Inżynieria Finansowa: 8. Model Blacka-Scholesa

Inżynieria Finansowa: 8. Model Blacka-Scholesa Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Maj 7 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

Historia opcji Pierwsze użycie: Tales z Miletu Przełomowy model cen: Louis Bachelier (tu ma 5 lat, wtedy miał 3) Poszukiwanie modelu wyceny: Paul Samuelson Wycena przez dynamiczną replikację (dowolnego derywatu): Fischer Black, Myron Scholes (dowód: Robert Merton) VI w. p.n.e 9 96+ 973

Ruch Browna/proces Wienera Prawdopodobnie pierwszym, które przedstawił formalny zapis procesu Browna był Thiele (88). Bachelier (9) w swojej rozprawie doktorskiej zaproponował formalny proces losowy do opisu zachowania cen na rynku. Na swój czas praca była zbyt przełomowa i ten sposób modelowania wrócił dopiero po 75 latach wraz z modelem B-S. W fizyce ten proces nosi nazwę ruchu Browna (87), który zastanawiał się nad powodem ruchu pyłku kwiatowego w wodzie, który obserwował pod mikroskopem. Wyjaśnienie przedstawili niezależnie Einstein (95) i Smoluchowski (96), pokazując, że ruch jest efektem bombardowania przez cząsteczki wody, proponując formalny model do opisu tego precesu. W matematyce ten proces nazywa się procesem Wienera (894-964) i po dziś dzień jest podstawą w modelowaniu losowości, w tym w finansach.

Proces Wienera 4 W(t)~N(,t) Cechy procesu Wienera (Browna):. W = Wartość początkowa wynosi - -4 5 5 5. W t W s ~N(, t s) dla wszystkich < s < t Przyrosty są niezależne, a wariancja procesu rośnie liniowa z czasem.5 -.5 W(t)-W(t-), czyli ~dw 3. Proces jest ciągły Przy dowolnym powiększaniu nie ma nieciągłości, choć jest nieróżniczkowalny - 5 5 5 t: dzienne obserwacje: T=Y Górny wykres przedstawia dzienne realizacje procesu Wienera W t ~N(, t); t= dla Y Dolny wykres przedstawia dzienne przyrostu procesu, które są białym szumem.

Proces Wienera: przykład D i 3D 3-5 5 5 -.5.5 W(t)-W(t-), czyli ~dw -4 5 5 5-4 W(t)~N(,t) 3 - - -3 4 W(t)~N(,t) - -3 - - 3 - - -4 5 5 5 -.5 W(t)-W(t-), czyli ~dw -3 -.5-3 - - 3-5 5 5 Proces Wienera w D jest złożeniem dwóch jednowymiarowych procesów Wienera (dla osi X i Y) Na podobnej zasadzie otrzymujemy proces Wienera w wyższych wymiarach (np. przy modelowaniu gazów, cząstek wody itp.)

Proces Wienera: proces nieróżniczkowalny Proces Wieniera (ciągły, ale nie jest gładki ) Proces różniczkowalny (ciągły i gładki ) 4 W(t)~N(,t) 4 W(t)~N(,t) - - -4 5 W(t)~N(,t) 5 5 4 W(t)-W(t-), czyli ~dw.5 - -4 5 W(t)~N(,t) 5 5 4 W(t)-W(t-), czyli ~dw.5 -.5-4 -.5-4 5 5 5 5 5 5 - W(t)~N(,t) - W(t)~N(,t) 4 5 W(t)-W(t-), czyli 5 ~dw 5 4 5 W(t)-W(t-), czyli ~dw 5 5.5.5 - -.5 -.5-4 -4 5 5 5-5 5 5-5 5 5 5 5 5

Proces Wienera: przykład 4 W(t)~N(,t) - -4 5 5 5 W(t)-W(t-), czyli ~dw.5 -.5-5 5 5 t: dzienne obserwacje: Y

Proces Wienera: przykład 4 W(t)~N(,t) - -4 5 5 5 W(t)-W(t-), czyli ~dw.5 -.5-5 5 5 t: dzienne obserwacje: Y

