Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć i jką może uzyskć. Dne wyjściowe do obliczeń, pochodzące z pomirów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z dnych ktlogowych urządzeń lub z oszcowń, chrkteryzują się określoną dokłdnością. Nie możn uzyskć dokłdności wyników obliczeń większej niż dokłdność wprowdzonych dnych. Niecelowe jest też wykonywnie obliczeń z dokłdnością większą niż jest to potrzebne. Kto bez zstnowieni podje jko wynik obliczeń przesdnie liczne cyfry wskzne przez klkultor lub komputer, nrż się n zrzut, że nie zdje sobie sprwy z koniecznej i/lub możliwej do uzyskni dokłdności lbo n zrzut nieuczciwego sugerowni nieosiąglnej dokłdności. Błąd przybliżeni. Jeśli zmist wrtości dokłdnej (liczby dokłdnej) x operuje się jej przybliżeniem (liczbą przybliżoną), to: x jest błędem bezwzględnym przybliżeni, x - jest błędem względnym przybliżeni. Jeżeli przy tym widomo, że zwsze i bez zbędnego ndmiru jest spełnion nierówność x < Δ, to: Δ = Δ δ jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozptrywnego przybliżeni, jest górnym kresem błędu względnego rozptrywnego przybliżeni. Mirą błędu przybliżeni, ztem i mirą dokłdności, jest wrtość błędu względnego. Zwykle wyrż się ją w procentch. Przykłd Liczb 1,41 jest przybliżeniem wrtości z błędem 0,00413 Z górny kres błędu bezwzględnego możn przyjąć 0,0043, z górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 = 0,0030 = 0,30 %. Cyfry znczące (cyfry wrtościowe) przybliżeni dziesiętnego, tzn. podnego w postci liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie przybliżeni. Trzy cyfry znczące mją nstępujące liczby: 00 0,0,00 0,0000 185 18,5 1,85 0,185 0,000185 Sześć cyfr znczących mją nstępujące liczby: 300 000 45 000 19,5396 14,3700 0,0000150 0,00400000 Cyfry pewne. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżeni nie przekrcz jednostki ( brdziej rygorystycznie: połowy jednostki) osttniego rzędu dziesiętnego (cyfry znczącej osttniej z prwej strony) liczby, to w liczbie występują tylko cyfry pewne. Przybliżeni dziesiętne nleży pisć z zchowniem jedynie cyfr pewnych; inczej mówiąc nleży odrzucić te cyfry znczące, które nie są 1
pewne. To włśnie liczb cyfr pewnych w dnym przybliżeniu dziesiętnym określ stopień dokłdności tego przybliżeni. Nstępujące przybliżeni mją trzeci stopień dokłdności (trzy cyfry pewne): 1 stop sześcienn = 0,083 m 3, l cl =,54 cm. Trzecim stopniem dokłdności chrkteryzuje się obliczony prąd zwrciowy początkowy: I k = 7,4 ka 3 Ik = 7,4 10 A. Zpis 7400 A nie jest włściwy, bo zwier 5 cyfr znczących i mylnie sugeruje piąty stopień dokłdności, tylko trzy pierwsze cyfry są pewne. Informcj, iż w określonym miejscu systemu moc zwrciow wynosi GVA nie jest tożsm z informcją, iż wynosi on 000 MVA. n - n W zpisie mnożnik 10 lub 10 wskzne jest posługiwnie się wykłdnikiem potęgowym będącym wielokrotnością cyfry trzy, co czyt się: tto-, femto-, piko-, nno-, mikro-, mi1i-, kilo-, meg-, gig-, ter-, pet-, eks-. Inżynier woli zpis I k = 7,4 10 3 lbo A, który odczytuje jko: