Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi Kraów, 014
Spis treści Spis treści 3 1 Przeształcenie Laplace a 5 1.1 Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a....... 5 1. Rozwiązywanie równań różniczowych.................. 7 Modelowanie uładów fizycznych 9.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia................... 9. Wyznaczanie transmitancji operatorowej.................. 10.3 Wyznaczanie macierzy przestrzeni stanów................. 10.4 Rozwiązywanie równań różniczowych opisujących ułady fizyczne... 1 3 Schematy bloowe 13 3.1 Tworzenie schematów bloowych..................... 13 3. Upraszczanie schematów bloowych opisujących............. 13 4 Charaterystyi uładów fizycznych 15 4.1 Charaterystyi czasowe.......................... 15 4. Charaterystyi częstotliwościowe..................... 16 5 Stabilność uładów automatycznej regulacji 19 5.1 Kryterium stabilności Hurwitza....................... 19 5. Kryterium stabilności Nyquista....................... 0 5.3 Kryterium stabilności Michajłowa..................... 0 6 Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji 1 6.1 Wyznaczanie sygnału błędu regulacji.................... 1 6. Wyznaczanie sygnału sterowania...................... 7 Rozwiazania zadań 3 3
Rozdział 1 Przeształcenie Laplace a 1.1 Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a Zadanie 1 Oblicz transformatę Laplace a z wyrażenia: (a) L [x(t) + 4] (b) L [4x(t) + e 0.5t ] (c) L [6x(t) + t + e 3t ] (d) L [ dx dt + 4x(t) + ]; x(0) = 1 (e) L [4 d x dt 3x(t) + t]; x(0) = 1, ẋ(0) = 0.5 (f) L [ d x dt t (g) L [ x(τ)dτ + 4] 0 + dx dt + x(t) 3e 1 t ]; x(0) = 1, ẋ(0) = 0.5 (h) L [ dx dt t e t + dτ]; x(0) = 0.5 0 (i) L [3t + dx dt + 5 x(t) + sin(t)]; x(0) = 3 (j) L [ e 3 t 3 dx dt + t cos(4t)]; x(0) = 1 5
() L [ dx dt + 1(t) x(t) 3]; x(0)=1.5 (l) L [4 dx dt t x(t) + 3x(t)]; x(0) = 0.5 * splot funcji Zadanie Oblicz transformatę Laplace a na podstawie przebiegu sygnału f(t): (a) (b) (c) 6
(d) Zadanie 3 Oblicz odwrotną transformatę Laplace a z wyrażenia: (a) L 1 [ 3 3s+1 ] (b) L 1 [ 4s+1 s(s+3) ] (c) L 1 [ 3s +s+1 s (s+) ] (d) L 1 [ 8 s +3 ] (e) L 1 [ 5 (s+3) 3 ] (f) L 1 [ s+3 (s+1)(4s+) ] (g) L 1 [ 4 s +4s+5 ] (h) L 1 [ 4s 4s +36 ] (i) L 1 [ s+1 + s+ (4s+)(s+3) ] (j) L 1 [ 3 + 1 s 3 + 5 s (s 1) s ] 3 1. Rozwiazywanie równań różniczowych Zadanie 4 Rozwiąż równania różniczowe przy użyciu przeształceń Laplace a (a) 3 ż(t) + z(t) t = 0; z(0) = 1 (b) ż(t) + z(t) = e 3t ; z(0) = 0 (c) z(t) + 3 ż = 1; ż(0) = 1, z(0) = 1 (d) ż(t) + 3 z(t) + 3 = t; z(0) = (e) ż(t) z(t) + t = 3; z(0) = 4 (f) ÿ(t) + 4 ẏ(t) + 4 y(t) = ; ẏ(0) = 1, y(0) = 1 (g) ÿ(t) 4 ẏ(t) = ; ẏ(0) = 1.5, y(0) = 0.5 7
(h) 4 ż(t) z(t) + t = 0; z(0) = 0.5 (i) ẍ(t) + ẋ(t) + x(t) = ; ẋ(0) = 1, x(0) = 0.5 (j) 6 ẍ(t) + 3 ẋ(t) + 6 x(t) = 3; ẋ(0) = 0, x(0) = 1 8
Rozdział Modelowanie uładów fizycznych.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia Zadanie 1 Na podstawie schematów wyznaczyć równania wejściawyjścia przedstawionych uładów mechanicznych. (a) F(t) siła wejściowa; z(t) przemieszczenie wyjściowe (c) u(t) przemieszczenie wejściowe; v(t) przemieszczenie wyjściowe z(t) m 1 c b v(t) a u(t) F(t) (b) u(t) przemieszczenie wejściowe; v(t) przemieszczenie wyjściowe (d) M(t) moment obrotowy wejściowy; ϕ(t) wyjściowy ąt obrotu u(t) m v(t) c φ(t) M(t) J założyć bra oporów toczenia c tarcie suche Zadanie Na podstawie schematów wyznaczyć równania wejściawyjścia przedstawionych uładów eletrycznych. 9
