1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych przestrzeni, gdzie t należy do pewnego zbioru indeksów T. Niech ponadto A t, B t X t dla każdego t T. Pokazać, że (a) jeśli A t B t, to A t (b) (c) ( ) ( A t B t ) B t = ( ) At B t ( ( ) A t ) B t ( ) At B t. Pokazać ponadto, że zawierania nie można zastąpić równością. 1.5 Dany jest ciąg {A n } podzbiorów przestrzeni X. Granicę górną A i granicę dolną A tego ciągu można zdefiniować np. korzystając z funkcji charakterystycznej zbioru 1l (tzn. 1l B (x) = 1 x B): 1l A (x) = lim sup 1l An (x) oraz 1l A (x) = lim inf 1l A n (x) Korzystając z powyższej definicji wyprowadź bezpośredni wzór na granicę górną A = lim sup n A n i granicę dolną A = lim inf n A n (tzn. nie korzystający z funkcji charakterystycznej). 1.6 Niech {A n } będzie ciągiem podzbiorów pewnej przestrzeni X. Pokazać, że lim sup A n A n. n N Podać przykłady takich ciągów {A n }, że (a) A n lim inf A n; n N (b) lim inf A n lim sup A n ; (c) lim sup A n A n. n N 1.7 Pokazać: (a) lim inf A n lim inf B n = lim inf (A n B n ) (b) lim inf A n lim inf B n lim inf (A n B n ) (c) lim sup (d) lim sup A n lim sup A n lim sup B n lim sup(a n B n ) B n = lim sup(a n B n ) A n n N lim inf A n 1
2 Odwzorowania i relacje 2.1 Niech f : X Y oraz A X. Pokazać, że (a) f A = f i, gdzie i : A X, a i(a) = a; (b) jeśli g = f A, to g 1 (B) = A f 1 (B). 2.2 Udowodnić, że A,B X f(a B) = f(a) f(b) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest injekcją. 2.3 Niech f : X Y. Pokazać: (a) A B f(a) f(b); (b) f 1 (Y \ C) = X \ f 1 (C); (c) f jest injekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a); (d) f jest surjekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a). 2.4 Niech będą dane dwa odwzorowania f : X Y oraz g : Y X. Pokazać, że zbiory X i Y można rozbić na sumę rozłącznych podzbiorów X = X 1 X 2 oraz Y = Y 1 Y 2 tak, że f(x 1 ) = Y 1 i g(y 2 ) = X 2. Relacją R określoną na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór R X X i piszemy arb (a, b) R. 2.5 Pokazać, ze dla dowolnej relacji R, która jest zwrotna i przechodnia, relacja R R 1 jest relacją równoważności. 2.6 Dla danych relacji R, S na zbiorze X definiujemy ich złożenie a(r S)b c X arc csb. Czy R S jest relacją równoważności, jeśli R i S są relacjami równoważności? 2.7 Pokazać, że zwrotna relacja R jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy R R = R i R 1 = R. 2.8 Niech f będzie odwzorowaniem na zbiorze X (w dowolny zbiór Y ). Pokazać, że relacja a b f(a) = f(b) jest relacją równoważności na zbiorze X. 2.9 Niech R, S będą relacjami równoważności na zbiorze X takimi, że R S. Na zbiorze warstw X/R definiujemy relację R(a) ( S/R ) R(b) asb. Pokazać, że S/R jest relacją równoważności i istnieje bijekcja między (X/R)/(S/R) a X/S. 2.10 Pokazać, że każde odwzorowanie można przedstawić jako złożenie surjekcji i injekcji. Oznaczenia: f 1 przeciwobraz, tj. f 1 (B) = { x f(x) B } ; #A liczba elementów zbioru A; R 1 relacja przeciwna, tj. ar 1 b bra; R(a) warstwa elementu a, tj. R(a) = { b arb } ; X/R przestrzeń warstw relacji równoważności R, tj. X/R = { R(a) a X } ; 2
