Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności

Podobne dokumenty
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna

Prawdopodobieństwo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka matematyczna

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Statystyka matematyczna

2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Statystyka Astronomiczna

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Prawdopodobieństwo geometryczne

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

Wydział Zarządzania - Rachunek prawdopodobieństwa - Ćwiczenia

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka podstawowe wzory i definicje

Metody probabilistyczne

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Metody probabilistyczne

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA

Metody probabilistyczne

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Wstęp. Kurs w skrócie

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

Metody probabilistyczne

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania

ALGEBRA ZDARZEŃ. PRZYKŁAD Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } A = {ω 1, ω 2} DEFINICJA Mówimy, Ŝe zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A (A Ω), jeŝeli ω A

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska

Zmienne losowe i ich rozkłady

Temat 18: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Transkrypt:

Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności

Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami elementarnymi lub wynikami pomiaru. Przestrzeń prób jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu. Jest ona zwana przestrzenią zdarzeń elementarnych. Zdarzeniami nazywamy podzbiory przestrzeni prób. Są to zbiory pewnych zdarzeń elementarnych. Mówimy, że zaszło dane zdarzenie, jeżeli zaszło zdarzenie elementarne będące elementem podzbioru odpowiadającego temu zdarzeniu.

A zdarzenie polegajπce na wyciπgniíciu Asa z talii kart przestrzeò prób zawiera wszystkie moøliwe wyniki wyciπgniícia któregokolwiek Asa Zdarzenie A: wyciągnięcie Asa The event A, an ace is drawn. A K Q A K Q A K Q A K Q Wyciągnięcie Asa pik The outcome ace of spades means oznacza, that event że zaszło A has occurred. zdarzenie A J J J J 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2

Rzucamy dwiema kostkami Przestrzeń szdarzeń elementarnych: a) jeśli rozróżniamy kostki (36 zdarzeń elementarnych): Ω = {(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),(3,1),,(6,6)} b) jeśli nie rozróżniamy kostek (21 zdarzeń elementarnych): Ω = {(1,1),(1,2),,(1,6),(2,2),(2,3),,(2,6),(3,3),,(6,6)}

Spóźnienie studenta na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {t: 0 t 45} 0 min 45 min 18 min 30 s

Spóźnienie dwóch studentów na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {(t1,t2): 0 t1 45, 0 t2 45} 45 min 45 min

Przy założeniu równej możliwości zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo zdarzenia A jest względną miarą A w stosunku do miary przestrzeni prób Ω. A miara A miara P (A) = A

0 0.25 0.5 0.75 1 Event Zdarzenie is not prawie very likely to occur. na pewno nie zajdzie Event is more likely not to occur than to occur. Zdarzenie raczej nie zajdzie niż zajdzie Event Zajście is i niezajście as likely możliwe to occur as not to occur. zdarzenia jest równie Event is more likely niż to nie occur zajdzie than not to occur. Zdarzenie raczej zajdzie Event is very likely to occur. Zdarzenie prawie na pewno zajdzie

Zdarzenie A: wyciągnięcie Asa The event A, an ace is drawn. A K Q A K Q A K Q A K Q Wyciągnięcie Asa pik The outcome ace of spades means oznacza, that event że zaszło A has occurred. zdarzenie A J J J J 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 P (A) = 4 52

Spóźnienie dwóch studentów na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {(t1,t2): 0 t1 45, 0 t2 45} A - drugi student spóźni się więcej 45 min P(A) = A Ω = 1 2 452 45 2 = 1 2 45 min

Podstawowe własności prawdopodobieństwa 0 P(A) 1 P(A) = 1 P(A) gdzie A = Ω! A Ω A A P(A B) = P(A) + P(B) o ile A B = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ogólnie

Zdarzenie nazywamy niemożliwym P( ) = 0 Zdarzenie Ω nazywamy pewnym P(Ω) = 1 Zdarzenia A i B nazywamy wykluczającymi się, gdy P (A \ B) =0

Zdarzenia niezależne 1/2 Start 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Ω

