( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Równanie Schrödingera niezależne od czasu Rozparzmy równanie Schrödingera: Przypuśćmy że funkcję ψ można zapisać jako: Mamy wówczas ( ) ( ) ( ) z y x m h z y x U z y x h i 8 ψ π ψ π = ( ) ( ) ( ) z y x u z y x η ψ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y x u m h z y x U z y x u h i 8 = π η η π

Dzieląc obusronnie o równanie przez u ψ orzymujemy: Obie srony równania będą sobie równe dla każdego xyz ylko wedy gdy będą równe pewnej sałej E: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y x u m h z y x U z y x u h i 8 = π η η π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y x u m h z y x U z y x u h i 8 = π η η π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E z y x u m h z y x U z y x u E h i = = 8 π η η π

Pierwsze z ych równań daje się ławo rozwiązać: zaem E jes energią (przypominam że E=hν). Zakładając że E jes sałą zakładamy auomaycznie że zachowana jes energia. Drugie z równań prowadzi do związku: Jes o równanie Schrödingera niezależne od czasu. Dla akiego równania dopuszczalne są ylko rozwiązania o pewnych warości energii E. ( ) h E i e π η = ( ) ( ) ( ) z y x Eu z y x u m h z y x U 8 = π

Budowa maerii

Budowa aomu

Aom wodoru w mechanice falowej Niezależne od czasu równanie Schrödingera dla elekronu w aomie wodoru (zapisane dla wygody we współrzędnych sferycznych) ma posać: gdzie Ze jes ładunkiem jądra. Eu u r Ze r r r Ze r r r r m h e = + + 0 4 sin sin π ε φ θ θ θ π

Maemayczna analiza problemu jes rudna jednakże równanie posiada rozwiązanie analiyczne. W szczególności wynika z niego że: Energia elekronu może przyjmować warości E n = Ze a 0 n gdzie a 0 oznacza promień pierwszej orbiy Bohra zaś n=3 Kwadra momenu pędu elekronu może przyjmować warości M h = l n π ( l + ) l = 0...

Rzu momenu pędu elekronu na dowolnie wybrany kierunek (umownie przyjmuje się że na oś z) może przyjmować warości h M z = m m = 0 ± ±... ± π Liczby nlm nazywa się odpowiednio główną liczbą kwanową orbialną liczbą kwanową i magneyczną liczbą kwanową. Te rzy liczby wyznaczają jednoznacznie funkcję własną (san elekronu) w aomie wodoru. l

Wyniki doświadczeń Przewidywania eoreyczne nieźle zgadzały się z doświadczeniem ale - Używając spekroskopów o bardzo dużej rozdzielczości zaobserwowano że linie emisyjne w rzeczywisości składają się z kilku bardzo blisko położonych linii (srukura subelna)

- W silnym polu magneycznym obserwuje się zjawisko polegające na rozszczepieniu linii widmowych promieniowania emiowanego przez aomy (zjawisko Zeemana). Analiza wyników doświadczalnych pokazała że poziom podsawowy aomu wodoru (n= l=0 m=0) rozszczepia się na dwa poziomy (co nie powinno zachodzić).

Równanie Diraca W 98 r. P.A.M. Dirac zaproponował modyfikację mechaniki falowej (nowe równanie) uwzględniające efeky relaywisyczne. W szczególności wynikało z niego że - Elekron ma wewnęrzny momen pędu (spin) s = h π - Isnieje cząska o ładunku dodanim będąca odpowiednikiem (anycząską) elekronu

- Poziomy energeyczne w aomie wodoru mają warości gdzie całkowiy momen pędu może przyjmować warości: zaś orbialny momen pędu jes równy + + = n j n E E n j n 4 3 α 37 0... = = + ch e n j π α ± = j l

Spin saysyka zakaz Pauliego i właściwości aomów Załóżmy że obserwujemy dwie idenyczne cząski (np.. elekrony). Mechanika kwanowa pozwala określić prawdopodobieńswo znalezienia cząski w danym punkcie ale określenie kóra o z ych dwóch cząsek jes nie możliwe. Musi mieć o odzwierciedlenie w funkcji falowej opisującej e cząski. Niech x i x oznaczają liczby kwanowe (łącznie ze spinową liczbą kwanową) ych cząsek. Funkcja falowa musi spełniać warunek ( ) x x ψ ( x x ) ψ = (bo cząski są nierozróżnialne). Zachodzi zaem ( x x ) = ψ ( x x ) ψ ±

