ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel

ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A Roman Wencel Wroc law, luty 2004

Spis treści Wstȩp 2 Rozdzia l 0. Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne 3 Rozdzia l 1. Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojȩcie pó lgrupy 10 Rozdzia l 2. Grupy zagadnienia wstȩpne 20 Rozdzia l 3. Grupy permutacji 28 Rozdzia l 4. Podgrupy, dzielniki normalne i homomorfizmy grup 35 Rozdzia l 5. Grupa ilorazowa 47 Rozdzia l 6. O klasyfikacji grup 51 Rozdzia l 7. Pierścienie i cia la zagadnienia wstȩpne 55 Rozdzia l 8. Podpierścienie, idea ly i homomorfizmy pierścieni 64 Rozdzia l 9. Pierścienie wielomianów 74 Rozdzia l 10. Pierścień ilorazowy 89 Rozdzia l 11. Teoria podzielności w pierścieniach ca lkowitych 94 Rozdzia l 12. Pierścienie euklidesowe 104 Rozdzia l 13. Cia lo u lamków pierścienia ca lkowitego 109 Rozdzia l 14. Cia lo algebraicznie domkniȩte 112 Rozdzia l 15. Cia la skończone 116 Spis oznaczeń?? Indeks?? Literatura?? 1

Wstȩp W niniejszym skrypcie przedstawione zosta ly podstawowe zagadnienia dotycz ace dzia lań w zbiorach, teorii grup oraz teorii pierścieni i cia l. Zakres materia lu pokrywa siȩ w dużym stopniu z wyk ladem AL- GEBRA 1A, prowadzonym przez autora w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Wroc lawskiego w latach akademickich 2002/2003 i 2003/2004. Przy pisaniu niektórych fragmentów skryptu zosta ly wykorzystane pozycje wymienione w bibliografii. Zak ladam u Czytelnika znajomość wstȩpu do matematyki (na przyk lad w zakresie skryptu prof. L. Newelskiego) oraz podstaw algebry liniowej. 2

Rozdzia l 0 Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne W skrypcie bȩdziemy pos lugiwali siȩ jȩzykiem teorii liczb naturalnych i korzystali z pewnych podstawowych ich w lasności. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. W zbiorze tym wyróżniony jest element 0 (liczba naturalna zero) oraz określona jest opracja s, która każdej liczbie naturalnej n przyporz adkowuje jej nastȩpnik s(n). Wyróżniony element 0 oraz operacja nastȩpnika spe lniaj a nastȩpuj ace aksjomaty aksjomaty teorii liczb naturalnych (zwane też aksjomatami Peana 1 ). (a) Jeśli n jest liczb a naturaln a różn a od 0, to istnieje dok ladnie jedna liczba naturalna m, dla której n = s(m). (b) Nie istnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 0. (c) (Zasada indukcji) Niech A N. Jeśli 0 A oraz ( n N)(n A = s(n) A), to A = N. Zbiór liczb naturalnych różnych od 0 oznaczamy przez N +. Przyjmuj ac jako punkt wyjścia wprowadzone wyżej pojȩcia: elementu 0 oraz operacji nastȩpnika i korzystaj ac z aksjomatów teorii liczb naturalnych, można w zbiorze N określić operacje dodawania, mnożenia i porz adku. Dla m, n N przyjmujemy: (1) n + 0 = n, (2) n + s(m) = s(n + m), (3) n 0 = 0, (4) n s(m) = n m + n, (5) jeśli istnieje k N (k N + ) takie, że n = m + k, to przyjmujemy że n m (odpowiednio: n > m). Można wykazać, że wprowadzone wyżej dzia lania dodawania i mnożenia s a l aczne i przemienne. Mnożenie jest rozdzielne wzglȩdem dodawania, jest dobrym porz adkiem. Czytelnika zainteresowanego szczegó lami odsy lamy do ksi ażki A. Grzegorczyka pt. Zarys arytmetyki teoretycznej. W ksi ażce tej znajduj a siȩ również formalne definicje zbiorów liczb ca lkowitych (Z), wymiernych (Q) i rzeczywistych (R) wraz z dowodami podstawowych w lasności dzia lań arytmetycznych w tych zbiorach. Definicja 0.1 Mówimy, że liczba ca lkowita n jest podzielna przez liczbȩ ca lkowit a m (oznaczenie: m n), jeśli istnieje liczba ca lkowita k taka, że n = km. 1 G. Peano (1858-1932), matematyk i logik w loski 3

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 4 Jeśli m n, mówimy też, że m jest dzielnikiem n, n dzieli siȩ przez m, albo, że n jest wielokrotności a m. W poniższym twierdzeniu zosta ly zebrane najprostsze w lasności relacji podzielności liczb ca lkowitych. Twierdzenie 0.2 Niech k,l,m,n Z. Wtedy (a) 1 k, (b) k 0, (c) Jeśli 0 k, to k = 0, (d) Jeśli k l i l m, to k m, (e) Jeśli k l i l k, to k = l lub k = l, (f) Jeśli k l, to k lm, (g) Jeśli k l i k m, to k l + m i k l m, (h) Jeśli k l i m n, to km ln. Niech m N +. Dowoln a liczbȩ ca lkowit a n można jednoznacznie przedstawić w postaci: n = qm + r, gdzie q Z, zaś r {0,...,m 1}. Liczbȩ q nazywamy ca lości a z dzielenia n przez m, zaś r reszt a z tego dzielenia. Liczbȩ ca lkowit a w, która jest podzielna przez każd a z danych liczb ca lkowitych a 1,...,a m nazywamy wspóln a wielokrotności a tych liczb. Dla każdego ci agu skończonego liczb ca lkowitych różnych od zera a 1,...,a m istnieje nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności tych liczb. Bȩd a nimi na przyk lad liczby postaci ka 1...a m. W przypadku, gdy któraś z liczb a 1,...,a m jest równa 0, jedyn a wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m jest 0. Przypuśćmy, że a 1,...,a m Z \ {0}. Najmniejsz a liczbȩ naturaln a dodatni a bȩd ac a wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m nazywamy najmniejsz a wspóln a wielokrotności a tych liczb i oznaczamy przez NWW(a 1,...,a m ). Jeśli któraś z liczb a 1,...,a m jest równa 0, przyjmujemy, że najwiȩksz a wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a n jest 0. Twierdzenie 0.3 Niech a 1,...,a m oraz w bȩd a liczbami ca lkowitymi. Wtedy nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (a) w = NWW(a 1,...,a m ), (b) w jest wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m i jest dzielnikiem każdej wspólnej wielokrotności tych liczb. Dowód. Teza twierdzenia jest oczywista gdy któraś z liczb a 1,...,a m jest równa 0, ponieważ wtedy jedyn a wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m jest 0. Wystarczy wiȩc przeprowadzić dowód w pzypadku, gdy liczby a 1,...,a m s a wszystkie różne od 0. (a)= (b). Za lóżmy, że w = NWW(a 1,...,a m ). Wtedy oczywiście w jest wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m. Przypuśćmy nie wprost, że n jest wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m, która nie dzieli siȩ przez w. Wtedy n nie dzieli siȩ przez w i n = q w + r, gdzie q Z, zaś r jest liczb a naturaln a dodatni a, mniejsz a od w. a 1,...,a m s a dzielnikami każdej z liczb n i w. Dlatego również r = n q w dzieli siȩ przez każd a z liczb a 1,...,a m. Liczba naturalna dodatnia r jest wiȩc wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m, mniejsz a od NWW(a 1,...,a m ). Sprzeczność. (b)= (a). Za lóżmy, że zachodzi (b). Wtedy w N + jest wspóln a wielokrotności a liczb a 1,...,a m oraz dzielnikiem każdej wspólnej wielokrotności tych liczb. Każda liczba naturalna dodatnia podzielna przez w jest w, dlatego w = NWW(a 1,...,a m ). Niech a 1,a 2,... bȩdzie skończonym lub nieskończonym ci agiem liczb ca lkowitych. Liczbȩ ca lkowit a d, która dzieli każd a z liczb a 1,a 2,... nazywamy wspólnym dzielnikiem tych liczb. Dla każdego ci agu (skończonego lub nieskończonego) liczb ca lkowitych istnieje ich wspólny dzielnik (na przyk lad liczba 1). Jeśli przynajmniej jedna spośród liczb a 1,a 2,... jest różna od 0, istnieje tylko skończenie wiele wspólnych dzielników tych liczb. W przypadku, gdy wszystkie spośród liczb a 1,a 2,... s a zerami, zbiorem ich wspólnych dzielników jest Z.