7 6 5 4 3 7 6 5 4 3-5 -4-3 - - 3 4-5 -4-3 - - 3 4 Proces Wienera: przykład 7 6 7 5 6 4 5 3 4 3-5 -4-3 - - 3 4 4-5 -4-3 - - 3 W t ~N, T. σ = t W t ~N, T.5 W t ~N, T.5 W t ~N, T.75 4 W(t)~N(,t) - -4 5 5 5 W(t)-W(t-), czyli ~dw t: dzienne obserwacje: T=Y

(Arytmetyczny) ruch Browna: Bachelier B t = B + μ t + σ W t B t ~N B + μ t, tσ db t = μ dt + σ dw(t) Parametry procesu (μ, σ) mogą zmieniać się na przestrzeni czasu i wartości zmiennych: μ t, σ t (B t, t).8.6.4. dryf dyspersja.8.6.4. Przykład: 5 5 5 B = (wartość początkowa) μ =.7 (dryf, średnia stopa zwrotu) σ =. (dyspersja, odchylenie standardowe, σ(t =.5Y =.5T) = σ t, wtedy σ t = tσ ) Mankamentem arytmetycznego ruchu Browna przy modelowaniu cen jest możliwość przyjęcia przez proces ujemnych wartości.

Poziomy: Geometryczny ruch Browna: Samuelson B t = B e μ t+σ W t B t ~LN(B e μt+σ t, e μt+σt (e σt )) Stopy zwrotu: db t = μ B t dt + σ B t dw(t) ln(b t )~N(ln B + μt, σ t) Parametry procesu (μ, σ) mogą zmieniać się na przestrzeni czasu i wartości zmiennych: μ t, σ t (B t, t).8.6.4..8.6.4. 5 5 5

Lognormalny rozkład cen i normalny stóp zwrotu Załóżmy, że cena aktywu zmienia się zgodnie z arytmetycznym ruchem Browna. B t = +,7 t +, W t Cena wzrasta średnio o.7 z wariancją.. Jaka będzie wariancja procesu okres w przód za okresów? Załóżmy, że cena rosła dokładnie średnio o,7, czyli B t =,7: B t+ =,7 +,7 +, W t =,77 +, W t B t+ ~N(,77,. ) Współczynnik zmienności spadł z ok. % (t:,/,7) do ok. % (t:,/,77). Gdybyśmy modelowali giełdę, to w miarę wzrostu cen mówilibyśmy, że spadki o -3% wartość są coraz mniej, a w końcu zupełnie nieprawdopodobne Stało się ze stopami zwrotu? Oczekiwana stopa zwrotu spadła z 7% (,7/) do 4,% (,7/,7). To, że DJ zanotował największy wzrost w wartościach absolutnych (np. o 5 pkt ) nie znaczy, że był to dzień z największą stopą zwrotu w historii Dla modelowania pewnych procesów, te charakterystyki mogą być uzasadnione, ale w przypadku procesu cen są raczej niepożądane. Założenie geometrycznego ruchu Browna eliminuje te zjawiska.

Geometryczny ruch Browna: WIG Załóżmy, że zmiany cen na Polskiej giełdzie można dobrze opisać GBM o stałych w czasie parametrach:b t = B e μ t+σ W t co oznacza, że dzienne st. zwrotu mają rozkład ln B t+ ln B t = [N ln B + μ(t + ), σ (t + ) N(ln B + μt, σ t)]~n(μ, σ ) Dopasujmy parametry procesu (prawy wykres) Do widocznych problemów z dopasowaniem wrócimy przy omawianiu modelu B-S 4 WIG 3-3- 3-4- 6-5-5 9-6-7-6- 4 35 3 5.. -. WIG - dzienne stopy zwrotu 5 5 -.5 -. -.5.5. -. -3-3-4-6-5-5 9-6-7-6-

