MECHANIKA KLASYCZNA. Andrzej P kalski

MECHANIKA KLASYCZNA Andrzej P kalski

Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 7 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 9 1. Prawa Newtona 9 2. Rozwi zywanie równa«newtona 10 3. Oscylator harmoniczny 11 4. Prawa zachowania 18 5. Równania Lagrange'a II rodzaju. 24 Rozdziaª 3. Zasada Hamiltona 31 1. Podstawowe wiadomo±ci z rachunku wariacyjnego 31 2. Zasada Hamiltona 35 Rozdziaª 4. Prawa zachowania we wspóªrz dnych uogólnionych 39 Rozdziaª 5. Formalizm Hamiltona 45 1. Równania Hamiltona 45 2. RH z zasady wariacyjnej 49 3. Przeksztaªcenia kanoniczne 49 4. Nawiasy Poissona 53 Rozdziaª 6. Zagadnienie dwu ciaª 57 1. Postacie siª i potencjaªów 60 2. Prawa Keplera 62 Rozdziaª 7. Bryªa sztywna 65 1. Przeksztaªcenia ortogonalne 66 2. Twierdzenie Eulera 67 3. Obroty niesko«czenie maªe 68 4. Pr dko± zmiany wektora 69 5. Tensor bezwªadno±ci 70 6. Twierdzenie Steinera 73 7. Osie gªówne tensora bezwªadno±ci 75 8. Elipsoida bezwªadno±ci 75 9. Równania Eulera 76 Rozdziaª 8. Wprowadzenie do teorii chaosu 79 1. Wahadªo z siª wymuszaj c 79 2. Wahadªo tªumione z siª wymuszaj c 79 3. Droga do chaosu 81 3

4 SPIS TRE CI 4. Chaos 84 5. Odwzorowanie logistyczne 87 Rozdziaª 9. Szczególna teoria wzgl dno±ci 95 1. Wydªu»enie czasu i skrócenie lorentzowskie 96 2. Przeksztaªcenia Lorentza 98 3. Wnioski z przeksztaªcenia Lorentza 103 4. Przedziaªy mi dzy zdarzeniami i ich klasykacja 104 5. Czterowektory i równania ruchu 106

SPIS TRE CI 5 Dzi kuj mgr Arturowi Ankowskiemu, mgr Krzysztofowi Ko«cy oraz dr Januszowi Szwabi«skiemu za pomoc w redakcji tego wykªadu