3 Przestrzenie metryczne 3.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech C(X ) = {f : X R : f jest ograniczona}. Pokaż, że funkcja d(f, g) = sup f(x) g(x) jest metryką na C(X ). x X Jak wyglądają kule w tej przestrzeni (opisz je np. w przypadku, gdy X = (0, 1)). 3.2 Na przedziale (0, 1) określmy funkcję d(x, y) = x 1 y 1 dla x y oraz d(x, x) = 0. (a) (b) Pokaż, że d jest metryką równoważną metryce euklidesowej; Udowodnij, że nie istnieje na R żadna metryka równoważna euklidesowej, która obcięta do przedziału (0, 1) byłaby równa d. 3.3 (a) Czy domknięcie kuli jest kulą domkniętą, a dokładniej czy B(x, r) = { y : d(x, y) r }? (b) Czy (B(x, r)) = { y : d(x, y) = r }? 3.4 Czy topologia dopełnień skończonych (par. zad.4.2) jest metryzowalna? 3.5 Udowodnij, że metryki równoważne w sensie Lipschitza, są równoważne. Czy zachodzi implikacja w przeciwną stronę? 3.6 Niech d będzie metryką na X. Pokaż, że d (x, y) = d. d(x, y) 1 + d(x, y) jest metryką na X równoważną metryce 3.7 Niech d będzie metryką na X, a M > 0 pewną stałą. Pokaż, że d M (x, y) = min ( M, d(x, y) ) jest metryką na X równoważną metryce d. 3.8 Niech δ(a) oznacza średnicę zbioru A, tj. δ(a) = sup{d(x, y) : x, y A}. Udowodnij, że (a) δ(a) = 0 #A 1; (b) δ(a) = δa; (c) A B δ(a) δ(b); (d) jeśli A B, to δ(a B) δ(a) + δ(b). 3.9 Niech S będzie rodziną wszystkich niepustych, domkniętych podzbiorów przestrzeni metrycznej X i niech x 0 X będzie ustalonym punktem. Na zbiorze S określmy funkcję: d x0 (A, B) = sup{ d(x, A) d(x, B) e d(x,x0) : x X } Pokaż, że d x0 równoważne. jest metryką na S oraz, że metryki generowane przez dwa różne punkty x 1, x 2 X są 3.10 Oznaczmy przez F(X ) rodzinę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów przestrzeni metrycznej (X, d). Dla A, B F(X ) określmy funkcję h(a, B) = sup{d(x, B) : x A}. Niech ϱ(a, B) = max ( h(a, B), h(b, A) ). Udowodnij, że: (a) ϱ jest metryką (nazywaną metryką Hausdorffa); (b) ϱ ( {x}, {y} ) = d(x, y); (c) ϱ(a, B) ε wtedy i tylo wtedy, gdy x A B(x, ε) B x B B(x, ε) A =. Równoważność metryk: (a) metryki d 1 i d 2 są równoważne, jeśli x X ε>0 δ1,δ 2>0 B d1 (x, δ 1 ) B d2 (x, ε) B d2 (x, δ 2 ) B d1 (x, ε) (b) metryki d 1 i d 2 są równoważne w sesie Lipschitza, jeśli istnieją takie stałe m, M > 0, że x,y X m d 1 (x, y) d 2 (x, y) M d 1 (x, y) 3
4 Przestrzenie topologiczne 4.1 Ile różnych topologii może posiadać zbiór trzyelementowy? Które z nich są nierozróżnialne (tj. przez zamianę elementów)? Sporządź rysunek zaznaczając ich częściowe uporządkowie ze względu na relację zawierania. 4.2 Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Pokaż, że (a) T 0 = { } {A : #(X \ A) < }, tj. tzw. topologia dopełnień skończonych, oraz (b) T 1 = { } {A : #(X \ A) < #X }, są topologiami. 4.3 Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Dla x X zdefiniujmy U L (x) = {y X : y x} oraz U R (x) = {y X : x y}. Pokaż, że dla = L, R: (a) rodzina {U (x)} jest bazą topologii (tj. T = {G = U (x) : A X } { } jest topologią) przestrzeni X ; (b) G T wtedy i tylko wtedy, gdy x G U (x) G; x A (c) w T przekrój dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarty; (d) opisz {x}, {x}, ({x}); (e) jedyną topologią, która jest równocześnie większa (w sensie zawierania) od T L i T R jest topologia dyskretna. Topologie T L, T R nazywane są często topologiami odpowiednio lewej i prawej strzałki. 