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 5 Przypuśćmy, że liczby a 1,a 2,... s a ca lkowite i przynajmniej jedna z nich jest różna od 0. Najwiȩksz a liczbȩ naturaln a dodatni a bȩd ac a wspólnym dzielnikeim liczb a 1,a 2,... nazywamy najwiȩkszym wspólnym dzielnikiem tych liczb i oznaczamy przez NWD(a 1,a 2,...). Dla ci agu z lożonego z samych zer nie określamy najwiȩkszego wspólnego dzielnika. Twierdzenie 0.4 Niech a 1,a 2,... bȩdzie skończonym lub nieskończonym ci agiem liczb ca lkowitych, z których przynajmniej jedna jest różna od 0 i niech d Z. Wtedy nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (a) d = NWD(a 1,a 2,...). (b) d jest wspólnym dzielnikiem liczb a 1,a 2,... i dzieli siȩ przez każdy wspólny dzielnik tych liczb. Dowód. (a)= (b). Za lóżmy, że d Z i d = NWD(a 1,a 2,...) N. Wtedy oczywiście d jest wspólnym dzielnikiem liczb a 1,a 2,... Niech d 1 < d 2 <... < d s bȩd a wszystkimi wspólnymi dzielnikami liczb a 1,a 2,... Oczywiście d = d s. Niech w = NWW(d 1,...,d s ). Ponieważ w dzieli siȩ przez każd a z liczb d 1,...,d s, wystarczy wykazać, że w = d s. Wprost z określenia w wynika, że d s w. Każda z liczb a 1,a 2,... jest wspóln a wielokrotności a liczb d 1,...,d s. Dlatego, na mocy twierdzenia 0.3, w dzieli każd a z liczb a 1,a 2,..., czyli jest ich wspólnym dzielnikiem. St ad w d s. (b)= (a). Za lóżmy, że zachodzi (b). Wtedy d jest wspólnym dzielnikiem liczb a 1,a 2,... i d dzieli siȩ przez każdy wspólny dzielnik liczb a 1,a 2,... St ad d = NWD(a 1,a 2,...). Twierdzenie 0.5 Jeśli a,b N +, to NWD(a,b) NWW(a,b) = ab. Dowód. Niech a,b N +, d = NWD(a,b) i w = NWW(a,b). Wtedy a = kd i b = ld dla pewnych k,l N +. Sk ad kld = la = kb, co dowodzi, że kld jest wspóln a wielokrotności a liczb a i b. Na mocy twierdzenia 0.3 oraz tego, że a i b dziel a w mamy: kld = tw = tra = trkd oraz kld = tw = tsb = tsld dla pewnych r,s,t N +. Tak wiȩc l = tr i k = ts. St ad dostajemy a = kd = tsd i b = ld = trd. td jest wiȩc wspólnym dzielnikiem liczb a i b, a ponieważ ich najwiȩkszym wspólnym dzielnikiem jest d, musi być t = 1. Uwzglȩdniaj ac dotychczasowe rozważania dostajemy: ab = kdld = twd = wd, co kończy dowód. Zauważmy, że twierdzenie analogiczne do twierdzenia 0.5 nie jest prawdziwe dla trzech liczb naturalnych, gdyż na przyk lad NWD(2,4,6) NWW(2,4,6) = 2 12 2 4 6. O liczbach ca lkowitych m i n, dla których N W D(m, n) = 1, mówimy, że s a wzglȩdnie pierwsze. Z twierdzenia 0.5 wynika, że jeśli liczby naturalne dodatnie m i n s a wzglȩdnie pierwsze to NWW(mn) = mn. Twierdzenie 0.6 (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki) Jeśli a, b, c Z \ {0}, a bc i N W D(a, b) = 1, to a c. Dowód. Z za lożeń twierdzenia wynika, że bc jest wielokrotności a liczb a i b. Na mocy twierdzenia 0.3 oznacza to, że NWW(a,b) bc. a i b s a wzglȩdnie pierwsze, wiȩc NWW(a,b) = ab. Tak wiȩc ab bc, a st ad a c. Twierdzenie 0.7 Jeśli NWD(a,b) = 1 i c b, to NWD(a,c) = 1. Dowód. NWD(a,c) c, zaś c b. St ad NWD(a,c) b. Mamy również NWD(a,c) a. Tak wiȩc NWD(a,c) jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b, co wobec twiedzenia 0.4 i NWD(a,b) = 1 daje NWD(a,c) 1, czyli NWD(a,c) = 1.

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 6 Twierdzenie 0.8 Jeśli NWD(a,c) = NWD(b,c) = 1, to NWD(ab,c) = 1. Dowód. Niech d = NWD(ab,c). Ponieważ d c i NWD(a,c) = 1, na mocy twierdzenia 0.7 dostajemy N W D(a, d) = 1. d ab, wiȩc z twierdzenia 0.6 wynika, że d b. Uwzglȩdniaj ac, że d c i N W D(b, c) = 1, wobec twierdzenia 0.4 mamy d 1, czyli d = 1. Twierdzenie 0.9 Jeśli liczby ca lkowite a i b, z których przynajniej jedna nie jest zerem podzielimy przez ich najwiȩkszy wspólny dzielnik, to otrzymamy liczby wzglȩdnie pierwsze. Dowód. Niech a i b spe lniaj a za lożenia twierdzenia i niech d = NWD(a,b). Wtedy a = da 1 i b = db 1 dla pewnych a 1,b 1 Z. Niech δ = NWD(a 1,b 1 ). Wówczas a 1 = δa 2 i b 1 = δb 2 dla pewnych a 2,b 2 Z. Tak wiȩc a = dδa 2 i b = dδb 2, co oznacza, że dδ jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Wobec twierdzenia 0.4, dδ d. Oznacza to, że δ 1, czyli δ = 1. Wniosek 0.10 Każda liczba wymierna daje siȩ przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb ca lkowitych wzglȩdnie pierwszych. Dowód. Dowoln a liczbȩ wymiern a można przedstawić w postaci a b, gdzie a Z, b Z \ {0}. Niech d = NWD(a,b). W myśl twierdzenia 0.9 bȩdzie a = da 1 i b = db 1, gdzie a 1 i b 1 s a liczbami ca lkowitymi wzglȩdnie pierwszymi. Oczywiście a b = a1 b 1. Przedstawimy teraz metodȩ znajdywania najwiȩkszego wspólnego dzielnika dwóch danych liczb naturalnych dodatnich a i b, zwan a algorytmem Euklidesa 2. Gdyby bylo b a, mielibyśmy NWD(a,b) = b. Przypuśćmy wiȩc, że b < a i b nie dzieli a. Wówczas, dziel ac a przez b otrzymamy iloraz ca lkowity q i resztȩ dodatni a r < b i bȩdzie a = qb + r. Jeśli d a i d b, to również d dzieli r = a qb. Tak wiȩc każdy wspólny dzielnik liczb a i b jest wspólnym dzielnikiem liczb b i r. Jeśli zaś δ b i δ r, to również δ dzieli a = qb + r. Tak wiȩc każdy wspólny dzielnik liczb b i r jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Dowiedliśmy wiȩc, że liczby a i b maj a te same dzielniki wspólne, co b i r. Wynika st ad natychmiast, że NWD(a,b) = NWD(b,r). Wzór ten sprowadza obliczanie najwiȩkszego wsp olnego dzielnika liczb a i b do obliczania najwiȩkszego wspólnego dzielnika liczb b i r odpowiednio mniejszych. Jeżeli r b, to oczywiście NWD(b,r) = r, w przeciwnym wypadku, oznaczaj ac przez r 1 resztȩ z dzielenia b przez r, bȩdziemy mieli NWD(b,r) = NWD(r,r 1 ). Jeśli r 1 r, to NWD(r,r 1 ) = r 1, w przeciwnym wypadku znajdziemy r 2 N +, r 2 < r 1 takie, że NWD(r,r 1 ) = NWD(r 1,r 2 ) itd. Tego rodzaju redukcje mog a być dokonywane co najwyżej b 1 razy, gdyż liczby a,b,r,r 1,... tworz a ci ag malej acy. Musimy wiȩc dojść do takiej pary liczb r k 1,r k, dla której r k r k 1. Bȩdzie wtedy r k = NWD(a,b). Z powyższego rozumowania wynika nastȩpuj aca regu la wyznaczania najwiȩkszego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych dodatnich: Chc ac znaleźć najwiȩkszy wspólny dzielnik liczb naturalnych dodatnich a i b, gdzie a > b, dzielimy a przez b i wyznaczamy resztȩ r 0 z tego dzielenia. Jeśli r 0 0, dzielimy b przez r 0 i wyznaczamy now a resztȩ r 1. Jeśli r 1 0, dzielimy r 0 przez r 1 i wyznaczamy now a resztȩ r 2 itd., aż dojdziemy do reszty 0. Ostatnia różna od zera reszta bȩdzie równa NWD(a,b). Regu la ta znana jest pod nazw a metody kolejnych dzieleń albo algorytmu Euklidesa. Stosuj ac ten algorytm do liczb a i b otrzymujemy wiȩc ci ag wzorów: 2 Euklides (365 p.n.e. - 300 p.n.e.), matematyk i fizyk grecki

