Fotonika Wykłady 10: Kryształy fotoniczne, fale Blocha, fotoniczna przerwa wzbroniona, zwierciadła Bragga i odbicie omnidirectional Plan: Jednowymiarowe kryształy fotoniczne Fale Blocha, fotoniczna struktura pasmowa, fotoniczna przerwa wzbroniona Odbicie Bragga i odbicie omnidirectional, filtry interferencyjne J. Joannopoulos, S. Johnson, J. Winn, R. Meade, Photonic crystals Molding the flow of light 2007 http://books.google.pl/books/princeton?id=owhe36qitp8c M. Skorobogatiy, J. Yang Fundamentals of photonic crystal guiding, Cambridge University Press, 2009 http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/
Zwierciadła - tradycyjne i Bragga Zwierciadło płaskie: odbicie światła od granicy ośrodków: Powietrze-szkło Powietrze-metal
Zwierciadła - tradycyjne i Bragga Zwierciadło Bragga: odbicie wielokrotne (DBR- Distributed Bragg Reflector) nh nl nh VCSEL d L =0.25 / n l d H =0.25 / n h nl nh nl n L n H
Zwierciadła - tradycyjne i Bragga Zwierciadło Bragga: odbicie wielokrotne n L=3 n H =3.5 =0.5 um I R =99.9 % I R =99 %
Zwierciadła - tradycyjne i Bragga Zwierciadło Bragga: odbicie wielokrotne Bragg =2 n n L=1.45 L 1mm n H =1.451 =1.55um Lasery światłowodowe I R=5 % L 0.5 mm Typowe długości: 1-25mm (kilka tysięcy okresów)
Zapis siatki Bragga
Zwierciadła DBR w laserach VCSEL VCSEL vertical cavity surface emitting laser http://en.wikipedia.org/wiki/laser_diode http://en.wikipedia.org/wiki/vertical-cavity_surface-emitting_laser Tradycyjna dioda laserowa
Zastosowania VCSELi...A high bandwidth optical interconnect is designed based on parallel optical VCSEL links. Large matrices with 168 data channels are utilized exhibiting the highest reported full duplex aggregate bandwidth of 1.34Tb/s. Optical links of 300m are measured with BER < 10-12 while the power efficiency is 10.2 pj/bit
Periodyczna struktura warstwowa y czyli jednowymiarowy kryształ fotoniczny x 1 2 Periodyczność współczynnika załamania: n x =n x - okres (stała sieci) Dowolną periodyczną strukturę dielektryczną o okresie tego samego rzędu co długość fali nazywamy kryształem fotonicznym. Jeśli periodyczność występuje w 1, 2, lub 3 kierunkach, mówimy odpowiednio o krysztale jedno-, dwu-, lub trójwymiarowym. Będziemy chcieli pokazać, że propagacja fali w krysztale fotonicznym przypomina propagację w ośrodku jednorodnym, ale w ogólności o innych właściwościach optycznych niż ośrodki, wchodzące w skład kryształu, czyli tworząc kryształ fotoniczny tworzymy nowy materiał.
Kryształy fotoniczne Jakie przykładowe właściwości można uzyskać projektując kryształ fotoniczny i korzystając zwykle jedynie z dwóch materiałów składowych? materiał o nowym, efektywnym, współczynniku załamania materiał anizotropowy (dwójłomny) materiał, w którym w określonym zakresie częstości propagacja jest niemożliwa (występuje fotoniczna przerwa wzbroniona). Jeśli przerwa występuje dla dowolnej polaryzacji i kierunku, to nazywa się ją całkowitą, w przeciwnym wypadku mówimy o przerwie częściowej. materiał, w którym prędkość grupowa jest prawie zerowa (światło zwalnia ) materiał, w którym prędkość fazowa i grupowa są przeciwne ( wsteczna propagacja) Materiał, w którym dla określonego kierunku propagacji, nie występuje dyfrakcja Materiał, na granicy którego załamanie jest nietypowe, np. zachodzi w odwrotnym, niż zwykle kierunku (tzw. ujemne załamanie)
Periodyczna struktura warstwowa y czyli jednowymiarowy kryształ fotoniczny 1 x 2 Periodyczność: U + 1 + U2 U 2 U1 - okres (stała sieci) [ ] [ ][ ] + U2 U 2 n x =n x + A B U1 = C D U 1 Φ ( x )=U + ( x )+U Amplitudy fal płaskich w płaszczyźnie 1 Macierz przejścia (transmisji) Amplitudy fal płaskich w płaszczyźnie 2 (x )
