Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast element zbioru Ω, czyli pojedynczy wynik eksperymentu, będziemy nazywać zdarzeniem elementarym i oznaczać ω. Przykład 1 Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Wówczas przestrzeń zdarzeń elemnetarych (zbiór możliwych wyników eksperymentu) jest postaci Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, gdzie np. ω = (O, R) oznacza, że za pierwszym razem wypadł orzeł, a za drugim razem wypadła reszka. Definicja 1 Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, o wartościach w zbiorze R liczb rzeczywistych. Funkcja ta musi spełniać pewien warunek, który tutaj pomijamy, ponieważ rozpatrywane przez nas funkcje będą go spełniać. Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z, ich wartości (nazywane również realizacjami) odpowiednimi małymi literami x, y, z, często z indeksami, np. x 1, x 2, itp. Zbiory wartości zmiennych losowych X, Y, Z będziemy oznaczać odpowiednio W X, W Y, W Z. 1
Przykład 2 Cd. przykładu 1. Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów uzyskanych w tych dwóch rzutach, czyli 0, gdy ω = (R, R), X(ω) = 1, gdy ω = (O, R) lub ω = (R, O), 2, gdy ω = (O, O). Zbiór wartości zmiennej losowej X jest postaci W X = {0, 1, 2}. 1.2 Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności Definicja 2 Dystrybuantą F X (x) zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem F X (x) = P ({ω : X(ω) x})(w skrócie = P (X x)). Jeżeli nie ma wątpliwości z jaką zmienną losową mamy do czynienia, to jej dystrybuantę będziemy oznaczali krótko przez F (x) zamiast F X (x). Przykład 3 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna mamy P (X = 0) = P ((R, R)) = 1/4, P (X = 1) = P ((O, R) (R, O)) = P ((O, R)) + P ((R, O)) = 1/4 + 1/4 = 1/2, P (X = 2) = P ((O, O)) = 1/4. Zatem dystrybuanta F zmiennej losowej X ma następującą postać 0, gdy x < 0, 1/4, gdy 0 x < 1, F (x) = 3/4, gdy 1 x < 2, 1, gdy x 2. Wykres dystrybuanty zmiennej losowej X ilustruje rysunek 1.1. Fakt 1 Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej X ma następujące własności: 1. 0 F (x) 1, 2. F (x) jest funkcją niemalejącą, 2
Rysunek 1.1: Dystrybuanta zmiennej losowej z przykładu 3 3. lim x F (x) = 0 oraz lim x F (x) = 1, 4. F (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą, 5. prawdopodobieństwo P (a < X b) przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału (a, b] jest równe przyrostowi wartości dystrybuanty F między punktami a i b, tzn. P (a < X b) = F (b) F (a), 6. prawdopodobieństwo P (X = x 0 ) przyjęcia przez zmienną losową X dowolnej, ustalonej wartości wyraża się za pomocą dystrybuanty F równością: P (X = x 0 ) = F (x 0 ) F (x 0 0), gdzie F (x 0 0) oznacza lewostronną granicę dystrybuanty F w punkcie x 0, czyli F (x 0 0) = lim x x 0 F (x). Twierdzenie 1 Jeżeli G jest dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych spełniającą warunki 2, 3, 4, to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Zmienne losowe mogą być typu skokowego, typu ciągłego lub typu mieszanego. W dalszej części wykładu będziemy rozpatrywać przypadki zmiennych losowych tylko dwóch pierwszych typów (skokowego lub ciągłego). 3
1.3 Zmienne losowe typu skokowego Definicja 3 Zmiennymi losowymi typu skokowego lub zmiennymi losowymi dyskretnymi nazywamy takie zmienne losowe, których zbiór wartości jest przeliczalny (w szczególności skończony). Przykład 4 Cd. przykładu 2. Jeżeli X oznacza liczbę orłów uzyskanych w dwóch rzutach monetą, to zbiór wartości W X = {0, 1, 2} zmiennej losowej X jest skończony i zmienna losowa X jest zmienną typu skokowego. 1.3.1 Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Definicja 4 Niech X będzie zmienną losową typu skokowego. Funkcję p określoną na zbiorze W X = {x 1, x 2,...} równością p(x i ) = P (X = x i ) := p i nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub krócej funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Przykład 5 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna, funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci: p(0) = P (X = 0) = 1/4, p(1) = P (X = 1) = 1/2, p(2) = P (X = 2) = 1/4. Definicja 5 Wykresem funkcji prawdopodobieństwa, w prostokątnym układzie współrzędnych, nazywamy zbiór punktów (x i, p i ). Z aksjomatów prawdopodobieństwa wynika, że funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X posiada następujące własności: 1. p i 0, 2. i p i = 1. 4