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 7 a = bq 0 + r 0 b = r 0 q 1 + r 1 r 0 = r 1 q 2 + r 2... r k 2 = r k 1 q k + r k r k 1 = r k q k+1 + 0, i mamy NWD(a,b) = r k. Pierwszy z napisanych wzorów daje r 0 = a q 0 b. Indukcyjnie wzglȩdem j można pokazać, że dla j k reszta r j może być zapisana w postaci ax j + by j, gdzie x j,y j Z. St ad wynika nastȩpuj ace twierdzenie. Twierdzenie 0.11 Jeśli a,b Z\{0}, to istniej a liczby ca lkowite x,y takie, że NWD(a,b) = ax+by. Twierdzenie 0.12 (Twierdzenie chińskie o resztach) Jeżeli m jest liczb a naturaln a 2 oraz a 1,...,a m s a liczbami naturalnymi dodatnimi, z których każde dwie s a wzglȩdnie pierwsze, i jeżeli r 1,...,r m s a dowolnymi liczbami ca lkowitymi, to istniej a liczby ca lkowite x 1,...,x m, dla których ( ) a 1 x 1 + r 1 = a 2 x 2 + r 2 =... = a m x m + r m. Dowód. (Indukcja wzglȩdem m) Niech m = 2. Wobec twierdzenia 0.11, istniej a liczby ca lkowite x,y takie, że a 1 x + a 2 y = 1. Mnoż ac tȩ równość przez r 2 r 1, a nastȩpnie podstawiaj ac x 1 = (r 2 r 1 )x i x 2 = (r 2 r 1 )y, otrzymujemy a 1 x 1 a 2 x 2 = r 2 r 1, czyli a 1 x 1 + r 1 = a 2 x 2 + r 2. Niech teraz m bȩdzie liczb a naturaln a 2 i przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla m liczb. Niech a 1,...,a m+1 bȩd a liczbami naturalnymi dodatnimi, z których każde dwie s a wzglȩdnie pierwsze, zaś r 1,...,r m+1 dowolnymi liczbami ca lkowitymi. Z za lożenia, że twierdzenie jest prawdziwe dla m liczb wynika, że istniej a liczby ca lkowite x 1,...,x m, dla których s luszne s a wzory ( ). Ponieważ każda z liczb a 1,...,a m jest wzglȩdnie pierwsza z liczb a a m+1, na mocy twierdzenia 0.8 mamy NWD(a 1... a m,a m+1 ) = 1. To zaś oznacza, że istniej a liczby ca lkowite t i u takie, że Przyjmijmy oznaczenia: a 1...a m t a m+1 u = r m+1 a 1 x 1 r 1. x i = a 1...a m a i t + x i dla i = 1,...,m oraz x m+1 = u. Liczby x 1,...,x m+1 s a ca lkowite i, jak latwo sprawdzić, dla i = 1,...,m mamy: a i x i + r i = a 1...a m t + a i x i + r i = a m+1 x m+1 + r m+1 a 1 x 1 r 1 + a i x i + r i = a m+1 x m+1 + r m+1, co dowodzi prawdziwości twierdzenia dla m + 1 liczb. Twierdzenie to zosta lo wiȩc udowodnione przez indukcjȩ. Wniosek 0.13 Jeśli każde dwie spośród m 2 liczb naturalnych dodatnich a 1,a 2,...,a m s a wzglȩdnie pierwsze, to istnieje liczba ca lkowita N, która przy dzieleniu przez te liczby daje odpowiednio dowolne dane reszty r 1,...,r m Liczba naturalna > 1 ma przynajmniej dwa różne dzielniki naturalne: 1 i n. Jeśli poza nimi nie ma ona żadnych innych dzielników pierwszych, to nazywamy j a liczb a pierwsz a. Liczbȩ naturaln a > 1, która nie jest pierwsza nazywamy z lożon a. Twierdzenie 0.14 Każda liczba naturalna > 1 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy.

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 8 Dowód. Niech n bȩdzie liczb a naturaln a wiȩksz a od 1. Oznaczmy przez p najmniejsz a liczbȩ naturaln a > 1 bȩd ac a dzielnikiem n. Pokażemy, że p jest liczb a pierwsz a. Gdyby liczba p by la z lożona, mielibyśmy p = ab, gdzie a, b s a liczbami naturalnymi > 1. Wtedy jednak a < p i a n. Sprzeczność z wyborem p. Twierdzenie 0.15 Jeśli p jest liczb a pierwsz a, zaś a i b liczbami ca lkowitymi takimi, że p ab, to p a lub p b. Dowód. Niech p bȩdzie liczb a pierwsz a, a,b Z i p ab. Przypuśćmy, że a nie dzieli siȩ przez p. Wtedy NWD(p,a) = 1. Jeśli b 0, to na mocy twierdzenia 0.6 dostajemy p b. Jeśli b = 0, to oczywiście również p b. Wniosek 0.16 Jeśli p jest liczb a pierwsz a, a 1,...,a n Z i p a 1... a n, to p dzieli przynajmniej jedn a z liczb a 1,...,a k. Twierdzenie 0.17 Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony. Dowód. Za lóżmy, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych. Oznaczmy je przez p 1,...,p k. Wówczas liczba n = p 1... p k + 1 nie dzieli siȩ przez żadn a z liczb p 1,...,p k. n > 1, wiȩc zgodnie z twierdzeniem 0.14, n posiada pewien dzielnik pierwszy p. Oczywiście p nie jest żadn a z liczb p 1,...,p k. Tak wiȩc zbiór liczb pierwszych nie może być skończony. W nastȩpuj acym twierdzeniu przez p 1,p 2,p 3,... oznaczamy kolejne liczby pierwsze. Twierdzenie 0.18 Dowolna liczba naturalna wiȩksza od 1 posiada jednoznaczne przedstawienie w postaci m ( ) p αj k j, gdzie α 1,...,α m N + i k 1 <... < k m. j=1 Dowód. (Indukcja wzhlȩdem n) Jeśli n = p i jest liczb a pierwsz a, to oczywiście n przedstawia siȩ w postaci ( ). Co wiȩcej, w dowolnym jej przedstawieniu w postaci ( ) wystȩpuje dok ladnie jeden czynnik, którym jest p i. Tak wiȩc twierdzenie jest prawdziwe w przypadku, gdy n jest liczb a pierwsz a. W szczególności jest ono s luszne dla n = 2. Przypuśćmy wiȩc, że n > 1 jest liczb a naturaln a z lożon a oraz, że dowolna liczba naturalna leż aca pomiȩdzy 1 a n posiada jednoznaczne przedstawienie w postaci ( ). Wobec z lożoności liczby n i twierdzenia 0.14, n = pr, gdzie p jest liczb a pierwsz a, zaś r liczb a naturaln a leż a pomiȩdzy 1 a n. Na mocy za lożenia indukcyjnego r posiada przedstawienie postaci ( ), sk ad natychmiast wynika, że również n posiada przedstawienie postaci ( ). W celu wykazania jednoznaczności przedstawienia ( ), za lóżmy, że dla liczby n mamy dwa przedstawienia: ( ) n = m j=1 p αj k j = przy czym α 1,...,α m,β 1,...,β s N +, k 1 <... < k m i l 1 <... < l s. Ponieważ n jest liczb a z lożon a, w każdym z tych przedstawień wystȩpuj a przynajmniej dwa czynniki pierwsze (to znaczy α 1 +... + α m 2 i β 1 +... + β s 2). p k1 dzieli praw a stronȩ równości ( ), wiȩc na mocy wniosku 0.16 dostajemy p k1 p lj dla pewnego j {1,...,s}, co oznacza, że p k1 = p lj. Dziel ac równość ( ) obustronie przez p k1, otrzymujemy dwa rozk lady liczby n p k1 na czynniki pierwsze. 1 < n p k1 < n, wiȩc na mocy za lożenia indukcyjnego rozk lady te s a identyczne. St ad natychmiast wynika identyczność rozk ladów ( ). Twierdzenie 0.19 Jeśli k,n N + i n jest k-t a potȩg a liczby wymiernej, to n jest k-t a potȩg a liczby naturalnej. s j=1 p βj l j,

ROZDZIA L 0. LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE I WYMIERNE 9 Dowód. Za lóżmy, że k,n N + i n jest k-t a potȩg a liczby wymiernej. Wtedy istniej a wzglȩdnie ( pierwsze liczby naturalne p i q takie, że n = p k. q) St ad dostajemy ( ) nq k = p k i q p k. Z wniosku 0.16 wynika, że q p. Ponieważ NWD(p,q) = 1, musi być q = 1, co po podstawieniu do ( ) daje n = p k.