ROZDZIAª 1 Wst p Mechanika klasyczna, zwana tak»e teoretyczn lub analityczn, to dziaª zyki teoretycznej zajmuj cy si badaniem praw ruchu ciaª materialnych. Jest to mechanika Newtonowska, której podstawy zostaªy stworzone przed powstaniem mechaniki kwantowej i teorii wzgl dno±ci. Zagadnienia do których stosuj si metody rozwini te tutaj mo»na okre±li jako zwyczajne", tzn zagadnienia dotycz ce ruchu ciaª o niezbyt maªych rozmiarach i poruszaj cych si z pr dko±ciami maªymi w porównaniu z pr dko±ci ±wiatªa. Pojawiaj ce si czasem ró»nice pomi dzy teori i do±wiadczeniem równie» i w tym zakresie zjawisk, nale»y poªo»y na karb przyj cia zbyt prostego modelu matematycznego - zaniedbanie tarcia, zast pienie ciaªa spr»ystego przez sztywne itd. Kiedy wzgl dne pr dko±ci ciaª staj si porównywalne z pr dko±ci ±wiatªa lub kiedy rozmiary ciaª s rz du staªych atomowych, wówczas mechanika klasyczna nie opisuje ju» zjawisk w sposób poprawny. W pierwszym przypadku nale»y j zast pi przez mechanik relatywistyczn, w drugim przez mechanik kwantow. Aczkolwiek mechanika klasyczna znajduje dzisiaj ci gle jeszcze bezpo±rednie zastosowanie, np w astronomii, to jednak gªówna jej warto± polega na tym,»e jest ona podstaw caªej zyki teoretycznej. Wiele poj np mechaniki kwantowej okre±lanych jest poprzez analogie z odpowiednimi poj ciami mechaniki klasycznej. W mechanice klasycznej, tak jak w caªej zyce teoretycznej, operujemy modelami matematycznymi. Zamieniamy w nich istniej c realn rzeczywisto± poprzez pewien uproszczony model. Robimy tak gªównie dlatego,»e uwzgl dnienie wszystkich czynników wpªywaj cych na rzeczywist sytuacj nie jest ani mo»liwe, ani te» na ogóª potrzebne. Dlatego te» musimy uwzgl dni tylko niektóre z tych czynników. Takie które s, lub które uwa»amy za najistotniejsze. Rozwi zanie tak postawionego problemu powinno poprawnie opisywa najwa»niejsze cechy charakterystyczne danego procesu. Generaln zasad jest aby pocz tkowo konstruowa mo»liwie prosty model i dopiero po sprawdzeniu jego ogólnej przydatno±ci wprowadza dodatkowe parametry umo»liwiaj ce opis bardziej szczegóªowych wªasno±ci. Dlatego te» mo»e istnie kilka modeli teoretycznych opisuj cych t sam rzeczywisto±. Poj ciem, którym b dziemy si caªy czas posªugiwali jest poj cie punktu materialnego (PM). Rozumiemy przez to ciaªo zyczne o rozmiarach pomijalnie maªych w porównaniu i innymi rozmiarami z jakimi mamy do czynienia w rozpatrywanym zagadnieniu. B dzie to wi c punkt matematyczny, któremu zostaªa przypisana pewna masa. W tym kontek±cie PM mo»e by np Ziemia, je»eli rozpatrujemy jej ruch roczny wokóª Sªo«ca. Poªo»enie PM w danym ukªadzie wspóªrz dnych, lub jak teraz b dziemy mówi ukªadzie odniesienia, podawa b dziemy przy pomocy promienia wodz cego r, o wspóªrz dnych (x, y, z). Jest to wektor poprowadzony z pocz tku ukªadu do miejsca w którym znajduje si PM. Aby okre±li ruch PM podajemy zale»no± promienia wodz cego od czasu t : r = r(t). Krzyw geometryczn zakre±lan przez PM w czasie ruchu nazywamy torem PM lub jego trajektori. Równanie r = r(t) jest parametrycznym równaniem toru, przy czym parametrem jest czas t. O funkcji r zakªadamy,»e jest ci gªa i dwukrotnie ró»niczkowalna (klasy C 2 ). Zaªo»enia te usprawiedliwione s poprzez zgodno± otrzymanych wniosków z do±wiadczeniem. 7

8 1. WST P y r(t 0 ) tor PM r(t 1 ) x Rysunek 1.1. Wektory wodz ce w dwu chwilach czasu. Pr dko±ci PM v, nazywamy pochodn promienia wodz cego wzgl dem czasu v = d r dt r. Przyspieszeniem PM a nazywamy wektor b d cy pochodn wzgl dem czasu pr dko±ci a = d v dt v r. Kropka nad liter b dzie zawsze oznaczaªa pochodn wzgl dem czasu.