dwdzieści siedem i cztery dziesiąte kilomper, chociż mtemtyk z równowżne uzn zpisy: = 74 10 A, 4 5 Ik =,74 10 A, Ik = 0,74 10 A, I k = 0,074 10 A itd., z których kżdy zwier te sme trzy cyfry znczące pewne. Jeżeli przybliżenie m n cyfr znczących pewnych, to jego błąd względny δ spełni nierówność: δ 6 1 n-1, z 10 w której z jest pierwszą cyfrą znczącą dnego przybliżeni. Przybliżenie z błędem względnym δ m n cyfr znczących pewnych, przy czym n jest njwiększą liczbą cłkowitą spełnijącą nierówność Przykłd 1 n ( 1+ z) δ 10. Klkultor wyświetlił jko wynik końcowy obliczeń wykonywnych z błędem względnym δ = 1 % wrtość =,55376184. Ile cyfr n tego wyniku jest pewnych? 1 n 1 n ( 1+ ) 0,01 10 0,03 10 n =. Pewne są dwie cyfry. Ztem wynik końcowy obliczeń nleży zpisć jko =,6; gdyby to był wynik pośredni obliczeń, wtedy nleżłoby zpisć się jedną (zpsową) cyfrę znczącą więcej: =,56. Przykłd ten zrzem wyjśni, że odrzucnie cyfr niepewnych nie powinno się odbywć odruchowo i bezmyślnie, lecz wymg respektowni podnych niżej zsd zokrąglni liczb. I k Zpisywnie liczb dokłdnych. Jeżeli trzeb zznczyć, że dn liczb jest dokłdn, to po tej liczbie nleży zmieścić w nwisie słowo dokłdnie lub osttnią cyfrę znczącą liczby nleży drukowć czcionką grubą (bold). Dopuszcz się, zwłszcz w rękopisch, podkreślnie osttniej cyfry liczby dokłdnej. l litr = l dm 3 (dokłdnie) l kwh = 3600000 J l kwh = 3600000 J (dokłdnie) l kwh = 3600000 J Zokrąglnie liczb [5]. Jeżeli liczb przybliżon zwier zbędne lub niepewne cyfry, nleży ją zokrąglić zchowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeb. l. Jeśli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsz niż 5, to osttni
pozostjąc cyfr nie uleg zminie, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 14,4 14,.. Jeżeli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większ niż 5, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę. np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 6,48 6,5. 3. Jeśli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równ 5 i nstępuje po niej co njmniej jeszcze jedn cyfr inn niż zero, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 1,05000 1,1. 4. Jeżeli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równ 5, i nie nstępuje po niej żdn cyfr inn niż zero, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę, jeśli jest to cyfr nieprzyst, nie zmieni się jej, jeśli jest to cyfr przyst (zero uwż się z cyfrę przystą). Inczej mówiąc, w tkim przypdku osttni pozostwion cyfr powinn być przyst, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 0,05 0,0; 0,15 0,; 0,5 0,; 0,45000 0,4. Jest to rezultt konwencji przyjętej w skli międzynrodowej [5] po to, by wykonywne w różnych ośrodkch, prcownich i lbortorich obliczeni, wykorzystujące te sme dne wyjściowe (np. identyczne wyniki pomirów), dwły ten sm wynik końcowy. 