L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze dotyczą p. typu rozkładu, WERYFIKACJA IPOTEZ PARAMETRYCZNYC TESTY DOTYCZĄCE JEDNEGO PARAMETRU X cecha populacj, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hpotezy: zerową podstawową θ = θ alteratywą, która ma ajczęścej jedą z astępujących postac θ >, θ <, θ θ θ θ Obok szacowaa ezaego parametru często teresuje as sprawdzee hpotezy dotyczącej tego parametru. potezę podstawową ależy postawć przed pobraem próby często wyka oa z wartośc ormatywej p. sprawdzae czy opakowaa cukru mają omalą wagę kg lub głoszoej op p., że 6% rozpatrywaej populacj weźme udzał w wyborach. Podstawową rolę odgrywa hpoteza zerowa θ = taką hpotezę azywamy prostą wskazuje θ a kokretą wartość parametru. Rola hpotezy alteratywej jest pomoccza też może być hpotezą prostą. Postępowae przy weryfkacj powyższych hpotez jest astępujące Wyberamy pewą statystykę U o rozkładze zależym od parametru θ oraz pewą lczbę α z przedzału, wyzaczamy podzbór K zboru lczb rzeczywstych tak by spełoy był waruek K θ = θ = α P U czyl aby prawdopodobeństwo, ż statystyka U przyjme wartość ze zboru K, przy założeu, że prawdzwa jest hpoteza zerowa było rówe α. Poberamy próbę oblczamy wartość u statystyk U 3 Podejmujemy decyzję gdy gdy Uzasadee: potezę odrzucamy gdy u K odrzucamy, u K przyjmujemy e ma podstaw do odrzucea. u K bowem prawdopodobeństwo zajśca zdarzea U K jest bardzo małe przy założeu, że prawdzwa jest hpoteza skoro take zdarzee dla pobraej próby zaszło, ależy sądzć, że założee o prawdzwośc hpotezy było esłusze przyjęte. Termologa U sprawdza statystyka testująca, K zbór krytyczy zbór odrzuceń, α pozom stotośc typowe wartośc α :,;,5;,. αˆ krytyczy pozom stotośc pozom stotośc przy którym astępuje zmaa decyzj.
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Błędy decyzj w teśce sprawdzającym hpotezę. Decyzja Przyjmujemy Odrzucamy - prawdzwa Decyzja właścwa Błąd I rodzaju - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właścwa Prawdopodobeństwo popełea błędu I rodzaju wyos: Prawdopodobeństwo popełea błędu II rodzaju wyos: P U P U K = α K = β Testy do weryfkacj hpotez o wartośc oczekwaej I. Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,, jest zae poteza zerowa m = m poteza SprawdzaU Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa lczby k m > m < k ; Φk = α m < m X m ; k > Φk = α m / ; k > < k ; α m Φ k = 3 II. Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,, e jest zae. poteza zerowa m = m poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu alteratywa U m > m < k ; P T α k = 4 m < m X m ; k > P T k = α 5 S / m ; k > < k ; P T k = α 6 m III. Cecha X populacj ma dowoly rozkład, próba jest lcza > 6. poteza zerowa m = m poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa U lczby k m > m < k ; Φk = α 7 X m m < m S / ; k > Φk = α 8 m m ; k > < k ; α Φ k = 9