ROZDZIAª 2 Dynamika punktu materialnego 1. Prawa Newtona Zajmowa si teraz b dziemy ruchem punktu materialnego (PM) pod wpªywem zewn trznej siªy. Podstaw rozwa»a«s prawa ruchu Newtona otrzymane jako uogólnienie danych do±wiadczalnych. Pierwsze prawo Newtona Istnieje ukªad odniesienia, w którym PM porusza si bez przyspieszenia (tzn jednostajnie i prostoliniowo), je»eli nie dziaªa na«z zewn trz»adna siªa, lub te» dziaªaj ce siªy równowa» si. Ukªady, o których mowa w tym punkcie nazywamy ukªadami inercjalnymi. Je»eli ukªad U porusza si wzgl dem ukªadu inercjalnego U ruchem prostoliniowym i jednostajnym, wówczas i ukªad U jest inercjalny. Sªuszne jest równie» i twierdzenie odwrotne, tzn dwa ukªady inercjalne mog porusza si wzgl dem siebie tylko ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W dalszym ci gu wykªadu, o ile nie zostanie to osobno podkre±lone, rozpatrywa b dziemy tylko ukªady inercjalne. Drugie prawo Newtona Mo»na je traktowa jako denicj siªy i masy: (2.1) F = m a = m d v dt = m r. Wybieraj c wspóªczynnik proporcjonalno±ci mi dzy siª F i przyspieszeniem a, decydujemy si na pewien ukªad jednostek. Przyj li±my tutaj (co nie zawsze jest sªuszne),»e ten wspóªczynnik nie zale»y od czasu. Mo»na wi c drugie prawo Newtona zapisa w postaci: (2.2) F = dm v dt = d p dt gdzie wielko± p = m v jest p dem PM. Przez F rozumiemy wypadkow siª dziaªaj c na PM. Dla ukªadów inercjalnych I prawo jest konsekwencj II. Je±li bowiem wypadkowa siªa F = 0, wówczas m a = 0, czyli je±li m 0 to a = 0 i PM porusza si bez przyspieszenia. Ruch PM dany jest przez wektorow zale»no± funkcyjn r = r(t). Mo»emy j znale¹ z II prawa Newtona, traktuj c F jako wielko± znan z do±wiadczenia. Ukªad równa«(2.2), lub we wspóªrz dnych kartezja«skich (2.3) mẍ = F x, mÿ = F y, m z = F z, nazywamy równaniami ruchu Newtona. Maj c dan funkcj F = (F x, F y, F z ), poprzez caªkowanie równa«(2.2) otrzymujemy zale»no± r = r(t), lub x = x(t), y = y(t), z = z(t), okre±laj c ruch PM. Znalezienie takiej zale»no±ci jest równoznaczne z wyznaczeniem toru PM, je»eli znane s odpowiednie warunki pocz tkowe, i stanowi zasadniczy cel mechaniki klasycznej. Trzecie prawo Newtona Siªy oddziaªywania dwu PM s równe co do wielko±ci, maj przeciwny zwrot i dziaªaj wzdªu» prostej ª cz cej te punkty. 9

10 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Prawo to nie jest uniwersalne i nie jest sªuszne np. w przypadku siª elektromagnetycznych pomi dzy poruszaj cymi si ªadunkami. Zasada niezale»no±ci siª, równie» sformuªowana przez Newtona w oparciu o dane do±wiadczalne, mówi»e: Siªy dziaªaj na PM niezale»nie, tzn dodanie nowej siªy nie zmienia dotychczas dziaªaj cych. Tak wi c siªy, a wi c i przyspieszenia, mo»emy traktowa jak wektory i dodawa do siebie geometrycznie. 2. Rozwi zywanie równa«newtona Je±li znana jest siªa F dziaªaj ca na PM, to korzystaj c z równa«newtona (2.2) lub (2.3) i caªkuj c je powinni±my otrzyma, przy zadanych warunkach pocz tkowych, rozwi zanie zagadnienia, tzn tor PM. Dla przykªadu znajdziemy tor PM pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci Ziemi. Zaªó»my,»e o± O x skierowana jest pionowo w gór. Mamy wtedy Równania Newtona maj posta F x = mg, F y = 0, F z = 0, g = const. (2.4) m d2 x dt 2 = mg, d 2 y dt 2 = d2 z dt 2 = 0. Jak wida, istotna jest tylko zale»no± x od t. Dlatego te» dalej rozpatrzymy tylko pierwsze równanie. Wycaªkujmy je od pewnej pocz tkowej chwili czasu t 0 do chwili ko«cowej t. Otrzymamy dx(t) dt Po powtórnym scaªkowaniu dostaniemy dx(t 0) dt = t t 0 g dt = g(t t 0 ). (2.5) x(t) = dx(t 0) (t t 0 ) + x(t 0 ) g dt 2 (t t 0) 2. Otrzymali±my wi c szukan zale»no± x = x(t) w postaci caªki ogólnej równania Newtona. Aby jednak wyznaczy do ko«ca ruch PM (znale¹ rozwi zanie szczególne) nale»y zada warunki pocz tkowe. Równanie jakie otrzymali±my powinno opisywa dowoln sytuacj w której na PM dziaªa tylko siªa grawitacji Ziemi. Zadanie warunków pocz tkowych wybiera spo±ród wszystkich mo»liwych rozwi za«jedno, odpowiadaj ce konkretnemu zagadnieniu. Niech w naszym przypadku b dzie nim swobodne spadanie. Tak wi c w chwili pocz tkowej t 0 PM znajduje si w spoczynku na pewnej wysoko±ci h. Rachub czasu rozpocznijmy od chwili t 0. Nasze warunki pocz tkowe b d wi c miaªy posta dx(t 0 ) x(t 0 ) = x(0) = h, = v 0 = 0, t 0 = 0. dt Podstawiaj c te warunki do znalezionego rozwi zania (2.5) dostajemy x(t) = h gt2 2 oraz dx(t) dt = v(t) = gt. Rozpatrzmy teraz rzut w gór. Oznacza to,»e w chwili pocz tkowej t 0 (= 0 dla prostoty) PM znajduje si w poªo»eniu x(0) = x 0, które te» bez straty ogólno±ci mo»emy przyj za równe 0. Pr dko± pocz tkowa jest teraz ró»na od zera, tzn dx(t 0 )/dt = v 0 > 0. Podstawiaj c te warunki do rozwi zania (2.5)dostajemy x(t) = v 0 t gt2 2, dx(t) = v 0 gt. dt Z rozpatrzonego przykªadu wida,»e aby jednoznacznie wyznaczy ruch PM trzeba byªo poda dwa warunki pocz tkowe, dla x(t 0 ) oraz dla dx(t 0 )/dt. Wynika to st d,»e równania Newtona s równaniami

