Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003

Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w teorii mnogości" oraz kilka zadań dodatkowych, które nie zostały omówione z braku czasu. Zadania podzielone zostały na trzy kategorie: zadania zwykłe, które każdy uczestnik ćwiczeń powinien umieć rozwiązać. zadania trudniejsze, oznaczone symbolem. Przeznaczone są one dla osób zainteresowanych, niekoniecznie związane są bezpośrednio z tematyką wykładu, lecz do ich rozwiązania nie potrzeba dodatkowej wiedzy. zadania bardzo trudne, oznaczone symbolem. Przeznaczone są dla osób szczególnie zainteresowanych teorią mnogości. Przyznaję, że najczęściej nie znam ich rozwiązania używającego tylko wiedzy z naszego wykładu. 1

Spis treści 1 Liczby porzadkowe 3 2 Liczby kardynalne 4 3 Hierarchia von Neumanna 5 4 Absolutność 7 5 Modele dla teorii mnogości 9 6 Niezależność aksjomatu ufundowania 11 7 Rozszerzenia generic 11 8 Lemat o -systemach 11 9 Forcing i algebry Boole a 12 10 Forcing ameba 14 11 Dominowanie funkcji 14 12 Produkty i iteracje 15 13 Aksjomat Martina 16 14 Własność c.c.c. 17 2

1 Liczby porzadkowe Definicja 1.1. Zbiór z nazwiemy zbiorem przechodnim, jeżeli x, y x y z x z. Zad. 1.1. Sprawdź, że następujące warunki są równoważne: x jest przechodni, x x, x P(x). Zad. 1.2. Wykaż, że następujące zbiory są przechodnie:, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}. Definicja 1.2. Liczbą porządkową nazwiemy zbiór α, który jest przechodni i dobrze uporządkowany przez relację α = { x, y α α : x y}. Będziemy pisać α On dla oznaczenia faktu, że α jest liczbą porządkową. Jeżeli α, β On, to powiemy, że α < β, gdy α β. Zad. 1.3. Wykaż, że każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową. Zad. 1.4. Wykaż, że jeżeli α, β są liczbami porządkowymi oraz α β, to α jest odcinkiem początkowym w β. Zad. 1.5. Wykaż, że jeżeli α, β On to α β α β. Zad. 1.6. Wykaż, że jeżeli α jest liczbą porządkową, to α {α} jest liczbą porządkową, która jest bezpośrednim następnikiem α. Zad. 1.7. Wykaż (nie odwołując się do aksjomatu ufundowania/regularności), że jeżeli α On, to α α. Zad. 1.8. Niech α, β będą liczbami porządkowymi. Wykaż, że zachodzi dokładnie jeden z przypadków: α β β α α = β. Zad. 1.9. Wykaż, że każdy dobry porządek jest izomorficzny z dokładnie jedną liczbą porządkową. Zad. 1.10. Wykaż, że jeżeli X jest dowolnym zbiorem liczb porządkowych, to X jest liczbą porządkowa. Ponadto zauważ, że X = sup X. 3

2 Liczby kardynalne Definicja 2.1. Liczbą kardynalną nazywamy liczbę porządkową, która nie jest równoliczna z żadną mniejszą liczbą porządkową. Zad. 2.1. Wykaż, że istnieje najmniejsza nieprzeliczalna liczba kardynalna (oznaczana symbolem ω 1 ). Wykaż, że każda liczba kardynalna ma bezpośredni następnik. Zad. 2.2. Dla nieskończonej liczby porządkowej α zdefiniujmy ℵ(α) = sup{ot( α, ) : dobry porządek na α}, gdzie "ot" oznacza typ porządkowy dobrego porządku, czyli jedyną liczbę porządkową z nim izomorficzną. Udowodnij, że ℵ(α) jest najmniejszą liczbą kardynalną większą od α. Zad. 2.3. Wykaż, że supremum dowolnego zbioru liczb kardynalnych jest liczbą kardynalną. Zad. 2.4. Udowodnij, że dla dowolnej liczby kardynalnej κ ω zachodzi κ κ = κ. Definicja 2.2. Niech x ξ : ξ < η, η Lim będzie rosnącym ciągiem liczb porządkowych. Powiemy, że γ = lim x ξ : ξ < η, gdy γ = sup{x ξ : ξ < η}. Dla α Lim definiujemy cf(α) = min{η Lim : x ξ : ξ < η α lim x ξ : ξ < η = α}. Zad. 2.5. Zauważ, że cf(α) jest dobrze określona oraz że cf(α) α. Zad. 2.6. Niech α Lim. Wykaż, że cf(α) jest równa min{η Lim : x ξ : ξ < η ξ < η x ξ α sup{x ξ : ξ < η} = α}. Zad. 2.7. Wykaż, że jeżeli α Lim, to cf(α) Card. Zad. 2.8. Wykaż, że dla κ Card cf(κ) = min{ A : A [κ] <κ A = κ}. 4

