Niezawodność. systemów nienaprawialnych. 1. Analiza systemów w nienaprawialnych. 2. System nienaprawialny przykładowe

Podobne dokumenty
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Niezawodność i diagnostyka Kierunek AiR, sem. V, rok. ak. 2010/11 STRUKTURY I MIARY PROBABILISTYCZNE SYSTEMÓW METODA DRZEWA (STANÓW) NIEZDATNOŚCI

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

Wpływ redukcji poziomu szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów 161

Schrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu

Teoria i metody optymalizacji

n R ZałóŜmy, Ŝe istnieje d, dla którego: Metody optymalizacji Dr inŝ. Ewa Szlachcic otwarte otoczenie R n punktu x, Ŝe

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE TECHNOLOGII WYTWARZANIA ODLEWÓW

Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Statystyka Inżynierska

OBIEKT. złożony (system)

Funkcja wiarogodności

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Wyrażanie niepewności pomiaru

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

. Wtedy E V U jest równa

Modele zmienności aktywów ryzykownych. Model multiplikatywny Rozkład logarytmiczno-normalny Parametry siatki dwumianowej

SZCZEGÓLNE CHARAKTERYSTYKI NIEZWODNO CIOWE SZEREGOWYCH SYSTEMÓW MECHATRONICZNYCH ZBIGNIEW MATUSZAK

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Politechnika Opolska. Skrypt Nr 237 ISSN (wersja elektroniczna) Ewald Macha. Niezawodność maszyn

R n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 )

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI


OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Matematyka II. x 3 jest funkcja

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

System finansowy gospodarki

Immunizacja portfela

Regresja REGRESJA

Mechanika Bryły y Sztywnej - Ruch Obrotowy. Bryła a Sztywna. Model górnej kończyny Model kręgosłupa

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Szacowanie składki w ubezpieczeniu od ryzyka niesamodzielności

Modelowanie i obliczenia techniczne. Równania różniczkowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA

2. Wprowadzenie. Obiekt

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

CZYNNIKOWY MODEL ZARZĄDZANIA PORTFELEM OBLIGACJI

TRANSFORMACJE MOMENTÓW SYGNAŁÓW STOCHASTYCZNYCH W LOSOWYCH UKŁADACH NIELINIOWYCH

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Przybliżone zapytania do baz danych z akceleracją obliczeń rozkładów prawdopodobieństwa

Podprzestrzenie macierzowe







Temat: Weryfikacja nienaruszalności bezpieczeństwa SIL struktury sprzętowej realizującej funkcje bezpieczeństwa

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

KRYTERIUM OCENY EFEKTYWNOŚCI INWESTYCYJNEJ OFE, SYSTEM MOTYWACYJNY PTE ORAZ MINIMALNY WYMÓG KAPITAŁOWY DLA PTE PROPOZYCJE ROZWIĄZAŃ

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Obwody elektryczne. Stan ustalony i stan przejściowy. Metody analizy obwodów w stanie przejściowym. przejściowym. Stan ustalony i stan przejściowy

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

XXXV Konferencja Statystyka Matematyczna

ELEKTROTECHNIKA. Obwody elektryczne. Elementy obwodu elektrycznego. Elementy obwodu elektrycznego. Elementy obwodu elektrycznego.

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Eksploracja danych. KLASYFIKACJA I REGRESJA cz. 1. Wojciech Waloszek. Teresa Zawadzka.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do pomiaru częstotliwości średniej sygnałów o małej stromości zboczy w obecności zakłóceń

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Automatyki

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

Równania dynamiki maszyn prądu stałego w jednostkach względnych Jako podstawę analizy przyjmijmy równania obwodu twornika:

Transkrypt:

Nezawoość sysemów eaprawalych. Aalza sysemów w eaprawalych. Sysemy eaprawale - przykłaowe srukury ezawooścowe 3. Sysemy eaprawale - przykłay aalzy. Aalza sysemów w eaprawalych Sysem eaprawaly jes o sysem zbuoway z elemeów w eaprawalych. Sysem zała a ak ługo, aża zosae osąg gęy waruek określaj lający esprawość ść. Moel - ego elemeu - oaa zmea losowa T, określaj lająca czas życa elemeu fukcja gęsog sośc rozkłau f () ysrybuaa rozkłau F () fukcja ezawoośc () fukcja esywośc uszkozeń λ () r ż. Jacek Jarck Moel sysemu - oaa zmea losowa T,, określaj lająca czas życa sysemu fukcja gęsog sośc rozkłau f() ysrybuaa rozkłau F() fukcja ezawoośc () fukcja esywośc uszkozeń λ() Przykłaowe zaae - la sysemu zbuowaego z elemeów, z kórych każy opsay jes fukcją ezawoośc (),, wyzaczyć fukcję ezawoośc sysemu (). ozwązae zae zaaa polega a: określeu waruku esprawośc sysemu zalezeu la określoego waruku zwązku zku pomęzy (), (),, () a (). Najczęś ęścej sosowaa meoa - rachuek zarzeń. Sysem eaprawaly przykłaowe srukury ezawooścowe sysem szeregowy, sysem rówolegr woległy, sysem k z, sysem o srukurze yamczej. r ż. Jacek Jarck 3 r ż. Jacek Jarck 4

