LKTRYKA 05 Zest 3 (35) Rok LXI Bogusław BUTRYŁO Agneska COROSZUCO Katedra lektrotehnk Teoretne Metrolog Poltehnka Bałostoka MODLOWANI ZJAWISK LKTROMAGNTYCZNYC W KONSTRUKCJAC BUDOWLANYC Z ZASTOSOWANIM NIJAWNJ MTODY RÓŻNICOWJ Stresene. W pra apreentowano opraowan algortm metod różn skońonh w dedne ęstotlwoś (FDFD). Zaproponowana konepa realaa algortmu powala na segółową analę awsk wąanh propagaą fal elektromagnetnh w akrese ęstotlwoś komunka beprewodowe w konstrukah budowlanh uwględnenem stratnoś materałów. Dęk uwględnenu tehnk h-adapta satk różnowe algortm est prstosowan do obleń układów duże skal. Na prkłade modelu testowego fragmentem konstruk budowlane wkaano poprawność dałana algortmu pre werfkaę wnków obleń reultatam otrmanm a pomoą metod FDTD ora FM. Słowa kluowe: pole elektromagnetne modelowane numerne metoda różn skońonh propagaa fal w ośrodkah neednorodnh materał budowlane NUMRICAL MODLING OF LCTROMAGNTIC FILDS IN LARG SCAL BUILDING STRUCTURS USING IMPLICIT DIFFRNC SCM Summar. The paper presents the developed algorthm of the fnte-dfferene frequen-doman method (FDFD). The proposed onept and realaton allows for detaled analss of the phenomena related to the propagaton of eletromagnet waves n the range of frequen used b wreless ommunaton sstems n buldng strutures. The developed algorthm also takes nto aount the lossness of buldng materals. The algorthm s sutable for large-sale omputaton sstems b takng nto aount h- adaptaton tehnque of the dfferental mesh. Usng the eample of model wth omple struture the orretness of the developed algorthm was proved b verfng alulaton results wth those obtaned b FDTD and FM methods. Kewords: eletromagnet felds numeral modellng fnte dfferene method wave propagaton nsde non-homogeneous materals buldng materals
88 B. Butrło A. Chorosuho. WPROWADZNI Zastosowane metod modelowana numernego est sególne uasadnone w prpadku tehnolog lokalnh se beprewodowh ora pr proektowanu oene warunków pra układów welkh ęstotlwoś (np. W-F). Z użem dobranh algortmów numernh możlwe est ropatrene welu awsk wąanh propagaą oddałwanem fal elektromagnetnh. W prpadku rewsth układów też agadneń o łożone geometr strukture materałowe stosowane prblżeń analtnh ora prosth metod proektowh ne nadue astosowana e wględu na wprowadane uprosena. Prkładem łożonh układów duże skal są agadnena propaga fal elektromagnetnh w konstrukah budowlanh. Wstępuąe awska falowe (m.n. nterferene dfrake odba) są powodowane pre tr nnk o różne skal:. ogólną geometrą układu wnkaąą romesena śan słupów drw powąaną e różnowanem materałowm elementów konstruk;. wewnętrną konstruką posególnh elementów w którh mogą wstępować element modfkuąe rokład pola (np. perforae broene kanał wentlane); 3. neednorodność w skal makroskopowe struktur stosowanh materałów (mesann składnków o różnh właśwośah). W ramah tworonh metod numernh możlwe est bepośredne uwględnene dwóh perwsh nnków. Wmar elementów wmenonh w th grupah są porównwalne długośą fal elektromagnetnh stosowanh w sstemah komunka beprewodowe []. fektwne oblane struktur o take skal różnowana może bć realowane użem metod bauąh na fe falowe lub (rade) modelah fk optne [ 6 ]. Nasere stosowana bauąa na fe falowe metoda różn skońonh bepośrednm ałkowanem równań Mawella w dedne asu (FDTD ang. fnte-dfferene tme-doman) wmaga ednak długotrwałh welokrokowh obleń układów duże skal ponaą od obleń stanu neustalonego. Jawn harakter shematu asowego prowad do konstruk algortmu warunkowo-stablnego. Dodatkowo błęd prblżeń obleń w stane neustalonm mogą sę prełożć na wstąpene dodatkowh artefaktów obserwowanh w hwlowh rokładah pola wnaanh w stane ustalonm. Alternatwnm rowąanem poostae sformułowane algortmu w dedne ęstotlwoś. W artkule predstawono konstrukę sharakterowano właśwoś metod różn skońonh defnowane w dedne ęstotlwoś (FDFD ang. fnte-dfferene frequen-doman) []. Opraowane sformułowane algortmu powala na uwględnene różnowana właśwoś materałów w ramah konstruk budowlanh. Jednokrokowa realaa algortmu prowad do określena rokładu pola w łożonm układe w stane
