Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Wprowadzenie do metody elementów brzegowych dr inż Jacek Ptaszny Rzeszów, 15-16042011 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 1/32

Plan prezentacji I Wprowadzenie do metody elementów brzegowych II Algorytm SWMEB Część 1 III Algorytm SWMEB Część 2 IV Przykłady analizy Część 1 V Przykłady analizy Część 2 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 2/32

Plan prezentacji Wprowadzenie do metody elementów brzegowych 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 3/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 4/32

Płaskie zagadnienie liniowej sprężystości Cel analizy Wyznaczenie nieznanych przemieszczeń u i i sił powierzchniowych t i na brzegu ciała Oznaczenia: Ω - obszar ciała, Γ = Γ 1 Γ 2 - brzeg ciała, Γ 1 - fragment brzegu z zadanymi przemieszczeniami û i, Γ 2 - fragment brzegu z zadanymi siłami powierzchniowymi ˆt i, b i - znane pole sił objętościowych Płaskie ciało liniowosprężyste w stanie równowagi dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 5/32

Rówanie metody elementów brzegowych Sformułowanie bezpośrednie w wersji kolokacyjnej C ij u j (x ) + T ij (x, x) u j (x) dγ(x) = Γ U ij (x, x) t j (x) dγ(x) + U ij (x, x) b j (x) dω(x) (1) Γ Oznaczenia: x - punkt kolokacji, x - punkt całkowania, C ij - współczynniki zależne od położenia punktu kolokacji: C ij = Ω δ ij dla x int Ω, 0 dla x / Ω, 1 2 δ ij dla x Γ gładki brzeg, U ij, T ij - rozwiązania podstawowe (Kelvina) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 6/32 (2)

Rozwiązania podstawowe U ij (x 1, x) = 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ijln(r) + r, i r, j ], (3) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (4) (1 2ν)(r, i n j r, j n i ) Oznaczenia: µ - moduł Kirchhoffa, r = x x, ν - liczba Poissona, n i - wersor normalny do brzegu w punkcie x dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 7/32

Rozwiązania podstawowe U ij (x 1, x) = 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ij ln(r) + r, i r, j ], (3) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (4) (1 2ν)(r, i n j r, j n i ) Osobliwości (x x, r 0): ln(r) - słaba, 1 - silna r dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 7/32

Składniki równania całkowego Potencjał objętościowy o gęstości b j (x): Jij U (x ) = U ij (x, x) b j (x) dω(x), x Ω, x int Ω, (5) j Ω Potencjał warstwy pojedynczej o gęstości t j (x): Iij U (x ) = U ij (x, x) t j (x) dγ(x), x Ω, x Γ, (6) j Γ Potencjał warstwy podwójnej o gęstości u j (x): Iij T (x ) = T ij (x, x) u j (x) dγ(x), x Ω, x Γ (7) j Γ dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 8/32

Składniki równania całkowego Składniki objętościowe Zagadnienia: obecność składników źródłowych (np termosprężystość), zagadnienie własne (np drgania swobodne), zagadnienia nieliniowe (np układy sprężysto-plastyczne), układy niejednorodne (np materiały gradientowe), W przypadku zachowawczych pól sił objętościowych całki po obszarze można transformować do całek brzegowych (siły: ciężkości, odśrodkowe oraz siły obecne w zagadnieniu stacjonarnego pola temperatury spełniającego równanie Poissona dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 9/32

Składniki równania całkowego Składniki objętościowe Metody analizy układów z uwzględnieniem składników objętościowych: całkowania po obszarze, rozwiązań szczególnych - brak całek po obszarze, wielokrotnej zasady wzajemności - brak całek po obszarze Porównanie metod: Ingber MS, Mammoli AA, Brown MJ, A comparison of domain integral evaluation techniques for boundary element methods, Int J Numer Meth Engng, 52, 417-432, 2001 Zdaniem cytowanych autorów metody całkowania bezpośredniego są efektywniejsze pod względem czasu obliczeń (zwłaszcza w przypadku zastosowania metod wielobiegunowych) oraz dokładniejsze od pozostałych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 9/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 10/32

