UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej teorii sprężystości nadano temu prawu bardziej precyzyjną, dwojaką formę, określającą w ciele sprężystym liniowe związki między przemieszczeniami, a siłami bądź odkształceniami, a naprężeniami, nazwano prawem Hooke a. 2/62

Dowolne przemieszczenie uogólnione u i (i= 1,2,...,n) spowodowane jednoczesnym działaniem wszystkich sił uogólnionych (P 1... P j... P n ) jest równe sumie przemieszczeń częściowych wywołanych działaniem poszczególnych, pojedyńczych sił i nie zależy od kolejności ich przyłożenia u = f P + f P + K+ f P + K+ f P f P i i11 i2 2 j in n += j n j= 1 7/62

Dowolną siłę uogólnioną P i (i=1,2,..., n) można przedstawić jako liniową funkcję uogólnionych przemieszczeń u 1, u 2,..., u j,..., u n P i = k 1u1 + k 2u2 + K+ k u + K+ k i i j in u n = n j= 1 k u j Liczba wpływowa k jest częścią siły P i, spowodowaną przemieszczeniem u j =1. Liczby wpływowe k nie zależą od wartości przemieszczeń u j. 9/62

39/62 Uogólnione prawo Hooke a dla ciała anizotropowego

Właściwa energia potencjalna odkształceń sprężystych Φ (potencjał sprężysty) Φ = ε 0 dε = ε ε = 0 Całka nie zależy od drogi całkowania (potencjał sprężysty), dlatego funkcja podcałkowa jest różniczką zupełną d ε dφ = dε = dε + dε + dε + 2( dε + dε + dε ) 11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 31 40/62

Stąd widać, że = Φ ε Z drugiej strony wprowadzimy wyrażenie * dφ = εd = ε11d11 + ε22d22+ ε33d33 + ε12d12 + ε23d23 + ε31d31 2( ) Wtedy suma * d Φ + dφ jest różniczką zupełną d( ε ) tzn. dφ + dφ * = ( ε ) 41/62

dlatego Φ * ε = Φ * Φ właściwa energia dopełniająca * = εd 0 42/62

* Φ + Φ = ε dla ciała liniowo-sprężystego Φ = Φ * = 1 ε 2 W przypadku jednoosiowego rozciągania (ściskania) prawo Hooke a = E ε E- moduł sprężystości podłużnej Younga 43/62

Dla dowolnego stanu naprężenia i odkształcenia prawo to można uogólnić = E ε kl kl tensor stanu naprężenia lub odwrotnie ε = D kl kl ε tensor stanu odkształcenia E kl D kl - tensor IV rzędu modułów sprężystości, - tensor sprężystych podatności W przypadku ogólnym = ε ) -zależność nieliniowa ( 44/62

W zapisie macierzowym: gdzie { } = [ E]{ ε} { } [,,,,,,,, ] T = 19 = 19 11 22 33 12 21 23 32 13 31 {} ε [ ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε ] T 11 22 33 12 21 23 32 13 31 Macierz [E] zawiera 81 stałych! [ E ] [ E ] kl = 9 9 45/62

Ponieważ tensory i ε są symetryczne, więc ε = = ε ji ji { } [,,,,, ] T = 16 11 22 33 12 23 31 {} ε [ ε, ε, ε, ε, ε, ε ] T = 16 11 22 33 12 23 31 [ E] [ E kl ] 6 6 = gdzie Ekl = Ejikl = Elk = Ejilk [E] ma 36 stałych [ E] 6 6 E E E E E E E E E E E E E E E E E E = E E E E E E E E E E E E E E E E E E 1111 1122 1133 1112 1113 1123 2211 2222 2233 2212 2213 2223 3311 3322 3333 3312 3313 3323 1211 1222 1233 1212 1213 1223 1211 1322 1333 1312 1313 1323 2311 2322 2333 2312 2313 2323 46/62

Dalsze zmniejszenie liczby niezależnych składowych tensora [E] można otrzymać z rozważań termodynamicznych, jeśli założyć istnienie właściwej energii potencjalnej Różniczka dφ jest równa Stąd dφ = dε = E ε dε = Φ dε Φ ε kl kl ε Φ = Ek lε kl / ( ) = E ε ε ε kl kl kl 47/62

Zmieniając kolejność różniczkowania mamy Φ ( ) = Ekli ε ε kl j Stąd Φ 2 = E = ikl j εε kl E kl Liczba niezależnych modułów redukuje się do 21. Jest to przypadek najbardziej ogólny anizotropia materiału sprężystego Wiele materiałów cechuje się: - jednorodnością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich punktach) - izotropowością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich kierunkach) 48/62

E kl W przypadku izotropii tensor jest tzw. tensorem izotropowym IV rzędu, tzn. w każdym układzie współrzędnych prostokątnych ma jednakowe elementy składowe Izotropowym tensorem II rzędu jest tensor Kroneckera 1 i = j δ = 0 i j δ δ δikδjl + δilδjk Tensorami IV rzędu są oraz i są one także kl tensorami izotropowymi 49/62

Tensor E kl da się przedstawić jako liniowa ich kombinacja E kl = aδ δ + bδ δ + kl ik jl cδ il δ jk gdzie a,b,c to stałe Prawo Hooke a w wyniku symetrii ma postać: = aδε + bε + cε lub kk = aδε + ( b+ c) ε kk λ 2μ 50/62