5. W przypdku odrzucni więcej niż jednej cyfry, nie nleży liczby zokrąglć w kilku etpch, lecz od rzu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podnymi powyżej zsdmi. Przykłd źle 15,4546 15,455 15,46 15,5 16 dobrze 15,4546 15 6. Liczby cłkowite nleży zokrąglć zgodnie z zsdmi od l do 5 z tym, że zmist cyfry odrzucć, nleży je zstępowć przez zero. zokrąglnie do setek 134 100 zokrąglnie do dziesiątek 16 130 7. Jeśli liczbę zokrągl się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to njpierw nleży ją podwoić, otrzymny iloczyn zokrąglić odpowiednio do 100, 10, l, 0,1 itd. zgodnie z zsdmi od 1 do 6, nstępnie podzielić przez dw. Aby zokrąglić liczbę 60,5 do 0,5, nleży podwoić ją (10,50), zokrąglić do jedności (10) i podzielić przez dw (60). W rezultcie: 60,5 60. Podobnie postępując z liczbą 60,75, otrzym się nstępujące wyniki: 60,75 (11,5 1) 61. 8. Jeżeli liczbę zokrągl się do, 0, lub 0,0 itd., to njpierw nleży ją pomnożyć przez pięć, otrzymny iloczyn zokrąglić odpowiednio do 10; l; 0,1 itd. zgodnie z zsdmi od 1 do 6, nstępnie podzielić przez pięć. Przykłd Aby zokrąglić liczbę 8,30 do 0,, nleży pomnożyć ją przez pięć (41,50), zokrąglić do jedności (4) i podzielić przez pięć (8,4). W rezultcie: 8,30 8,4. Błąd dziłni n liczbch przybliżonych [1]. Wynik dziłń n liczbch przybliżonych jest tkże liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrżony przez błędy poszczególnych dnych. Zwykle oblicz się górny kres błędu w konwencji the worst cse, tzn. przy złożeniu, że poszczególne błędy skłdowe kumulują się w sposób njbrdziej niekorzystny, mją njwiększą możliwą wrtość bezwzględną i ten sm znk, co prowdzi do nstępujących wniosków. ) Górny kres błędu bezwzględnego sumy lub różnicy przybliżeń równ się sumie górnych kresów błędów bezwzględnych poszczególnych skłdników, n przykłd: 3
Δ( b + c d) = Δ + Δb + Δc + Δd b) Błąd względny sumy przybliżeń jest zwrty między njmniejszym i njwiększym z błędów względnych poszczególnych skłdników. N przykłd, jeżeli δ < δb < δc < δd, to błąd względny sumy spełni nierówność: Δ < Δ ( + b + c + d ) + b + c + d Δd < d c) Błąd względny iloczynu lub ilorzu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych przybliżeń: δ ( b) = δ + δb δ = δ + δb b d) Błąd względny m-tej potęgi liczby przybliżonej jest m rzy większy niż błąd względny podstwy potęgi, co wynik z poprzedniej zsdy: δ ( m ) = m δ e) Błąd względny pierwistk stopni m z liczby przybliżonej równ się 1/m błędu względnego liczby podpierwistkowej: m 1 ( ) = δ δ m Określić błąd wyniku obliczeni wykonnego według wzoru V Błąd względny: Błąd bezwzględny: δv = δr + δh ΔV = V δv Δr Δh = V + r h = r h Określić błąd wyniku obliczeni wykonnego według wzoru x z = 1+ y Błąd względny: δ z = [ δx + δ( 1+ y) ] Błąd bezwzględny: Δz 1 = z δ z z Δx Δy = + x 1+ y Zgdnienie odwrotne rchunku przybliżeń [1]. Chodzi o odpowiedź n pytnie: jk powinn być dokłdność wprowdznych dnych, by otrzymny wynik obliczeń mił złożoną dokłdność? Aby n nie odpowiedzieć, nleży wyprowdzić wzór określjący błąd wyniku, po czym posługując się podnymi wyżej prwidłmi obliczyć, jkie są dopuszczlne błędy dnych wejściowych, by błąd nie przekrczł złożonej wrtości. Problem może mieć różne rozwiązni, zleżnie od przyjętych złożeń. Przykłd Z jką dokłdnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąt prostokątnego, z których jedn jest około trzy rzy mniejsz od drugiej, by błąd kąt wyznczonego z pośrednictwem tngens nie przekrczł l' (jednej minuty kątowej)? Kąt m być obliczony ze wzoru: ϕ = rctg( /b) z błędem względnym: Podstwijąc b = 3 orz zkłdjąc, że Δ = Δb, otrzymuje się Δ Δϕ = 0,4 = 0,4 δ, 4 Δϕ = b Δ + Δb + b