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Test do weryfkacj hpotezy o prawdopodobeństwe sukcesu Cecha X populacj ma rozkład zerojedykowy P X = = p, P X = = p, p ; poteza zerowa p = Próba lcza > poteza p Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa lczby k p > p W p < k ; Φk = α p < p p ; k > Φk = α p p p W średa lczba sukcesów ; k > < k ; Test do weryfkacj hpotez o odchyleu stadardowym Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,. poteza zerowa = α Φ k = poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae lczb Nr testu alteratywa U k l > < k ; P Y k = α 3 S < ; k > P Y k = α 4 Uwaga: dla >3 moża stosować statystykę o rozkładze N,. ; k > < l ; Y l = α / P P S U = Y k = α / 5 TESTY DO PORÓWNYWANIA PARAMETRÓW Testy do porówywaa wartośc oczekwaych Badae są dwe cechy X Y różych populacj. Zakładamy, że cechy te są zmeym losowym ezależym. Z populacj, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową.. Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,, przy czym odchylea stadardowe są zae. poteza zerowa m = poteza alteratywa m Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu m > X Y < k ; Φ = α m + m < ; k > m k 6 Φk = α 7 m m ; k > < k ; α Φ k = 8 3
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE. Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,, przy czym odchylea stadardowe obu cech są sobe rówe e są zae. poteza zerowa m = m poteza U alteratywa Sprawdza Zbór krytyczy K m > X Y < ; m m < ; k > m S + S + + Wyzaczae lczby k P T = + k k α P T + k = α Nr testu 9 m m ; k > < k ; P T + k = α Welkość S + S = azywamy waracją populacj. + S p + 3. Cechy X Y mają rozkłady dowole o wartoścach oczekwaych m, m, przy czym próby są lcze,, > 8. poteza zerowa m = m poteza alteratywa Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu m > X Y < k ; Φ = α m S S + m < ; k > m k Φk = α 3 m m ; k > < k ; α Φ k = 4 4
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Test do porówywaa prawdopodobeństw sukcesu. Badae są dwe cechy X Y różych populacj o rozkładach zerojedykowych, P X = = p, P X = =, P Y = = p, P Y = =, p p Z populacj, której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową. Obe próby są lcze, >. poteza zerowa: p = p poteza alt. Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae p p p p p Nr testu lczby k p > W W < k ; Φk = α 5 < + ; k > Φk = α W W 6 ; k > < k ; α Φ k = 7 W, W średe lczby sukcesów w poszczególych próbach, W = k /, W = k /, W = k + k / + - średa lczba sukcesów w połączoych próbach, W = + W + W + Test do weryfkacj hpotez o porówywau waracj Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,. Z populacj, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową. Tak doberamy ozaczea populacj aby Sˆ ˆ poteza zerowa = S poteza SprawdzaU Zbór krytyczy K Wyzaczae alteratywa lczby k S ˆ P F ; k = α > ˆ < k ; S F - rozkład Sedecora Nr testu 8 5
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Według daych produceta, określoy typ samochodu zużywał l /km. Po dokoau pewych uspraweń w tym type samochodu oczekuje sę, że zużyce palwa spade. Aby to sprawdzć dokoao pomaru zużyca palwa w 5 losowo wybraych samochodach tego typu po moderzacj otrzymao wyk x = 9, 5 3 l/km. Zakładając, że zużyce palwa ma rozkład ormaly Nm, sprawdzć czy moderzacja stote zmejszyła zużyce palwa. Przyjąć α =,5. Rozwązae Zastosujemy test. m =, m, < α =,5 zatem Φk = α =,95 stąd k =,64 Zbór krytyczy K = ;,64> Wartość statystyk 9,3 u = 5 =,75 terpretacja grafcza: Poeważ u K to hpotezę odrzucamy. Zatem zmay kostrukcyje stote zmejszyły zużyce palwa. Oblczymy dla jakch wartośc średej z próby 5 elemetowej decyzja byłaby taka sama: x 5 <,64 x < 9, 34 Zatem dla x < 9, 34 wartość u ależy do zboru krytyczego K. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Φ,75 = αˆ,96 stąd αˆ,4 Zatem dla α <,4 podjęlbyśmy ą decyzję. Zauważmy, że odrzucając hpotezę arażamy sę a popełee błędu I rodzaju prawdopodobeństwo jego popełea wyos,5. 6