Zad. 2.9. Wykaż, że cf(ω α ) = cf(α). Definicja 2.3. Powiemy, że liczba kardynalna κ jest: regularna, jeśli cf(κ) = κ, singularna, jeśli cf(κ) < κ. Zad. 2.10. Zauważ, że: ω jest regularna, ω 1 jest regularna, dla dowolnego κ Card liczba κ + jest regularna. Podaj przykład liczby singularnej. Zad. 2.11. Udowodnij, że cf(2 ω ) > ω. Zad. 2.12. ( ) Udowodnij, że dla dowolnego κ Card zachodzi cf(2 κ ) > κ. Zad. 2.13. Wykaż, że następujące warunki są równoważne dla nieprzeliczalnej regularnej κ Card: H(κ) = ZFC, H(κ) = R κ, κ jest silnie nieosiągalna. 3 Hierarchia von Neumanna Definicja 3.1. Hierarchię von Neumanna definiujemy następująco: R 0 =, R α+1 = P(R α ), R β = α<β R α dla β Lim. Zad. 3.1. Wykaż, że dla dowolnego α On zbiór R α jest przechodni. Zad. 3.2. Wykaż, że jeżeli α < β, to R α R β. 5

Definicja 3.2. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego rangę następująco: rank(x) = min{α On : x R α+1 }. Zad. 3.3. Udowodnij, że dla dowolnego zbioru x rank(x) = sup{rank(y) + 1 : y x}. Zauważ, że y x rank(y) < rank(x) oraz, że rank(α) = α dla α On. Zad. 3.4. Udowodnij, że dla dowolnej liczby porządkowej α R α = {x : rank(x) < α}. Zad. 3.5. Udowodnij na gruncie pozostałych aksjomatów, że aksjomat ufundowania (regularności) jest równoważny zdaniu x α On x R α. Definicja 3.3. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego domknięcie przechodnie trcl(x) następująco: T 0 = x, T n+1 = T n, trcl(x) = n ω T n. Zad. 3.6. Wykaż, że trcl(x) jest najmniejszym zbiorem przechodnim zawierającym x. Definicja 3.4. Dla κ Card definiujemy: H(κ) = {x : trcl(x) < κ}. Zad. 3.7. Wykaż, że dla każdego κ Card H(κ) jest zbiorem przechodnim. Zauważ, że H(ω) = R ω. 6

4 Absolutność Definicja 4.1. Dla zbioru (lub klasy) M i formuły ϕ definiujemy relatywizację ϕ do M, oznaczaną ϕ M, następująco: ( ϕ) M = (ϕ M ), (ϕ ψ) M = ϕ M ψ M, ( x ϕ) M = x M ϕ M. Innymi słowy, ϕ M powstaje z ϕ przez ograniczenie wszystkich kwantyfikatorów do M. Definicja 4.2. Niech M N będą zbiorami lub klasami. Powiemy, że formuła ϕ o n zmiennych wolnych jest absolutna względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w górę względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w dół względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ N (a 1,..., a n ) ϕ M (a 1,..., a n ). Powiemy, że ϕ jest absolutna (absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, jeżeli jest absolutna (odpowiednio: absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, V. Definicja 4.3. Formuła ϕ jest formułą klasy 0, jeżeli wszystkie kwantyfikatory w ϕ są ograniczone zmiennymi tej formuły, czyli są postaci x y lub x y, gdzie y jest zmienną naszej formuły. Formuła ϕ jest klasy Σ 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Formuła ϕ jest klasy Π 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Zad. 4.1. Wykaż, że: 7