Rozdzia l 1 Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojȩcie pó lgrupy Podczas swojej edukacji matematycznej Czytelnik z pewności a niejednokrotnie zetkn a l siȩ ze zbiorami, na których elementach dokonywano pewnych dzia lań. Przyk ladami takich dzia lań s a: dodawanie i mnożenie liczb naturalnych, odejmowanie liczb ca lkowitych, dzielenie liczb wymiernych różnych od zera, dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej i mnożenie macierzy kwadratowych wymiaru n n dla ustalonego n N +. Wspóln a cech a wszystkich wymienionych dzia lań jest to, że każde z nich polega na przyporz adkowaniu uporz adkowanej parze elementów danego zbioru określonego elementu tego samego zbioru. Innego rodzaju dzia laniami, przyporz adkowuj acymi elementowi danego zbioru element tego samego zbioru, s a: pierwiaskowanie liczb rzeczywistych nieujemnych, sprzȩżenie liczby zespolonej czy przyporz adkowanie macierzy nieosobliwej wymiaru n n macierzy do niej odwrotnej. Czȩsto w matematyce mamy do czynienia z ogólniejsz a sytuacj a, kiedy to skończonemu ci agowi elementów danego zbioru (ustalonej d lugości) przyporz adkowujemy element tegoż zbioru. Jako przyk lad można wymienić przyporz adkowanie ci agowi n liczb rzeczywistych a 1,...,a n jego średniej arytmetycznej a1+...+an n. Wymienione przyk lady prowadz a do nastȩpuj acej definicji. Definicja 1.1 Niech A bȩdzie zbiorem niepustym. (a) Dzia laniem jednoargumentowym określonym w zbiorze A nazywamy dowoln a funkcjȩ, której dziedzin a jest zbiór A, i której wartości leż a w zbiorze A. (b) Dzia laniem dwuargumentowym (lub po prostu dzia laniem) określonym w zbiorze A nazywamy dowoln a funkcjȩ odwzorowuj ac a zbiór A A w zbiór A. (c) Niech n N +. Dzia laniem n-argumentowym określonym w zbiorze A nazywamy dowoln a funkcjȩ odwzorowuj ac a zbiór A n w zbiór A. W dalszych rozważaniach bȩdziemy zajmowali siȩ najczȩściej dzia laniami jedno- i dwuargumentowymi. Jeśli f : A A jest dzia laniem jednoargumentuwym określonym w zbiorze A oraz a A, to f(a) nazywamy wynikiem dzia lania f na elemencie a. Podobnie, dla dzia lania n-argumentowego g określonego w zbiorze A oraz elementów a 1,...,a n A, g(a 1,...,a n ) nazywamy wynikiem dzia lania g na ci agu a 1,...,a n. W przypadku dzia lań dwuargumentowych zwykle wygodniej jest zamiast oznaczeń literowych używać symboli takich jak, +,,,,, itp. Wówczas wynik dzia lania na parze uporz adkowanej a, b zapisujemy jako a b zamiast formalnego (a, b). Podobnie, dla dzia lań jednoargumentowych stosujemy tradycyjne oznaczenia, takie jak a, a, z czy M 1. 10

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 11 Dzia lania oznaczone przez +,,, : bȩdziemy najczȩściej nazywać dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem (odpowiednio). Wynik dodawania nazywamy sum a, odejmowania różnic a, mnożenia iloczynem, zaś dzielenia ilorazem. Zamiast x y czy x y bȩdziemy na ogó l pisać xy. Dzia laniu określonemu w skończonym zbiorze A można przyporz adkować tabelkȩ wypisuj ac dwukrotnie elementy zbioru A: raz w pierwszym rzȩdzie, raz w pierwszej kolumnie, a nastȩpnie umieszczaj ac na przeciȩciu rzȩdu odpowiadaj acego elementowi a z kolumn a odpowiaaj ac a elementowi b wynik dzia lania na parze a,b.... b.... a... a b.... Odwrotnie, każda tabelka, która w pierwszym rzȩdzie i w pierwszej kolumnie zawiera wszystkie elementy skończonego zbioru A, a na pozosta lych miejscach ma wypisane pewne elementy ze zbioru A, określa w A dzia lanie. Wynikiem tego dzia lania na parze a, b jest element stoj acy w rzȩdzie odpowiadaj acym a i kolumnie odpowiadaj acej b. Przyk lad 1. W każdym ze zbiorów N, Z, Q, R, C możemy określić dzia lania przyporz adkowuj ac parze x, y elementów odpowiedniego zbioru ich sumȩ określon a w zwyk ly sposób. Otrzymane tak dzia lanie nazywamy zwyk lym dodawaniem liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych (odpowiednio). Podobnie określamy pojȩcie zwyk lego mnożenia w każdym z wymienionych zbiorów. Zwyk le odejmowanie nie jest dzia laniem w N, jest natomiast dzia laniem w Z, Q, R, C. Zwyk le dzielenie nie jest dzia laniem w żadnym ze zbiorów N, Z, Q, R, C, ale jest dzia laniem w Q \ {0}, R \ {0}, C \ {0}. Przyk lad 2. Przyporz adkowanie parze liczb naturalnych dodatnich najwiȩkszego wspólnego dzielnika tych liczb jest dzia laniem w N + (wynik tego dzia lania na parze m,n oznaczamy przez NWD(m,n)), ale nie jest dzia laniem w N, gdyż nie istnieje najwiȩkszy wspólny dzielnik dla pary 0, 0. Przyporz adkowanie parze liczb naturalnych dodatnich najwiȩkszej wspólnej wielokrotności tych liczb jest dzia laniem w N +. Wynik tego dzia lania na parze m,n oznaczamy przez NWW(m,n). Przyk lad 3. Niech n N +. Przyporz adkowanie liczbie naturalnej jej reszty z dzielenia przez n jest dzia laniem jednoargumentowym w N. Podobnie, przyporz adkowanie liczbie ca lkowitej jej reszty z dzielenia przez n jest dzia laniem jednoargumentowym w Z. Resztȩ z dzielenia liczby ca lkowitej (naturalnej) m przez n bȩdziemy oznaczać przez m mod n. Oczywiście m mod n {0,...,n 1}. Przyk lad 4. Niech n N +. W zbiorze liczb naturalnych mniejszych od n (czyli w zbiorze reszt modulo n) definiujemy dzia lania: a + n b = (a + b) mod n, a n b = (a b) mod n. Dzia lania + n, n nazywamy odpowiednio dodawaniem i mnożeniem modulo n. Tabelki dzia lań dodawania i mnożenia modulo 4 w zbiorze {0,1,2,3} wygl adaj a nastȩpuj aco:

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 12 + 4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Przyk lad 5. Niech X i Y bȩd a zbiorami niepustymi. Przez Y X oznaczamy zbiór funkcji, których dziedzin a jest zbiór X, i których wartości leż a w zbiorze Y. W zbiorze R X definiujemy dzia lania dodawania i mnożenia funkcji: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). W zbiorze X X definiujemy dzia lanie sk ladania funkcji: (f g)(x) = f(g(x)). Przyk lad 6. Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej V jest dzia laniem określonym w V. Mnożenie wektorów z V przez ustalony skalar jest dzia laniem jednoargumentowym w V. Przyk lad 7. Sk ladanie przekszta lceń jest dzia laniem w zbiorze przekszta lceń liniowych zachowuj acych orientacjȩ. Mnożenie macierzy jest dzia laniem w zbiorze macierzy kwadratowych wymiaru n n o wyznaczniku dodatnim. Przyk lad 8. W zbiorze wszystkich ci agów o wyrazach rzeczywistych definiujemy dzia lania dodawania i mnożenia w sposób nastȩpuj acy: a 0,a 1,... + b 0,b 1,... = a 0 + b 0,a 1 + b 1,..., a 0,a 1,... b 0,b 1,... = a 0 b 0,a 1 b 1,.... Liczba dzia lań możliwych do określenia w skończonym zbiorze A rośnie szybko wraz z liczb a jego elementów. Czytelnik zechce sprawdzić, że dla m,n N +, w zbiorze m-elementowym można określić dok ladnie m mn dzia lań n-argumentowych. Liczba dzia lań n-argumentowych możliwych do określenia w zbiorze nieskończonym mocy κ wynosi 2 κ. W szczególności w nieskończonym zbiorze przeliczalnym jest ona równa 2 ℵ0 (tzn. continuum). Dowolne dzia lania w zbiorach mog a być bardzo dziwaczne i ma lo interesu ace. Dlatego też w typowych rozważaniach algebraicznych wyróżnia siȩ kilka typów dzia lań o specjalnych w lasnościach. Niektóre z nich zosta ly zdefiniowane niżej. Definicja 1.2 Za lóżmy, że w zbiorze A określone jest dzia lanie. Dzia lanie to nazywamy (a) l acznym, jeśli x (y z) = (x y) z dla dowolnych x,y,z A, (b) przemiennym, jeśli x y = y x dla dowolnych x,y A. Jeżeli w zbiorze A dodatkowo określone jest dzia lanie, to dzia lanie nazywamy (c) lewostronnie rozdzielnym wzglȩdem dzia lania, jeśli x (y z) = (x y) (x z) dla dowolnych x,y,z A, (d) prawostronnie rozdzielnym wzglȩdem dzia lania, jeśli (y z) x = (y x) (z x) dla dowolnych x,y,z A,