Δ poniewż złożono Δϕ = l' = 0,000909 rd, wobec tego: δ = = 0,0007 = 0,07 %. Ztem przy złożeniu jednkowych błędów bezwzględnych pomiru obu przyprostokątnych, dopuszczlny błąd względny pomiru mniejszej z nich wynosi 0,07 %. Obliczeni przybliżone bez dokłdnego uwzględnini błędów [1]. Przy wykonywniu zwykłych obliczeń inżynierskich nie określ się błędu kżdego wyniku z osobn, lecz przestrzeg się prostych reguł zpewnijących, że wyniki mją n ogół wszystkie cyfry pewne, błąd nie przekrcz kilku jednostek osttniego rzędu. Poniższe zsdy mją znczenie fundmentlne przy wykonywniu wszelkich prktycznych obliczeń. l) Przy dodwniu i odejmowniu przybliżeń dziesiętnych nleży zchowć w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które m njmniejszą liczbę cyfr po przecinku. 14,7 + 37,084 0,777 = 179,1 14,7 0,00475 = 14,7 ) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych nleży zchowć w wyniku tyle cyfr znczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które m njmniejszą liczbę cyfr znczących. 1,33333 = 3 1,33333 =,66666 13,74,03333 4,1 = 6,8 3) Przy podnoszeniu przybliżeni dziesiętnego do kwdrtu lub sześcinu nleży wziąć w wyniku tyle cyfr znczących, ile m ich dne przybliżenie, czyli nleży zchowć jego stopień dokłdności. 3,00 3 = 7,0 3,541 = 1,54 Błąd względny kwdrtu i sześcinu przybliżeni dziesiętnego jest odpowiednio około i 3 rzy większy niż błąd względny smego przybliżeni, więc błąd wyniku potęgowni może przekrczć jednostkę osttniego zchownego w nim rzędu. 4) Przy wyciągniu pierwistk kwdrtowego lub sześciennego z przybliżeni dziesiętnego nleży zchowć w wyniku tyle cyfr znczących, ile m ich dne przybliżenie. 70 = 16,4 10000 = 1, 544 3 Błąd względny tkiego pierwistk jest odpowiednio lub 3 rzy mniejszy niż błąd względny smego przybliżeni. 5) We wszystkich obliczenich pośrednich nleży zchowć o jedną cyfrę znczącą więcej niż to wynik z powyższych prwideł; dopiero przy zpisywniu końcowego wyniku obliczeń tę zpsową cyfrę nleży odrzucić. 6) Jeśli pewne przybliżeni dziesiętne mją w dodwniu i odejmowniu więcej cyfr po przecinku, w mnożeniu i dzieleniu, potęgowniu i pierwistkowniu więcej cyfr znczących niż inne przybliżeni, to przed wykonniem obliczeń nleży je zokrąglić do poziomu dokłdności pozostłych przybliżeń z zchowniem cyfry dodtkowej (zpsowej); w końcowym wyniku tę zpsową cyfrę nleży odrzucić. 7) Jeżeli możn brć dne z dowolną dokłdnością, to dl otrzymni wyniku o k cyfrch znczących pewnych nleży wziąć te dne z tką liczbą cyfr znczących, któr zgodnie z zsdmi od l do 4 dje w wyniku (k + l) cyfr pewnych. 5
