Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji) b) Regula Falsi c) siecznych d) Newtona 2. Wyznaczanie zer wielokrotnych a) modyfikacja metod przy znajomości krotności pierwiastka b) modyfikacja metod siecznych i Newtona dla przypadku ogólnego c) Proces 2 Aitkena 3. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych 4. Wyznaczanie zer rzeczywistych i zespolonych wielomianów a) dzielenie wielomianów b) metoda iterowanego dzielenia 1

Równanie nieliniowe z jedną niewiadomą Poszukujemy zera rzeczywistego ciągłej funkcji f(x), czyli szukamy rozwiązania równania: f(x) = 0, x 2 fx 1 ; x 2 ; : : : ; x k g; x 2 R 2

Uwagi: 1) Nie istnieją wzory pozwalające obliczyć dokładnie pierwiastki równania trzeba używać schematów iteracyjnych. Często w obliczeniach inżynierskich nie jest znana postać równania nieliniowego. 2) Rozwiązanie problemu uzyskane metodą iteracyjną będzie przybliżone (z zadaną dokładnością) 3) Jak w każdej metodzie iteracyjnej, o tym jak szybko znajdziemy zadowalające przybliżenie pierwiastka zależeć będzie od samej metody, od przybliżenia założonego na starcie oraz od postaci funkcyjnej równania. Metoda połowienia (bisekcji) Rozwiązania szukamy w przedziale, w którym znajduje się miejsce zerowe funkcji, w tzw. przedziale izolacji pierwiastka (wewnątrz tego przedziału pierwsza pochodna funkcji nie zmienia znaku). Przedział wyznacza się na podstawie wykresu funkcji lub w przypadku wielomianów algebraicznych analitycznie. Założenia: 1) w przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek 2) Na końcach przedziału wartosci funkcji mają różne znaki tj. Algorytm f(a) f(b) < 0 1. Dzielimy przdział izolacji na pół x 1 = b + a 2 2. Sprawdzamy czy spełniony jest warunek f(x 1 ) = 0 jeśli tak to mamy rozwiązanie, jeśli nie to przechodzimy do kolejnego puntu 3. z dwóch przedziałów [a,x 1 ] oraz [x 1,b] wybieramy ten, w którym wartości funkcji na krańcach przedziałów mają różne znaki f(x i ) f(x i+1 ) < 0 4. Powtarzamy kroki 1-3, co powduje że długości kolejnych przedziałów maleją jx i x i+1 j = 1 (b a) 2i 3

Lewe krańce przedziałów tworzą ciąg niemalejący ograniczony z góry. Natomiast prawe tworzą ciąg nie rosnący ograniczony z dołu. Istnieje ich wspólna granica w punkcie. Punkt ten jest poszukiwanym rozwiązaniem równania nieliniowego. Przykład. Znaleźć w przedziale [1,2] metodą połowienia pierwiastek równania x 3 + x 2 3x 3 = 0 f(x) = x 3 + x 2 3x 3 f(1) = 4 f(2) = 3 f(a) f(b) = f(1)f(2) = 12 < 0 Wewnątrz przedziału wartość pierwszej pochodnej funkcji jest dodatnia (nie zmienia znaku) więc jest to przedział izolacji pierwiastka. Wyniki kolejnych przybliżeń rozwiązania x f(x) 1.0-4 2.0 3 1.5-1.874 1.75 0.17187 1.625-0.94335 1.6875-0.40942 1.71875-0.12487 1.73437 0.02198...... 1.73205 0.0000000 Wadą metody wolna zbieżność w otoczeniu punktu stanowiącego rozwiązanie. Zaletą jest natomiast niezawodność metody. 4