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 13 (e) (obustronnie) rozdzielnym wzglȩdem dzia lania, jeśli jest zarówno lewo- jak i prawostronnie rozdzielne wzglȩdem. Niemal wszystkie ważniejsze dzia lania, z którymi bȩdziemy mieli do czynienia, bȩd a l aczne, nie zawsze jednak bȩd a one przemienne. Przyk lad 9. Zwyk le dodawanie i mnożenie w N, Z, Q, R i C s a l aczne i przemienne. Ponadto mnożenie jest dzia laniem rozdzielnym wzglȩdem dodawania. Również dzia lania + n, n określone w zbiorze reszt modulo n s a l aczne i przemienne. Dzia lanie n jest rozdzielne wzglȩdem + n. Przyk lad 10. Mnożenie macierzy kwadratowych wymiaru n n jest l aczne dla dowolnego n N +, ale przemienne tylko dla n = 1. Przyk lad 11. W N określamy dzia lanie: m n = m n. Przyjmujemy przy tym, że m 0 = 1 dla m N. Dzia lanie jest prawostronnie rozdzielne wzglȩdem zwyk lego mnożenia liczb naturalnych, mamy bowiem: (m n) k = (m n) k = m k n k = (m k) (n k) dla dowolnych m, n, k N. nie jest jednak lewostronnie rozdzielne wzglȩdem mnożenia, gdyż 2 (1 2) = 2 2 = 4, ale (2 1) (2 2) = 2 1 2 2 = 8. Przyk lad 12. W zbiorze Q definiujemy dzia lanie: a b = a + b 2 (wziȩcie średniej arytmetycznej liczb a i b). Dzia lanie jest przemienne, ale nie jest l aczne, bo na przyk lad 1 (2 2) = 1 2 + 2 2 = 1 2 = 1 + 2 2 = 3 1 + 2, ale (1 2) 2 = 2 = 2 2 3 2 + 2 = 7 2 4. Przyk lad 13. Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Suma, iloczyn i różnica symetryczna zbiorów s a dzia laniami l acznymi i przemiennymi w P(X) (rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X). Ponadto iloczyn zbiorów jest dzia laniem rozdzielnym wzglȩdem sumy i różnicy symetrycznej zbiorów, zaś suma zbiorów dzia laniem rozdzielnym wzglȩdem iloczynu zbiorów. Jeśli X, to różnica zbiorów nie jest dzia laniem l acznym w P(X). Mamy bowiem X \ (X \ X) = X \ = X oraz (X \ X) \ X = \ X =. Jeśli dzia lanie jest l aczne, to wynik tego dzia lania na uk ladzie elementów a 1,a 2,a 3,a 4 nie zależy od rozmieszczenia nawiasów: ((a 1 a 2 ) a 3 ) a 4 = (a 1 (a 2 a 3 )) a 4 = a 1 ((a 2 a 3 ) a 4 ) = a 1 (a 2 (a 3 a 4 )) = (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ). Jeśli ponadto dzia lanie jest przemienne, to wynik nie zależy od kolejności ustawienia czynników, na przyk lad: a 1 a 2 a 3 a 4 = a 1 a 4 a 3 a 4 a 2 = a 3 a 1 a 2. Powyższe spostrzeżenia można latwo uogólnić na dowolny uk lad elementów a 1,...,a n. Aby to uczynić, zdefiniujemy wpierw pojȩcie iloczynu uk ladu n elementów.

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 14 Rozważmy zbiór A z dzia laniem (niekoniecznie l acznym). Indukcyjnie określimy w A iloczyn dowolnej liczby czynników: 1 a i = a 1, i i=1 n+1 i=1 a i = n a i a n+1 dla n N +. i=1 Twierdzenie 1.3 Jeśli jest dzia laniem l acznym określonym w zbiorze A i m,n N +, to dla dowolnych a 1,...,a m+n A zachodzi równość: m a i i=1 n a m+j = j=1 Dowód. (Indukcja wzglȩdem n). Dla n = 1 teza twierdzenia jest bezpośredni a konsekwencj a definicji symbolu. Za lóżmy prawdziwość twierdzenia dla liczby n N +. Wówczas: m n+1 m n a i a m+j = a i a m+j a m+n+1 = i=1 j=1 i=1 m = a i i=1 j=1 n j=1 a m+j m+n i=1 a m+n+1 = a i. m+n i=1 a i a m+n+1 = m+n+1 i=1 a i. Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli dzia lanie określone w zbiorze A jest l aczne, to wynik tego dzia lania na uk ladzie elementów a 1,...,a n nie zależy od rozmieszczenia nawiasów, można je wiȩc opuszczać. Pozwala to na stosowanie oznaczenia a 1... a n zamiast n a i. W przypadku, gdy a 1 =... = a n = a, piszemy n a i = a n. i=1 a n nazywamy n-t a potȩg a elementu a. Równoważnie można dla danego dzia lania l acznego określić potȩgȩ o wyk ladniku naturalnym dodatnim w sposób indukcyjny: a 1 = a, a n+1 = a n a. Pozostawiamy Czytelnikowi do sprawdzenia, że dla dowolnych n,m N + oraz a A, prawdziwe s a równości: a m a n = a n a m = a m+n oraz (a m ) n = (a n ) m = a mn. Latwo również wykazać, że jeśli dzia lanie określone w zbiorze A jest l aczne i przemienne, to dla dowolnych a,b A oraz n N + mamy (a b) n = a n b n. Twierdzenie 1.4 Jeśli dzia lanie określone w zbiorze A jest l aczne i przemienne, a 1,...,a n A oraz σ jest bijekcj a zbioru {1,..., n} na siebie, to n a i = i=1 n a σ(i). Oznacza to, że wynik dzia lania na uk ladzie elementów a 1,...a n nie zależy od kolejności ustawienia elementów. i=1 i=1

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 15 Dowód. Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste. Pokażemy teraz, że prawdziwość twierdzenia dla n czynników implikuje jego prawdziwość dla n + 1 czynników. Niech a 1,...,a n+1 A i niech σ : {1,...,n + 1} {1,...,n + 1} bȩdzie bijekcj a. Oznaczmy przez k liczbȩ, dla której σ(k) = n + 1. Rozważymy trzy przypadki. Jeśli k = 1, to Jeśli 1 < k n, to n+1 i=1 a σ(i) = k 1 i=1 Jeśli k = n + 1, to n+1 i=1 a σ(i) a σ(k) n+1 a σ(i) = a σ(1) k+1 i=1 n+1 i=k+1 a σ(i) = i=2 a σ(i) = n+1 a σ(i) = a n+1 k 1 i=1 i=2 a σ(i) a n+1 k a σ(i) a σ(n+1) = i=1 a σ(i) = n+1 i=k+1 k+1 i=1 n+1 i=2 a σ(i) = a σ(i) a n+1. Definiujemy teraz bijekcjȩ τ : {1,...,n} {1,...,n} wzorem { σ(i) jeśli 1 i < k τ(i) = σ(i + 1) jeśli k i n. a σ(i) a n+1. k 1 i=1 a σ(i) n+1 i=k+1 a σ(i) a n+1. We wszystkich trzech rozważanych wcześniej przypadkach, na mocy za lożenia indukcyjnego oraz definicji symbolu iloczynu, otrzymujemy: n+1 i=1 a σ(i) = n a τ(i) a n+1 = i=1 n a i a n+1 = i=1 n+1 i=1 a i. Definicja 1.5 Niech bȩdzie dzia laniem określonym w zbiorze A. Mówimy, że spe lnia: (a) lewostronne prawo skracań, jeśli dla dowolnych a,b,c A, warunek a b = a c implikuje b = c, (b) prawostronne prawo skracań, jeśli dla dowolnych a,b,c A, warunek b a = c a implikuje b = c, (c) (obustronne) prawo skracań, jeśli spe lnia zarówno lewo- jak i prawostronne prawo skracań. Przyk ladem dzia lania spe lniaj acego obustronne prawo skracań jest zwyk le dodawanie w każdym ze zbiorów N, Z, Q, R, C. Dzia lanie określone w zbiorze liczb naturalnych dodatnich wzorem m n = m n spe lnia prawostronne prawo skracań, ale nie spe lnia lewostronnego prawa skracań, gdyż 1 n = 1 n = 1 dla każdego n N +. Definicja 1.6 Niech bȩdzie dzia laniem określonym w zbiorze A. (a) Mówimy, że element e A jest elementem neutralnym lewostronnym dzia lania, jeśli e a = a dla wszystkich a A. (b) Mówimy, że element e A jest elementem neutralnym prawostronnym dzia lania, jeśli a e = a dla wszystkich a A. (c) Mówimy, że element e A jest elementem neutralnym (obustronnym) dzia lania, jeśli a e = e a = a dla wszystkich a A.