Przykłd obliczeń przybliżonych Obliczyć początkowy prąd zwrciowy przy zwrciu trójfzowym n szynch 15 kv stcji, jk n rysunku. 110 kv S kq " = 1500 MVA 110/16,5 kv/kv 16 MVA u kr = 0,11 15 kv N błąd końcowego wyniku skłdją się: błąd z tytułu pominięci rezystncji obwodu (tu błąd mniejszy niż 0,5 %), błąd z tytułu przybliżeni wrtości mocy zwrciowej n szynch 110 kv (tu błąd zncznie mniejszy niż 0,5 %), błąd przybliżeni wrtości npięci zwrci trnsformtor (według PN-83/E-06040 górny kres błędu względnego przy prcy z przekłdnią znmionową wynosi 10 %, przy innym położeniu przełącznik zczepów błąd może być większy). Ten osttni błąd m znczenie decydujące i sprwi, że możn oczekiwć w końcowym wyniku njwyżej dwóch cyfr znczących pewnych. Rektncj systemu poprzedzjącego: cmx U n 1,10 110 16,5 1,10 16,5 X Q = ϑt = = = 0,19965 0,00 Ω trzy cyfry znczące " S 1500 110 1500 kq Rektncj trnsformtor: UnT 16,5 X T = ukr = 0,11 = 1,87 Ω trzy cyfry znczące S 16 nt Początkowy prąd zwrciowy n szynch 15 kv: " cmx U n 1,10 15 I k = = = 4,6 ka dwie cyfry znczące ( X + X ) 3 ( 0,0 + 1,87) 3 Q T Zsdy poprwnej prezentcji obliczeń l) Wpisując wrtości liczbowe do wzoru nleży je wpisywć dokłdnie w tej kolejności, w tych miejscch, gdzie występują odpowidjące im oznczeni wielkości w poprzedzjącym wzorze ogólnym. ) W mirę możności nleży wpisywć do wzoru wrtości przybliżone bez cyfr zbędnych (w osttnim wzorze znlzł się wrtość 0,0, nie 0,00, bo m być on dodn do liczby 1,87 o dwóch cyfrch znczących po przecinku). 3) Podstwijąc dne liczbowe do wzoru nleży wpisywć w rkuszch obliczeń i wprowdzć do klkultor lub komputer liczby dokłdne: 3,, π, e, nie ich przybliżeni. 6
Pytni kontrolne 1. Podć zokrągleni nstępujących liczb, zwierjące odpowiednio 6, 5, 4, 3 i cyfry znczące: π 0,1735000 e 48789731 700001500 /3 15,454601 (uwżnie!). Zokrąglić do pierwszego miejsc dziesiętnego liczby: 0,05 0,450 0,75 1,17 0,85 3,500 3. Obliczyć: 1,5 + 1,743 = 1,5 1,743 = 1,743 1,5 =,5 0,0004 =,5 + 0,0004 = 8,7451 π = 8,745 π = 8,745 =,1 8,745 = 8,745 : = 8,745 :,1 = 8,745 = 8,745 3 = 8,75 = 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 = 4. W przepisch o ochronie przeciwporżeniowej możn npisć, że w określonych wrunkch njwiększy dopuszczlny czs trwni npięci dotykowego 50 V wynosi 5,0 s lbo możn npisć, że wynosi on 5 s. Jkie są konsekwencje tej różnicy w zpisie wymgni przepisowego? 7
5. Któr z podnych wersji zpisu wrunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprwn? 1 3 17 ± 0, czy 17,0 ± 0, czy 17,00 ± 0, b 46,4 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 c 80,555 kg ± g czy 80,555 ± 0,00 kg d 5 mm ± % czy 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypdku wielkości związnych zleżnością potęgową y = k x m niewielk zmin wielkości x o p [%] wywołuje zminę w tym smym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Uzsdnić tę prwidłowość i określić popełniny błąd. Przykłd: obniżenie npięci zsiljącego silnik indukcyjny o 3 % wywołuje ceteris pribus zmniejszenie momentu npędowego o około 3 = 6 %, jko że T = k U. 7. Dwom woltomierzmi nlogowymi klsy 1,5, o zkresie pomirowym 300 V, pomierzono jednocześnie npięcie n początku i n końcu linii, by określić występujący w niej spdek npięci: 30 0 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczeni, jego wrtość bezwzględną i wrtość względną). 8