formuły 0 są absolutne dla modeli przechodnich, formuły Σ 1 są absolutne w górę dla modeli przechodnich, formuły Π 1 są absolutne w dół dla modeli przechodnich. Zad. 4.2. Zauważ, że aksjomaty ekstensjonalności i ufundowania można zapisać w postaci Π 1. Zad. 4.3. Wykaż, że następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x y, z = {x, y}, z = x, y, y = x, x jest parą uporządkowaną, x jest funkcją x jest funkcją różnowartościową, x jest funkcją na y, x jest przechodni, x On, x = ω, x ω, R dobrze porządkuje x. Zad. 4.4. Sprawdź, czy następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x Card, x = ω 1, x = 2 ω, y = P(x). 8

5 Modele dla teorii mnogości Zad. 5.1. Zauważ, że na gruncie pozostałych aksjomatów aksjomat wyróżniania wynika z aksjomatu zastępowania. Zad. 5.2. Zauważ, że istnieje najmniejszy zbiór induktywny, tzn. taki zbiór induktywny, który jest zawarty w każdym innym zbiorze induktywnym. Zad. 5.3. Które z następujących aksjomatów ZFC: aksjomat zbioru pustego, aksjomat ekstensjonalności, aksjomat pary, aksjomat sumy, aksjomat zbioru potęgowego są spełnione w R, <? Zad. 5.4 (Lemat Mostowskiego o kolapsie). Niech N, E będzie strukturą ufundowaną spełniającą aksjomat ekstensjonalności. Udowodnij, że istnieje zbiór przechodni M taki, że struktura M, jest izomorficzna z N, E. Zad. 5.5. Zauważ, że z zadania 5.4 wynika łatwo zadanie 1.9. Zad. 5.6. Wytłumacz różnicę pomiędzy założeniem ufundowania relacji E w zadaniu 5.4, a założeniem, że N, E spełnia aksjomat ufundowania. Zad. 5.7. ( ) Zakładając Con(ZFC) wykaż, że istnieje model N, E = ZFC, który nie jest izomorficzny z żadnym modelem postaci M, dla M przechodniego. Zad. 5.8. Dla zadanego skończonego fragmentu T ZFC skonstruuj przeliczalny model przechodni M, = T. Zad. 5.9. ( ) Znajdź błąd w poniższym paradoksalnym rozumowaniu: Niech T będzie skończonym fragmentem ZFC oraz niech ϕ będzie koniunkcja T. Z twierdzenia o refleksji istnieje α On taka, że R α = ϕ, zatem T jest niesprzeczny. Z twierdzenia o zwartości wiemy, że skoro dowolny skończony fragment ZFC jest niesprzeczny to cała teoria ZFC jest niesprzeczna. Zatem pokazaliśmy niesprzeczność ZFC, co przeczy twierdzeniu Goedla. 9

Zad. 5.10. Wykaż, że R ω = ZFC Inf + Inf. Zad. 5.11. Wykaż, że jeżeli M jest przechodnim modelem dla ZFC Inf, to M, = Inf wtedy i tylko wtedy, gdy ω M. Zad. 5.12. Wykaż, że dla dowolnej granicznej liczby porządkowej α > ω, zbiór R α jest modelem dla ZFC Schemat Zastępowania. Definicja 5.1. Liczbę kardynalną κ > ω nazwiemy nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz graniczna, tzn. λ < κ λ + < κ, silnie nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz silnie graniczna, tzn. λ < κ 2 λ < κ. Zad. 5.13. Wykaż, że dla dowolnego λ Card istnieje silnie graniczna liczba kardynalna κ > λ. Zad. 5.14. Wykaż, że jeżeli κ jest silnie nieosiągalna, to R κ = ZFC. Zad. 5.15. Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad. 5.16. Wykaż, że ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad. 5.17. Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba nieosiągalna"). Możesz powołać się na fakt, że Zad. 5.18. ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + GCH). ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba nieosiągalna"). 10