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 16 Oczywiście, jeśli dzia lanie jest przemienne, to pojȩcia elementu neutralnego lewostronnego, prawostronnego i obustronnego s a sobie równoważne. Latwo zauważyć że dzia lanie może mieć tylko jeden element neutralny. Jeśli bowiem e 1,e 2 s a elementami neutralnymi dzia lania, to wprost z definicji otrzymujemy: e 1 = e 1 e 2 = e 2. To samo rozumowanie pokazuje, że jeśli e 1 jest lewostronnym elementem neutralnym dzia lania, zaś e 2 prawostronnym elementem neutralnym dzia lania, to e 1 = e 2. Poniższa tabelka definiuje dzia lanie w trzyelementowym zbiorze {a, b, c} maj ace dwa elementy neutralne prawostronne. a b c a a a c b b b a c c c b Podobnie można określić dzia lanie maj ace dwa elementy neuralne lewostronne. Z uwagi po definicji 1.6 wynika, że jeśli dzia lanie określone w A ma w zbiorze A co najmniej dwa elementy neutralne lewostronne (prawostronne), to nie posiada ono elementu neutralnego prawostronnego (odpowiednio: lewostronnego). 0 jest elementem neutralnym dla dodawania, zaś 1 elementem neutralnym dla mnożenia w każdym ze zbiorów: N, Z, Q, R, C. Przyk ladem dzia lania nie posiadaj acego elementu neutralnego jest dodawanie w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Inny przyk lad takiego dzia lania rozpatrujemy poniżej. Przyk lad 14. W zbiorze liczb rzeczywistych definiujemy dzia lanie wzorem x y = x 2 + 2y. nie ma elementu neutralnego. Przypuśćmy bowiem, że a jest elementem neutralnym dla. Wtedy x = x a = x 2 + 2a dla każdego x R. St ad dla x = 0 dostajemy a = 0, zaś dla x = 1, a = 1. Sprzeczność. Definicja 1.7 Niech bȩdzie dzia laniem określonym w zbiorze A i niech a,b A. (a) Jeśli e L jest elementem neutralnym lewostronnym dzia lania oraz b a = e L, to b nazywamy elementem odwrotnym lewostronnym do elementu a wzglȩdem dzia lania. (a) Jeśli e P jest elementem neutralnym prawostronnym dzia lania oraz a b = e P, to b nazywamy elementem odwrotnym prawostronnym do elementu a wzglȩdem dzia lania. (c) Jeśli e jest elementem neutralnym (obustronnym) dzia lania, to mówimy, że b jest elementem odwrotnym do elementu a (lub odwrotności a elementu a) wzglȩdem dzia lania, jeśli a b = b a = e. Z powyższej definicji natychmiast wynika, że jeśli b jest elementem odwrotnym do a, to a jest elementem odwrotnym do b. Jeśli jest dzia laniem przemiennym określonym w zbiorze A i maj acym element neutralny e, to b jest elementem odwrotnym do a wtedy i tylko wtedy, gdy a b = e. Jeśli a R, to elementem odwrotnym do a wzglȩdem dodawania jest a, zaś wzglȩdem mnożenia 1 a (pod warunkiem, że a 0). Nie istnieje element odwrotny do 0 wzglȩdem mnożenia. Latwo określić dzia lanie z elementem neutralnym, wzglȩdem którego pewien element posiada dwa elementy odwrotne. Przyk lad takiego dzia lania w trzyelementowym zbiorze {a, b, c} definiuje nastȩpuj aca tabelka. a b c a a b c b b a a c c a a

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 17 a jest elementem neutralnym dzia lania. Elementami odwrotnymi do b s a zarówno b jak i c. Dzia lanie nie jest l aczne, gdyż (b b) c = a c = c, ale b (b c) = b a = b. Fakt 1.8 Jeśli jest dzia laniem l acznym określonym w zbiorze A, maj acym element neutralny e, to dowolny element zbioru A posiada co najwyżej jeden element odwrotny wzglȩdem dzia lania. Dowód. Niech b 1,b 2 bȩd a elementami odwrotnymi do elementu a wzglȩdem dzia lania. Wtedy b 1 = b 1 e = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) b 2 = e b 2 = b 2. Przyk lad 15. Niech n N +. Pokażemy, że dla liczby k {0,...,n 1} istnieje w zbiorze {0,...,n 1} element odwrotny wzglȩdem n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(k,n) = 1. Jeśli n = 1, to 0 jest oczywiście elementem neutralnym wzglȩdem mnożenia modulo n. Elementem odwrotnym do 0 wzglȩdem n jest w tej sytuacj liczba 0. Dalej zak ladamy, że n > 1. Wówczas elementem neutralnym w zbiorze {0,...,n 1} wzglȩdem mnożenia modulo n jest 1. Rozważmy przypadek NWD(n,k) > 1. Każda z liczb 0 n k,...,(n 1) n k dzieli siȩ przez NWD(k,n), w szczególności i n k 1 dla i {0,...,n 1}. Innymi s lowy, k nie posiada w {0,...,n 1} elementu odwrotnego wzglȩdem n. Przypuśćmy teraz, że NWD(k,n) = 1. Jeśli s i t s a różnymi liczbami ze zbioru {0,...,n 1}, to ich różnica nie dzieli siȩ przez n. Z tego, że NWD(k,n) = 1 wynika, że (s t)k nie dzieli siȩ przez n. Innymi s lowy s n k t n k. W ten sposób wykazaliśmy, że 0 n k,...,(n 1) n k s a różnymi elementami zbioru {0,...,n 1}, czyli {0 n k,...,(n 1) n k} = {0,...,n 1}. St ad wynika, że istnieje i {0,...,n 1} takie, że i n k = k n i = 1. i jest elementem odwrotnym do k wzglȩdem mnożenia modulo n. Oczywiście, najwiȩkszym wspólnym dzielnikiem liczb i,n jest 1. Definicja 1.9 Za lóżmy, że w zbiorze A określone jest dzia lanie n-argumentowe f. Podzbiór B A nazywamy zamkniȩtym wzglȩdem dzia lania f, jeżeli f(b 1,...,b n ) B dla dowolnych b 1,...,b n B. Zbiór liczb naturalnych, rozpatrywany jako podzbiór Z, jest zamkniȩty wzglȩdem dodawania i mnożenia, ale nie jest zamkniȩty wzglȩdem odejmowania. Jeśli n N +, to zbiór liczb ca lkowitych podzielnych przez n jest zamkniȩty wzglȩdem dodawania i mnożenia. Twierdzenie 1.10 Niech f bȩdzie dzia laniem n-argumentowym określonym w zbiorze A i niech B A. Definiujemy indukcyjnie zbiory B k dla k N: Wtedy zbiór B = wzglȩdem dzia lania f. k=0 B 0 = B, B k+1 = B k {f(b 1,...,b n ) : b 1,...,b n B k }. B k jest najmniejszym podzbiorem zbioru A zawieraj acym B i zamkniȩtym Dowód. Pokażemy najpierw, że zbiór B jest zamkniȩty wzglȩdem dzia lania f. Niech a 1,...,a n B. Wtedy a 1,...,a n B k dla pewnego k N. St ad wynika, że f(a 1,...,a k ) B k+1 B. Niech teraz C A bȩdzie zbiorem zawieraj acym B i zamkniȩtym wzglȩdem dzia lania f. Pokażemy, że B C. W tym celu indukcyjnie udowodnimy, że B k C dla k B k. Dla k = 0 stwierdzenie to jest oczywiste, ponieważ B 0 = B. Przypuśćmy, że B k C i a B k+1 dla pewnego k N. Wtedy a = f(a 1,...,a n ), gdzie a 1,...,a n B k C. Ponieważ C jest zamkniȩty wzglȩdem dzia lania f, mamy a = f(a 1,...,a n ) C. Tak wiȩc B k+1 C. W algebrze czȩsto rozważa siȩ zbiory z pewn a liczb a wyróżnionych dzia lań, czasami również pewn a liczb a wyróżnionych relacji czy elementów o pewnych szczególnych w lasnościach. Na przyk lad:

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 18 (a) zbiór funkcji, odwzorowuj acych niepusty zbiór X w siebie z dzia laniem sk ladania przekszta lceń, (b) zbiór bijekcji niepustego zbioru X w siebie z dzia laniem sk ladania przekszta lceń (oznaczenie: (S X, )), (c) zbiór liczb ca lkowitych z dzia laniami dodawania i mnożenia (oznaczenie: (Z,+, )), (d) zbiór liczb zespolonych z dzia laniami dodawania i mnożenia (oznaczenie: (C,+, )), (e) zbiór liczb rzeczywistych z dzia laniami dodawania i mnożenia oraz z wyróżnionymi elementami 0 i 1 (oznaczenie: (R,+,,0,1)), (f) zbiór liczb rzeczywistych z dzia laniami dodawania i mnożenia, z wyróżnionymi elementami 0 i 1 oraz z relacj a porz adku. System (a) nazywamy pó lgrup a odwzorowań zbioru X w siebie, system (b) grup a permutacji zbioru X, system (c) pierścieniem liczb ca lkowitych, system (d) cia lem liczb zespolonych, system (e) cia lem liczb rzeczywistych z wyróżnionymi elementami 0 i 1, zaś system (f) uporz adkowanym cia lem liczb rzeczywistych z wyróżnionymi elementami 0 i 1. Powyższe przyk lady prowadz a do nastȩpuj acych definicji: Definicja 1.11 (a) Dowolny niepusty zbiór A z wyróżnionym uk ladem dzia lań n-argumentowych (liczby argumentów odpowiadaj ace różnym dzia laniom mog a być różne) określonych w A oraz wyróżnionym uk ladem elementów zbioru A nazywamy systemem algebraicznym. (b) Dowolny niepusty zbiór A z wyróżnionym uk ladem dzia lań n-argumentowych (liczby argumentów odpowiadaj ace różnym dzia laniom mog a być różne) określonych w A, wyróżnionym uk ladem elementów zbioru A oraz wyróżnionym uk ladem relacji nazywamy systemem relacyjnym lub struktur a I rzȩdu. W powyższej definicji (pkt. (a)) zarówno uk lad dzia lań jak i uk lad wyróżnionych elementów mog a być puste. Wobec tego zarówno dowolny niepusty zbiór, w którym nie określiliśmy żadnych dzia lań i nie wyróżniliśmy żadnego elementu, jak i niepusty zbiór z wyróżnionym jednym elementem (ale pustym uk ladem dzia lań) s a systemami algebraicznymi. Z drugiej strony, dowolny niepusty zbiór z uk ladem wszystkich dzia lań możliwych do określenia w tym zbiorze i wyróżnionym uk ladem wszystkich swoich elementów jest systemem algebraicznym. Wynika st ad, że pojȩcie systemu algebraicznego jest bardzo szerokie i obejmuje wiele przyk ladów. To samo można powiedzieć o dowolnym systemie relacyjnym. Dalej w zasadzie ograniczymy siȩ do systemów algebraicznych z jednym lub z dwoma dzia laniami dwuargumentowymi. Poniżej definiujemy ważn a klasȩ systemów algebraicznych z jednym dzia laniem dwuargumentowym. Definicja 1.12 Zbiór G z dzia laniem l acznym nazywamy pó lgrup a i oznaczamy przez (G, ). Jeśli dodatkowo dzia lanie posiada element neutralny, to (G, ) nazywamy pó lgrup a z jedności a. Jak latwo zauważyć systemy algebraiczne (N,+), (N, ) s a pó lgrupami z jedności a, zaś (N +,+) jest pó lgrup a bez jedności. Przyk lad 16. Niech X bȩdzie zbiorem niepustym, zaś G zbiorem funkcji z X w X. G z dzia laniem sk ladania stanowi pó lgrupȩ z jedności a. Jej elementem neutralnym jest przekszta lcenie identycznościowe. Przyk lad 17. Niech Σ bȩdzie zbiorem niepustym. Oznaczmy przesz Σ zbiór wszystkich ci agów

ROZDZIA L 1. DZIA LANIA I SYSTEMY ALGEBRAICZNE. POJȨCIE PÓ LGRUPY 19 skończonych o wyrazach ze zbioru Σ, przyjmuj ac przy tym, że Σ zawiera tak zwany ci ag pusty (oznaczenie: e). W zbiorze Σ definiujemy dzia lanie (zwane konkatenacj a) wzorami: σ e = e σ = σ dla σ Σ, a 1,...,a m b 1,...,b n = a 1,...,a m,b 1,...,b n dla a 1,...,a m,b 1,...,b n Σ. Oczywiście e jest elementem neutralnym dzia lania. Nietrudno przekonać siȩ o tym, że jest dzia laniem l acznym. Tak wiȩc (Σ, ) jest pó lgrup a z jedności a.

Rozdzia l 2 Grupy zagadnienia wstȩpne Dla ustalonego n N +, rozpatrzmy zbiór G, którego elementami s a wszystkie nieosobliwe przekszta lcnia przestrzeni R n na siebie (tzn. przekszta lcenia f : R n R n określone wzorem f(x) = Ax, gdzie A jest pewn a macierz a kwadratow a wymiaru n n o niezerowym wyznaczniku). Z kursu algebry liniowej wiadomo, że z lożenie dwóch nieosobliwych przekszta lceń liniowych przestrzeni R n jest przekszta lceniem nieosobliwym. Innymi s lowy, f, g G implikuje, że f g G. Zatem sk ladanie przekszta lceń jest dzia laniem określonym w zbiorze G. Dzia lanie to jest l aczne i posiada element neutralny (przekszta lcenie identycznościowe). Co wiȩcej, dla każdego przekszta lcenia f G istnieje przekszta lcenie odwrotne f 1 G. Zbiór G z dzia laniem sk ladania przekszta lceń stanowi przyk lad tak zwanej grupy przekszta lceń. W niniejszym rozdziale wprowadzimy i omówimy pojȩcie grupy bȩd ace abstrakcyjnym uogólnieniem grupy przekszta lceń. Pojȩcie to pojawi lo siȩ po raz pierwszy w rozważaniach E. Galois 1 dotycz acych rozwi azywalności równań pi atego stopnia. Grupy s a obecnie jednymi z najważniejszych obiektów badań algebry i maj a liczne zastosowania w różnych dzia lach matematyki (geometria, analiza) oraz w innych dziedzinach wiedzy (m. in. w fizyce teoretycznej). Definicja 2.1 Zbiór G, w którym określone jest dzia lanie, nazywamy grup a, jeśli spe lnione s a nastȩpuj ace warunki: (1) dzia lanie jest l aczne, (2) w G istnieje element neutralny wzglȩdem dzia lania, (3) dla każdego g G, istnieje w G element odwrotny do g wzglȩdem dzia lania. Warunki (1)-(3) w powyższej definicji nazywaj a siȩ aksjomatami teorii grup (lub aksjomatami grupy). Zbiór G z dzia laniem oznaczamy zazwyczaj przez (G, ). Czasami, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, piszemy w skrócie G zamiast (G, ). Mówimy też, że G jest grup a wzglȩdem dzia lania. Oczywiście dowolna grupa jest pó lgrup a z jedności a. Dzia lanie w grupie na ogó l nie jest przemienne. Definicja 2.2 Grupȩ (G, ) nazywamy abelow a 2 lub przemienn a, jeśli dzia lanie jest przemienne. Z rozważań rozdzia lu pierwszego wynika, że w dowolnej grupie (G, ) istnieje dok ladnie jeden element neutralny wzglȩdem dzia lania (patrz str. 16). Element taki bȩdziemy nazywać krótko elementem neutralnym grupy (G, ) lub jedności a grupy (G, ). Dla każdego elementu g G, istnieje w G dok ladnie jeden element odwrotny do g wzglȩdem dzia lania (fakt 1.8). Dzia lanie w grupie oznacza siȩ czȩsto symbolem i nazywa mnożeniem. Wynik tego dzia lania na parze a,b zapisujemy wtedy jako a b lub ab. Powyższa nazwa dzia lania i jego zapis, zwany multyplikatywnym, stosowane s a w przypadku, gdy mówimy o grupach w ogóle oraz w przypadku grup nieabelowych Element neutralny w grupie G oznaczamy wówczas przez e G lub po prostu przez 1 Evariste Galois (1811-1832), matematyk francuski 2 Niels Henrik Abel (1802-1829), matematyk norweski 20