Odpowiedzi n pytni kontrolne 1. Podć zokrągleni nstępujących liczb, zwierjące odpowiednio 6, 5, 4, 3 i cyfry znczące: 6 cyfr 5 cyfr 4 cyfry 3 cyfry cyfry π = 3,1415965 3,14159 3,1416 3,14 3,14 3,1 e =,7188183,7188,7183,718,7,7 = 1,4141356 1,4141 1,414 1,414 1,41 1,4 /3 = 0,666666667 0,666667 0,66667 0,6667 0,667 0,67 0,1735000 0,173500 0,17350 0,1735 0,174 0,17 48789731 48790 10 3 4879 10 4 488 10 5 49 10 6 5 10 7 700001500 70000 10 3 70000 10 4 7000 10 5 700 10 6 70 10 7 15,454601 15,4546 15,455 15,45 15,5 15. Zokrąglić do pierwszego miejsc dziesiętnego liczby: 0,05 0,0 0,450 0,4 0,75 0,8 1,17 1, 0,85 0,8 3,500 3,3 3. Obliczyć: 1,5 + 1,743 = 14, 1,5 1,743 = 10,8 1,743 1,5 = 10,8,5 0,0004 =,5,5 + 0,0004 =,5 8,7451 π = 7,4739 8,745 π = 7,47 8,745 = 17,490,1 8,745 = 18,5 8,745 : = 4,376 8,745 :,1 = 4, 8,745 = 76,479 8,745 3 = 668,8 8,75 = 76,6 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 = 75,7 +76,4785 +,1750 16,7 = 137 9
4. W przepisch o ochronie przeciwporżeniowej możn npisć, że w określonych wrunkch njwiększy dopuszczlny czs trwni npięci dotykowego 50 V wynosi 5,0 s lbo możn npisć, że wynosi on 5 s. Jkie są konsekwencje tej różnicy w zpisie wymgni przepisowego? W pierwszym wypdku (5,0 s) niedopuszczlny jest czs trwni npięci dotykowego, który po zokrągleniu do pierwszego miejsc dziesiętnego byłby większy niż 5,0 s, tzn. czs t > 5,05 s. W drugim wypdku (5 s) niedopuszczlny jest czs trwni npięci dotykowego, który po zokrągleniu do jedności byłby większy niż 5 s, tzn. czs t 5,5 s. 5. Któr z podnych wersji zpisu wrunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprwn? Niepoprwne są wersje przekreślone (kolumny skrjne 1 orz 3): 1 3 17 ± 0, 17,0 ± 0, 17,00 ± 0, b 46,4 ± 0,15 46,40 ± 0,15 46,40 ± 0,15 c 80,555 kg ± g 80,555 ± 0,00 kg d 5 mm ± % 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypdku wielkości związnych zleżnością potęgową y = k x m niewielk zmin wielkości x o p [%] wywołuje zminę w tym smym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Uzsdnić tę prwidłowość i określić popełniny błąd. Jeżeli względn wrtość wielkości x wynosi (1± p), to względn wrtość wielkości y wynosi (1 ± p) m, co po rozpisniu w szereg potęgowy Mclurin dje wyrżenie: ( 1 ) ( m 1) m ( m 1) ( m ) m ( m 1) ( m )( m 3) m 3 ± p m = 1± m p + p ± p + p! 3! 4! Uproszczenie, o którym mow, poleg n wzięciu z powyższego rozwinięci tylko dwóch pierwszych wyrzów, poleg n lineryzcji przebiegu bdnej zleżności w pobliżu wybrnego punktu dziłni, n ogół w pobliżu znmionowych wrunków prcy. 4 ±... Biegłe przyswojenie tych prwidłowości brdzo się przydje, kiedy nie m wrunków do przeprowdzni ścisłych obliczeń, duż dokłdność nie jest konieczn. Pmiętć przy tym trzeb, że bd się wpływ zminy tylko jednego prmetru przy milczącym złożeniu, że inne wrunki dziłni