 ). Zcznijmy od szykiego przypomnieni (lu, jk kto woli, wprowdzeni) definicji. Grup podstwow przestrzeni X jest generown przez wszystkie pętle (funkcje ciągłe f : S 1 X) zczepione w wyróżnionym punkcie x 0 (to znczy f(1) = x 0 ). Dwie pętle f i g utożsmimy, jeśli jedną możn w sposó ciągły zdeformowć w drugą, czyli istnieje cł rodzin pętli przechodzących w sposó ciągły z f do g. Fchowo mówimy, że tkie pętle są homotopijne. Elementmi grupy podstwowej π 1 (X) są ztem klsy równowżności relcji homotopii. Wszystko to rzmi rdzo nukowo, le jeśli dysponujemy rozkłdem komórkowym przestrzeni, to grupę podstwową możemy opisć rdzo łtwo. Po pierwsze, wystrczy ogrniczyć się do pętli tworzących jednowymirowy szkielet tego rozkłdu. W nszym przykłdzie mmy dwie tkie pętle, i (pmiętjmy, że skleiliśmy punkty A, B, C i D). Kżd ścin dwuwymirow ogrnicz, przez to trywilizuje, pewną pętlę tk pętl może yć ściągnięt do punktu, więc pętli trywilnej, poprzez deformcję prowdzącą cły czs po wyrnej ścinie. Z Rysunku 5 odczytujemy, że ścin ABD ( tkże ACD) m n swym rzegu pętlę 1 = 2 1, ścin ABC ( tkże BCD) ogrnicz pętlę 1 =. Woec tego w grupie π 1 (P 3 (S 1 )), generownej przez dw elementy,, zchodzą relcje 2 1 = 1 orz = 1, co zpisujemy π 1 (P 3 (S 1 )) =, = 1, 2 1 = 1. 11
Ztem = 1 orz = 2 = 1, więc t grup jest trywiln. To już wystrczy, y wykluczyć odpowiedź S 2 S 1, o grup podstwow tej osttniej przestrzeni to Z. Co więcej, Czytelnik Nowoczesny, który pondto sprwdził, że P 3 (S 1 ) jest rozmitością, już wie, że musi to yć sfer S 3. Jest to wniosek z Hipotezy Poincrégo w wymirze 3, jednego z siedmiu prolemów milenijnych, udowodnionej niedwno przez Grigorij Perelmn. Głosi on dokłdnie, że S 3 jest jedyną trójwymirową rozmitością o trywilnej grupie podstwowej. Woec tego poprwk Bott jest jk njrdziej słuszn. Zjmijmy się woec tego innym intrygującym pytniem. Wiemy już, że P 3 (S 1 ) jest sferą S 3, czyli przestrzenią trójwymirową R 3 uzwrconą jednym dodtkowym punktem. Znjduje się w niej podprzestrzeń P 1 (S 1 ) złożon z podziorów jednoelementowych. Pmiętmy jednk, że P 1 (S 1 ) = S 1 jest okręgiem, okrąg znurzony w R 3 to inczej węzeł. Jki to węzeł? Rys. 6. Trójlistnik Odpowiedź n to pytnie możn znleźć n przykłd w nowej prcy Jco Mostovoy [3]. Ay zchęcić Czytelnik do przeczytni tej krótkiej notki, powiedzmy tylko, że Mostovoy podje jwny, nlityczny wzór, który zdje równowżność pomiędzy przestrzenimi P 3 (S 1 ) i S 3. Mjąc tki wzór możn wyprowdzić równnie, które spełni w S 3 podziór P 1 (S 1 ). Podmy od rzu wynik. Otóż jeśli sferę S 3 utożsmimy ze ziorem {(u, w) C C : u 2 + w 2 = 1}, to podziór P 1 (S 1 ) spełni równnie u 3 = w 2. Po przesklowniu możn go też przedstwić przy pomocy prmetryzcji S 1 z (z 2, z 3 ) S 1 S 1 S 3, więc szukny przez ns węzeł jest położony n torusie S 1 S 1 w tki sposó, że oieg torus dwukrotnie w kierunku równoleżnikowym i trzykrotnie w kierunku południkowym, jk n rysunku 6. Tki węzeł nzyw się fchowo (2, 3)-węzłem torusowym (nlogicznie definiujemy (p, q)-węzły torusowe). Ten konkretny węzeł to njprostszy z nietrywilnych węzłów, zwny trójlistnikiem. Zmist reprodukowć tutj rgument Mostovoy, który Czytelnik może smodzielnie przenlizowć, podmy inny dowód twierdzeni o trójlistniku, w którym wykorzystmy to, czego nuczyliśmy się już o grupie podstwowej. Oliczymy minowicie grupę węzł. Jest to niezmiennik zdefiniowny dl dowolnego węzł K jko π 1 (S 3 \ K) czyli grup podstwow tego, co zostje po usunięciu węzł z przestrzeni. W nszym zdniu sferę