6 Niezależność aksjomatu ufundowania Symbol ZFC oznacza teorię mnogości bez aksjomatu ufundowania. Zad. 6.1. Udowodnij, że Zad. 6.2. ( ) Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC). Con(ZFC ) Con(ZFC + FA), gdzie FA oznacza aksjomat ufundowania. Zad. 6.3. ( ) Dla zbioru x zdefiniujmy x = {y x : z x y z}. Niech ϕ będzie zdaniem: istnieje zbiór przechodni x taki, że x nie jest przechodni. Zauważ, że ZFC ϕ; Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC + ϕ). 7 Rozszerzenia generic Zad. 7.1. Udowodnij, że jeżeli P M jest rozdzielczym pojęciem forcingu a filtr G P jest P -generic nad M, to M M[G]. Zad. 7.2. Napisz nazwy na {x, y} oraz x, y mając dane nazwy ẋ, ẏ dla x, y M[G]. Zad. 7.3. Napisz nazwę na P(x) mając daną nazwę ẋ dla x M[G]. 8 Lemat o -systemach Definicja 8.1. Rodzinę zbiorów A nazwiemy -systemem, jeżeli istnieje zbiór r taki, że a, b A a b a b = r. Zad. 8.1 ( -lemat). Wykaż, że każda nieprzeliczalna rodzina zbiorów skończonych zawiera nieprzeliczalny -system. 11

9 Forcing i algebry Boole a Definicja 9.1. Podzbiór A przestrzeni topologicznej nazwiemy zbiorem regularnym otwartym, jeżeli A = int(ā). Zad. 9.1. Wykaż, że dla dowolnego podzbioru A przestrzeni topologicznej zbiór int(ā) jest regularny otwarty. Zad. 9.2. Wykaż, że rodzina zbiorów regularnych otwartych przestrzeni topologicznej X z następującymi działaniami: A B = A B, A + B = int(a B), A = X \ Ā jest zupełną algebrą Boole a. Zauważ, że porządek w tej algebrze Boole a to zwykła inkluzja. Od teraz zakładamy, że każdy forcing jest rozdzielczy, tzn. spełnia warunek: p, q p q r p r q. Zad. 9.3. Zauważ, że forcing rozdzielczy w powyższym sensie i nie mający elementów minimalnych spełnia warunek p q, r < p q r. Definicja 9.2. Na pojęciu forcingu P, definiujemy topologię τ P, której bazą jest rodzina {[p] : p P }, gdzie [p] = {q P : q p}. Zad. 9.4. Sprawdź, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., że rodzina {[p] : p P } jest bazą pewnej topologii. Zad. 9.5. Sprawdź, że zbiory postaci [p] są regularne otwarte w topologii τ P. Zad. 9.6. Sprawdź, że funkcja p [p] jest zanurzeniem P na gęsty podzbiór algebry Boole a zbiorów regularnych otwartych w τ P. Zad. 9.7. Zauważ, że dla każdej algebry Boole a B istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu zupełna algebra Boole a B, taka, że B jest jej gęstą podalgebrą. 12