Próby znalezienia modelu wyceny opcji Sprenkle (96) oraz Samuelson (965) wyceniając opcje na papiery własnościowe założyli, iż cena instrumentu bazowego ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna. Usuwało to niedogodność ujemnych wartości dla cen instrumentu bazowego. Rozkład cen jest rozkładem logarytmiczno-normalnym, a rozkład stóp zmian cen aktywu jest rozkładem normalnym. Sprenkle i Samuelson pokazują, że w takiej sytuacji cena opcji kupna może być przedstawiona w następujący sposób (nie to nie to samo co B-S, ale blisko): c d e [ e S N( d) X N( d)] T s T c ln( S / X ) ( s / ) T d d T T gdzie wyrazy α C oraz α S oznaczają odpowiednio oczekiwaną, skorygowaną o ryzyko stopę wzrostu ceny aktywu bazowego i opcji kupna. Ten model wymagał określenia premii za ryzyko, która mogła być różna dla każdego z inwestorów, przez co okazał się niepraktyczny.

Przełom: dynamiczna replikacja Rewolucjonizując problem wyceny opcji Black i Scholes (973) wyszli z punktu widzenia sprzedawcy opcji, który zabezpiecza swą pozycję. Pokazują, że przy pewnych założeniach możliwa jest replikacja pozycji opcyjnej za pomocą innych instrumentów. Black i Scholes (973) oraz Merton (973) pokazali, że wraz ze zwiększaniem częstości dopasowywania zabezpieczenia, koszt związany z zabezpieczaniem staje się coraz bardziej przewidywalny. W granicznym przypadku, gdy zabezpieczanie jest dokonywane w sposób ciągły, jego koszt staje się niezależny od ścieżki, jaką podąża instrument bazowy. Wpływ na koszt zabezpieczenia ma jedynie zmienność instrumentu bazowego. Jeśli jest ona stała i znana z wyprzedzeniem, koszt zabezpieczenia jest pewny. Tym samym portfel złożony z portfela replikującego i opcji jest więc pozbawiony ryzyka i musi dawać stopę zwrotu równą wolnej od ryzyka.

Black i Scholes (973) przyjmują, że: Model Blacka-Scholesa Cena aktywu ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, którego parametry (średnia, zmienność) są stałe w czasie. Proces dyfuzji jest jedynym źródłem ryzyka, nie ma skoków cen. ds t = μ S t dt + σ S t dw(t) Nie ma kosztów transakcyjnych ani widełek kupna-sprzedaży Handel odbywa się w sposób ciągły i w sposób ciągły zabezpieczamy pozycję Można swobodnie pożyczać po stopie wolnej od ryzyka Niech wartość (cena) dowolnego instrumentu pochodnego będzie oznaczona jako V(S,t). Żądamy jedynie, by funkcja uzależniająca cenę instrumentu pochodnego od wartości bazowego była dwukrotnie różniczkowalna. Zakładamy, że aktyw nie wypłaca dochodu (np. dywidend). Równanie (godne Nobla) Blacka-Scholesa mówi o tym jaki warunek ta cena powinna spełniać: V t + σ S V V + rs S S rv = Przedstawmy zarys wyprowadzenia (nie będzie wymagany na egzaminie)

Model Blacka-Scholesa Załóżmy, że portfel składa się z: długiej pozycji w opcji na akcje o cenie V(S, t) i krótkiej w akcjach o cenie S t Wartość portfela to: Π(t) = V S Cena akcji ewoluuje jako: ds t = μ S t dt + σ S t dw(t) Zmiana wartości portfela w małym interwale czasowym to : dπ(t) = dv ds Zmiana wartości opcji to: dv = ds + dπ(t) przy czym V(S, t), czyli wartość opcji zależy od dwóch elementów: czasu do zapadalności i ceny aktywu bazowego. Mamy więc sytuację w której zmiana wartości opcji jest jakąś funkcja zmiany ceny aktywu bazowego i czasu. Obrazowo możemy to zapisać jako h t = f(g t ).