Modelowane awsk elektromagnetnh... 89 ustalonm dae możlwość anal welowarantowe. Właśwoś metod ostał predstawone na prkłade fragmentu konstruk budowlane w które rokład pola podlega różnowanu e wględu na geometrę układu (połąene śan ednorodnh neednorodnh) ora na skutek wstępowana wewnętrnh elementów średne skal modfkuąh rokład pola (drążena w śanah). Wnk obleń użem opraowanego algortmu porównano reultatam otrmanm pr stosowanu metod FDTD [6 ] ora metod elementów skońonh (FM ang. fnte element method) [8].. SCMAT RÓŻNICOWY W DZIDZINI CZĘSTOTLIWOŚCI Ze wględu na praę lokalnh sstemów komunka beprewodowe w wbranm paśme ęstotlwoś pr nane ęstotlwoś środkowe fn pasma ops awsk polowh można sprowadć do ropatrena agadneń monohromatnh w stane ustalonm. Pręte podeśe est równeż uasadnone tm że sstem te prauą w stane ustalonm e wględu na wstępuąe awska falowe geometrę układu (konstruka budnku) ora romesene źródeł pola. Rokład pola w stane ustalonm est opsan funką espoloną np. wektor natężena pola elektrnego =[ ] [7] f n t t e. () Zakładaą że stosowane materał konstrukne harakteruą sę otropowośą lnowośą rokład pola w ośrodkah stratnh est opsan równanam Mawella [5 7 ] JI ω () 0 0 (3) J (4) pr m JI onaa espolon wektor gęstoś prądu wmusaąego pole aś ρ to obętośowa gęstość ładunku elektrnego. Użte klasne onaena parametrów materałowh obemuą: σ prewodność elektrną ak równeż ε' (fn) ε'' (fn) rewstą ora urooną składową prenkalnoś elektrne ośrodka ora μ' (fn) μ'' (fn) składowe prenkalnoś magnetne. Na skutek różnowana struktur wewnętrne materałów budowlanh ora wpłwu wlgotnoś w dostępne lterature seroko są preentowane dskutowane różne wartoś parametrów pr adanh ęstotlwośah komunka beprewodowe odpowedno opsane pre pręe gran dolne np. ε'd ora górne np. ε'g [] fn d g (5) fn d g (6)
90 B. Butrło A. Chorosuho fn d g (7) fn d g. (8) Pod tm wględem anala numerna konstruk budowlanh ne est agadnenem ednonanm wmaga wkle anal klku warantów pr ropatrenu różnh wartoś współnnków materałowh. Ten nnk premawa a stosowanem proponowanego dale neawnego algortmu w dedne ęstotlwoś prowadąego do bepośrednego wnaena rokładu pola w stane ustalonm oblanego pr kolenh wbranh wartośah ε' ε'' μ' μ''. Preśe do sformułowana algortmu różnowego uskano pre dskretowane równań ()-(3) po obsare. Geometra tpowh konstruk budowlanh wpsue sę w układ współrędnh karteańskh tego wględu ten układ pręto a baę dskreta. Pr oene propaga pola w materałah budowlanh ora konstrukah w ramah edne kondgna budnku model układu można uprość do warantu dwuwmarowego. Poma sę oddałwane ewnętrnh elementów konstruk ora prmue brak man rokładu pola w kerunku ponowm. W dalse anale awsk be utrat ogólnoś roważań pręto ops TM (ang. Transverse Magnet) w którm składowe pola magnetnego są opsane w płasźne modelu aś wektor est prostopadł do wróżnone płasn modelu: (9) (0). () W opraowanm sformułowanu ęstotlwośowm (FDFD) pręto konstrukę presunęem satek dla składowh pola elektrnego ora składowh pola magnetnego (rs. ) godną konepą aproponowaną pre K. S. Yee pr formułowanu metod różnowe w dedne asu [].