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 11 ró»niczkowymi drugiego rz du i rozwi zanie ogólne zawiera dwie staªe, które wyznacza si (znajduje rozwi zanie szczególne) podaj c dwa warunki pocz tkowe. Zapiszmy teraz to samo zagadnienie w notacji wektorowej. Nie zakªadamy tu,»e wektor przyspieszenia ziemskiego skierowany jest wzdªu» jednej z osi kartezja«skiego ukªadu wspóªrz dnych. Mamy wtedy i st d równanie Newtona Warunki pocz tkowe przyjmiemy w postaci i po scaªkowaniu dostajemy czyli Mo»na to te» zapisa w postaci F = m g, g = const r(t 0 ) = r 0, d r(t) dt d 2 r dt 2 = g. d r(t 0) dt d r(t 0 ) dt = v 0 = g(t t 0 ) r(t) = r(t 0 ) + d r(t 0) (t t 0 ) + g dt 2 (t t 0) 2 = = r 0 + v 0 (t t 0 ) + g 2 (t t 0) 2. r(t) r(t 0 ) = v 0 (t t 0 ) + g 2 (t t 0) 2. Ze wzoru tego wida,»e wektor r r 0 le»y w tej samej pªaszczy¹nie co wektory v 0 i g. Poniewa» wektory te s staªe, wi c wniosek st d taki,»e ruch pod wpªywem siªy przyci gania ziemskiego jest pªaski, tzn le»y caªy czas w pªaszczy¹nie wyznaczonej przez wektory pr dko±ci pocz tkowej i dziaªaj cej siªy. Jest to szczególny przypadek pewnej ogólnej zasady, któr poznamy pó¹niej. 3. Oscylator harmoniczny Jako drugi przykªad caªkowania równa«newtona rozpatrzymy oscylator harmoniczny. Jest to najcz ±ciej chyba stosowany model procesu zycznego. Drgania harmoniczne wykonuje PM na który dziaªa siªa proporcjonalna do wychylenia z poªo»enia równowagi. Siª t mo»emy zapisa jako F = k 2 r gdzie k jest pewn staª. Drgania harmoniczne wykonuje np. spr»yna przy zaniedbaniu tarcia. Dla prostoty rozpatrzmy przypadek oscylatora liniowego, tzn 1D, gdy ruch odbywa si wzdªu» jednej prostej. Wtedy F = k 2 x i równanie Newtona ma posta co mo»na zapisa jako (2.6) m d2 x dt 2 = k2 x, d 2 x dt 2 + ω2 x = 0, gdzie ω 2 = k2 m.