(a) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe R1 (c) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe L U (t) we R U (t) wy U (t) we R U (t) wy i(t) i(t) (b) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe (d) U we (t) napięcie wejściowe; q(t) ładune wyjściowy R L R U (t) we C U (t) wy U (t) we i(t) i(t) C. Wyznaczanie transmitancji operatorowej Zadanie 3 Na podstawie równań wejściawyjścia opisujących ułady fizyczne napisać transmitancję operatorową. (a) 3 ẏ(t) + 4 y(t) = x(t) (b) 4 v(t) + 5 v(t) + v(t) = 3 u(t) + u(t) (c) R C U (t) + U (t) = U 1 (t) (d) m ÿ(t) + 1 c ẏ(t) + 1 y(t) = 1 b ẋ(t) + 1 x(t) Zadanie 4 Na podstawie schematów uładów fizycznych z zadania 1 i zapisane równania wejściawyjścia przeształcić na postać transmitancji operatorowej..3 Wyznaczanie macierzy przestrzeni stanów Zadanie 5 Na podstawie równań wejściawyjścia opisujących uład fizyczny wyznaczyć równania stanu oraz macierze A,B,C,D. (a) z(t) + 0.5 ż(t) + z(t) = F (t) 10
(b) 4... v (t) + 8 v(t) + v(t) + 8 v(t) = u(t) (c) z(t) + 3 ż(t) + 3 z(t) = q(t) + 3 q(t) (d) J L ω(t) + (R J + B L) ω(t) + (R B + ) ω(t) = U(t) (e) m ÿ(t) + 0.5 b ẏ(t) + 0.33 y(t) = 0.5 b ẋ(t) + 0.33 x(t) Zadanie 6 Na podstawie schematów uładów fizycznych wyznaczyć równania stanu oraz macierze A,B,C,D. (a) F(t) siła; z(t)) przemieszczenie (d) v(t) prędość; y(t) przemieszczenie z(t) b m F(t) v(t) b m y(t) (b) u(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie (e) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe u(t) m y(t) U we(t) R C C U wy (t) b L (c) F(t) siła; y(t) przemieszczenie y(t) (f) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe F(t) m b U we(t) i(t) L R R C U wy (t) 11
.4 Rozwiazywanie równań różniczowych opisujacych ułady fizyczne Zadanie 7 Wyznacz równania różniczowe wejściawyjścia przedstawionych uładów, a następnie je rozwiąż uwzględniając waruni początowe. (a) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe R (c) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe L U (t) we C U (t) wy U (t) we R U (t) wy i(t) i(t) (b) U we (t) = U 0 (1 e αt ); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. α = 1 ; RC zerowe waruni początowe (d) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe R R U (t) we C U (t) wy U (t) we L U (t) wy i(t) i(t) 1
Rozdział 3 Schematy bloowe 3.1 Tworzenie schematów bloowych Zadanie 1 Na podstawie przedstawionych uładów fizycznych narysuj pełny schemat bloowy. (a) x(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie y(t) m (c) x(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie x(t) y(t) x(t) b b m (b) u(t) przemieszczenie ; v(t) przemieszczenie wyjściowe b a u(t) c v(t) 3. Upraszczanie schematów bloowych opisujacych Zadanie Wyznacz transmitancję zastępczą przedstawionych schematów metodą analityczną oraz poprzez przeształcanie schematu bloowego. 13
(a) G H 3 G (b) + G H G (c) G G + H (d) G H G (e) G1 G H 14