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Dokładość pracy obrabark sprawdza sę wyzaczając odchylee stadardowe średcy toczoego detalu, powo oo wyosć =,. Zmerzoo średce mm losowo wybraych detal otrzymao:,6; 99,6;,;,;,3;,; 99,9;,;,4;,6;,5 Zakładając, że średce detal mają rozkład ormaly, sprawdzć a podstawe powyższych daych, że obrabarka ma pożądaą dokładość. Przyjąć pozom stotośc,5. Rozwązae Zastosujemy test 3. =,,,, α =,5 > Zbór krytyczy K = <8,37; Oblczamy: x =, s =,9 Wartość statystyk,9 u = = 5,4 terpretacja grafcza: Poeważ u K to hpotezę odrzucamy. Zatem ależy sądzć, że obrabarka ma gorszą dokładość ż pożądaa. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Y 5 αˆ,5 = Zatem dla α <,5 podjęlbyśmy ą decyzję. 7
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Dwe brygady produkują detale. Z part detal wyprodukowaych przez I brygadę wylosowao szt. wśród ch było braków. Z part detal wyprodukowaych przez II brygadę wylosowao 9 szt. wśród ch było 3 braków. Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę, że odsetek braków w I brygadze jest ż ższy ż w II brygadze. Rozwązae. Zastosujemy test 6. p = p, p <, α =, p Zbór krytyczy K = ;,33> Oblczamy: w = / ; w = 3 / 9 w = 5 /9 Wartość statystyk u =,8 terpretacja grafcza:, -,33 -,8 Poeważ u K to e ma podstaw do odrzucea hpotezy. Ozacza to, że w gracach błędu statystyczego obe brygady mają te sam odsetek braków. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Φ,8 = αˆ,96485 stąd αˆ,35. Zatem dla α >,35 podjęlbyśmy ą decyzję. 8
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY NIEPARAMETRYCZNE TEST ZGODNOŚCI Test zgodośc χ poteza zerowa Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuace F. poteza alteratywa Cecha X populacj e ma rozkładu o dystrybuace F. Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu χ przebega astępująco: Poberamy lczą próbę >8. Prezetujemy ją w szeregu rozdzelczym klasowym w r klasach. Oblczamy a podstawe próby wartośc estymatorów ajwększej warygodośc ezaych l parametrów. Np. dla rozkładu ormalego l =, dla rozkładu Possoa l =, dla rozkładu jedostajego w daym przedzale l =. 3 Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład o dystrybuace F. 4 Dla każdego przedzału klasowego A a a =,,..., r oblczamy =< ; + prawdopodobeństwo p = P X A = P a X < a+ = F a+ F a perwszy przedzał rozcągamy w lewo do ; ostat w prawo do +. 5 Oblczamy r r p ˆ u = = = p = ˆ gdze jest lczeboścą klasy A, atomast ˆ = p jest jej lczeboścą teoretyczą wykającą z przyjęca, że hpoteza jest prawdzwa. Zauważmy, że r r = = = lczebośc zaobserwowae emprycze, ˆ = ˆ lczebośc oblczoe przy założeu, że jest prawdzwa, teoretycze, Gdy te lczebośc ewele różą sę od sebe względe to wartość statystyk będze ewelka, w przecwym przypadku ależy oczekwać dużej wartośc statystyk. 6 Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K = < k ;, gdze k wyzaczamy z tablcy rozkładu χ z r l stopam swobody dla prawdopodobeństwa α rówemu pozomow stotośc. 7 Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę, gdy u K przyjmujemy hpotezę, gdy u K Uwaga. Perwsza ostata klasa szeregu rozdzelczego powy meć postać A = ; a, A r =< a r ; do każdej z ch powo ależeć co ajmej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powo ależeć co ajmej elemetów próby. Klas e może być mej ż 4. Przykład Badao lczbę awar systemu komputerowego cecha X populacj. W cągu tygod zarejestrowao astępujące lośc awar: Lczba awar 3 4 Lczba tygod 4 3 3 9 Na pozome stotośc α =,5 sprawdź czy rozkład awar ma rozkład Possoa. hpotezy: 9