12 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Jest to równanie ró»niczkowe zwyczajne rz du 2, jednorodne. Równania takie rozwi zuje si zwykle w nast puj cy sposób. Aby znale¹ rozwi zanie ogólne dokonujemy podstawienia x = e αt i po wstawieniu do naszego równania otrzymujemy równanie charakterystyczne (algebraiczne, nie ró»niczkowe) dla α: α 2 + ω 2 = 0 α 1,2 = ±iω. Tak wi c rozwi zanie ogólne, które ma by kombinacj dwu liniowo niezale»nych rozwi za«szczególnych (tzn dla α 1 i α 2 ), ma posta x(t) = A 1 e iωt + A 2 e iωt. Korzystaj c ze wzorów Eulera e ±ia = cos a ± i sin a, mo»na to zapisa w postaci (2.7) x(t) = (A 1 + A 2 ) cos ωt + i(a 1 A 2 ) sin ωt = B 1 cos ωt + B 2 sin ωt. Podstawiaj c dalej dostajemy B 1 = h sin γ, B 2 = h cos γ (2.8) x(t) = h sin(ωt + γ). Dowolne dwie staªe, h i γ wyznaczamy z warunków pocz tkowych (poªo»enie i pr dko± w chwili pocz tkowej) dx(t x(t 0 ) = x 0 i 0 ) = v 0. dt Jak wida z otrzymanego równania (2.8), ruch pod wpªywem siªy spr»ystej jest okresowy, przy czym okres ten wynosi T = 2π ω, bo x(t + T ) = h sin(ω(t + T ) + γ) = h sin(ωt + 2π + γ) = h sin(ωt + γ) = x(t). Dlatego te» wielko± ω nazywamy cz sto±ci koªow, 1/T ν - cz sto±ci, h - amplitud, argument (ωt + γ) - faz. Wyznaczmy teraz staªe z warunków pocz tkowych, które maj ogóln posta x(0) = x 0, dx/dt t=0 = v 0. Ró»niczkuj c (2.7) mamy St d i z (2.7), dostajemy i wobec tego dx(t) dt = B 1 ω sin ωt + B 2 ω cos ωt. B 1 = x 0, B 2 = v 0 ω (2.9) x(t) = x 0 cos ωt + v 0 sin ωt. ω Je»eli w chwili pocz tkowej PM znajdowaª si w pocz tku ukªadu, czyli w centrum siªy spr»ystej (x 0 = 0) oraz spoczywaª (v 0 = 0), wówczas z rozwi zania (2.9) wynika,»e x(t) = 0, a wi c PM w dalszym ci gu pozostanie w spoczynku. Mo»emy wi c powiedzie,»e centrum siªy spr»ystej jest poªo»eniem równowagi oscylatora harmonicznego. Wszystkie te wnioski pozostaj sªuszne równie» dla oscylatora 2D i 3D.