Wzór iteracyjny. Jeżeli g(y) stanowi funkcję odwrotną do f(x) to dla zbioru punktów funkcję g(y) można przybliżyć (aproksymować) wielomianem Lagrange'a Oznaczmy fy 1 ; y 2 ; : : : ; y n g g(y) ¼ Jeśli x=a jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) to wówczas y=0 x i+1 = nx l j (y)g(y j ) j=1 x i+1 j = g(y j ) nx l j (0)x i+1 j j=1 (x i+1-j to wcześniej wyznaczone przybliżenia) gdzie wielomian l j ma postać l j = (y y 1) : : : (y y j 1 )(y y j+1 ) : : : (y y n ) (y j y 1 ) : : : (y j y j 1 )(y j y j+1 ) : : : (y j y n ) Wzór na x i+1 określa metodę iteracyjną rozwiązywania równania nieliniowego. Wzór ten można zapisać w bardziej ogólnej postaci x i+1 = F (x i ; x i 1 ; : : : ; x i n+1 ) który jest n-punktowym wzorem iteracyjnym. Szczególnym przypadkiem są metody jednopunktowe wykorzystujące do znalezienia przybliżenia w i+1 iteracji przy znajomości przybliżenia wyznaczonego w i- tym kroku x i+1 = F (x i ) Zbieżność metody iteracyjnej Ciąg przybliżeń jest zbieżny gdy lim x i = a i!1 Błąd rozwiązania w i-tej iteracji " i+1 = a x i+1 W punkcie x=a metoda jest rzędu p, jeśli istnieje liczba rzeczywista p 1 5

dla której zachodzi lim i!1 jx i+1 aj jx i aj p = lim i!1 j" i+1 j j" i j p = C 6= 0 Liczbę C nazywamy stałą asymptotyczną błędu j" i+1 j = Cj" i j p j"j < 1 ) j" i+1 j << j" i j p Metoda Regula Falsi W metodzie tej wykorzystuje się założenie istnienia lokalnej liniowości funkcji (fałszywe, stąd nazwa). Zakładamy ponadto: 1) w przedziale [a,b] funkcja ma tylko jeden pierwiastek pojedynczy 2) f(a)f(b)<0 3) funkcja jest klasy C 2 4) pierwsza i druga pochodna nie zmieniają znaku w przedziale [a,b] Rys. Idea metody Regula Falsi dla funkcji wypukłej 6

Sposób postępowania: 1. przez punkty A i B prowadzimy prostą o równaniu: y f(a) = f(b) f(a) (x a) b a 2. punkt x 1 w którym prosta przecina oś 0x przyjmuje się za pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka równania: x 1 = a f(a) (b a) f(b) f(a) 3. sprawdzamy warunek, czy: f(x 1 )=0, jeśli tak to przerywamy oblicznia 4. jeśli f(x 1 ) 6= 0 to sprawdzamy na końcach którego przedziału ([A,x 1 ], [x 1,B]) wartości funkcji mają różne znaki przez te punkty prowadzimy kolejną prostą powtarzając kroki 1-4 Jeśli w przedziale [A,B] a) f (1) (x)>0 oraz f (2) (x)>0 to B jest punktem stacjonarnym (prawy brzeg ustalony) b) f (1) (x)>0 oraz f (2) (x)<0 to A jest punktem stacjonarnym Metoda generuje ciąg przybliżeń. Elementy ciągu można wyznaczyć rekurencyjnie x 0 = a x k+1 = x k k = 1; 2; 3; : : : f(x k ) f(b) f(x k ) (b x k) Błąd przybliżenia szacujemy korzystając z tw. Lagrange'a o przyrostach: gdzie: Ponieważ więc dostajemy oszacowanie gdzie f(x k ) f( ) = f 0 (c)(x k ) c 2 [x k ; ] f( ) = 0 jx k j jf(x k)j m m = inf jf 0 (x)j x2[a;b] m -oznacza kres dolny pierwszej pochodnej Błąd bezwzględny można oszacować znając wartości dwóch kolejnych przybliżeń x k i x k+1. Przekształcając wzór rekurencyjny otrzymujemy: f(x k ) = f(x k) f(b) (x k+1 x k ) x k b I dodajemy z lewej strony wyraz f( ) = 0 f( ) f(x k ) = f(x k) f(b) (x k+1 x k ) x k b 7