Załóżmy że funkcję sanu układu cząsek można zbudować z funkcji sanu pojedynczych cząsek należących do ego układu. Zbiór funkcji sanów dla poszczególnych cząsek ψ α ( x). ψ ( x)... β jes idenyczny dla wszyskich cząsek. Dla dwóch cząsek akich że ψ ( x x ) = ψ ( x x ) funkcja sanu wyraża się wzorem ψ [ ] ( x x ) = ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) α β β α

Dla układu n cząsek mielibyśmy ψ n = ( x x... x ) n! ψ ψ ψ α α α ( x ) ψ ( x )... ψ ( x ) ( x ) ψ ( x )... ψ ( x )... ( x ) ψ ( x )... ψ ( x ) Widać że w akim przypadku w rozparywanym układzie nie mogą isnieć dwie idenyczne cząski (zn. o akich samych sanach kwanowych). Z doświadczenia wynika że aką właściwością charakeryzują się wszyskie cząski o spinie połówkowym (np. elekrony). Takie cząski nazywamy fermionami. Zasada głosząca że dwa elekrony nie mogą przebywać w ym samym sanie znana jes jako zasada wykluczania Pauliego. Jej konsekwencją jes m.in. o że na orbicie o głownej liczbie kwanowej n może znajdować się maksymalnie n elekronów. n β β... β n... γ γ... γ n

Dla dwóch cząsek akich że ( x x ) ψ ( x x ) ψ = funkcja sanu wyraża się wzorem ψ α β + [ ] ( x x ) = ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) (w szczególności dla n cząsek mamy kombinację akich samych iloczynów jak dla fermionów ale wszyskie one mają en sam znak). Cząski o akich właściwościach nazywamy bozonami. Charakeryzują się one spinem całkowiym. Do ej grupy należą np. foony. β α

Powyższe właściwości cząsek mają ogromne znaczenie w mechanice saysycznej. Rozparzmy o na przykładzie układu dwóch cząsek i kóre mogą znajdować się w dwóch sanach ψ α i ψ β. Saysyka klasyczna przewiduje czery możliwe sany: ψ ψ ψ ψ a a β β ( ) ψ ( ) a ( ) ψ ( ) β ( ) ψ ( ) a ( ) ψ ( ) β Saysyka Fermiego-Diraca przewiduje ylko jeden san: ψ α ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) β β α

Saysyka Bosego-Einseina przewiduje rzy możliwe sany: ψ ψ ψ α α β ( ) ψ ( ) α ( ) ψ ( ) + ψ ( ) ψ ( ) β ( ) ψ ( ) β β α Dwa fermiony nie mogą znajdowac się w ym samym sanie. Prawdopodobieńswo znalezienia dwóch bozonów w ym samym sanie wynosi 3. Saysyka klasyczna przewiduje prawdopodobieńswo akiego zdarzenia równe ½. Właściwości saysyczne elekronów wpływają m.in. na właściwości chemiczne aomów. Z kolei właściwości saysyczne foonów umożliwiają m.in. budowę laserów.

Budowa jądra aomu

Promieniowórczość nauralna W 896 r. A. H. Bequerel odkrył przypadkowo promieniowórczość nauralną (promieniowanie wysyłane przez niekóre pierwiaski chemiczne). Wykryo wówczas promieniowanie α β i γ. Promieniowanie α o srumień jąder helu. Promieniowanie β o srumień elekronów. Promieniowanie γ jes promieniowaniem elekromagneycznym o bardzo wysokiej energii. Skoro aomy mogą być nierwałe nie są więc najmniejszą cegiełką budującą maerię.