pozostją niezmienne. Pmiętć też trzeb, że tkie szcownie jest dopuszczlne tylko przy niewielkich względnych odchylenich od stnu wyjściowego, n przykłd nieprzekrczjących ± 5 % przy zwykle spotyknych wrtościch wykłdników potęgowych. Przykłd 1. Powszechnie widomo, że moment npędowy silnik indukcyjnego jest proporcjonlny do kwdrtu npięci (T = k U ). N pytnie, jk się wobec tego zmieni moment npędowy tkiego silnik przy obniżeniu npięci o 5 % możn niekiedy usłyszeć pochopną i błędną odpowiedź, że zmniejszy się o 5 = 5 %. Poprwne oszcownie brzmi, że zmniejszy się o m p = 5 = 10 %. Ściślejsze obliczenie wykże, że zmniejszy się o (1 0,95 ) 100 = (1 0,905) 100 = 9,75 % 9,8 %. Przykłd : Inż. Józef Bonin z Instytutu Energetyki w Gdńsku wykzł, że w zkresie częstotliwości 50 47,5 Hz moc czynn pobiern przez ogół npędów potrzeb włsnych w pełni obciążonego bloku 360 MW Elektrowni Bełchtów (bez pompy wody zsiljącej npędznej turbiną prową) jest funkcją potęgową częstotliwości npięci zsiljącego o postci P = k f,715, w przybliżeniu: P = k f,7. Podobne zleżności mją kpitlne znczenie przy nlizowniu stbilności systemu w wrunkch wryjnego obniżeni częstotliwości, niedoboru mocy czynnej i zbiegów zmierzjących do utrzymni prcy elektrowni. N pytnie, jk zmieni się moc potrzeb włsnych przy obniżeniu częstotliwości o 3 % (do poziomu 48,5 Hz) możn odpowiedzieć błyskwicznie: zmleje o m p =,7 3 = 8,1 %. Odpowiedź jest wystrczjąco trfn, skoro wynikiem dokłdnego obliczeni jest wrtość: (1 0,97,7 ) 100 = (1 0,91) 100 = 7,895 % 7,9 %. 10
7. Dwom woltomierzmi nlogowymi klsy 1,5, o zkresie pomirowym 300 V, pomierzono jednocześnie npięcie n początku i n końcu linii, by określić występujący w niej spdek npięci: 30 0 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczeni, jego wrtość bezwzględną i wrtość względną). Spdek npięci obliczono nstępująco: ΔU = U 1 U = 30 0 = 10 V Błąd bezwzględny pomiru kżdego z npięć wynosi 1,5 % zkresu pomirowego 300 V (w mierniku nlogowym decydujące znczenie m błąd trciowy, prktycznie niezleżny od wychyleni wskzówki, ztem niezleżny od wrtości wskzywnej): Δ(U 1 ) = Δ(U ) = 0,015 300 = 4,5 V Górny kres błędu obliczeni spdku npięci wynosi: błąd bezwzględny: Δ(ΔU) = Δ(U 1 ) + Δ(U ) = 4,5 + 4,5 = 9,0 V błąd względny: Δ( ΔU ) 9,0 = = 0,9 = 90 % ΔU 10 Uzyskny wynik: ΔU = 10 ± 9 V, to znczy ΔU = 1 19 V, nie przedstwi żdnej wrtości. Tk kończą się pomiry polegjące n odejmowniu dwóch wielkości o zbliżonej wrtości. Litertur 1. Bronsztejn I. N., Siemiendijew K. A.: Mtemtyk. Pordnik encyklopedyczny. PWN, Wrszw 1968.. Położy G. N. i inni: Metody przybliżonych obliczeń. WNT, Wrszw 1966. 3. Wilkinson J. H.: Błędy zokrągleń w procesch lgebricznych. PWN, Wrszw 1967. 4. PN-68/N-01050: Podstwowe oznczeni mtemtyczne (w roku 007 norm ndl ktuln). 5. PN-70/N-010: Zsdy zokrąglni i zpisywni liczb (w roku 007 norm ndl ktuln). Dne bibliogrficzne: Musił E.: Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych. Biul. SEP INPE Informcje o normch i przepisch elektrycznych, 007, nr 93-94, s. 104-115. 11