4.4 Niech T X, T Y będą topologiami odpowiednio przestrzeni X i Y i niech T = {A B : A T X, B T Y }. Czy rodzina T jest topologią na X Y? 4.5 Na zbiorze liczb naturalnych N określamy rodzinę podzbiorów U U, tak że spełniona jest zależność: n U d n d U. Pokazać, że U jest topologią na N różną od topologii dyskretnej. 4.6 Udowodnij, że topologia jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt jest zbiorem otwartym. 4.7 Pokaż, że G A = G A dla każdego zbioru A X wtedy i tylko wtedy, gdy G jest zbiorem otwartym w X. 4.8 Udowodnij: (a) ( ( (A))) = ( (A)) (b) (A ) (A) (c) (A \ B) A \ B (d) A d = A = A 4.9 Niech A i B będą zbiorami otwartymi w X. Czy jeśli A i B są gęste w X, również gęsty jest ich przekrój A B? 4.10 Niech D będzie gęsty w X. Pokaż, że dla każdego zbioru otwartego G X zachodzi D G = G. 4.11 Punkt a A nazywamy izolowanym, gdy a A\A d. Zbiór A nazywamy doskonałym, gdy jest domknięty i nie zawiera punktów izolowanych. Pokaż, że jeśli A nie zawiera punktów izolowanych, to A jest doskonały. Oznaczenia: A d zbiór punktów skupienia zbioru A; A wnętrze zbioru A; A domknięcie zbioru A; (A) brzeg zbioru A; 4
5 Spójność. Przekształcenia ciągłe 5.1 Zbiór S = {0, 1} z topologią {, {0}, S } nazywamy przestrzenią Sierpińskiego. Czy S jest spójna? 5.2 Czy zbiór liczb wymiernych Q z naturalną topologią (pochodzącą od metryki euklidesowej) jest spójny? 5.3 Dla liczb a, b N określmy zbiór U a,b = {an + b n Z} N. Pokaż, że: (a) rodzina U a,b dla względnie pierwszych a, b jest bazą pewnej topologii na N; (b) dla każdej liczby pierwszej p zbiór pn = {np n N} jest domknięty w tej topologii; (c) zbiór wszystkich liczb pierwszych ma puste wnętrze; (d) przestrzeń N jest spójna. Wskazówka: Pokazać, że jeśli dla otwartego zbioru U zachodzi U U a,b =, to U an =. 5.4 Niech X będzie zbiorem nieskończonym z topologią T 0 (cf. zad.4.2.(a)). (a) Pokaż, że X jest przestrzenią spójną. Czy każdy podzbiór właściwy X jest spójny? (b) Jakie warunki musi spełniać podzbiór przestrzeni X, aby był spójny? 5.5 W przestrzeni X wprowadźmy relację x y, gdy istnieje zbiór spójny zawierający x i y. Pokaż, że jest relacją równoważności. Jak wyglądają klasy abstrakcji tej relacji? 5.6 Niech A X oraz A i X będą spójne. Niech ponadto B X \A będzie równocześnie otwarty i domknięty w X \ A. Pokazać, że A B jest spójny. 5.7 Niech {A n } będzie ciągiem spójnych podzbiorów przestrzeni X spełniającym A n A n+1, dla n = 1, 2,... Udowodnij, że zbiór A n jest spójny. n N 5.8 Niech A X będzie dowolny, a C X będzie zbiorem spójnym i takim, że A C (X \ A) C. Pokaż, że wówczas (A) C. 5.9 Jakie warunki musi spełniać odwzorowanie f : X X, aby było ciągłe, jeśli X jest przestrzenią z topologią T 0 z zad.4.2. 5.10 Niech X będzie przestrzenią z zad.4.3. Pokaż, że wówczas odwzorowanie φ : X X jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje porządek. 5.11 Pokaż, że odwzorowanie φ : N N, gdzie N jest przestrzenią z topologią z zad.4.5, jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje podzielność, tj. ( m n ) ( φ(m) φ(n) ). 5.12 Udowodnij, że poniższe warunki są równoważne: (a) odwzorowanie φ : X Y jest ciągłe; (b) φ(a d ) φ(a) dla każdego A X ; (c) (φ 1 (B)) φ ( (B) ) dla każdego B Y. 5.13 Niech φ n : X R będzie ciągiem funkcji ciągłych. Pokaż, że zbiór punktów zbieżności tego ciągu, tzn. {x X : lim φ n(x) istnieje } jest F σδ, tj. przeliczalnym przekrojem przeliczalnych sum zbiorów domkniętych. I jeszcze coś o aksjomatach oddzielania: 5.a Pokaż, że przestrzeń z topologią T 0 z zad.4.2 jest przestrzenią T 1, ale nie jest przestrzenią Hausdorffa. 5.b Pokaż, że przestrzeń z topologią T L z zad.4.3 jest przestrzenią T 0, ale nie jest T 1. 5