Odkrycie proonu Mechanika kwanowa dosarczyła dużo informacji na ema miejsca elekronu w aomie ale na ema jądra było wiadomo niewiele ponad o że jes ciężkie małe ma ładunek dodani i porafi się samoisnie rozpadać (promieniowórczość nauralna). W celu dokładniejszego poznania budowy jądra aomowego Ruherford i James Chadwick w laach 99-94 przeprowadzili szereg eksperymenów polegających na bombardowaniu jąder wielu różnych pierwiasków cząskami α. W pierwszych eksperymenach arczę sanowiły aomy azou. Cząski a były kierowane na jeden z końców rury wypełnionej czysym gazowym azoem a z drugiej rejesrowano cząski rozpraszane. Ruherford swierdził że wśród rozpraszanych cząsek znajdowały się m.in. Jądra wodoru.

W dalszych eksperymenach zasosowano akże inne arcze (pierwiaski) i za każdym razem wśród rozpraszanych cząsek znajdowano jądra wodoru. Dowodziło o że jądro aomowe nie jes jednolią naładowaną dodanio kulką ale posiada jakąś nieznaną jeszcze srukurę wewnęrzną. Ruheford uznał że jądro wodoru jes cząską elemenarną budującą m.in. większe jądra aomowe i nazwał ją proonem. Uznał on że proony niosą dodani ładunek jądra aomowego. W jądrze wodoru powinien więc znajdować się proon w jądrze helu proony w jądrze liu -3 id. Pojawił się jednak problem: masa aomowa (skupiona w jądrze) jes zwykle dużo większa od masy proonów porzebnych do jego budowy. Np. masa aomowa węgla wynosi a masa 6-ciu proonów porzebnych do budowy jądra aomu węgla o ylko 6.

Ruherford zaposulował isnienie jeszcze jednej cząski o masie podobnej do masy proonu ale nie posiadającej ładunku elekrycznego neuronu. Isniał jeszcze inny pomysł w jądrze prócz proonów znajdują się elekrony. Np. w jądrze azou powinno znajdować się 4 proonów i 7 elekronów. Wówczas ładunek jądra będzie równy 7 i masa aomowa będzie równa około 4 (elekron jes prawie 000 razy lżejszy od proonu więc masy elekronów będą niezauważalnie małe). Spin akiego jądra byłby nieparzysą wielokronością ½ a doświadczalnie swierdzono że jądro azou ma spin całkowiy.

Odkrycie neuronu (93 r.) Małżonkowie Irena Jolio-Curie i Fryderyk Jolio prowadzili eksperymeny polegające na bombardowaniu arcz berylowych cząskami α. Swierdzili oni że w eksperymencie ym powsaje obojęne elekrycznie promieniowanie kóre błędnie zinerpreowali jako promieniowanie rengenowskie. Podobne eksperymeny prowadził akże Chadwick ale w pewnej odległości od arczy umieścił on akże wosk parafinowy. To obojęne elekrycznie promieniowanie o kórym wiedzieli małżonkowie Jolio-Curie wybijało z wosku proony a więc nie mogło być promieniowaniem X (posiada ono za małą energię do wybicia proonu z jądra). Chadwick swierdził że ym promieniowaniem jes srumień neuronów.

Jądrowy rozpad promieniowórczy i reakcje jądrowe Przykłady rozpadów promieniowórczych

W reakcjach jądrowych muszą być zachowane: - Liczba nukleonów - Ładunek elekryczny Przykład: 9 90 38 U 34Th+ 4 He A co się sanie jeżeli osrzelamy jądra aomowe jakimiś cząskami? Takie doświadczenia prowadził Enrico Fermi. Chciał on zsynezować nowe nieisniejące izoopy isniejących na Ziemi pierwiasków chemicznych a jeszcze lepiej nowe pierwiaski. Osrzeliwał on różne arcze neuroanmi a żeby zapobiec rozbiciu jąder wsępnie spowalniał neurony przepuszczając je przez parafinę. Wyprodukował wiele różnych izoopów ale najciekawsze było doświadczeniem polegające na osrzelaniu jąder uranu. Zaobserwował przy ym zagadkowe zjawiska ale błędnie założył że sanowią one dowód powsania nowego izoopu uranu lub nowego pierwiaska ransuranowego

Doświadczenie Fermiego powórzyli w Niemczech Oo Hahn i Lisa Meiner. W produkach reakcji wykryli jądra baru zawierające ylko 56 proonów. Jak o możliwe że wolny neuron rozbił duże jądro?