Elementy brzegowe i komórki wewnętrzne Elementy brzegowe - aproksymacja wielkości brzegowych Komórki wewnętrzne - aproksymacja sił objętościowych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 11/32

Aproksymacja wielkości brzegowych Oznaczenia: Współrzędne punktów: x i = Przemieszczenia: u i = K k=1 Siły powierzchniowe: t i = Nb k (ξ) - funkcje kształtu elementu brzegowego, ξ - lokalny układ współrzędnych elementu, K - liczba węzłów w elemencie, K k=1 N k b (ξ)u hk i K k=1 N k b (ξ)x hk i N k b (ξ)t hk i k - numer węzła elementu brzegowego, h - numer elementu brzegowego dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 12/32

Trójwęzłowy element brzegowy Postać i funkcje kształtu Element w globalnym (a) i lokalnym (b) układzie współrzędnych Funkcje kształtu: Nb(ξ) 1 = 1 ξ(1 ξ), 2 N2 b(ξ) = (1 ξ)(1 + ξ), N 3 b(ξ) = 1 2 ξ(1 + ξ) (8) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 13/32

Trójwęzłowy element brzegowy Transformacja do układu lokalnego Różniczka brzegu: Jakobian przekształcenia: dγ(x) = J(ξ)dξ (9) [ ( x1 ) 2 J(ξ) = + ξ ( ) 2 ] 1 2 x2 (10) ξ Składowe wektora jednostkowego normalnego do brzegu - w rozwiązaniu podstawowym T ij (x, x): n 1 = 1 x 2 J(ξ) ξ, n 2 = 1 x 1 J(ξ) ξ (11) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 14/32

Aproksymacja wielkości wewnątrz obszaru Oznaczenia: Wspórzędne punktów: x i = Siły objętościowe: b i = L l=1 L - liczba punktów definiujących komórkę wewnętrzną, N l w(ξ, η) - funkcje kształtu, ξ, η - współrzędne układu lokalnego, x ql i - współrzędne węzła komórki wewnętrznej, L l=1 N l w(ξ, η)x ql i N l w(ξ, η)b ql i b ql i - składowe sił objętościowych, l - numer węzła komórki wewnętrznej, q - numer komórki wewnętrznej dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 15/32

Sześciowęzłowa komórka wewnętrzna Postać i funkcje kształtu Komórka wewnętrzna w globalnym (a) i lokalnym (b) układzie współrzędnych Funkcje kształtu: Nw(ξ, 1 η) = ξ (2 ξ 1), Nw(ξ, 2 η) = η (2 η 1), Nw(ξ, 3 η) = ζ (2 ζ 1), Nw(ξ, 4 η) = 4 ξ η, Nw(ξ, 5 η) = 4 η ζ, Nw(ξ, 6 η) = 4 ζ ξ, ζ = 1 ξ η (12) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 16/32

Sześciowęzłowa komórka wewnętrzna Transformacja do układu lokalnego Różniczka powierzchni: dω(x) = J(ξ, η) dξ dη (13) Jakobian przekształcenia: J(ξ, η) = x 1 ξ x 2 ξ x 1 η x 2 η (14) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 17/32

Elementy brzegowe i komórki wewnętrzne Podsumowanie Elementy brzegowe lub komórki wewnętrzne, w których wielkości fizyczne i geometria aproksymowane są za pomocą tych samych funkcji kształtu nazywane są izoparamerycznymi Stopień aproksymacji wielkości brzegowych i wielkości wewnątrz obszaru nie musi być taki sam Różne stopnie aproksymacji mogą jednak prowadzić do zmniejszenia dokładności obliczeń dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 18/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 19/32