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 13 3.1. Tªumiony oscylator harmoniczny. Oscylator harmoniczny jest bardzo dobrym przybli»eniem wielu realnych sytuacji i dlatego jest jednym z najcz ±ciej stosowanych modeli w zyce. Ma te» t zalet,»e mo»na go ±ci±le rozwi za. Aby jednak pozosta blisko rzeczywisto±ci trzeba móc uwzgl dni fakt,»e ruch spr»ysty odbywa si na ogóª w o±rodku, który stawia opór. Bardzo cz sto opór ten ro±nie wraz ze wzrostem pr dko±ci ruchu, a najprostszym przybli»eniem jest przyj cie,»e opór zale»y liniowo od pr dko±ci ρ = ρ v. Równanie ruchu dla 1D oscylatora ma wtedy posta (2.10) mẍ + ρẋ + k 2 x = 0. Warto mo»e zauwa»y w tym miejscu,»e analogiczne równanie otrzymujemy dla obwodu elektrycznego z indukcyjno±ci (L), pojemno±ci (C) i oporem (R) L q(t) + R q(t) + 1 C q(t) = 0 Pr d to q(t). Powracaj c do zagadnienia mechanicznego, mo»emy wprowadzi dwa oznaczenia dla staªych wyst puj cych w równaniu (2.10) (2.11) 2β = ρ m, ω 0 = k 2 /m. β nazywane jest staª tªumienia, natomiast ω 0 to cz sto± wªasna oscylatora, a wi c cz sto± z któr by drgaª gdyby nie byªo tªumienia. U»ywaj c tych oznacze«mo»emy przepisa równanie (2.10) w postaci (2.12) ẍ + 2βẋ + ω 2 0x = 0. Rozwi zania tego równania b dziemy szukali, jak zwykle w takich wypadkach, w postaci (2.13) x = e αt. Po podstawieniu do równania (2.12) dostajemy równanie charakterystyczne dla α którego pierwiastkami s α 2 + 2βα + ω 2 0 = 0, (2.14) α 1,2 = β ± β 2 ω 2 0. Podstawiaj c znalezione warto±ci α do postulowanej postaci rozwi zania (2.13) dostajemy rozwi zanie ogólne równania (2.12) { A1 e (2.15) x(t) = α1t + A 2 e α 2 t : α 1 α 2, (A 1 + A 2 t) e α 1t : α 1 = α 2 Rozwi zania te mo»emy przepisa, wyra»aj c je poprzez staªe β i ω { e (A (2.16) x(t) = βt 1 e β 2 ω0 2 t + A 2 e ) β 2 ω0 2 t : β 2 ω0 2 0 e βt (A 1 + A 2 t) : β 2 ω0 2 = 0 W zale»no±ci od warto±ci wyra»enia β 2 ω 2 0 mo»liwe sa ró»ne zachowania tªumionego oscylatora. (1) β 2 ω 2 0 > 0 - tªumienie jest tak silne,»e oscylator d»y do poªo»enia równowagi (x = 0) przed wykonaniem jednego okresu. Ruch taki nazywamy aperiodycznym,

14 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 1 0.9 0.8 0.7 0.6 X 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Rysunek 2.1. Zale»no± od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora w przypadku aperiodycznym. Warunki pocz tkowe x 0 = 0, v 0 = 0.1, b = 1.2 ω 0. Czas 1 0.8 0.6 0.4 X 0.2 0-0.2-0.4-0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rysunek 2.2. Zale»no± od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora w przypadku periodycznym. Warunki pocz tkowe jak dla przypadku aperiodycznego, b = 0.2 ω 0. Czas (2) β 2 ω 2 0 < 0. Tªumienie jest na tyle sªabe,»e wprawdzie oscylator te» d»y do poªo»enia równowagi, ale zdoªa wykona szereg oscylacji. Amplituda oscylacji maleje wykªadniczo e βt. Okres takiego ruchu dany jest przez T = 2π ω = 2π ω 2 0 β 2. Ruch taki nazywamy periodycznym. (3) β 2 ω 2 0 = 0, jest przypadkiem po±rednim, granicznym, pomi dzy ruchami 1 i 2.