Reakcja łańcuchowa Jeżeli więcej niż jeden z wyprodukowanych neuronów rozszczepi kolejne jądro o dochodzi do wybuchu.

Co urzymuje nukleony w jądrze? Nie mogą być o siły pola elekrycznego. Proony mają ładunek dodani więc powinny się odpychać. Neurony nie mają ładunku elekrycznego więc nie działają na nie siły pola elekrycznego. Siły grawiacyjne są opisane podobnymi prawami jak siły elekrosayczne: F m m r grawiacyj ne = G F elekrosayczne = e e r ale są one dużo słabsze od sił grawiacyjnych (G jes bardzo małą sałą) Dlaczego więc jądra aomowe z reguły są rwałe? k

Oddziaływania w języku kwanowej eorii pola Mechanika kwanowa próbowała opisać zachowanie cząski w polu pewnych sił. Cóż o jednak jes o pole? Czy nie powinno mieć ono właściwości kwanowych? Rozparzmy pole elekromagneyczne. Zauważmy że aby wyjaśnić charaker promieniowania ciała doskonale czarnego Planck musiał przyjąć że fale elekromagneyczne o częsoliwości ν znajdujące się we wnęce mogą mieć ylko pewne warości energii równe. E = hν Fale we wnęce są falami sojącymi a więc właściwie oscylaorami harmonicznymi. Mechanika kwanowa dopuszcza energię oscylaora harmonicznego równą: E = n + hν

Założenie Plancka jes więc prawie słuszne (niewielki błąd nie ma wpływu na wynik). Fale elekromagneyczne we wnęce mają skwanowane energie. Powróćmy do pola elekromagneycznego. Każde zmienne pole elekromagneyczne jes falą elekromagneyczną. Każdą falę elekromagneyczną można przedsawić jako superpozycję fal o konkrenych częsoliwościach (ransformaa Fouriera). Każde zmienne pole elekromagneyczne jes więc srumieniem foonów o pewnych częsoliwościach ν. Czy każde pole elekromagneyczne jes srumieniem foonów? A co z polami niezmiennymi w czasie? Odpowiedź jes zaskakująca. Niezmienne w czasie pole elekromagneyczne musi być polem elekrosaycznym i właściwie nie isnieje. Mogłoby ono być wywarzane ylko przez ładunki spoczywające względem jakiegoś układu inercjalnego a więc akie kóre nie mogą oddziaływać z innymi ładunkami

W momencie w kórym mówimy o oddziaływaniu ładunków mówimy o oddziaływaniu ich ze zmiennym polem elekromagneycznym wywarzanym przez e ładunki a więc o wymianie foonów między nimi. Do ilusracji akich procesów służą diagramy Feynmana. Kilka przykładów:

Wymiana foonów oznacza wymianę energii między cząskami a więc i przekazywanie pędu czyli działanie siły. E f p f = F = c dp d

Formalizm maemayczny związany z grafami Feynmana pozwala policzyć prawdopodobieńswo przejścia cząski z jednego sanu kwanowego do drugiego w wyniku oddziaływań z polem elekromagneycznym. Oczywiście przy oddziaływaniu cząsek możliwa jes wymiana bardzo dużej liczby foonów ale z każdym wierzchołkiem grafu związany jes czynnik α zmniejszający ampliudę prawdopodobieńswa akiego procesu (/37) razy (prawdopodobieńswo procesu maleje (/37) razy). W prakyce sosuje się więc rachunek przybliżony biorąc pod uwagę grafy o ilości wierzchołków nie przekraczającej pewnej warości. Tak w zarysie wygląda elekrodynamika kwanowa (QED). Wyniki eoreyczne uzyskiwane w ramach QED są zgodne z doświadczeniem z dokładnością nawe do 6-ciu cyfr znaczących!

Na każde oddziaływanie obecnie próbujemy parzeć jak na proces wymiany pewnych cząsek. W przypadku oddziaływań elekromagneycznych są o bezmasowe foony. W przypadku innych oddziaływań wymieniane cząski mogą mieć masę. Jaki jes wpływ masy wymienianych cząsek na właściwości pola sił? Zauważmy że zgodnie z zasadą nieoznaczoności E = h π Oznacza o że możliwe jes krókorwałe złamanie zasady zachowania energii. Ściślej mówiąc: możliwe jes złamanie zasady zachowania energii i może ono rwać ym dłużej im jes mniejsze.