Układ równań C ij u i (x ) + P K t hk i P K h=1 k=1 1 u hk i 1 h=1 k=1 1 R L 1 1 ξ b ql i q=1 l=1 0 0 Oznaczenia: K - liczba węzłów elementu brzegowego, L - liczba węzłów komórki wewnętrznej, 1 T ij [ x, x(ξ) ] N k b (ξ)j(ξ) dξ = U ij [ x, x(ξ) ] N k b (ξ)j(ξ) dξ+ U ij [ x, x(ξ, η) ] N l w(ξ, η)j(ξ, η) dη dξ (15) P - liczba elementów brzegowych, R - liczba komórek wewnętrznych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 20/32

Równanie macierzowe Założenia Punktami kolokacji są wszystkie węzły brzegowe Wprowadza się numerację globalną węzłów 1, 2,, W H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a B W i (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W a - numer węzła będącego punktem kolokacji b - numer węzła określającego element brzegowy zawierający punkty całkowania (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + dla a b (i, j = 1, 2) - elementy macierzy zawierające całki rozwiązania podstawowego T ij (x, x) H ab ij 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H aa ij H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP - sumy całek osobliwych zależnych od T ij (x, x) oraz współczynników C ij t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe u b j H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP - składowe przemieszczeń węzła b t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP G ah is (i = 1, 2; s = 1, 2,, 6) - całki zależne od U ij (x, x) t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 Haa ij Hij aw Hij W 1 Hij Wb H ij WW u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + ts h - składowe sił powierzchniowych węzłów elementu brzegowego h (możliwe jest modelowanie nieciągłości sił powierzchniowych) 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP B a i - całki po obszarze zależne od U ij (x, x) t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32

Równanie macierzowe Metoda ruchu ciała sztywnego Elementy diagonalne H ij aa (równanie (16)) zawierają sumy współczynników C ij oraz całek osobliwych zależnych od T ij (x, x) (osobliwość typu 1/r - silna; całki istnieją w sensie wartości głównej Cauchy ego) Ruch ciała sztywnego Brak sił powierzchniowych, t h s = 0 Brak sił objętościowych, B a i = 0 Jednostkowe przemieszczenia wszystkich węzłów w kierunku v, u a j = δ jv dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 22/32

Równanie macierzowe Metoda ruchu ciała sztywnego Ruch ciała sztywnego Brak sił powierzchniowych, t h s = 0 Brak sił objętościowych, B a i = 0 Jednostkowe przemieszczenia wszystkich węzłów w kierunku v, u a j = δ jv ( H ij aa + ) Hij ab δ jv = 0, i, j, v = 1, 2; a, b = 1, 2,, W (17) b,b a Ciało ograniczone: Ciało nieograniczone: H aa ij = b,b a H ab ij (18) H aa ij = 1 b,b a H ab ij (19) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 22/32

Równanie macierzowe Metody całkowania numerycznego Nieosobliwe całki liniowe - kwadratury Gaussa Całki osobliwe zależne od ln(r) - kwadratury logarytmiczne Gaussa Nieosobliwe całki powierzchniowe - kubatury Gaussa Osobliwe całki powierzchniowe zależne od ln(r) - regularyzacja przez transformację współrzędnych - zastąpienie całki po trójkącie całką po prostokącie dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 23/32

Równanie macierzowe Zapis w zwartej formie: [H]{U} = [G]{T} + {B} (20) Uwzględnienie warunków brzegowych: [A]{X} = [D]{Y} + {B}, (21) {X} - wektor niewiadomych, {Y} - wektor wielkości znanych, [A], [D] - macierze utworzone przez przegrupowanie kolumn macierzy [H] i [G] Ostateczna postać układu równań: [A]{X} = {Z} (22) Pełne i niesymetryczne macierze dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 24/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 25/32

Obliczanie naprężeń Punkty wewnętrzne Równanie naprężeń uzyskane w wyniku zastosowania związków geometrycznych oraz uogólnionego prawa Hooke a: σ jk (x ) = U ijk (x, x) t i (x) dγ(x) Γ T ijk (x, x) u i (x) dγ(x) + U ijk (x, x) b i (x) dω(x), Γ U ijk (x, x), T ijk (x, x) - rozwiązania podstawowe równania naprężeń, Równanie stosowane do obliczania naprężeń w punktach wewnętrznych obszaru W przypadku obliczania naprężeń na brzegu należało by obliczać całki o silnej osobliwości oraz hiperosobliwe (osobliwości typu r 1 i r 2 ) Ω (23) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 26/32