Po zastosowaniu tw. Lagrange'a otrzymujemy: ( x k )f 0 (» k ) = (x k+1 x k )f 0 (¹x k )» k 2 (x k ; ) ¹x k 2 (x k ; b) Następnie przekształcamy do postaci j x k+1 j = jf 0 (¹x k ) f 0 (» k )j jx jf 0 k+1 x k j (» k )j Dla gdzie: jf 0 (x k ) f 0 (» k )j M m Nie znamy wartości m i M. W niewielkim otoczeniu pierwiastka można pochodną można zastąpić ilorazem różnicowym: j x k+1 j»» f(x k+1 ) f 0 (x k+1 ) x k+1 x k f(x k+1 ) f(x k ) jf(x k+1)j Metoda Regula Falsi jest zbieżna do dowolnej funkcji ciągłej w przedziale [a,b] jeśli wartość pierwszej pochodnej jest ograniczona i różna od zera w otoczeniu pierwiastka. Obliczenia przerywa się jeśli dwa kolejne przybliżenia różnią się o mniej niż założone. Wadą jest wolna zbieżność ciągu przybliżeń rząd metody p=1. kres dolny kres górny m = M = inf jf 0 (x)j x2[a;b] sup jf 0 (x)j x2[a;b] oszacowanie błędu bezwględnego ma postać j x k+1 j M m m jx k+1 x k j 8

Metoda siecznych Jest modyfikacją metody Regula Falsi. Prostą przeprowadza się przez dwa ostatnie przybliżenia x k i x k-1 (metoda dwupunktowa). Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznacza się według relacji rekurencyjnej: x k+1 = x k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) Zbieżność metody jest znacznie szybsza niż w metodzie RF. Rząd metody p = 1 2 (1 + p 5) ¼ 1:618 Należy dodatkowo przyjąć, że f(x k ) mają tworzyć ciąg wartości malejących. Jeśli w kolejnej iteracji f(x k ) zaczyna rosnąć, należy przerwać obliczenia i ponownie wyznaczyć punkty startowe zawężając przedział izolacji. Przykład. szukamy dodatniego pierwiastka równania Regula Falsi Metoda siecznych x 3 1.75960 1.75960 x 4 1.84420 1.93200 x 5 1.87701 1.89242 x 6 1.88895 1.89543 x 7 1.89320 1.89549 x 8 1.89469 x 9 1.89521 x 10 1.89540 x 11 1.89546 x 12 1.89548 x 13 1.89549 f(x) = sin(x) 1 2 x x 1 = ¼=2 x 2 = ¼ 9

Metoda Newtona (metoda stycznych) Algorytm: 1) z końca przedziału [a,b] w którym funkcja ma ten sam znak co druga pochodna należy poprowadzić styczną do wykresu funkcji y=f(x) 2) styczna przecina oś 0X w punkcie x 1 który stanowi pierwsze przybliżenie rozwiązania 3) sprawdzamy czy f(x 1 )=0, jeśli nie to z tego punktu prowadzimy kolejną styczną 4) druga styczna przecina oś 0X w punkcie x 2 ktróry stanowi drugie przybliżenie 5) kroki 3-4 powtarzamy iteracyjne aż spełniony będzie warunek jx k+1 x k j " Równanie stycznej poprowadzonej z punktu B: y f(b) = f 0 (b)(x b) i dla y=0, otrzymujemy pierwsze przybliżenie: x 1 = b f(b) f 0 (b) 10

Korzystamy z rozwinięcia Taylora: f( ) = f(b) + f 0 (b)( b) + 1 2 f 00 (c)( b) 2 Gdzie c 2 [ ;b] Wiemy że f( )=0, więc po przekształceniu wzoru Taylora otrzymujemy = b f(b) f 0 (b) 1 2 Korzystając ze wzoru na pierwsze przybliżenie, możemy oszacować odległość nowego przybliżenia od dokładnego rozwiązania: x 1 = 1 2 f 00 (c) ( f 0 b)2 (b) f 00 (c) f 0 (b) ( b)2 < 0 czyli punkt x 1 leży na prawo od pierwiastka Natomiast z tw. Lagrange'a wynika że x 1 b = f(b) f 0 (b) < 0 x 1 2 [ ; b] czyli punkt x 1 leży po lewej stronie punktu B. Powyższe warunki pokazują, że kolejne iteracje przybliżają nas do rozwiązania dokładnego Równanie stycznej w k-tym przybliżeniu y f(x k ) = f 0 (x k )(x x k ) Równanie rekurencyjne na położenie k-tego przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego w metodzie Newtona jest następujące x k+1 = x k f(x k) f 0 (x k ) Metoda Newtona jest więc metodą jednopunktową. Oszacowanie błędu przybliżenia w metodzie Newtona " i+1 = f 00 (») 2f 0 (x i ) "2 i (k = 1; 2; : : :) Rząd zbieżności metody wynosi p=2. 11