Definicja 9.3. Niech M = ZFC. Powiemy, że pojęcia forcingu P, Q M są równoważne: dla dowolnego filtru G P P -generic nad M istnieje filtr G Q Q-generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ], dla dowolnego filtru G Q Q-generic nad M istnieje filtr G P P -generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ]. Uwaga. Tak zdefiniowana równoważność forcingów zależy oczywiście a priori od M. Wszelkie założenia związane z tym pojęciem dotyczące własności forcingów należy interpretować wewnątrz M. W szczególności w zadaniu 9.13 zakładamy, że w M spełnione jest, że interesujące nas forcingi sa przeliczalne. Zad. 9.8. Wykaż, że jeżeli P, jest pojęciem forcingu a Q zbiorem gęstym w P, to Q, Q Q jest pojęciem forcingu równoważnym P,. Zad. 9.9. Wykaż, że każde dwa przeliczalne, liniowe porządki gęste bez końców są izomorficzne. Zad. 9.10. Wykaż, że każde dwie przeliczalne bezatomowe algebry Boole a są izomorficzne. Zad. 9.11. Wykaż, że każde dwa zupełne liniowe gęste porządki liniowe bez końców zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad. 9.12. Wykaż, że każde dwie zupełne bezatomowe algebry Boole a zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad. 9.13. Wykaż, że każde dwa przeliczalne pojęcia forcingu są równoważne. Zad. 9.14. Wykaż, że następujące pojęcia forcingu są równoważne: C = 2 <ω,, algebra ilorazowa Bor(2 ω )/M, gdzie M oznacza rodzinę zbiorów I kategorii Baire a w 2 ω. Definicja 9.4. Dla bezatomowej zupełnej algebry Boole a B definiujemy ϕ( x 1,..., x n ) B = {b B : b ϕ( x 1,..., x n )}. Zad. 9.15. Niech M = ZFC, M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a." Niech G będzie filtrem B-generic nad M. Sprawdź, że M[G] = ϕ(x 1,..., x n ) ϕ( x 1,..., x n ) B G. 13

10 Forcing ameba Definicja 10.1. Forcing ameba to rodzina otwartych podzbiorów 2 ω miary mniejszej od 1 z porządkiem U V U V. 2 Zad. 10.1. Zauważ, że w przestrzeni 2 ω jest tylko przeliczalnie wiele podzbiorów otwarto-domkniętych. Definicja 10.2. Mówimy, że forcing P jest σ-linked, jeżeli P = n ω P n, gdzie każdy zbiór P n składa się z elementów parami niesprzecznych. Zad. 10.2. Zauważ, że każdy σ-linked forcing ma własność c.c.c.. Zad. 10.3. Sprawdź, że forcing ameba jest σ-linked. 11 Dominowanie funkcji Definicja 11.1. Dla f, g ω ω powiemy, że f g, gdy m ω n > m f(n) g(n). b = min{ A : A ω ω g ω ω f A f g}. d = min{ A : A ω ω g ω ω f A g f}. Zad. 11.1. Rozważmy następującą własność algebry Boole a: ( ) a nm = 1 a nm = 1. n ω m ω n ω f ω ω m<f(n) Załóżmy, że M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a o własności. Niech G będzie B-generic nad M. Wykaż, że: f ω ω M[G] g ω ω M f g. Zad. 11.2. Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność, gdzie N oznacza rodzinę podzbiorów [0, 1] miary zewnętrznej 0. Zad. 11.3. Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność c.c.c.. 14

Zad. 11.4. Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/M dodaje liczbę nieograniczoną, tzn. istnieje nazwa f taka, że g ω ω Wskazówka: skorzystaj z zadań 9.13 i 9.14. 1 f ǧ. Zad. 11.5. Wykaż, że algebra C = Bor([0, 1])/M nie dodaje liczby dominującej, tzn. jeżeli G jest C-generic nad M, to f M[G] ω ω g M ω ω g f. Definicja 11.2. Symbol C ω2 oznacza standardowy forcing dodający ω 2 liczby Cohena, tzn. C ω2 = {p p : dom(p) 2 dom(p) [ω 2 ] <ω }. Porządkiem w zbiorze C ω2 jest odwrotna inkluzja, tzn. funkcja jest warunkiem silniejszym od wszystkich swoich obcięć. Zad. 11.6 (Lemat Hausdorffa). Wykaż, że dla dowolnych κ, λ Card (κ + ) λ = κ λ κ +. Zad. 11.7. Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = c = ω2. Zad. 11.8. Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = b = ω1. Zad. 11.9. Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = d = ω2. Zad. 11.10. ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + ω 1 = d < c = ω 2 ). 12 Produkty i iteracje Zad. 12.1. Niech M = ZFC będzie przeliczalnym modelem przechodnim, P M - pojęciem forcingu, G - filtrem P -generic nad M. Wykaż, że zbiór G G nie jest P P -generic nad M. Zad. 12.2. Wykaż, że C C C C Ċ, gdzie C to forcing Cohena 2<ω, a oznacza równoważność forcingów w sensie definicji 9.3. Niech B oznacza algebrę Bor([0, 1])/N. Zad. 12.3. ( ) Wykaż, że B Ḃ B. Zad. 12.4. ( ) Wykaż, że B B B. 15