Sysem szeregowy () Dae założea. () () { T },,, ( ) Pr. Zmee losowe T są ezależe e Waruek esprawośc sysemu Sysem ulega uszkozeu po uszkozeu perwszego elemeu. ówoważa a posać waruku Cel aalzy T m { T,T,,T,, } T Wyzaczee fukcj ezawoośc sysemu, czyl Przebeg aalzy ( Określee zarzea ) Pr { T } { T } { T } { T } { T } Oblczee prawopoobeńswa ego zarzea Pr { T } Pr{ T } Pr{ T } Pr{ T } r ż. Jacek Jarck 5 r ż. Jacek Jarck 6 Ską, a posawe aych ( ) ( ) ( ) ( ) Wylczee fukcj esywośc uszkozeń sysemu szeregowego. Ogóla zależo ość wążą ążąca fukcję ezawoośc z fukcją esywośc uszkozeń jes asępuj pująca λ( ) l ( ) a węc c la sysemu szeregowego r ż. Jacek Jarck 7 są λ ) l λ ) [ ( ) ( ) ( )] ( [ l ( ) + l ( ) + l ( )] ( + czyl, osaecze λ ( ) λ( ) + λ( ) + + λ( ) Fukcja ezawoośc sysemu szeregowego jes loczyem fukcj ezawoośc jego elemeów. Fukcja esywośc uszkozeń w syseme szeregowym jes sumą fukcj esywośc uszkozeń jego elemeów. r ż. Jacek Jarck 8

Sysem rówolegr woległy Dae założea. () () () { T },,, ( ) Pr. Zmee losowe T są ezależe e Waruek esprawośc sysemu Sysem ulega uszkozeu po uszkozeu osaego elemeu. ówoważa a posać waruku Cel aalzy T max { T,T,,T,, } T Wyzaczee fukcj ezawoośc sysemu, czyl Przebeg aalzy ( Określee zarzea ) Pr { T } { T } { T } { T } { T } r ż. Jacek Jarck 9 r ż. Jacek Jarck 0 Określee przecwego (opełaj ającego) { T < } { T < } { T < } { T } < Oblczee prawopoobeńswa zarzea Pr { T < } Pr{ T < } Pr{ T < } Pr{ T } czyl < [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) osaecze Wylczee fukcj esywośc uszkozeń sysemu rówoległego ego gze λ( ) l ( ( ) ) ( ) ( ) C( ) λ( ) ( ) C ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] r ż. Jacek Jarck r ż. Jacek Jarck 3

Sysem progowy k z Dae założea. () () () k# { T },,, ( ) Pr. Zmee losowe T są ezależe e r ż. Jacek Jarck 3 Waruek esprawośc sysemu Sysem ulega uszkozeu jeśl węcej ż k elemeów zosaje uszkozoych. Cel aalzy Wyzaczee fukcj ezawoośc sysemu, czyl Przebeg aalzy ( Określee zarzea ) Pr { T } { T } { T } { T } { T } U,, {,,, } p p k p r ż. Jacek Jarck 4 Dalsza aalza prowaz o sosukowo skomplkowaych wyrażeń e bęze b prowazoa. Zacze prosszy wyk moża uzyskać,, jeśl założyć, że wszyske elemey sysemu mają e sam rozkła czasu życa, wey k #( ) ( ) ) k [ ( ] Sysem ze srukurą yamczą (prosy przykła) Dae założea. () () { T },,, ( ) Pr. Zmee losowe T są ezależe e 3. Począkowo pracuje ylko eleme, po jego uszkozeu zosaje włąw łączoy o pracy eleme. Gy eleme e pracuje e może e sę uszkozć. r ż. Jacek Jarck 5 r ż. Jacek Jarck 6 4

Waruek esprawośc sysemu Sysem ulega uszkozeu jeśl oba elemey zosają uszkozoe. ówoważa a posać waruku Cel aalzy T T + T Wyzaczee fukcj ezawoośc sysemu, czyl Przebeg aalzy ( ) Pr { T } Wykorzysae zaych z leraury probablsyczej zależo ośc, pozwalających a oblczae rozkła aów sum zmeych losowych. r ż. Jacek Jarck 7 Wyk ogóly jak uaje sę uzyskać wygląa ak: 0 ( ) ( ) + ( u ) ( u ). Sysem eaprawaly przykłay aalzy Sysem szeregowy (rozkłay wykłacze) Założee ( ) exp( λ ),,, r ż. Jacek Jarck 8 Wyk aalzy ( ) exp[ λ ] T FF 0 λ( ) λ ( ) λ Sysem rówolegr woległy y ( elemey, rozkłay wykłacze) Założee ( ) exp( λ ),,, r ż. Jacek Jarck 9 Wyk aalzy [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) exp( λ ) + exp( λ ) exp[ ( λ + λ λ( ) λ + λ ( )[ ( )] [ () ][ () ] () [ () ] [ ()][ ()] ) ] r ż. Jacek Jarck 0 + 5

T FF Przykła lczbowy 0 ( ) + λ λ λ + λ λ, λ 0. Elemey sysemu mają rozkłay wykłacze a węc fukcje esywośc uszkozeń elemeów w jako sałe, sąs w oczywsy sposób b emalejące. Jak wać a rysuku, fukcja esywośc uszkozeń sysemu jeak maleje. Fukcja esywośc uszkozeń la sysemu wygląa ak jak a rysuku: λ() Sysem zbuoway z elemeów, kóre sę sarzeją,, sarzeje sę. e Wyk wyaje sę ość " poejrzay " r ż. Jacek Jarck r ż. Jacek Jarck Sysem szeregowo - rówoległy () () 3 () 4 () Algorym oblczaa fukcj ezawoośc sysemu ) Oblczyć 34 () weług wzorów w la syemu rówoległego ego zbuowaego z wóch elemeów o fukcjach ezawoośc 3 () 4 (). 3) Oblczyć () weług wzorów w la syemu szeregowego zbuowaego z wóch elemeów w o fukcjach ezawoośc () 34 (). ) Oblczyć () weług wzorów w la syemu rówoległego ego zbuowaego z wóch elemeów o fukcjach ezawoośc () (). r ż. Jacek Jarck 3 r ż. Jacek Jarck 4 6