Model Blacka-Scholesa Z obliczania pochodnych wiemy, że dla h t = f(g t ): Inaczej: h(t) t = f(g t ) g(t) g t t h t = f (g t ) g (t) Nasz proces ds t nie jest różniczkowalny z uwagi na występowanie w nim procesu Wienera. W tego typu stochastycznych procesach analogiczną operację wprowadza lemat Ito, który mówi, że dla każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f(s, t) (np. ceny instrumentu pochodnego, która zależy od czasu t i wartości instrumentu bazowego S) gdzie ds t = a t dt + b t dw(t) spełniona jest zależność: df t = f t + a f t s + b t f s dt + b t f s dw t Jeśli a t = μ S t oraz b t = σ S t powyższe równanie przekształca się do: df t = f t + μ S f t s + σ f S t s dt + σ S t f s dw t

Model Blacka-Scholesa Używając lematu Ito do wyznaczenia dv otrzymujemy: dv t = V t + μ S V t s + σ V S t s dt + σ S t V s dw t A zmiana wartości portfela dana jest jako: dπ t = dv ds = V t + μ S V t s + σ V S t s Uporządkujmy wyrazy (dt i dw): dt + σ S t V s dw t μ S t dt + σ S t dw t dπ t = V t + μ S V t s + σ V S t s μ S V t dt + σ S t s σ S t dw t Zwrócimy uwagę, że pierwszy wyraz jest ściśle deterministyczny, nie ma w nim losowości, która pod postacią procesu Wienera ujawnia się w drugim wyrazie. Jak ją wyeliminować? Podstawiając za ilość aktywu bazowego: = V s

Model Blacka-Scholesa Wtedy proces zmian wartości portfela staje się deterministyczny i zależy od zmian wartości czasowej portfela oraz zmienności aktywu bazowego (znika też dryf! Patrz poprzednia strona): dπ t = V t + + σ V S t s dt Biorąc pod uwagę, że zakładamy, iż zmienność jest wielkością znaną portfel staje się pozbawiony ryzyka, a jego stopa zwrotu musi się równać stopie wolnej od ryzyka: dπ t Π t = rdt Podstawiamy: V t + + σ S V t s V t S t V s = r I porządkując otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa: V t + σ S V V + rs rv = S S

Model Blacka-Scholesa dla opcji W przypadku opcji z kursem wykonania K, której wartość w terminie zapadalności określa funkcja max S K, wartość takiego instrumentu to (wg. miary martyngałowej): C t S = e r T t E Q (f(s)) = e r T t E Q (max S K, ) model B-S przyjmuje następującą postać: gdzieφ to dystrybuanta rozkładu N(,) oraz C t S = S t Φ d e r(t t) K Φ d d = ln S t K + r+σ (T t) σ T t d = ln S t K (r σ )(T t) σ T t Φ d oznacza znaną nam (deltę), czyli ilość aktywu bazowego, które musimy w danym momencie posiadać dla zabezpieczenia portfela Φ d określa prawdopodobieństwo wykonania opcji w świecie wolnym od ryzyka. Mówi nam też o tym ile w portfelu replikującym powinniśmy mieć obligacji ( e r(t t) K Φ d ). Cenę opcji sprzedaży łatwo otrzymać posługując się parytetem kupna-sprzedaży

Opcja sprzedaży Z parytetu kupna i sprzedaży (put-call parity) wiemy, że: C t P t = S t e r T t K Używając powyższego do określenia ceny opcji kupna otrzymujemy: P t = S t Φ d e r T t K Φ d S t +e r T t K Przekształcamy używając Φ d = Φ d do: P t S = S t Φ d + e r T t K Φ d Uogólniając równanie ceny opcji w modelu BS dla opcji Call i Put zarazem: BS Call: phi =, Put: phi = = φ(s t Φ φd e r T t K Φ φd )

Model Blacka-Scholesa: przykład Chcemy wycenić opcję o terminie zapadalności 6M i kursie wykonania K=. Zakładamy, że zmienność ceny akcji wynosi %. Jaka będzie jej cena w zależności od tego jaki jest obecny kurs akcji? Rozwiązanie: Liczymy cenę opcji podstawiając w modelu B-S C t S = S t Φ d e r(t t) K Φ d kolejne kursy bieżące