Fakt 2 Jeżeli dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości ze zbioru A jest określone równością: P (X A) = p i. x i A W szczególności dla dowolnego przedziału (a, b) mamy P (a < X < b) = p i, dla przedziału (, b] a<x i <b P ( < X b) = P (X b) = F (b) oraz dla przedziału (a, b] mamy P (a < X b) = F (b) F (a). Fakt 3 Wykres dystrybuanty zmiennej losowej typu skokowego jest funkcją schodkową o skokach w punktach x 1, x 2,... i wysokościach schodków odpowiednio p(x 1 ), p(x 2 ),.... Definicja 6 Wartością modalną (in. modą lub dominantą) zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa p, nazywamy taką wartość x k W X, dla której p(x k ) = max i p(x i ), tzn. x k jest najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej. 1.4 Zmienne losowe typu ciągłego Definicja 7 Zmienną losową, która przyjmuje nieprzeliczalnie wiele wartości (np. przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału albo przedziałów) nazywamy zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę zmiennej losowej X można przedstawić w postaci F (x) = x f(t)dt. Funkcję f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej losowej X lub krótko gęstością zmiennej losowej X. 5
Przykład 6 Jeżeli dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci 0, gdy x 0, F (x) = x, gdy 0 < x 1, 1, gdy x > 1, to gęstość zmiennej losowej X jest postaci 0, gdy x < 0 lub x > 1 f(x) = 1, gdy 0 x 1. (1.1) (1.2) Z definicji dystrybuanty wynikają następujące własności funkcji gęstości: 1. f(x) 0, dla każdego x R, 2. f(x)dx = 1. Fakt 4 Dystrybuanta zmiennej losowej typu ciągłego jest funkcją ciągłą. 1.4.1 Własności zmiennej losowej typu ciągłego Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o dystrybuancie F i gęstości f. Wówczas prawdziwe są następujące stwierdzenia. 1. Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to 2. Dla każdego c R, P (X = c) = 0. f(x) = F (x). 3. P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = F (b) F (a). 4. P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = b a f(x)dx. 1.5 Charakterystyki zmiennej losowej Definicja 8 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. 6
Przykład 7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 2 jest równa E(X) = 0 1/4 + 1 1/2 + 2 1/4 = 1. Definicja 9 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu ciągłego o gęstości f nazywamy wartość E(X) = xf(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Przykład 8 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 6 jest równa E(X) = 1 0 xdx = 1/2. Fakt 5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego czy ciągłego ma następujące własności 1. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(aX) = ae(x), 2. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(X + a) = E(X) + a, 3. jeżeli istnieją wartości oczekiwane E(X) i E(Y ), to E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Wartości oczekiwane zmiennych losowych są szczególnymi przypadkami tzw. momentów zwykłych, które definiowane są następująco: Definicja 10 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x k i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. 7
Definicja 11 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość E(X) = x k f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 12 Wariancją zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,..., odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość Var(X) = i (x i E(X)) 2 p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 13 Wariancją zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość Var(X) = (x E(X)) 2 f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Uwaga 1 Wariancję zmiennej losowej X często wyznacza się ze wzoru Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Przykład 9 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 2 jest równa Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, gdzie E(X) = 1 obliczyliśmy w przykładzie 7 oraz E(X 2 ) = 0 2 1/4 + 1 2 1/2 + 2 2 1/4 = 3/2. Zatem Var(X) = 3/2 1 2 = 1/2. Przykład 10 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 6 jest równa Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, gdzie E(X) = 1/2 obliczyliśmy w przykładzie 8 oraz Zatem E(X 2 ) = 1 0 x 2 dx = 1/3. Var(X) = 1/3 (1/2) 2 = 1/12. 8
Fakt 6 Jeżeli X jest zmienną losową (typu skokowego lub typu ciągłego), dla której E(X 2 ) <, to istnieje Var(X) oraz 1. Var(X) 0, 2. Var(cX) = c 2 Var(X), 3. Var(X + a) = Var(X). 9