Modelowane awsk elektromagnetnh... 9 Rs.. Fragment dwuwmarowe satk różnowe presunęem składowh pola elektrnego ora pola magnetnego (warant TM) Fg.. Part of the two-dmensonal dfferental staggered mesh (TM mode) W klasnh algortmah welkość oek satk różnowe (rs. ) poostae stała Δ = Δ = Δ [6]. Ze wględu na różnowane właśwoś materałowh geometr podobsarów w konstrukah budowlanh w proponowanm algortme ałożono że romar oek mogą podlegać adapta. W ten sposób możlwe est mesowe dostosowane welkoś elementów w elu ogranena lb stopn swobod opsuąh ropatrwan model. Zastosowane lokalne man welkoś satk różnowe pr wkorstanu tehnk h-adapta prowad do określena lokalnh mar opsuąh prległe oka. Prkładowo dla os O defnue sę romar sąsednh komórek (rs. ) ak równeż średn określon lokalne romar prlegaąh oek l p () pr m Δp Δl onaaą lnowe romar oek satk naduąh sę odpowedno po prawe po lewe strone węła w punke (). Podobne postępowane dot os O. Rs.. Defna romaru sąsednh komórek Fg.. Defnton the se of neghborng ells Ze wględu na różnowane model opsuąh awska fne w konstruk algortmu wróżnono tr rodae obsarów powąanh nm węłów satk różnowe (rs. 3). Pełn ops agadnene w obsare Ω obemue (3) W Z O
9 B. Butrło A. Chorosuho pr m: ΩW obsar aweraą węł wewnątr modelu pomnęem źródeł pola ΩZ obsar wewnątr modelu prpsanm źródłam pola elektromagnetnego ΓO breg obsaru Ω obemuą prległe oka satk. Na obsar ΓO składaą sę oka w którh należ prpsać warunk bregowe uwględnaąe otwart harakter analowanego agadnena. Welkość obsaru ΓO ależ od pręte aproksma ABC (ang. absorbng boundar ondtons). W preentowane wers astosowano warunk Mura perwsego rodau w którh obsar ΓO ograna sę do ewnętrnh węłów modelu. Roserene boru ΓO dae możlwość stosowana nnh metod aproksma numerne man pola pr propaga fal do neskońonoś. Rs. 3. Geometra modelu wróżnenem podborów o różne forme opsu Fg. 3. The geometr of analsed model wth the ndaton subsets of varous tpes desrpton Pr ahowanu ogólnh równań opsuąh pole elektromagnetne ()-(4) w posególnh obsarah astosowano różne metod aproksma numerne. Dla każdego węła wewnętrnego naduąego sę w obsare ΩW możlwe est defnowane pełnego boru węłów sąsednh. Ze wględu na możlwe wkorstane nerównomerne satk różnowe należ stosować metod wsukwana właśwego podboru węłów sąsednh w bepośrednm otoenu węła o ndekse ( ) (rs. 3). W wąku e stosowanem h-adapta lebność boru ne est stała ależ od lokalne konstruk satk. Relae matematne wążąe welkoś polowe opsane w węźle ( ) ora w węłah sąsednh wnkaą wprost dskreta równań Mawella ()-(4). Na bór opsuą pole w otoenu węła składaą sę węł naduąe sę w bepośrednm otoenu węła ( ) pr m h lba ora położene wnkaą lokalne konstruk satk różnowe. Rokład pola w węłah wewnętrnh est opsan ogólnm równanam Mawella. Dęk dskreta obsaru uwględna sę man właśwoś materałowh a także różnowane geometr w analowanh agadnenah. Do prblżena pohodnh ąstkowh po obsare astosowano shemat różn entralnh ulera (ang. entral-dfferene) uwględnenem lokalne man konstruk satk różnowe []:
Modelowane awsk elektromagnetnh... 93 l p u u u (4) pr m u onaa aproksmowaną welkość polową u = { }. W prpadku gd Δp = Δl astosowane prblżene pohodne różn entralnh est rędu drugego. Pr uwględnenu presunęa skoaronh satek opsuąh składowe pola elektrnego magnetnego pole w węłah wewnętrnh est predstawone a pomoą ależnoś: (5) (6). (7) Równana (5) (6) pr uwględnenu h terane modfka ostał podstawone do ależnoś (7). Po dalsh prekstałenah ora nebędnh uprosenah sformułowane równane falowe w posta różnowe dla składowe est wrażone a pomoą woru 0 w w w w w (8) pr m lokalne lone espolone współnnk są opsane m.n. ależnośą. d g l p w (9) Wśowa postać równana (9) powala obok prewodnoś elektrne uwględnć równeż stratność materałów na skutek różnh awsk o haraktere pasożtnm. W tm elu należ godne równanam () (3) prąć w równanu (9) espolone wartoś prenkalnoś elektrne magnetne. Drug wróżnon bór ΩZ tworą węł naduąe sę w obsarah źródłowh. W preentowanm sformułowanu pręto defnę tw. źródeł twardh. Wartoś pola są wrażone a pomoą naruone funk opsuąe wdaność źródeł. Stosowane wmusena pola są atem określone w posta awne pre prpsane dla wbranego boru węłów funk harmonne o adane ęstotlwoś f ora lokalne modfkowane fae