Model Blacka-Scholesa: przykład Jeśli tą opcje wystawiliśmy i chcemy się zabezpieczyć to ile, zależnie od tego jaki jest bieżący kurs akcji, powinniśmy mieć w portfelu akcji? Z wyprowadzenie równania B-S i poprzednich wykładów wiemy (lub podejrzewamy), że chodzi o pochodną ceny opcji względem ceny instrumentu bazowego. W modelu B-S jej wartość to delta: C S = N d

Model Blacka-Scholesa: przykład W jakich rejonach kursu zmiany wielkości zabezpieczenia będą największe? Nasze pytanie to inaczej pytanie o wrażliwość delty na zmiany stopy procentowej, czyli pochodna delty po kursie. Biorąc pod uwagę, że delta to pierwsze pochodna po kursie, chodzi nam w rezultacie o drugą pochodną ceny opcji po kursie. Ta wielkość to gamma: C S = N d S t σ T t

Geometryczny ruch Browna? 4 35 3 5 5 9 8 7 6 5 4 5 -.5 -. -.5.5. 3...3.4.5.6.7.8.9 Na lewym wykresie pokazano rozkład empiryczny dziennych stóp zwrotu WIG z okresu - (histogram) i najlepiej dopasowany do niego rozkład normalny (linia czerwona). Z własności dystrybuanty wiemy, że jeśli X ma pewien rozkład o dystrybuancie F, to zmienna F(X) ma rozkład jednostajny U(,). Innymi słowy jeśli F X = P(X x), to F X ~U,. Jeśli więc rozkład stóp zwrotu WIG jest normalny N μ, σ (lub inaczej, że rozkład poziomów jest lognormalny jak mówi model B-S), to F N μ, σ X ~U,. Na prawym wykresie odłożono F N μ, σ X, który jest daleki od jednostajnego zdarzeń w ogonach i w centrum jest więcej niż być powinno.

Jak sobie radzą uczestnicy rynku? -3-3-4-6-5-5 9-6-7-6- 4.. -. WIG - dzienne stopy zwrotu 35 3 5 5 -. -3-3-4-6-5-5 9-6-7-6- 5 -.5 -. -.5.5. Zmienność implikowana Uśmiech zmienności implikowanej 45 4 Zmienność implikowana 35 3 5 RiskReversal 5-Delta ButterFly 5-Delta Uśmiech zmienności 5 5 Kurs walutowy 4 5 6 7 8 9 EURUSD EURPLN EURCZK EURHUF 5-Delta put At-The-Money 5-Delta call

Zmienność implikowana Uczestnicy rynku zdają sobie sprawę, że założenia modelu B-S nie są spełnione i jest on pewną idealizacją. Dynamiczna replikacja nie jest w pełni możliwa, gdyż m.in. występują koszty transakcyjne, ceny zmieniają się w sposób skokowy, a sama zmienność nie jest stała w czasie i nie jest znana, mogąc być co najwyżej estymowana. Mimo to model pozostaje najważniejszym punktem odniesienie dla wyceny rynkowej, z tym, że modyfikuje się część z jego założeń, przede wszystkim te dotyczące charakterystyki procesu cen. Ze wszystkich parametrów modelu B-S najważniejszą (jedyną) niewiadomą jest zmienność. W konwencji rynkowej uczestnicy rynku podając cenę opcji często podają po prostu zmienność, która wstawiona do modelu B-S wraz z innymi znanymi na rynku parametrami (jak kurs wykonania, bieżący kurs, termin zapadalności, stopa proc.) daje (implikuje) cenę opcji, dlatego też tak kwotowana zmienność zwana jest implikowaną. Po pierwsze, zmienność implikowana okazuje się być zmienna w czasie, co oddaje rzeczywisty charakter zmienności, ujmowany np. modelami typu GARCH. Po drugie, zmienność implikowana dla różnych cen wykonania jest różna, co do zasady będąc wyższa dla opcji OTM i ITM (wartości ekstremalnych), odzwierciedlając grube ogony rzeczywistych rozkładów stóp zwrotu. Zjawisko to nazywa się uśmiechem zmienności.