13 Aksjomat Martina Zad. 13.1. Wykaż, że: MA(ω) MA(c) Zad. 13.2. Zauważ, że CH MA. Ponadto zauważ, że założenie o własności c.c.c. częściowego porządku nie jest istotne przy założeniu CH. Podaj przykład pojęcia forcingu P i rodziny F mocy ω 1 złożonej z gęstych podzbiorów P takiej, że nie istnieje filtr P -generic nad F. Wywnioskuj z powyższego przykładu, że przy założeniu CH założenie o własności c.c.c. jest w MA istotne (tzn. wersja bez założenia c.c.c. jest sprzeczna z ZFC + CH). Zad. 13.3. Wykaż, że MA(κ) jest równoważny MA(κ) ograniczonemu do porządków c.c.c. mocy κ. Definicja 13.1. Dla n ω oraz f ω ω definiujemy n, f = {g ω ω : g n = f n i ω f(i) g(i)}. Warunkami forcingu "dominating" D są zbiory n, f dla n ω oraz f ω ω ; porządkiem jest inkluzja (tzn. mniejszy zbiór jest warunkiem silniejszym). Zad. 13.4. Wykaż, że n 1, f 1 n 2, f 2 wtedy i tylko wtedy, gdy n 2 n 1, i ω f 2 (i) f 1 (i) oraz f 1 n 2 = f 2 n 2. Definicja 13.2. Powiemy, że forcing P jest σ-scentrowany, gdy P = n P n, gdzie każdy P n jest scentrowany, tzn. p, q P n r P n r p, q. Zad. 13.5. Zauważ, że każdy σ-scentrowany forcing ma własność c.c.c. Zad. 13.6. Udowodnij, że forcing D jest σ-scentrowany. Zad. 13.7. Wykaż, że MA b = c. 16

Zad. 13.8. Wykaż, że przy założeniu MA zbiór R nie jest sumą mniej niż c zbiorów pierwszej kategorii Baire a. Zad. 13.9. Wykaż, że przy założeniu MA zbiór [0, 1] nie jest sumą mniej niż c zbiorów miary Lebesgue a zero. Zad. 13.10. Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R miary Lebesgue a zero jest miary Lebesgue a zero. Zad. 13.11. ( ) Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R pierwszej kategorii jest pierwszej kategorii. 14 Własność c.c.c. Definicja 14.1. Powiemy, że przestrzeń topologiczna ma własność c.c.c., jeżeli nie istnieje w niej nieprzeliczalna rodzina zbiorów otwartych parami rozłącznych. Zad. 14.1. Wykaż, że dla dowolnego κ Card przestrzeń 2 κ na własność c.c.c.. Zad. 14.2. Wykaż, że jeżeli produkt dowolnych dwóch przestrzeni topologicznych c.c.c. jest c.c.c., to produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c.. Zad. 14.3. Wykaż, że przy założeniu MA w dowolna przestrzeń c.c.c. spełnia następujący warunek: W dowolnej nieprzeliczalnej rodzinie zbiorów otwartych istnieje nieprzeliczalna podrodzina o własności skończonych przecięć (tzn. każda jej skończona podrodzina ma niepuste przecięcie). Zad. 14.4. Wykaż, że przy założeniu MA produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c. (wskazówka: skorzystaj z zadania 14.2). Zad. 14.5. Wykaż, że własność "P jest pojęciem forcingu o własności c.c.c." nie jest absolutna dla przechodnich modeli ZFC (wskazówka: rozważ drzewo Suslina). 17