Periodyczna struktura warstwowa 1 N+1 N okresów n x =n x L=N Λ [ ][ ][ ] U U + N+ 1 N+ 1 N + A B U = 1 C D U1
Periodyczna struktura warstwowa Diagonalizacja macierzy przejścia: 1 N+1 M u i =λ i ui [ ] λ1 0 S= 0 λ2 V =[u1,u 2 ] M =V S V N N [ ] [ ] U U + N+ 1 N+ 1 =M N U1 + U 1 [ M =V 1 N (λ 1 ) 0 0 (λ 2 ) Wartości własne macierzy dla N okresów są wartościami własnymi macierzy dla pojedynczego okresu podniesionymi do potęgi N, a wektory własne są te same. ] V N 1
Jednowymiarowy kryształ fotoniczny [ ] [ ] + U N+ 1 U N+ 1 N N N =M [ M =V (λ1 ) 0 N U 1+ U 1 0 (λ2 ) ] V N 1 N Możliwości: i 1 N (częściowa) fotoniczna przerwa wzbroniona N i fale (Blocha) propagują się w strukturze periodycznej przerwa wzbroniona (chyba, że mamy do czynienia ze wzmocnieniem) i 0 i =1 =1 i 1 i N
(Felix Bloch, 1905-1983, laureat nagrody Nobla z 1953r za prace z dziedziny pomiaru właściwości magnetycznych jąder atomowych) Fale Blocha 1 N+1 Rozważmy fale zadane wektorami własnymi macierzy przejścia: [ ] + U1 U 1 ui dla i=1 lub i=2 N Λ x =N Λ x =0 [ ] [ ] [ ] + UN+ 1 U N + 1 N =M + U1 U 1 N i =λ U1 + U 1 N Φ (x =N Λ )=Φ( x=0) λi = =Φ ( x =0) exp ( N ln (λ i ))= =Φ ( x =0) exp (i N Λ k Bloch ) =x k Bloch i ln(λ i )/Λ Wektor falowy Blocha
Fale Blocha 1 N+1 Rozważmy fale, zadane wektorami własnymi macierzy przejścia: [ ] U 1+ U 1 ui dla i=1 lub i=2 N [ ] [ ] [ ] + U N+ 1 U N+ 1 N =M U 1+ U1 N i =λ U 1+ U 1 Φ (x =N Λ )=Φ( x=0) exp( N ln( λ i))= =Φ ( x =0) exp (i N Λ k Bloch ) Ale początek układu x=0 można wybrać dowolnie, więc: Φ (x )=Φ Bloch (x ) exp ( i x k Bloch ) Funkcja okresowa o okresie Λ k Bloch = i ln (λ i )/Λ Wektor falowy Blocha
Fale Blocha Funkcja okresowa Wektor falowy Blocha o okresie Λ Φ (x )=Φ Bloch (x ) exp ( i x k Bloch ) Wniosek: fala (Blocha) w krysztale fotonicznym propaguje się podobnie jak fala płaska w ośrodku jednorodnym, ale jej wektor falowy (i prędkość fazowa) zależy od budowy kryształu. N k Bloch = i ln (λ i )/Λ k Bloch = i ln (λ i )/Λ= ln z =ln z + i ( Arg(z )+ 2 π m) Arg (λ i ) Λ Część rzeczywista [ π,+ π ] Λ Λ m Z ln λ i 2 πm + Λ i Λ Część urojona (=0 dla wybór strefy Brillouina o rozmiarze 2 π/λ i =1)
Fale Blocha Można wybrać wektor falowy Blocha o wartości rzeczywistej z dowolnie wybranej np. pierwszej (m=0) strefy Brillouina: Φ (x )=Φ Bloch (x ) exp ( i x k Bloch )=Φ Bloch (x ) exp ( i x (k ' Bloch + 2 π m/λ ) ) = =[Φ Bloch (x )exp ( i x (2 π m/λ ) ) ] exp ( i x k ' Bloch ) = =Φ ' Bloch (x ) exp ( i x k ' Bloch ) Część rzeczywista Funkcja okresowa o okresie Λ [ π,+ π ] Λ Λ
Wykres (diagram) pasmowy Ośrodek jednorodny jest periodyczny z dowolnie wybranym okresem Λ, więc najpierw zobaczmy jak wygląda wykres pasmowy w tym prostym przypadku k y 0 Polaryzacje TE i TM k y [ω 0 /c ] (wykres dla padania ukośnego) 2π c ω0 = λ Bragg
Wykres pasmowy (powstawanie przerwy fotonicznej - na przykładzie zwierciadła Bragga) L=N Λ y n=1 n=1 x Płaszczyzna wejściowa Λ=d 1+ d 2 n1 n2 n1 d /2 d d /2 Płaszczyzna wyjściowa
Wykres pasmowy- na przykładzie zwierciadła Bragga d 1 n1 =d 2 n 2 =λ /4 k y [ω 0 /c ] k y [ω 0 /c ] k y [ω 0 /c ] k y [ω 0 /c ]
Kryształy fotoniczne w przyrodzie Motyle 1.8μ m 1.3μ m Szkarłupnie (wężowidła) 10μ m P. Vukusic, J. R. Sambles, Photonic structures in biology, Nature Vol 424, 2003 Funkcje kryształów fotonicznych powstałych w ewolucji naturalnej: nadawanie koloru (iryzacja) - ma na celu maskowanie, lub wzbudzanie zainteresowania; powłoki antyrefleksyjne służą maskowaniu, albo poprawie czułości wzroku.
Kryształy fotoniczne w przyrodzie Powłoka antyrefleksyjna na oku ćmy i na przezroczystym skrzydle Wieloszczety
Kryształy fotoniczne Widliczka