Przykład. Zastosować metodę Newtona do znalezienia pierwiastka kwadratowego dodatniej liczby c x 2 c = 0 Szukamy miejsca zerowego funkcji f(x) = x 2 c f 0 (x) = 2x Wykorzystujemy relację rekurencyjną x k+1 = x k x2 k c 2x k co poprzekształceniu daje x k+1 = 1 2 µ x k + c x k Rozwiązania szukamy w takim przedziale [a,b], w którym spełnione są warunki 0 < a < c 1=2 b > 1 (a + c=a) 2 Poszukiwanie pierwiastków wielokrotnych równania nieliniowego def. Liczbę nazywamy r-krotnym (r 2 ) pierwiastkiem równania f(x)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest (r-1) -krotnym pierwiastkiem równania: f 0 (x) = 0 Metody: połowienia, RF, siecznych nadają się do poszukiwania pierwiastków tylko o nieparzystej krotności. Rząd metody siecznych obniża się (wolniejsza zbieżność). Metoda Newtona pozwala znaleźć pierwiastki o parzystej i nieparzystej krotności. Aby utrzymać rząd metody (przyśpieszyć zbieżność) stosuje się modyfikacje wzorów rekurencyjnych. a) Znamy krotność r pierwiastka równania. Wówczas możemy wykorzystać tę informację w metodzie Newtona x k+1 = x k r f(x k) f 0 (x k ) (w praktyce bardzo rzadko znamy wartość r przez co zastosowanie powyższego wzoru jest mocno ograniczone) 12

Obliczmy różnicę pomiędzy rozwiązaniem dokładnym a k+1 przybliżeniem Gdzie a x k+1 = a x k + r f(x k) f 0 (x k ) (a x k+1 )f 0 (x k ) = G(x k ) Różniczkujemy G(x) j-krotnie Wykorzystujemy fakt że a jest pierwiastkiem r- krotnym Z rozwinięcia Taylora w punkcie x=a dostajemy oraz G(x) = (a x)f 0 (x) + rf(x) G (j) (x) = (a x)f (j+1) (x) jf (j) (x) + rf (j) (x) G (j) (a) = 0 (j = 0; 1; : : : ; r) G (r+1) (a) 6= 0 G(x) = (x a)r+1 (r + 1)! G (r+1) (» 1 ) Kombinacja dwóch ostatnich zależności prowadzi do związku pomiędzy błędami w k i w k+1 iteracji Ponieważ " k+1 = (a x k+1 ) = G(x k) f 0 (x k ) " k+1 = 1 G (r+1) (» 1 ) r(r + 1) f (r) (» 2 ) "2 k f (r) (» 2 ) 6= 0 G (r+1) (a) 6= 0 j" k+1 j j" k j 2 C Więc metoda Newtona dla pierwiastka krotności r ma rząd zbieżności p=2. f 0 (x) = (x a)r 1 (r 1)! f (r) (» 2 ) 13

b) Jeśli wiemy że pierwiastek jest wielokrotny ale nie znamy jego krotności r wówczas możemy badać zera funkcji u(x) = f(x) f 0 (x) Funkcja u(x) ma zero krotności 1 w punkcie x=a. We wzorach iteracyjnych dokonujmey podstawienia u(x) za f(x) a) w metodzie siecznych x k x k 1 x k+1 = x k u(x k ) u(x k ) u(x k 1 ) b) w metodzie Newtona gdzie: x k+1 = x k u(x k) u 0 (x k ) u 0 (x k ) = 1 f 00 (x k ) f 0 (x k ) u(x k) Przykład. Wyznaczyć dodatni pierwiastek równania µ sin(x) 1 2 x 2 = 0 m. Newtona m. Newtona - r m. Newtona - u(x) x 2 1.78540 2.00000 1.80175 x 3 1.84456 1.90100 1.88963 x 4 1.87083 1.89551 1.89547 x 5 1.88335 1.89549 1.89549 x 6 1.88946 x 7 1.89249 x 8 1.89399 x 9 1.89475 x 10 1.89512 x 11 1.89531 x 12 1.89540 x 13 1.89545 x 14 1.89547 x 15 1.89548 x 16 1.89549 x 1 = 1 2 14