94 B. Butrło A. Chorosuho sn f n t. (0) Romesene węłów źródłowh w obsare modelu dae możlwość modelowana źródeł punktowh lnowh ora obętośowh (rs. 3). Wnkow ops ropatrwanego modelu uskue sę pre łożene ależnoś tworonh dla każdego węła satk m.n. uwględnenem ależnoś (8)-(0). W końowm apse otrmue sę równane maerowe A e b () pr m: A espolona maer współnnków e wektor e grupowanm oblanm składowm pola natomast b to wektor nnkam opsuąm wartoś źródeł pola. Wartoś nnków maer A wnkaą położena węła w sate różnowe ora ego kwalfka do boru {ΩW ΩZ ΓO}. Utworona maer A est radka pr m współnnk upakowana ne prekraa wartoś 5/NDOF gde NDOF onaa lbę stopn swobod. Pommo że maer est odwraalna stopeń e upakowana ora welkość analowanh układów wklua stosowane metod dokładnh. Rowąane równana () uskano użem własnh proedur opraowanh dla maer A opsane na bore lb espolonh. 3. ANALIZOWANY MODL Predstawon algortm astosowano do oblena agadnena testowego (rs. 4) nesmetrnm układem łożonm dwóh prostopadłh śan. śana wkonana gaobetonu (prostopadła do os O) śana wkonana betonu drążenam (równoległa do os O) warstwa PML (a) Rs. 4. Analowan model: (a) geometra warunk bregowe (FDFD) (b) astosowana satka pr anale metodą FM Fg. 4. The analed model: (a) the geometr and boundar ondtons (FDFD) (b) the mesh used n FM Jedna e śan bła wkonana betonu o parametrah elektrnh r' = 6 ora = 00095 S/m awerała ponowe drążena o wmarah 004003 m wpełnone (b)
Modelowane awsk elektromagnetnh... 95 powetrem. Natomast druga śana wkonana bła materału ednorodnego (gaobeton) o parametrah r' = 5 ora = 00000 S/m [ 4 0]. W opse modelu prętego algortmu FDFD astosowano satkę o wmarah Δ Δ = 5 5 mm. Analowan układ bł prblżon satką łożoną 6085 stopn swobod. Werfkaa wnków uskanh opraowanm shematem FDFD ostała wkonana pr użu metod różn skońonh w dedne asu (FDTD) ora metod elementów skońonh (FM). Zarówno w metode FDTD ak w FM warunk absorpne na ewnętrnh krawędah modelu ostał odworowane użem warunków PML (ang. perfetl mathed laer) o gruboś 0 m (rs. 4b). W każdm układów modelowano punktowe źródło pola elektromagnetnego o prebegu harmonnm (0 = V/m fn = 4 G). W metode FDTD w ałm obsare astosowano satkę równomerną okem Yee o wmarah Δ Δ = mm [6]. Natomast w metode FM wkorstano tehnkę satk worobone h-adaptowane (rs. 4b) [3]. W metode asowe FDTD obwedna rokładu natężena pola M w układe bła wnaona pre pretworene ser hwlowh rokładów pola. W tm elu dodatkowo opraowano algortm pretwaraą sekwenę kolenh rokładów pola oblonh pr wstąpenu stanu ustalonego. 4. WYNIKI ANALIZY NATĘŻNIA POLA LKTRYCZNGO Na rsunku 5 predstawono harakterstk natężena pola elektrnego wnaone a pomoą ropatrwanh treh metod (FDTD FDFD FM). Nawękse man aobserwowano pr porównanu wnków otrmanh metodą FM metodam różnowm (FDFD FDTD). Porównane wartoś natężena pola wdłuż proste = 08 m (rs. 5) wkaało że nabarde blżone wnk rokładu natężena pola uskano metodam różnowm. Natomast harakterstk uskane metodą FM różnł sę od wartoś uskanh poostałm metodam (FDFD FDTD) główne w obsare blskm prpsanm warunkom bregowm. Zauważono że poawaąe sę lokalne różne w wartośah natężena pola (FDFD FDTD) są średno rędu 5%. Należ anać że taka robeżność dot małh wartoś natężena pola. Z użem ropatrwanh metod uskue sę akośowo blżone rokład pola. Z tego wględu każda th metod w tm opraowana FDFD może bć stosowana do wnaena wartoś wględnego tłumena fal M w analowanh układah.