ROZDZIA L 2. GRUPY ZAGADNIENIA WSTȨPNE 21 e, zaś element odwrotny do g przez g 1. Terminologia zwi azana z tego rodzaju zapisem nazywa siȩ multyplikatywn a. Dzia lanie w grupie abelowej najczȩściej oznacza siȩ symbolem + i nazywa dodawaniem. Element neutralny w tym przypadku oznaczamy symbolem 0 G (lub 0), zaś element odwrotny do a wzglȩdem + symbolem a (mówimy, że a jest elementem przeciwnym do a). Zamiast a + ( b) piszemy a b. Taka terminologia nazywa siȩ addytywn a. Rzecz jasna, wybór takiej, czy innej terminologii nie ma żadnego wp lywu na treść teorii. Jeśli (G, ) jest grup a, to moc zbioru G (oznaczenie: G ) nazywamy rzȩdem grupy G. Na przyk lad o grupie 8-elementowej mówimy, że jest to grupa rzȩdu 8. Grupy rzȩdu n dla n N + nazywamy skończonymi. Grupy rzȩdu ℵ 0 nazywamy przeliczalnymi, zaś rzȩdu wiȩkszego od ℵ 0 nieprzeliczalnymi. Udowodnimy teraz kilka prostych w lasności dzia lań w grupach. Twierdzenie 2.3 Niech (G, ) bȩdzie grup a i niech a, b G. Wtedy: (a) e 1 G = e G, (b) (a 1 ) 1 = a, (c) (a b) 1 = b 1 a 1, Dowód. Równość (a) wynika z równości e G e G = e G. W celu wykazania (b), zauważmy, że: a a 1 = a 1 a = e G. Wynika st ad, że a jest elementem odwrotnym do a 1, czyli (a 1 ) 1 = a. Równości b 1 a 1 a b = b 1 e G b = e G oraz a b b 1 a 1 = a e G a 1 = e G pokazuj a, że b 1 a 1 jest elementem odwrotnym do elementu a b, a wiȩc prawdziwa jest równość (c). Jeśli (G, ) jest grup a abelow a i a,b G, to (a b) 1 = a 1 b 1. W terminologii addytywnej równości (a),(b) i (c) twierdzenia 2.3 zapisuje siȩ nastȩpuj aco: 0 = 0, ( a) = a i (a + b) = ( b) + ( a). Z powyższego twierdzenia latwo można wywnioskować, że dla dowolnych elementów a 1,...,a n. Indukcyjny dowód tego faktu pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie. W zapisie addytywnym ostatnia równość przyjmuje postać (a 1 +... + a n ) = ( a n ) +... + ( a 1 ). grupy (G, ) zachodzi równość (a 1... a n ) 1 = a 1 n... a 1 1 Twierdzenie 2.4 Niech (G, ) bȩdzie grup a. (a) Dzia lanie spe lnia obustronne prawo skracań. (b) Jeśli a,b G, to każde z równań: a x = b i y a = b posiada jednoznaczne rozwi azanie w G. Dowód. (a) Za lóżmy, że a b = a c dla pewnych a,b,c G. Mnoż ac tȩ równość lewostronnie przez a 1 otrzymujemy a 1 (a b) = a 1 (a c). Wobec l aczności dzia lania wynika st ad, że e G b = e G c, czyli b = c. Tym samym udowodniliśmy lewostronne prawo skracań dla dzia lania. Dowód prawostronnego prawa skracań jest podobny. (b) Latwo zauważyć, że elementy x 0 = a 1 b oraz y 0 = b a 1 s a rozwi azaniami równań a x = b i y a = b (odpowiednio). Jeśli x 1 jest dowolnym rozwi azaniem pierwszego równania, to a x 1 = a x 0, sk ad na mocy (a) dostajemy x 1 = x 0. Analogiczne dowodzimy jednoznaczności rozwi azania w przypadku drugiego równania. Niech (G, ) bȩdzie grup a. Indukcyjnie definiujemy potȩgȩ elementu g G o wyk ladniku ca lkowitym. g 1 oznacza jak zwykle element odwrotny do g. g 0 = e G, g n+1 = g n g dla n N, g n = (g 1 ) n dla n N +. Pozostawiamy Czytelnikowi do wykazania (metod a indukcji matematycznej) nastȩpuj ace twierdzenie.

ROZDZIA L 2. GRUPY ZAGADNIENIA WSTȨPNE 22 Twierdzenie 2.5 Jeśli g i h s a elementami grupy G, to dla dowolnych m,n Z prawdziwe s a równości: (a) g m g n = g n g m = g m+n, (b) (g m ) n = (g n ) m = g mn, (c) Jeśli gh = hg, to (gh) n = g n h n. W terminologii addytywnej piszemy ng zamiast g n. Wówczas trzy powyższe równości przyjmuj a postać: mg + ng = ng + mg = (m + n)g, n(mg) = m(ng) = (mn)g i n(g + h) = ng + nh. Poniżej omawiamy krótko kilkanaście przyk ladów grup. Przyk lad 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) s a grupami abelowymi (+ oznacza tutaj zwyk le dodawanie liczb). W każdej z wymienionych grup elementem neutralnym jest liczba 0. a jest elementem odwrotnym do a wzglȩdem dodawania. Przyk lad 2. (Q \ {0}, ), (Q +, ), (R \ {0}, ), (R +, ), (C \ {0}) s a grupami abelowymi ( oznacza tutaj zwyk le mnożenie liczb). Liczba 1 jest elementem neutralnym w każdej z wymienionych grup. Elementem odwrotnym do a jest 1 a. Żaden ze zbiorów Q, R, C z mnożeniem nie stanowi grupy, gdyż nie istnieje element odwrotny do 0 wzglȩdem mnożenia. Przyk lad 3. Jeśli (V, +) jest przestrzeni a liniow a nad R, to (V, +) jest grup a abelow a. Elementem neutralnym tej grupy jest wektor zerowy, zaś elementem odwrotnym do danego wektora x, wektor przeciwny do x (oznaczenie: x). Przyk lad 4. Ustalmy m,n N +. Zbiór macierzy wymiaru m n o wyrazach rzeczywistych (oznaczenie: M m n (R)) stanowi grupȩ abelow a wzglȩdem dodawania macierzy. Jedności a tej grupy jest macierz zerowa. Przyk lad 5. Niech n N +. Zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n n o wyrazach rzeczywistych i wyznaczniku różnym od 0 (oznaczenie: GL(n, R)) z dzia laniem mnożenia macierzy stanowi grupȩ. Jedności a grupy GL(n, R) jest macierz identycznościowa. Elementem odwrotnym do macierzy M jest macierz odwrotna do M (dla macierzy o wyznaczniku różnym od 0 istnieje macierz odwrotna, również o wyznaczniku niezerowym). Zamkniȩtość zbioru GL(n, R) wzglȩdem mnożenia macierzy wynika ze wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych wymiaru n n: det(m 1 M 2 ) = det(m 1 ) det(m 2 ). Tak wiȩc, jeśli M 1,M 2 GL(n, R), to det(m 1 ) 0 i det(m 2 ) 0, a st ad det(m 1 M 2 ) 0, co oznacza, że M 1 M 2 GL(n, R). Grupȩ GL(n, R) nazywamy pe ln a grup a liniow a (ang. general linear group). GL(n, R) jest grup a abelow a wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1. Przyk lad 6. Zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n n o wyrazach rzeczywistych i wyznaczniku równym 1 stanowi grupȩ wzglȩdem mnożenia macierzy. Grupȩ tȩ oznaczamy przez SL(n, R) i nazywamy specjaln a grup a liniow a (ang.: special linear group). Przyk lad 7. Jeśli n N +, to zbiór Z n = {0,...,n 1} z dzia laniem dodawania modulo n (oznaczenie: (Z n,+ n )) jest grup a abelow a zwan a grup a reszt modulo n. Elementem neutralnym tej grupy jest 0. Elementem odwrotnym do 0 jest oczywiście 0, zaś elementem odwrotnym do k Z n \{0} (dla n > 1) wzglȩdem dodawania modulo n jest n k. Przyk lad 8. Niech n N +. Wtedy zbiór {x C : x n = 1} jest grup a wzglȩdem mnożenia liczb