Bezmasowy foon może mieć dowolnie małą energię więc cząska wywarzająca pole elekromagneyczne może wyemiować wirualny foon o energii dążącej do zera kóry będzie mógł isnieć przez czas dążący do nieskończoności i zdąży w ym czasie przebyć drogę równą s = c dążącą do nieskończoności. Wynika z ego że siły elekromagneyczne mają nieskończony zasięg ale będą malały wraz z odległością oddziałujących cząsek (malejąca energia foonu) Jeżeli wymieniana cząska będzie miała masę spoczynkową m 0 o jej minimalna energia będzie równa E = min m 0 c

Maksymalny czas jej życia będzie więc równy max = h h = π E π m c min 0 Droga jaką zdąży przebyć w ym czasie a cząska jes nie większa od s=c. max a więc zasięg oddziaływań będzie maksymalnie równy s max = h π m c 0

Siły jądrowe Siły urzymujące nukleony w jądrze muszą być silniejsze od sił elekrosaycznego odpychania między proonami. Jednocześnie z doświadczenia wiadomo że nie oddziałują one na elekrony. Sąd wzięło się przypuszczenie że proony i neurony mają jakiś silny ładunek kóry nie wysępuje w elekronach i powinna isnieć cząska przenosząca e oddziaływania. W 935 r. Yukawa zaposulował isnienie cząsek π (pionów) kóre miały być nośnikiem oddziaływań silnych. Ponieważ zasięg ych oddziaływań powinien być rzędu rozmiarów jądra aomowego na podsawie jego rozmiarów (0 - cm) oszacował on że cząski e powinny mieć masę rzędu 40 MeV/c. Posulowane przez Yukawę piony zosały odkrye dopiero w 947 r. (π + i π ) i 950 r. (π 0 ).

Oddziaływanie pionów z nukleonami

O ile można zrozumieć promieniowanie γ (jako emisję promieniowania elekromagneycznego przez wzbudzone jądro aomowe) oraz promieniowanie α (jako ucieczkę cząski a z jądra na skuek przenikania przez barierę poencjału (rysunek) o pojawia się pyanie: co powoduje rozpad β?

Rozpady β zachodzą sosunkowo rzadko dlaego uważano że siły kóre je wywołują są sosunkowo słabe (w porównaniu z oddziaływaniami silnymi). Wiadomo eż że nie mogą być o e same siły kóre wiążą nukleony w jądrze (e siły nie oddziałują na elekrony a jako produk rozpadu β pojawia się elekron). Przyczyną rozpadu β jes sponaniczna przemiana neuronu w proon: n 0 p + + e Zasanawiającą cechą ego rozpadu był fak że energia cząsek wyzwalanych w rozpadzie była za mała: ( m c m c ) = 0 MeV mneuronuc proonu elekronu 8

Dodakowo jeżeli jedynymi produkami rozpadu miały być proon i elekron o ich ory powinny leżeć na jednej prosej a ak nie było. Sąd wniosek że musiała powsawać jeszcze jakaś obojęna cząska kórej bezpośrednio nie obserwowano. Tą cząską okazało się neurino (ściślej: anyneurino elekronowe) odkrye dopiero w 956 r..

Szczególną cechą oddziaływań słabych jes akże o że łamią one parzysość. Obserwując świa w zasadzie nie da się swierdzić czy parzymy bezpośrednio na świa czy na jego lusrzane odbicie. W 956 r. okazało się że nie doyczy o oddziaływań słabych. Hisorycznie doświadczenie doyczyło rozpadu β jąder kobalu ale można je zilusrować na przykładzie rozpadu β pojedynczego neuronu. Umieszczając neuron w polu magneycznym wyworzoną przez cewkę z płynącym prądem powodujemy usawienie spinu neuronu wzdłuż kierunku wekora pola (na skuek oddziaływania pola z momenem magneycznym neuronu). Dzieje się ak na skuek oddziaływania pola magneycznego z naładowanymi cząskami z kórych zbudowane są neurony (kwarkami)

Elekrony powsające w rozpadzie β są chęniej wysyłane w jednym kierunku niż w przeciwnym (rysunek)