Rozdział 4 Charaterystyi uładów fizycznych 4.1 Charaterystyi czasowe Zadanie 1 Wyznacz wzór na odpowiedź impulsową uładu opisanego transmitancją operatorową. (a) G(s) = 4 s+3 (b) G(s) = 4 (3 s+1) 3 s (c) G(s) = (3 s+) ( s+1) (d) G(s) = 4 s 5 s+ Zadanie Wyznacz wzór na odpowiedź soową uładu opisanego transmitancję operatorową. (a) G(s) = 4 s+3 (b) G(s) = 3 s s+ (c) G(s) = 5 ( s+3) (s+) (d) G(s) = 3 s (3 s+3) Zadanie 3 Wyznacz transmitancję operatorową uładu na podstawie charaterystyi czasowej. (a) y(t) =1 (b) y(t) =1/s 5.5 0 t 0 1 t 15
(c) y(t) 1 =1 (d) y(t) 1.8 =1/s 0 t 0 0.3 t 4. Charaterystyi częstotliwościowe Zadanie 4 Wyznacz charaterystyę amplitudowofazową obietu opisanego transmitancją operatorową lub przedstawionego na schemacie bloowym. (a) G(s) = 10 5 s+1 (e) (b) G(s) = 4 s 3 s+1 (c) G(s) = s s (3 +1) 1 (d) T s 1=, =3, T= T s =6, T=3 Zadanie 5 Wyznacz charaterystyę logarytmiczną modułu oraz fazy dla obietów przedstawionych w zadaniu 4. (a) G(s) = 4 s+1 (e) (b) G(s) = s 3 s+ (c) G(s) = 3 s s ( +1) (d) T s =6, T=3 1 T s =4, T= 16
(f) (g) 1 1 s+1 T s s 1=, =3, T= Zadanie 6 Dla przyładu e oraz g z zadania 5 oblicz doładną wartość wzmocnienia (wyrażoną w decybelach) dla ω = [rad/s] 17
Rozdział 5 Stabilność uładów automatycznej regulacji 5.1 Kryterium stabilności Hurwitza Zadanie 1 Sprawdź czy obiet opisany transmitancją jest stabilny asymptotycznie wg ryterium Hurwitza. 3 (a) G(S) = 4 s 3 +3 s +s+ s+1 (b) G(S) = 4 s 3 +3 s +5 s+1 5 (c) G(S) = 3 s 4 + s 3 +4 s +1 10 s+1 (d) G(S) = 9 s 4 + s 3 +5 s +s+ Zadanie Znajdź parametry i/lub T dla tórych przedstawione ułady są stabilne asymptotycznie. 3 (a) G(S) = 4 s 3 + s +s+ 3 s+1 (b) G(S) = s 3 + s +4 s+1 (e) (c) G(S) = 3 s 4 + s 3 +s +T s+ 1 (d) G(S) = s 4 +s 3 + s +T s+1+ (f) 0.5 3 s +s +s+1 3 s +s +Ts+1 19
(g) (h) 1 3 s +Ts +s+1 1 s +3s +s+1 3 5. Kryterium stabilności Nyquista Zadanie 3 Sprawdź czy ułady przedstawione na schematach są stabilne wg ryterium Nyquista. (a) (c) s +s+1 5 1 3 s +3s +3s+1 3 (b) (d) 3 s +s +s+1 6 1 3 s +s +3s+1 Zadanie 4 Wyznacz zapas stabilności wzmocnienia i fazy dla uładów opisanych w zadaniu 3. 5.3 Kryterium stabilności Michajłowa Zadanie 5 Sprawdź czy uład opisany transmitancją jest stabilny wg ryterium Michajłowa. 4 (a) G(S) = 0.5 s 3 +1.5 s +s+1 5 (b) G(S) = 6 s 3 + s + s+1 4 (c) G(S) = 10 s 4 +4 s 3 +4 s +1 s (d) G(S) = 9 s 4 +4 s 3 +6 s +s+1 0
Rozdział 6 Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji 6.1 Wyznaczanie sygnału błędu regulacji Zadanie 1 Dla podanych uładów znajdź sygnał błędu regulacji e(t) przy założeniu, że wymuszenie x(t)=1(t). (a) (c) 1 s+1 9 8s+ (b) (d) 4 3 5s+3 10 0.5 s+0 Zadanie Dla uładów podanych w zadaniu 1 wyznacz uchyb statyczny e stat. Zadanie 3 Dany jest uład automatycznej regulacji z jednostowym sprzężeniem zwrotnym, gdzie zastosowano regulator P (K=), a obiet regulowany opisany jest transmitancją G(s) = 3 4 s+1. 1
Narysuj schemat bloowy tego uładu, wyznacz sygnał błędu regulacji e(t) oraz uchyb statyczny e stat wiedząc, że sygnałem wejściowym jest so jednostowy x(t)=1(t). 6. Wyznaczanie sygnału sterowania Zadanie 4 Dla uładów podanych w zadaniu 1 wyznacz sygnał sterowania u(t).
