Problem zarządzania produkcją i zapasami Wykorzystamy zasadę optymalności Bellmana do poradzenia sobie z zarządzaniem zapasami i produkcją w określonym czasie z punktu widzenia istniejącego i mogącego się zmieniać z okresu na okres (gdzie okresem nazywamy przyjęte etapy np.: dni, tygodnie, miesiące itp.): Popytu na określony produkt, Ograniczonych zdolności produkcyjnych danych produktów Zdolności magazynowania tych produktów Zadanie 1 Ze wstępnej analizy możliwości i celowości uruchomienia nowej produkcji wynika, że dane przedsiębiorstwo w ciągu czterech miesięcy powinno pokryć zapotrzebowanie na dany produkt, przy następujących założeniach: Zapotrzebowanie na produkt w każdym miesiącu wynosi 3 jednostki Jeżeli zaistnieje taka konieczność, w każdym miesiącu zakład może uruchomić produkcję tego
produktu. Koszt uruchomienia produkcji wynosi 13 tys. zł Moce produkcyjne zakładu wynoszą 5 jednostek Koszty wytwarzania kolejnych jednostek są zróżnicowane i wynoszą: pierwszej jednostki 3 tys. zł, drugiej 2, trzeciej i czwartej po 1, piątej 4 Zapas na początek stycznia i końcu kwietnia wynosi 0 Koszty magazynowania jednej jednostki wynoszą 2 tys. zł Pojemność magazynu wynosi 4 jednostki Rozwiązanie: Jednocześnie rozwiążemy zadania przy pomocy zaawansowanych funkcji pakietu Excel Zacznijmy od wyznaczenia kosztów produkcji Nie produkowanie żadnego produktu nie będzie kosztować nas nic, więc: x 0 k(x) 0 Gdzie: x ilość wyprodukowanych produktów
k(x) koszty wyprodukowanie danej ilości produktów Wyprodukowanie pierwszej jednostki produktu, będzie nas kosztować 3 tys. zł, ale należy pamiętać, że sam koszt uruchomienia linii produkcyjnej to 13 tys. zł, więc x 0 1 k(x) 0 13+3=16 czyli wyprodukowanie jednej sztuki produktu będzie nas kosztować 16 tys. zł. Wyprodukowanie następnej kosztuje nas dodatkowo 2 tys. zł, czyli: x 0 1 2 k(x) 0 16 16+2=18 czyli wyprodukowanie 2 sztuk kosztuje nas 18 tys. zł. Idąc tym tropem koszty wyprodukowanie poszczególnej liczby produktów to: x 0 1 2 3 4 5 k(x) 0 16 18 18+1=19 19+1=20 20+4=24 Jak zawsze zacznijmy analizę od końca, czyli określmy możliwe kombinacje zapasów i produkcji w kwietniu, a co za tym idzie odpowiednie jej koszty, czyli tą wartość, którą chcemy minimalizować.
Oznaczmy s 3 jako zapas na koniec marca, x 4 jako liczbę wyprodukowanych jednostek produktu w kwietniu, a C 4 jako koszty całkowite minimalne w kwietniu. Jeśli na koniec marca w magazynie nie będzie zapasu, czyli s 3 =0 to musi wyprodukować 3 jednostki naszego produktu, ponieważ takie jest miesięczne zapotrzebowanie. Jednocześnie wracając do naszej tabeli kosztów, wiemy, że wyprodukowanie 3 produktów, będzie nas kosztować 19 tys. zł. Jako, że nie poniesiemy już żadnych kosztów magazynowania, bo stan zapasów na koniec kwietnia ma wynosić 0, to koszty produkcji w kwietniu, są równe kosztom całkowitym w kwietniu. Zapiszmy to w tabelce. s 3 x 4 C 4 0 3 19 Jeśli w marcu stan magazynu był równy 1, to musimy wyprodukować 2 sztuki, więc s 3 x 4 C 4 0 3 19 1 2 18
Analogicznie, przy stanie 2 i 3 produkty. UWAGA! Mimo, że nasz magazyn ma pojemność 4 jednostki, to w marcu nie może zostać zapas na poziomie 4 jednostek, ponieważ popyt na nasz produkt jest równy 3, a na koniec kwietnia magazyn ma być pusty. s 3 x 4 C 4 0 3 19 1 2 18 2 1 16 3 0 0
Przeanalizujmy teraz łącznie kwiecień i marzec. W marcu koszty całkowite, to koszty produkcji, ale też koszty magazynowania, które równają się po 2 tys. zł za każdą jednostkę produktu. Załóżmy, że stan magazynu pod koniec lutego to 0. Oznacza to, że w marcu możemy wyprodukować 3, 4 lub 5 jednostek produktu. Czyli np. wyprodukowanie 3 jednostek w marcu będzie nas kosztować 19 tys. zł za produkcję, oraz 0 zł za magazynowanie, ponieważ tyle wynosi popyt. Pamiętajmy, że analizujemy łącznie marzec i kwiecień, czyli 19+0+19, gdzie ta trzecia 19 odpowiada kosztom całkowitym z kwietnia, przy produkcji 3 sztuk wyrobu. Jeśli byśmy wyprodukowali 5 sztuk w marcu, oznacza to, że w magazynie zostałoby 2 sztuki na kwiecień, czyli koszty magazynowania wynoszą 2 tys. zł razy 2, czyli 4 tys. zł. Wyprodukowanie 5 sztuk kosztuje nas 24 tys. zł. W związku z tym koszty łączne dla marca i kwietnia wynoszą 24+4+16.