S 3 reprezentuje czworościn ABCD z odpowiednimi utożsmienimi ścin (Rys. 5), interesujący ns węzeł K jest w nim zwrty jko ziór punktów postci (x, x, x), czyli odcinek = AD. Usunięcie węzł K w tym modelu poleg ztem n usunięciu odcink orz wierzchołków B i C (o reprezentują one ten sm punkt, co A i D). Ay otrzymć przestrzeń o porządnej tringulcji wygodniej ędzie usunąć węzeł K rzem z młym otwrtym otoczeniem. W nszym modelu relizujemy ten krok usuwjąc młą pryzmę wzdłuż odcink orz młe czworościenne czpeczki wokół wierzchołków B, C. Wreszcie nic nie stoi n przeszkodzie y poprzez ciągłą deformcję powiększyć te otoczeni i zstąpić słowo młe przez sięgjące ż do połowy krwędzi. Pozostnie wówczs rył z rysunku 7 ostrosłup o podstwie P RT Q i wierzchołku S. Utożsmieni w czworościnie ABCD przekłdją się n utożsmieni ścin i krwędzi tego ostrosłup zznczone n rysunku (proszę sprwdzić!). Kżd z jednowymirowych komórek,, c, d jest w wynikowej przestrzeni okręgiem, ztem stnowią one genertory grupy podstwowej π 1 (S 3 \ K). Tk jk poprzednio, wypiszemy relcje zchodzące w tej grupie: 12
B ścin górn RT S: cd 1 = 1, ścin przedni QT RP : 1 c 1 = 1, ścin lew SP R ( tkże prw QT S): cd = 1, R c d S C c d T ścin tyln SP Q: d 1 = 1. Z pierwszej relcji mmy c = 1 d, zś z drugiej = 1 c = 1 1 d = 2 d. Trzeci relcj przyjmuje postć 1 = cd = 2 d 1 dd = 2 d 3, A Rys. 7 P Q D ztem 2 = d 3. Osttni relcj okzuje się wynikć z poprzednich, o mmy: 1 = d 1 = 2 dd 1 = 2 d 2 d 1 = 2 dd 3 d 1 = 2 d 3 = 1. Osttecznie więc poszukiwn grup podstwow jest generown przez dw elementy, d z jedną relcją 2 = d 3 : π 1 (P 3 (S 1 ) \ P 1 (S 1 )) =, d 2 = d 3. T grup jest dorze znn. Jest to tk zwn grup wrkoczy o 3 psmch. Z pierwszych stron podręczników o teorii węzłów dowiemy się, że włśnie tką grupę m trójlistnik (ogólnie w grupie kżdego (p, q)-węzł torusowego zchodzi jedyn relcj x p = y q ). Czy stąd już wynik, że nsz węzeł jest trójlistnikiem? W ogólności sprw jest deliktn, poniewż dw różne węzły mogą mieć tkie sme grupy (znne są jwne przykłdy tkich pr). Tym rzem jednk mmy szczęście, poniewż trójlistnik, tkże kżdy (p, q)-węzeł torusowy, jest jednozncznie wyznczony przez swoją grupę, co pokzli w pełnej ogólności Burde i Zieschng. Twierdzenie jest ztem udowodnione. N tym kończy się t opowieść, w której rozcinliśmy i sklejliśmy dwuwymirowe powierzchnie, spotkliśmy wstęgę Möius, nuczyliśmy się oliczć grupę podstwową przestrzeni, skonstruowliśmy nietypowy model sfery S 3, zstosowliśmy Hipotezę Poincrégo, rysowliśmy węzły n torusie, n koniec poznliśmy i oliczyliśmy teoriogrupowy niezmiennik węzł. A wszystko to wzięło się z niepozornie wyglądjącego prolemu. N koniec podsumujmy nsze osiągnięci w postci twierdzeni. Twierdzenie (Borsuk-Bott-Czytelnik-Mostovoy). Przestrzeń co njwyżej trójelementowych podziorów okręgu, P 3 (S 1 ), jest topologicznie równowżn ze sferą trójwymirową S 3. Podprzestrzeń P 1 (S 1 ) jest w niej zwrt jko trójlistnik przestrzeń P 2 (S 1 ) jko wstęg Möius, której rzegiem jest ten trójlistnik. Apropos, jk wygląd wstęg Möius, której rzegiem jest trójlistnik? Podziękowni Artykuł powstł przy wsprciu Centre for Discrete Mthemtics nd its Applictions (EPSRC grnt EP/D063191/1). Litertur [1] K. Borsuk, On the third symmetric potency of the circumference, Fund. Mth. 36 (1949) 236-244, [2] R. Bott, On the third symmetric potency of S 1, Fund. Mth. 39 (1952) 264-268, [3] J. Mostovoy, Lttices in C nd Finite Susets of Circle, Amer. Mth. Monthly 111 (2004), no. 4, 357 360. 13