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Cecha X populacj ma rozkład Possoa Cecha X populacj e ma rozkładu Possoa. Nezaym parametrem jest λ l =. p p p p 4,3,3,89 3 3,3347 33,47,6456 3 46,5 5,,75697 3 36,55,55,44 4 9 36,657 6,57,898767 suma 5,949 Estymatorem parametru λ jest średa jej wartość to suma trzecej kolumy podzeloa przez lczebość próby; zatem przyjmemy, że λ,5, Jak wdać lczebośc teoretycze są zblżoe do lczebośc zaobserwowaych, możemy węc przewdywać, że e będze podstaw do odrzucea przypuszczea, że lczba awar ma rozkład Possoa. W podoby sposób moża by porówywać częstośc względe poszczególych waratów prawdopodobeństwa odczytae z tablcy. u =,3 suma ostatej kolumy. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K = < k;. Lczbę k odczytujemy z tablcy rozkładu stop swobody prawdopodobeństwa α =,5. Mamy k = 7,85, węc K = < 7, 85;. Iterpretacja grafcza: χ dla r l = 5 = 3
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Poeważ u =,788 K, węc hpotezę, że cecha ma rozkład Possoa przyjmujemy. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Ρ Y 3 >, 3 = αˆ,75 Zatem dla α >,75 podjęlbyśmy ą decyzję. TEST NIEZALEŻNOŚCI Test ezależośc χ Rozpatrujemy badae rówocześe dwe cechy X Y e muszą być merzale. Sprawdzamy hpotezę: X, Y są ezależe, α pozom stotośc. Próbę losową elemetową 8 zapsujemy w postac tablcy podzał a waraty powe być tak aby j 8: y y... y l x... l X x... l.................. x k k k... kl k j... l Y sumy werszy, j sumy kolum, j lczebość -tego waratu dla cechy X oraz j-tego waratu dla cechy Y. Na podstawe próby oblczamy wartość statystyk * u = k l j ˆ j = j= rozpatrywaa statystyka ma rozkład Y k - l - gdze j suma - tego ˆj = = ˆ j wersza suma j - tej lczebość próby kolumy Zbór krytyczy ma postać K = k; ; gdze P Y k - l - k = α Jeśl u K to odrzucamy, w przecwym przypadku e ma podstaw do odrzucea.
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Uwaga W przypadku gdy cechy X Y mają tylko po dwa waraty to rozpatrywaa tablca ma postać tzw. tablca czteropolowa: Y X A B A+B C D C+D A+C B+D Statystyka U ma wtedy postać: ma rozkład Y. U = AD BC A + B A + C B + D C + D Uwaga Welkość T = U k l azywamy współczykem Czuprowa T < ; >. Welkość V = U m gdze m = mk, l azywamy współczykem Cramera V < ; >. Współczyk te mogą służyć do ocey sły zależośc mędzy cecham awet w przypadku cech emerzalych. Przykład W celu zweryfkowaa hpotezy, że studetk pewej uczel lepej zdają egzamy ż studec, wylosowao próbę = 8 studetek studetów otrzymao astępujące wyk zalczea letej sesj egzamacyjej: SESJA STUDENTKI STUDENCI ZALICZONA 75 5 NIEZALICZONA 55 5 Na pozome stotośc α =, sprawdzć hpotezę o ezależośc wyków egzamacyjych od płc. Rozwązae Wyzaczamy wartość statystyk korzystając z daych zawartych w tablcy czteropolowej: u =, 84 K =, 76; zatem e ma podstaw do odrzucea hpotezy o ezależośc.