Analogicznie postępujemy dla reszty przypadków, czyli s 2 x 3 0 1 2 3 4 5 C 3 x 3 0 - - - 19+0+19=38 20+2+18=40 24+4+16=44 38 3 1 - - 37 39 40 30 30 5 2-35 38 39 26-26 4 3 19 36 38 25 - - 19 0 4 20 36 24 - - - 20 0 UWAGA! Pamiętajmy, że C jest to minimalny koszt, w związku z tym wybieramy najmniejszy koszt ze wszystkich znajdujących się w jednym rzędzie. Np. dla s 2 =0 najmniejszą wartością będzie 19+0+19=38.
Wynikiem tej analizy są np. 38 dla stanu 0 sztuk pod koniec lutego w magazynie, 19 dla poziomu 3 sztuki itd. Następnie przeprowadźmy analizę łącznie dla lutego, marca i kwietnia. Weźmy stan magazynu na koniec stycznia wynoszący 2 sztuki, oznacza to, że możemy wyprodukować 1, 2, 3, 4, 5 sztuk produktu. Np., weźmy kombinacje 2 sztuk zapasu na koniec stycznia i produkujemy 3 sztuki w lutym. Koszty będą kształtowały się następująco: wyprodukowanie 3 sztuk produktu to 19, magazynowanie 2 sztuk, bo tyle nam zostanie (sprzedamy 2 stare sztuki z stycznia,
sprzedamy jedną nową z lutego, więc w magazynie pod koniec lutego zostaną 2 sztuki produktu) oraz koszty z marca i kwietnia, gdy w magazynie pod koniec lutego zostały 2 sztuki dobra, czyli C 3 =26. Podsumowując koszty mamy 19+4+26=49. s 1 x 2 0 1 2 3 4 5 C 2 x 2 0 - - - 57 52 54 52 4 1 - - 56 51 50 49 49 5 2-54 50 19+4+26=49 45 52 45 4 3 38 48 48 44 48-38 0 4 32 46 43 47-32 0
Teraz ostatnia tabelka, czyli wszystkie miesiące: styczeń, luty, marzec i kwiecień. Tu sytuacja
analogiczna, tylko zapas początkowy w styczniu równa się 0, czyli będzie tylko jeden wiersz. s 0 x 1 0 1 2 3 4 5 C 1 x 1 0 - - - 19+0+52=71 20+2+49=71 73 71 3 i 4
Optymalny ciąg decyzji dla czterech miesięcy wyznaczamy, rozpoczynając analizę od ostatniej tabelki. Minimalny koszt poniesiony w ciągu czterech miesięcy wynosi 71 tys. zł. Zgodnie z ostatnią tabelką, koszt ten poniesiono przy wyprodukowaniu w styczniu 3 lub 4 sztuk produktu. Oznacza to, że istnieją dwie optymalne kombinacje wytwarzanej liczby produktów. Jeżeli przyjmiemy, że w styczniu wyprodukujemy 3 sztuki wyrobu to zapas pod koniec lutego będzie równy 0 (0+3-3=0). Według trzeciej tabelki gdy zapas pod koniec stycznia będzie równy 0 to w lutym należy wyprodukować 4 sztuki wyrobu, czyli zapas pod koniec lutego będzie równy 1 (0+4-3=1). Według trzeciej tabelki gdy zapas pod koniec lutego będzie równy 1 to w marcu należy wyprodukować 5 sztuk wyrobu, czyli zapas pod koniec marca będzie równy 3 (1+5-3=3). Według czwartej tabelki gdy zapas pod koniec marca będzie równy 3 to w kwietniu należy wyprodukować 0 sztuk wyrobu, czyli zapas pod koniec kwietnia będzie równy 0 (3+0-3=0).
Zgodnie z powyższą analizą przedsiębiorstwo powinno produkować: w styczniu 3 jednostki w lutym 4 jednostki w marcu 5 jednostek w kwietniu 0 jednostek.