96 B. Butrło A. Chorosuho 030 05 00 05 00 [V/m] śana prostopadła do os OX lna lokala źródła pola M metoda FDFD metoda FDTD metoda FM 005 000 [m] 0 0 0 03 04 05 06 07 Rs. 5. Porównane wartoś natężena pola elektrnego uskanh wdłuż proste = 08 m Fg. 5. Comparson of the value of eletr feld ntenst obtaned along the lne = 08 m 5. PODSUMOWANI Każda ropatrwanh metod może bć stosowana do anal rokładu pola wewnątr pomeseń aweraąh łożone konstruke budowlane. Ze wględu na romar układów h geometrę należ ednak pred prgotowwanem modelu roważć ego konstrukę ora właśwoś wbrane metod w tm możlwość modelowana warunków bregowh ora źródła pola. Zaobserwowane różne w wartośah natężena pola elektrnego wnkaą główne ogólnh właśwoś metod w tm: różnh warunków bregowh astosowanh pr modelowanu agadneń otwarth; romaru satk sposobu e konstruk możlwoś e adapta; rędu stosowanh prblżeń numernh po obsare pręth algortmów numernego ałkowana w ase (w algortme FDTD). Wmenone nnk determnuą wartość błędu obleń. Preentowan algortm FDFD powala na oblene rokładu pola elektrnego w konstrukah budowlanh w stane ustalonm. Oblena stanu ustalonego prowadą do bepośrednego określena maksmalnh wartoś pola w ropatrwanm obsare wnaena obsarów wartoś tłumena fal. Jednokrokow prebeg obleń dae możlwość efektwnego prowadena anal welowarantowe pr mane wartoś parametrów materałowh ora geometr układu. Wkonane test wkaał że e wględu na efektwność mplementa shematu bardo ważn est wbór algortmu rowąana równana espolonego duże skal. W tm elu astosowano algortm GMRS któr w tm prpadku okaał sę nabarde efektwn spośród testowanh. Problematka efektwnoś numerne algortmu FDFD ostane predstawona w kolenh publkaah.
Modelowane awsk elektromagnetnh... 97 BIBLOGRAFIA. Anttalanen T.: Introduton to teleommunatons network engneerng. spoo-vantaa Insttute of Tehnolog Artehouse 000.. Butrło B. Chorosuho A.: The nfluene of partton walls nsde rooms on the dstrbuton of the eletromagnet feld and the qualt of transmsson data. Pregląd lektrotehnn 009 Vol. 85 No 7 p. 5-0. 3. Comsol Multphss user s gude. Comsol AB. 009. 4. Dalke R.A. ollowa Ch.L. MKenna P. Johansson M. Al A.S.: ffets of renfored onrete strutures on RF ommunatons. I Trans. letromagnet Compatblt 000 Vol. 4 No 4 p. 486-496. 5. Morawsk T. Gwarek T.: Pola fale elektromagnetne. WNT Warsawa 009. 6. Oskoo A.F. Roundb D. Ibanesua M. Bermel P. Joannopoulosa J.D. Johnson S.G.: MP: A fleble free - software pakage for eletromagnet smulatons b the FDTD method. Computer Phss Communatons 00 Vol. 8 687-70. 7. Pątek Z. Jabłońsk P.: Podstaw teor pola elektromagnetnego. WNT Warsawa 00. 8. Png L. Q-tao Y. Yun-lang L.: Analss of eletromagnet propagaton nto renfored onrete walls b FM-PML methods. I Internatonal Conferene on Mrowave and Mllmeter Wave Tehnolog ICMMT 008 Proeedngs 008 p. -4. 9. Rumpf R. C.: Desgn and optmaton of nano-optal elements b ouplng fabraton to optal behavor. Unverst of Central Florda Orlando Florda Sprng Term 006. 0. Shah M.A. asted J.B. Moore L.: Mrowave absorpton b water n buldng materals: Aerated onrete. Brtsh Journal of Appled Phss 965 Vol. 6 No. p. 747-754.. Taflove A. agness S.C.: Computatonal letrodnams The Fnte Dfferene Tme Doman Method. Boston Arteh ouse 005. Dr hab. nż. Bogusław BUTRYŁO dr nż. Agneska COROSZUCO Poltehnka Bałostoka; Wdał lektrn Katedra lektrotehnk Teoretne Metrolog ul. Weska 45D 5-35 Bałstok e-mal: b.butrlo@pb.edu.pl a.horosuho@pb.edu.pl