Proces 2 Aitkena Jeśli metoda jest zbieżna liniowo to można ją w prosty sposób przyśpieszyć a x i+1 = C i (a x i ) (jc i j < 1) gdzie C i dąży do stałej asymptotycznej błędu. Po wielu iteracjach powinniśmy otrzymać przybliżenie a x i+1 ¼ ¹C(a x i ); j ¹Cj = C Zwiększamy indeks i o 1 i eliminujemy stałą a x i+2 a x i+1 ¼ a x i+1 a x i Następnie obliczamy a a ¼ x ix i+2 x 2 i+1 x i+2 2x i+1 + x i Procedurę tę można stosować jedynie dla metod zbieżnych liniowo, gdy kolejne 3 przybliżenia są bliskie poszukiwanemu rozwiązaniu. 15

Układy równań nieliniowych Układ równań nieliniowych f j (x (1) ; x (2) ; : : : ; x (n) ) = 0; (j = 1; 2; : : : ; n) zapisujemy w postaci wektorowej f(x) = 0 Dla takiej postaci układu wyprowadza się wzory iteracyjne. Ogólny wzór iteracyjny (wielokrokowy) Zakladamy że funkcja wektorowa f ma w otoczeniu rozwiązania funkcję odwrotną Jeśli punkt f = (f 1 ; f 2 ; : : : ; f n ) x = (x (1) ; x (2) ; ; : : : ; x (n) ; ) x i+1 = F (x i ; x i 1 ; : : : ; x i n+1 ) F = (F 1 ; F 2 ; : : : ; F n ) = ( 1 ; 2 ; : : : ; n ) g = (g 1 ; g 2 ; : : : ; g n ) y = (y (1) ; y (2) ; : : : ; y (n) ; ) jest odwrotny do punktu x (wektora przybliżonych rozwiązań) To można funkcję g(y) rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu y i m+1 X x = g(y) = g(y i ) + d j h(x; s) = nx nx : : : i 1 =1 i 2 =1 Gdzie: jest pochodną cząstkową funkcji h względem zmiennych w punkcie x wektor s: j=1 x (i 1) ; x (i 2) ; : : : ; x (i n) 1 j! dj g(y i ; y y i ) 1 + (m + 2)! dm+2 g(»; y y i ) nx i j =1 D i1 ;i 2 ;:::;i j h(x)» 2 [y; y i ] D i1 ;i 2 ;:::;i j h(x)s i 1 s i 2 : : : s i j s = (s i 1 ; s i 2 ; : : : ; s i j ) 16

Szukane rozwiązanie ma postać = g(0) ) y = 0 Po odrzuceniu reszty w rozwinięciu Taylora i uwzględnieniu powyższego warunku otrzymujemy n-wymiarowy odpowiednik metody Newtona. Dla m=0 (metoda jednokrokowa) x i+1 = x i + dg(y i ; y i ) = = nx @g(y i ) x i @y j y (j) i j=1 Problem poszukiwania rozwiązań układu równań nieliniowych można sformułować jako problem poszukiwania minimum poniższej fukcji (x) = nx fi 2 (x) i=1 Funkcja osiąga minimum globalne dla dokładnego rozwiązania x. Do jego znalezienia można użyć metody największego spadku (minimalizacja wartości funkcji). Pochodne funkcji g można wyrazic poprzez pochodne funkcji f. Dla n=2 otrzymujemy x i+1 = x i 1 J J = 2 4 2 4 @f 2 @x (2) @f 1 @x (2) @f 2 @x (1) @f 1 @x (1) @f 1 @f 1 @x (1) @x (2) @f 2 @f 2 @x (1) @x (2) 3 5 3 2 5 4 f 1 f 2 3 5 x=x i Rząd zbieżności metody wynosi 2. Zazwyczaj zbieżność uzyskujemy tylko jeśli startujemy już z dobrym przybliżeniem rozwązania. 17

Wyznaczanie zer wielomianów metodą iterowanego dzielenia Metody dzielenia wielomianów Aby wyznaczyć zera zespolone konieczne jest przeprowadzenie dzielenia wielomianów a) przez czynniki liniowe (dwumian) b) przez czynniki kwadratowe (trójmian) Dzielenie wielomianu przez czynnik liniowy Wielomian f(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + : : : + a 0 = 0 dzielimy przez dwumian: (z z j ) 18