Zdarzenia niezależne P( ) = 1/2 1/2 = 1/4 A - wyrzucenie orła na jednozłotówce B - wyrzucenie reszki na dwuzłotówce A B - wyrzucenie orła na jednozłotówce i reszki na dwuzłotówce P(A B)=P(A) P(B)

Prawdopodobieństwo warunkowe 1/2 Start 1/2 Prawdopodobieństwo warunkowe 1/2 1/2 1/2 1/2

Prawdopodobieństwo warunkowe W tabeli podano liczbę rachunków za różne usługi medyczne zgłoszone pewnej firmie ubezpieczeniowej do refundacji w różnych rejonach kraju. Wschód Południe Środkowy Zachód Zachód Pobyt w szpitalu 75 128 29 52 Wizyty lekarskie 233 514 104 251 Usługi ambulatoryjne 100 326 65 99 Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany rachunek pochodzi z Zachodu, jeśli wiadomo, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne?

Prawdopodobieństwo warunkowe (względne) W tabeli podano liczbę rachunków za różne usługi medyczne zgłoszone pewnej firmie ubezpieczeniowej do refundacji w różnych rejonach kraju. Pobyt w szpitalu Wizyty lekarskie Usługi ambulatoryjne Wschód Południe Środkowy Zachód Zachód Suma 75 128 29 52 284 233 514 104 251 1102 100 326 65 99 590 Suma 408 968 198 402 1976 Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany rachunek pochodzi z Zachodu, jeśli wiadomo, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne?

Zdarzenie Liczba zdarzeò elementarnych sprzyjajπcych zdarzeniu 1976 A - wybrano rachunek z Zachodu 402 B - wybrano rachunek ambulatoryjny 590 A \ B - wybrano rachunek z Zachodu 99 za us ugi ambulatoryjne Ponieważ szukamy prawdopodobieństwa wybrania rachunku z Zachodu, pod warunkiem, że wiemy, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne, to przestrzeń prób (czyli Ω) redukuje się do zbioru B. Zatem prawdopodobieństwo poszukiwanego zdarzenia wynosi 99/590. Zauważmy jednak, że prawdopodobieństwo to można wyznaczyć licząc iloraz P (A \ B) P (B) = 99 1976 590 1976 = 99 590

A A B Ω B

A A B Ω B

A B Ω Miara A B względem Ω

Ω B Miara B względem Ω

A B B Miara A B względem B

Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A przy zajściu zdarzenia B: P (A B) = P (A \ B) P (B), oile P (B) 6= 0. P(A B) = P(B) P(A B)

Niezależność zdarzeń Warunki niezależności zdarzeń: P(A B) = P(A), P(B A) = P(B), P(A B) = P(A) P(B).

Prawdopodobieństwo całkowite Ω B 1 B 2 B 3 B 4 A B 1 A B 2 A B 3 A B 4 A P (A) =P (A \ B 1 )+P (A \ B 2 )+P (A \ B 3 )+...

Prawdopodobieństwo całkowite P (A) =P (A \ B 1 )+P (A \ B 2 )+P (A \ B 3 )+... = P (A B 1 )P (B 1 )+P (A B 2 )P (B 2 )+P (A B 3 )P (B 3 )+... H D C S A H A D A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 X Event Zdarzenie A A: wyciągnięcie figury z talii kart A S A C P (A) = 4 52 + 4 52 + 4 52 + 4 52 = 16 52

Schemat Bernoullego Przeprowadzamy n doświadczeń. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest stałe, równe p. Prawdopodobieństwo porażki w jednym doświadczeniu jest zatem równe q=1-p. Pytamy się o prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów na n przeprowadzonych doświadczeń.

Schemat Bernoullego Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bernoullego uzyska się k sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem n P n,k = k p k q n k. Przypomnijmy, że n k = n!, n!=1 2 3 n. k!(n k)!

Obliczyć prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza od 4. n=7, k=3 Prawdopodobieństwo sukcesu, czyli zdarzenia polegającego na wyrzuceniu 4, 5 lub 6 oczek na kostce do gry wynosi p=3/6=1/2. P 7,3 = 3 7 3 7 1 1 = 7! 3 2 2 3!4! 1 2 7 = 5 6 7 2 3 1 2 7 = 5 7 2 7 = 35 128 0, 27