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 15 3.1.1. Drgania wymuszone oscylatora tªumionego. Kolejnym czynnikiem, który warto jest rozpatrze dla oscylatora harmonicznego jest przypadek gdy dziaªa na«zewn trzna siªa F. Najcz ±ciej przyjmuje si,»e siªa ta jest okresowa, o cz sto±ci ω, nazywanej cz sto±ci wymuszajaj c i w 1D ma posta (2.17) F = A sin ωt, A 0. Równanie Newtona dla takiego oscylatora to (2.18) ẍ(t) + 2β ẋ(t) + ω 2 0 x(t) = a sin ωt, a = A m. Aby rozwi za to równanie, zacznijmy od prostszego przypadku gdy nie ma tªumienia, a wi c β = 0. Równanie (2.18) redukuje si do (2.19) ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = a sin ωt, i jest równaniem niejednorodnym. Rozwi zanie ogólne takiego równania to suma rozwi zania ogólnego równanie jednorodnego, otrzymanego przez zaniedbanie wyrazu a sin ωt oraz rozwi zanie szczególnego równania niejednorodnego. Równanie jednorodne to (2.20) ẍ(t) + ω 2 0x(t) = 0, a jego caªk ogóln jest (2.21) x(t) = c 1 cos ω 0 t + c 2 sin ω 0 t = h 0 sin(ω 0 t + γ 0 ). Caªki szczególnej równania niejednorodnego (2.19) szukamy w postaci podobnej do wyrazu wprowadzaj cego niejednorodno±, czyli (2.22) x(t) = h sin ωt. Staª h wyznaczamy wstawiaj c postulowane rozwi zanie do równania (2.19). Otrzymamy wtedy (2.23) hω 2 sin ωt + ω 2 0h sin ωt = a sin ωt h = a ω 2 0 ω2. Caªka ogólna równania niejednorodnego, jako suma obu otrzymanych rozwi za«, ma posta (2.24) x(t) = c 1 cos ω 0 t + c 2 sin ω 0 t + a ω 2 0 ω2 sin ωt = h 0 sin(ω 0 t + γ 0 ) + ω 2 0 a sin ωt. ω2 Jak wida, gdy nie ma tªumienia drgania oscylatora s sum dwu drga«harmonicznych drga«swobodnych o cz sto±ci ω 0, oraz drga«wymuszonych przez zewn trzn siª o cz sto±ci ω. Je»eli obie te cz sto±ci s sobie równe, mamy do czynienia z rezonansem. Przyjmijmy teraz warunki pocz tkowe w postaci x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0, co pozwoli nam wyznaczy staªe c 1, c 2 (2.25) c 1 = x 0, c 2 = v 0 a ω ω 0 ω0 2. ω2 ω 0 Rozwi zanie szczególne, przy zadanych warunkach pocz tkowych, ma teraz posta ( ) v0 a ω a (2.26) x(t) = x 0 cos ω 0 t + ω 0 ω0 2 sin ω 0 t + sin ωt ω2 ω 0 ω2 ω 2 0

16 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 15 10 5 X 0-5 -10-15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Rysunek 2.3. Zale»no± od czasu wychylenia x, w przypadku rezonansu. Wykres otrzymany z równania (2.28) dla x 0 = 0, v 0 = 0.1, ω 0 = π. Aby zobaczy jak zachowuje si oscylator w przypadku rezonansu przepiszmy (2.26) w nieco innej postaci, pozbywaj c si nieoznaczonego wyra»enia po prawej stronie: x(t) = x 0 cos ω 0 t + v ( 0 a sin ω 0 t + ω 0 ω0 2 sin ωt ω ) sin ω 0 t = ω2 ω 0 Czas a sin ωt ω 0 + ω ω ω ω 0 = x 0 cos ω 0 t + v 0 ω (2.27) sin ω 0 t + ω 0 Rozwi zanie w przypadku rezonansu otrzymamy bior c odpowiedni granic (2.28) x r (t) = lim x(t) = x 0 cos ω 0 t + v 0 sin ω 0 t ω ω 0 ω 0 sin ωt ω sin ω0t ω 0 sin ω0t ω 0 a lim = 2ω 0 ω ω 0 ω ω 0 = x 0 cos ω 0 t + v 0 sin ω 0 t a ( ) d sin ωt lim = ω 0 2ω 0 ω ω 0 dω ω = x 0 cos ω 0 t + v 0 sin ω 0 t a ω 0 2ω0 2 (ω 0 t cos ω 0 t sin ω 0 t) = ( = x 0 a ) ( v0 t cos ω 0 t + + a ) sin ω 0 t. 2ω 0 ω 0 Amplituda przy cosinusie zale»y liniowo od czasu, a wi c x(t) b dzie nieograniczenie wzrastaªo z czasem, jak wida to na rysunku 2.3. Je»eli oscylator jest zarówno tªumiony jak i znajduje si pod dziaªaniem zewn trznej, okresowej siªy wymuszaj cej, to jego równanie ruchu dane jest przez (2.18). Jest to równanie niejednorodne, a czªon odpowiedzialny za niejednorodno± to siªa wymuszaj ca. Jak wiemy, rozwi zanie ogólne równania (2.18) to suma caªki ogólnej równania jednorodnego i caªki szczególnej równanie niejednorodnego. Pierwsze ju» znamy z rozpatrzonego poprzednio przypadku (równanie (2.16)), natomiast caªki szczególnej b dziemy 2ω 2 0