Rozdział 7 Rozwiazania zadań 1. Przeształcenie Laplace a 1.1 Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a Zadanie 1 (a) + 4 s (b) 4 + 1 s+ 1 (c) 6 + 1 s + 1 s 3 (d) s + 4 + s (e) 4 s 4 s 3 + 1 s (f) s s + 1 + s 1 3 1 s+ 1 (g) 1 s + 4 s (h) s 0.5 1 s + 1 s (i) 3 s + s 6 + 5 + s +4 (j) 1 s+ 1 3 3 s + 3 + 1 s s s +16 () s 3 + 1 s 3 s (l) 4 s + 1 s + 3 Zadanie (a) s s e 5s (b) s 1 s e 5s + 1 s e 7s (c) 3 s e s 3 s e 3s 3 s e 8s (d) 3 s 1 e s 1 e 4s Zadanie 3 3
(a) e 1 3 t (b) 1 + 11 3 3 e 3t (c) 1 t + 3 + 9 4 4 e t (d) sin(4t) (e) 5 t e 3t (f) 1 t 4 e 1 t + 1 4 e 1 t (g) 4 sin(t) e t (h) cos(4t) (i) 9 8 e 1 t + 1 8 e 3 t (j) 3 t + e 3 t + 5 e 1 t ( 5 t + 5) 3 1. Rozwiazywanie równań różniczowych Zadanie 4 (a) t 3 + 4 e 1 3 t (b) e t e 3t (c) t + 13 4 3 9 9 e 3 t (d) t 1 + 19 3 9 9 e 3 t (e) 1 t 1 + 5 et (f) t e t + 1 e t + 1 (g) 1 t + et 1 (h) t + 8 15 e 1 4 t (i) 1 sin(t) e t 1 cos(t) e t + 1 (j) 1 cos( 15 4 t) e 1 4 t + 15 30 sin( 15 4 t) e 1 4 t + 1. Modelowanie uładów fizycznych.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia Zadanie 1 (a) m z(t) + (1 + ) z(t) = F (t) (b) m v(t) + c v(t) + v(t) = u(t) (c) c v(t) v(t) = b a u(t) (d) J ϕ(t) + c ϕ(t) + ϕ(t) = M(t) Zadanie (a) U we (t) = U wy (t) ( ) R1+R R (b) U we (t) = C R U wy (t) + U wy (t) (c) U we (t) = L R U wy (t) + U wy (t) (d) U we (t) = L q(t) + R q(t) + 1 C q(t) 4
Zadanie 3 Zadanie 4. Wyznaczanie transmitancji operatorowej Zadanie 5 Zadanie 6 Zadanie 7 Zadanie 8. Rozwiazywanie równań różniczowych opisujacych ułady fizyczne Zadanie 9 3. Schematy bloowe 3.1 Tworzenie schematów bloowych Zadanie 1 3. Upraszczanie schematów bloowych opisujacych Zadanie 4. Charaterystyi uładów fizycznych 4.1 Charaterystyi czasowe Zadanie 1 Zadanie Zadanie 3 4. Charaterystyi częstotliwościowe Zadanie 4 Zadanie 5 5. Stabilność uładów automatycznej regulacji 6. Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji 5