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE ZADANIA Zadae Waga paczk mąk jest zmeą losową X o wartośc oczekwaej m odchyleu stadardowym. Z part mąk wybrao losowo paczek oblczoo, że x =,998 kg, s =,5 kg. Na pozome stotośc, sprawdź hpotezy m =,, m <,, Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae Na pudełkach zapałek jest aps: przecęte 48 zapałek. Z part zapałek pobrao próbę pudełek oblczoo, że średa lczba zapałek w pudełku jest rówa 47,5 szt. a odchylee stadardowe w tej próbe jest rówe 3 szt. Zakładamy, że rozkład lczby zapałek w pudełku jest Nm,. Na pozome stotośc α =, ustalć czy aps a pudełku jest zgody z rzeczywstoścą. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 3 Sodaż op publczej a temat frekwecj w zblżających sę wyborach wykazał, że w losowo wybraej grupe 5 osób 3 zamerza uczestczyć w głosowau. Czy a pozome stotośc rówym,5 moża przyjąć, że poad 6% ogółu osób zamerza wząć udzał w wyborach? Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 4 Wadomo, że mesęcze zużyce eerg elektryczej w gospodarstwe rodzym pewego masta jest zmeą losową X o rozkładze ormalym Nm, 3 kwh. Na podstawe próby 5 elemetowej oblczoo, że x 5 = 86 kwh. a Na pozome stotośc, sprawdź hpotezy m = 7, m > 7 b Na pozome stotośc,5 sprawdź hpotezy m =, m < c Na pozome stotośc,5 sprawdź hpotezy m = 8, m 8 Zadae 5 Wysuęto hpotezę, że Studec AM palą paperosy rzadzej ż studec AWF. W celu jej sprawdzea wylosowao po studetów z każdej z uczel zapytao ch czy palą. W grupe studetów AM paperosy palło 34 osób, w grupe studetów AWF 38 osób. a a pozome stotośc rówym, zweryfkować prawdzwość postawoej hpotezy. b przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja może ulec zmae? Zadae 6 Czas przepsywaa jedej stroy przez maszystkę cecha X jest zmeą losową o rozkładze ormalym. Wylosowao próbę 9 maszystek otrzymao średą 7 mut odchylee stadardowe muty. Czy a pozome stotośc α =, moża twerdzć, że śred czas przepsywaa jedej stroy przez maszystk jest wyższy ż 5 mut tyle wyos orma? Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 7 Zakłada sę, że rozkład średcy produkowaych tów jest rozkładem ormalym o odchyleu stadardowym, mm. Dokoao pomarów średcy losowo wybraych tów, otrzymując warację,5 mm. Przyjmując pozom stotośc rówy,; 3
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE zweryfkować hpotezę, że faktycza waracja średcy tów jest zgoda z zakładaą ormą. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 8 Badaą cechą jest czas śwecea żarówek. Dwe detycze maszyy produkują żarówk. Wylosowao po żarówek z produkcj poszczególych maszy oblczoo, że: x = 63, = 59 x = x x =, x, x 86, 84 Zakładając, że badae cechy mają rozkłady ormale sprawdzć czy a pozome stotośc,5 moża uzać, że śred czas śwecea żarówek produkowaych przez obe maszyy jest tak sam. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? wsk. moża przyjąć, że waracje są sobe rówe bo detycze maszyy. Zadae 9 W zbadaej losowo próbe pracowków frmy A średe dochody w cągu mesąca wyosły PLN z odchyleem stadardowym rówym 3 PLN. W -elemetowej próbe pracowków frmy B średe dochody wyosły 9 PLN, a odchylee stadardowe PLN. a Czy otrzymae wyk potwerdzają przypuszczee, że średe dochody w frme A są wyższe ż w frme B. Przyjąć pozom stotośc rówy,5. b Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Zadae Ryzyko akcj merzymy waracją cey zróżcowae cey w określoym czase. Zbadao w cągu 5 otowań cey akcj frm F F oblczoo, że odchylee stadardowe w tym okrese wyos 6 zł dla F 5 zł dla F. Zakładając, że rozkład ce akcj jest ormaly, sprawdź a pozome stotośc,5, czy ryzyko dla akcj frmy F jest stote wększe ż dla F. Zadae Losowa próba = ezależych obserwacj mesęczych wydatków a żywość rodz 3-osobowych dała astępujący rozkład tych wydatków w tys. zł: Wydatk,,4,4,8,8,,,6,6 3, Lczba rodz 5 45 7 5 Należy a pozome stotośc =,5 zweryfkować hpotezę, że rozkład wydatków a żywość jest ormaly. Wyzaczyć krytyczy pozom stotośc. Zadae Badae losowo wybraych czteroosobowych gospodarstw domowych pod względem mesęczych wydatków a żywość dostarczyło astępujących daych: x = 3 PLN s = 65 PLN;. 4