6 Zadania z wykładu 6.1 (20.II ) Domknięciem zbioru A X nazywamy zbiór A = { F X : F jest domknięty i A F } (w przestrzeni metrycznej X definicja przyjmuje postać A = { x X : {xn} A lim x n = x } ). Udowodnić następujące własności: (1d) =, (2d) A X A A, (3d) A,B X A B = A B, (4d) A X A = A. 6.2 (27.II ) Sformułować i udowodnić warunki dualne do warunków z zad.6.1 dotyczące operacji brania wnętrza zbioru. 6.3 (27.II ) Niech (X, ϱ) będzie przestrzenią metryczną. Pokazać, że wówczas U X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy x U ε>0 K(x, ε) U. Następnie (a) pokazać, że rodzina zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej spełnia aksjomaty topologii; (b) sprawdzić, że kula otwarta (odpowiednio domknięta) jest zbiorem otwartym (odp. domkniętym); (c) sprawdzić, czy (K(a, δ)) = (Kd(a, δ)) = S(a, δ). 6.4 (27.II ) Pokazać, że w dowolnej przestrzeni topologicznej zachodzą wzory: (a) A = A\ (A), (b) (A B) (A) (B), (c) (A B) (A) (B), (d) A = A A d, (e) A B A d B d, (f) (A B) d = A d B d. 6.5 (06.III ) Wykazać poniższe własności odwzorowania f : X Y: (a) Dla każdych A, B Y: (a.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.ii) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.iii) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B) ; (b) dla każdych A, B X : (b.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). (b.ii) f(a B) f(a) (B) (równość zachodzi, gdy f jest injekcją), 6.6 (13.III ) Pokazać, że rodzina B = { K(x, 1 m ) : x Qn, m N } jest bazą topologii przestrzeni R n z metryką euklidesową. 6.7 (13.III ) Niech A = {x i } i=n X będzie podzbiorem gęstym przestrzeni metrycznej X (tj. A = X ). Udowodnić, że rodzina B = { K(x i, 1 n ) : i, n N} jest bazą przeliczalną. 6.8 (20.III ) Mówimy, że punkt x jest granicą ciągu uogólnionego x t (gdzie t T jest elementem zbioru skierowanego), jeśli U B(x) to T t to x t U. Pokazać, że definicja granicy nie zależy od wyboru bazy w punkcie x. 6.9 (20.III ) Niech (T, T ), (S, S ) będą zbiorami skierowanymi. Pokazać, że (T S, T S ) też jest zbiorem skierowanym. 6.10 (20.III ) Pokazać, że dowolne pokrycie jednoznacznie definiuje topologię, w której to pokrycie jest podbazą. 6.11 (27.III ) Na R zadajemy topologię bazą otoczeń B = B(x), gdzie B(x) = { (x 1 n, x + 1 n ) : n N} gdy x 0 oraz B(0) = { ( 1 n, 1 n ) \ Z : n N} gdzie Z = { 1 n : n N}. Pokazać, że R z tak zadaną topologią jest T 2, ale nie jest T 3. 6.12 (27.III ) Udowodnić, że w przestrzeni metrycznej (X, d) dla każdego zbioru A zachodzi x t x = d(x t, A) d(x, A). 6.13 (03.IV ) Niech f α : X α X dla α A i T = { U X : α A f 1 (U) otwarty w X α }. Udowodnić, że T jest topologią na X (i jest najsilniejszą topologią, dla której wszystkie f α są ciągłe). 6.14 (17.IV ) Udowodnij: (a) A B = A B, (b) (A B) = (A) B A (B). x R 6