Mamy zatem tylko dwie stałe a i (b+c). Stałe te nazywane są stałymi Lamego λ=a i 2μ=b+c (mają wymiar naprężeń) = λδ ε + 2με kk Gdzie stałe Lamego wyrażąją się wzorami: : μ = G 2vG λ = 1 2v gdzie G moduł sprężystości poprzecznej Kirchhoffa, ν - liczba Poissona. 2vG = 2Gε + εkkδ 1 2v 51/62

Uwzględniając, że zależność między G i E G = E 2(1 + v) stałe Lamego wyrażąją się następująco: μ = E ν E λ = + (1 2 ν )(1 + ν ) 2(1 ν ) E ν E = ε + εkkδ 1 + ν (1 2 ν)(1 + ν) 27/62

i,j,k=1,2,3 E ν E = ε + εkkδ 1 + ν (1 2 ν)(1 + ν) E v 11 = [ ε11 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v E v 22 = [ ε 22 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v E v 33 = [ ε 33 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v 33 )] 33 33 )] )] ε 1+ v v = kk E E δ ε 1+ v v 11 = 11 [ 11 22 33] E E + + ε 1+ v = E 12 12 E E E = ε 1 + 23 = ε 23 31 = ε31 ν 1 + ν 1 +ν 12 12 25/62

= 2Gε + 2vG ε 1 2v kk δ (i,j,k=1,2,3) 2vG 11 = 2 Gε11 + ( ε11 + ε22 + ε33) 1 2v 2vG 22 = 2 Gε22 + ( ε11 + ε22 + ε33) 1 2v 2vG 33 = 2 G ε 33 + ( 11 22 33) 1 2v ε + ε + ε = 2Gε 12 12 23 2Gε 23 31 = 2Gε = 31 26/62

Dla ciała izotropowego tensor E kl przyjmuje postać: Ekl = λδ δ + μ + kl ( δ ikδ jl δ ilδ jk ) TYLKO DWIE STAŁE! lub w zapisie macierzowym: [ E] kl kl 6 6 = E ε i, j, k, l = 1,2,3 λ + 2μ λ λ 0 0 0 λ λ 2μ λ 0 0 0 + λ λ λ + 2μ 0 0 0 = 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ { } = [ E] { ε} 16 66 16 52/62

53/62 Energia sprężysta właściwa

Obliczamy porcję energii sprężyste zmagazynowaną w infinitezymalnym prostopadłościanie, traktując go jako układ liniowosprężysty Siły powierzchniowe proporcjonalne do składowych stanu naprężenia wykonują pracę na odpowiadających im przemieszczeniach, proporcjonalnych do składowych stanu odkształcenia Porcja energii sprężystej dv=dl zmagazynowana w elementarnym prostopadłościanie objętości wynosi zatem 1 dv = dl= [( 11dx2dx3 )( ε11dx1 ) + ( 22dx3dx1 )( ε22dx2 ) + ( 33dx1 dx2 )( ε33dx3 ) + 2 + ( dx dx )(2ε dx ) + ( dx dx )( dx dx ) + (2ε dx ) + ( dx dx )(2ε dx )] 21 3 1 21 2 32 1 2 32 1 2 32 3 13 2 3 13 1 54/62

11dx dx 2ε 21dx2 Sposób obliczania pracy wykonanej przez siłę na przemieszczeniu ε dx 2 3 oraz siłę na przemieszczeniu 11 1 21dx3dx1 jest zilustrowany na rysunku ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) ŚCINANIE 55/62

Po podzieleniu dv=dl przez objętość prostopadłościanu otrzymamy energie sprężystą przypadającą na jednostkę objętości, zwaną właściwą energią sprężystą w analizowanym punkcie ciała Φ = 1 2 ( 11ε 11 + 22ε 22 + 33ε 33 + 12 2ε 12 + 23 2ε 23 + 312ε 31 ) 56/62

Po wstawieniu zamiast składowych stanu odkształcenia lub naprężenia otrzymuje się: 1 1 2 2 2 2 Φ= ( 11 22 ) (1 33 v )( ) 12 23 31 1122 2233 3311 E + + + + + + 2 v 2 2 2 2 2 2 2 G ( 11 22 33) 11 22 33 2( 12 23 31) 1 2v ε ε ε ε ε ε ε ε ε Φ= + + + + + + + + Energia sprężysta właściwa jest jednokrotną kwadratową funkcją składowych stanu naprężenia lub odkształcenia. 57/62

Właściwą energię można traktować jako sumę energii zmiany objętości Φ V i zmiany postaci ciała Φ f Φ = ΦV + Φ f Φ V = 1 2v 6E ( + 2 11 + 22 33 ) 1+ v Φ 2 2 2 2 2 2 f = ( 11 22 ) ( 22 33) ( 33 11) 6( 12 23 31) 6E + + + + + 59/62

Φ Energia sprężysta wyrażona przez składowe stanu naprężenia bądź odkształcenia nosi nazwę potencjału sprężystego, ponieważ spełnia warunki, jakie musi spełnić funkcja, aby być potencjałem Φ = ε 11 11 Φ = ε 22 22 Φ = ε 33 33 Φ = 2ε 12 12 Φ 23 = 2ε 23 Φ = 2ε 31 31 60/62

albo Φ ε 11 = 11 Φ ε 22 = 22 Φ ε 33 = 33 Φ ( 2 = ε 12 ) 12 Φ (2ε 23 ) = 23 Φ ( 2 = ε 31 ) 31 61/62

62/62 KONIEC