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Mesęcze wydatk Lczba gospodarstw ˆ ˆ 5 7 7 33 33 39 39 45 45 7 5 5,6,64,, Oblczając brakujące dae, a pozome stotośc,5 zweryfkować hpotezę, że wydatk a żywość w 4 osobowych gospodarstwach domowych mają rozkład ormaly. Wyzaczyć krytyczy pozom stotośc. Zadae 3 W celu sprawdzea czy wyk testu mają rozkład ormaly wylosowao studetów wyzaczoo lczebośc teoretycze dla poszczególych klas wyków testu zestawoo je z lczeboścam zaobserwowaym: Lczebośc 8 36 5 34 8 zaobserwowae Lczebośc teoretycze 38 49 35 5 8 Czy a pozome stotośc α =, moża twerdzć, wyk testu mają rozkład ormaly? Przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja ulege zmae? Zadae 4 Przez 5 d rejestrowao w pewym meśce lczbę pożarów : Lczba pożarów 3 4 Lczba d 7 55 5 5 5 Na pozome stotośc,5 sprawdzć hpotezę, że lczba pożarów ma rozkład Possoa. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Zadae 5 W pewym meśce rejestrowao w cągu kolejych d tygoda lczbę kolzj drogowych: Poedzałek Wtorek Środa Czwartek Pątek Sobota Nedzela 5 3 3 35 5 Na pozome stotośc, sprawdzć hpotezę, że lczba kolzj jest jedakowa w każdym du tygoda. Przy jakm pozome stotośc ależy podjąć decyzję przecwą? Zadae 6 W grupach studetów zarejestrowao astępujące lośc oce edostateczych po egzame ze statystyk: Nr grupy 3 4 5 6 7 8 9 Lczba oce dst. 8 9 4 6 8 Na pozome stotośc,5 sprawdzć hpotezę, że rozkład oce edostateczych w tych grupach jest rówomery. Przy jakm pozome stotośc ależy podjąć decyzję przecwą? 5
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Zadae 7 W celu sprawdzea hpotezy, że cecha X ma rozkład o fukcj prawdopodobeństwa 3 4,,,6, dokoao pomarów. Otrzymao astępujące dae x 3 4 5 7 5 Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć postawoą hpotezę. Przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja ulege zmae? Zadae 8 W celu sprawdzea hpotezy, że młodzeż męska osząca kolczyk ma gorsze wyk w auce, wylosowao próbę 49 uczów otrzymao astępujące dae: WYNIKI W NAUCE MŁODZIEŻ MĘSKA ZŁE DOBRE NOSZĄCA KOLCZYKI 5 43 BEZ KOLCZYKÓW 95 3 Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę o ezależośc wyków w auce od oszea kolczyków przez młodzeż męską. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera. Zadae 9 Pewe produkt moża wytworzyć trzema metodam produkcj. Wysuęto hpotezę, że wadlwość produkcj e zależy od metody produkcj. Wylosowao ezależe próbę 7 sztuk wyrobu otrzymao astępujące wyk badaa jakośc dla poszczególych metod: METODA PRODUKCJI JAKOŚĆ I II III DOBRA 4 8 6 ZŁA 6 Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę o ezależośc jakośc produkcj od metod produkcj. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera Czuprowa. Zadae Wykształcee wybraych pracowków frmy było astępujące: Wykształcee mężczyź kobety Wyższe Średe Podstawowe 3 5 5 Czy moża stwerdzć, że mędzy wykształceem pracowków a ch płcą e ma stochastyczej ezależośc? Przyjąć pozom stotośc,5. Jak sly jest te zwązek? Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera Czuprowa. L.Kowalsk.6. 6