Wynikiem dzielenia jest f(z) = (z z j ) b n 1 z n 1 + b n 2 z n 2 Z porównania współczynników przy jednakowych potęgach otrzymujemy zależności a n = b n 1 Dzieląc jeszcze raz wielomian otrzymamy + : : : + b 0 ) + R j f(z) = (z z j ) 2 c n 2 z n 2 + c n 3 z n 3 + : : : + c 0 ) + R 0 j (z z j) + R j Wartości współczynników c i wyznaczamy analogicznie jak w poprzednim przypadku. a n 1 = b n 2 z j b n 1. a 1 = b 0 z j b 1 a 0 = R j z j b 0 Zatem współczynnki nowego wielomianu można obliczać rekurencyjnie b n = 0 b k = a k+1 + z j b k+1 k = n 1; n 2; : : : ; 0 R j = a 0 + z j b 0 Obliczanie zer za pomocą iterowanego dzielenia Zera wielomianu możemy wyznaczyć iteracyjnie stosując zmodyfikowane wzory jednokrokowe np.. metodę siecznych czy Newtona. Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznaczamy ze wzoru z j+1 = z j R j(z j z j 1 ) R j R j 1 oraz w metodzie Newtona z j+1 = z j R j R 0 j 19

Metodę Newtona można jeszcze zmodyfikować jeśli zauważymy, że R j =0 gdy z j jest pierwiastkiem równania. Wtedy kolejne przybliżenie ma postać z j+1 = a 0 b 0 = z j z j a 0 b 0 = Wzór = z j b 0z j + a 0 b 0 z j+1 = z j R j b 0 = z j R j b 0 określa metodę Lina, która jest wolniej zbieżna od metody Newtona (rząd zbieżności p=1). W jednym kroku wymaga ona wykonania mniej działań niż metoda Newtona. Może być tez rozbieżna. Chcąc wyznaczyć pierwiastek zespolony należy wykonywać działana na liczbach zespolonych. Ponadto pierwotne przybliżenie pierwiastka powinno być zespolone. Postępowanie w przypadku zer zespolonych z j = x j + iy j b k = k + i± k c k = " k + i k n = ± n = 0 k = a k+1 + x j k+1 y j ± k+1 ; (k = n 1; n 2; : : : ; 0) ± n 1 = " n 1 = n 1 = 0 ± k = x j ± k+1 + y j k+1 ; (k = n 2; n 3; : : : ; 0) " k = k+1 + x j " k+1 y j k+1 n 2 = 0 k = ± k+1 + x j k+1 + y j " k+1 ; (k = n 3; n 4; : : : ; 0) R j = b 1 = 1 + i± 1 R 0 j = c 1 = " 1 + i 1 x j+1 = x j " 1 1 + 1 ± 1 " 2 1 + 2 1 y j+1 = y j ± 1" 1 1 1 " 2 1 + 2 1 20

Wpływ błędów współczynników wielomianu podczas wyznaczania zer wielomianów. Dokładny wielomian (współczynniki bez błędów) F (z) = A n z n + A n 1 z n 1 + : : : + A 0 oraz wielomian ze współczynnikami zaburzonymi f(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + : : : + a 0 Okazuje się, że istnieją wielomiany (wysokiego stopnia) dla których nawet niewielkie zaburzenie współczynników powoduje duże zmiany wartości zer (np.. zera rzeczywiste staja się zespolonymi). Przykład: wielomian Wilkinsona. Wielomiany takie nazywamy źle uwarunkowanymi. Uzyskanie dokładniejszych przybliżeń zer wielomianu mozliwe jest wówczas tylko jeśli obliczenia wykonywane przy użyciu silniejszej arytmetyki. błędy współczynników ± i = A i a i (i = 0; 1; : : : ; n) Z 0 (dokładne zero) i z 0 (obliczone zero) łączy zależność Z 0 = z 0 + " Po podstawieniu i oraz Z 0 do F(z) otrzymujemy nx ± i z0 i + "f 0 (z 0 ) ¼ 0 i=1 Pn i=1 " = ± iz0 i jf 0 (z 0 )j Oszacowanie traci sens gdy pochodna jest bliska 0. 21