Obliczanie naprężeń Węzły brzegowe Zastosowanie znanych sił powierzchniowych oraz pochodnych przemieszczeń Naprężenia w lokalnym układzie współrzędnych związanym z brzegiem: σ 11 = 1 1 ν (2µ ε 11 + ν t 2 ), σ 22 = t 2, σ 12 = t 1, (24) t i - składowe sił powierzchniowych transformowane do układu x i, ε 11 - odkształcenie w kierunku stycznym do brzegu Naprężenia w lokalnym układzie współrzędnych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 27/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 28/32

Podsumowanie Zalety MEB Dla wielu zagadnień dyskretyzacja tylko brzegu obszaru Łatwe przygotowanie modelu Stosunkowo mały rozmiar układu równań w porównaniu z innymi metodami (MRS, MES) Analiza obszarów nieskończonych lub półnieskończonych bez koniczności wprowadzania sztucznych brzegów dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32

Podsumowanie Wady MEB Trudność uzyskania rozwiązań podstawowych dla niektórych zagadnień (anizotropia, niejednorodność ośrodka i inne) Mała efektywność w analizie ciał których jeden lub dwa wymiary są znacznie mniejsze od pozostałych Konieczność dyskretyzacji obszaru lub jego fragmentu w przypadku występowania składników objętościowych w równaniu całkowym Czas obliczeń rzędu co najmniej O(N 2 ) - w zależności od zastosowanej metody rozwiązywania układu równań Zajmowana pamięć komputera rzędu O(N 2 ) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32

Podsumowanie Krytyka MEB Implementacja i porównanie pięciu różnych wariantów metody: Kok Hwa Yu, AHalim Kadarman, Harijono Djojodihardjo, Development and implementation of some BEM variants A critical review Engineering Analysis with Boundary Elements, 34 (2010), 884-899 Wybrane wnioski Autorów: Spośród wszystkich wariantów MEB wersja kolokacyjna jest najprostszą w implementacji MEB pomimo szybkiego rozwoju nie jest w stanie zastąpić metody elementów skończonych (MES) Aktualnie należy stosować i rozwijać nowe, efektywniejsze wersje metody, a wśród nich szybką wielobiegunową MEB dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32

Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 30/32

Literatura Brebbia CA, Topics in boundary element research Volume 3: Computational aspects, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York - London - Paris - Tokyo, 1987 Brebbia CA, Dominguez J, Boundary elements an introductory course, McGraw-Hill, New York, 1992 Burczyński T, Metoda elementów brzegowych w mechanice, WNT, Warszawa, 1995 Dominguez J, Boundary elements in dynamics, Computational Mechanics Publications, Southampton, 1993 Fedeliński P, Metoda elementów brzegowych w analizie dynamicznej układów odkształcalnych z pęknięciami, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Mechanika, z 137, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2000 Huang Q, Cruse TA, Some notes on singular integral techniques in boundary element analysis, Int J Numer Meth Eng, 36, 2643-2659, 1993 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 31/32

Literatura Ingber MS, Mammoli AA, Brown MJ, A comparison of domain integral evaluation techniques for boundary element methods, Int J Numer Meth Engng, 52, 417-432, 2001 Kane JH, Boundary element analysis in engineering continuum mechanics, Prentice-Hall, New Jersey, 1994 Kleiber M (red), Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, Mechanika Techniczna, Tom IX, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1995 Schwab C, Wendland WL, On numerical cubatures of singular surface integrals in boundary element methods, Numer Math, 62, 343-369, 1992 Tanaka M, Sladek V, Sladek J, Regularization techniques applied to boundary element methods, Appl Mech Rev, 47, 10, 457-499, 1994 Telles JCF, The boundary element method applied to inelastic problems, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo, 1983 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 31/32

Dziekuję za uwagę LaTeX Template based on Oxygen, http://wwwkdeorg/kdeslides/ dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 32/32