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 17 7 6 5 4 3 X 2 1 0-1 -2-3 0 10 20 30 40 50 60 70 Rysunek 2.4. Zale»no± od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora z siª wymuszaj c, otrzymana z równania (2.31) dla przypadku gdy α 1 α 2. Czas szukali, tak jak poprzednio, w postaci podobnej do funkcji, która wprowadziªa niejednorodno±. B dzie to (2.29) x(t) = h sin(ωt + γ). Wstawiaj c t funkcj do równania (2.18), dostaniemy hω 2 sin(ωt + γ) + 2βhω cos(ωt + γ) + ω 2 0h sin(ωt + γ) = a sin ωt. Praw stron mo»emy uczyni bardziej podobn do lewej przez prost operacj sin ωt = sin(ωt + γ γ) = cos γ sin(ωt + γ) sin γ cos(ωt + γ). Porównuj c teraz wspóªczynniki przy wyrazach tego samego typu po obu stronach równo±ci, dostajemy wyra»enia dla h, γ : h = a M, gdzie M = (ω 2 ω 2 0 )2 + 4β 2 ω 2, sin γ = 2β ω M, (2.30) cos γ = ω2 ω0 2 M. Maj c wyznaczone wspóªczynniki h, γ znale¹li±my rozwi zanie szczególne równania niejednorodnego jako sum dwu rozwi za«{ C1 e (2.31) x(t) = α1t + C 2 e α2t + h sin(ωt + γ) : α 1 α 2 (C 1 + C 2 t) e αt α + h sin(ωt + γ) : α 1 = α 1,2 = β ± β 2 ω0 2 2 Poniewa», jak wida, α jest niedodatnie, wi c z czasem drgania tªumione (pierwsze dwa wyrazy w (2.31)) b d zanikaªy i po pewnym czasie oscylator b dzie wykonywaª ruch okresowy z okresem równym sile wymuszaj cej.

18 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 4. Prawa zachowania Klasa równa«ró»niczkowych, które da si rozwi za ±ci±le jest niestety niewielka. Dlatego m.in. staramy si zdoby mo»liwie du»o informacji o rozpatrywanym ukªadzie zycznym bez konieczno±ci rozwi zywania równa«ró»niczkowych. Wiele informacji mo»na otrzyma badaj c symetrie ukªadu. Przejawiaj si one w zasadach zachowania. S to prawa mówi ce jakie warunki musz by speªnione aby pewne wielko±ci byªy niezmienne podczas danego procesu. Mówimy wtedy,»e wielko±ci te s zachowane. Z II prawa Newtona wynika bezpo±rednio,»e F = d p dt, je±li wi c wypadkowa wszystkich siª dziaªaj cych na PM znika, to (2.32) d p dt = 0 p = const. a wi c p d w czasie procesu jest zachowany, a otrzymany warunek nosi nazw zasady zachowania p du. Dla otrzymania nast pnej zasady zachowania wykorzystajmy raz jeszcze równania Newtona (2.2) (jak dot d s to jedyne znane nam prawa mechaniki) i pomnó»my je lewostronnie wektorowo przez r. Otrzymamy r d(m v) dt Poniewa» jednak (d r/dt) (md r/dt) = 0, wi c Wprowadzaj c oznaczenia dostajemy r d(m v) dt = r F. = d r dt md r d(m v) + r = dt dt J = r m v, d J dt = D. D = r F d( r m v). dt Wektor J nazywamy momentem p du (kr tem), za± D - momentem siªy (lub momentem obrotowym). Wektor J ma kierunek prostopadªy do wektorów r i v ( z denicji). Je»eli wi c podczas ruchu kierunek wektora J nie ulega zmianie, wówczas ruch jest pªaski. Je»eli moment siª dziaªaj cych na PM znika, tzn D = 0, wówczas (2.33) J = const. i otrzymali±my zasad zachowania momentu p du. Wzór (2.33) nazywamy tak»e caªk pierwsz równa«newtona lub caªk momentu p du. Moment siª dziaªaj cych na PM mo»e znika b d¹ gdy r = 0, b d¹ gdy F = 0, lub te» gdy r 0, F 0 lecz r F. Tak siª, która skierowana jest zawsze wzdªu» promienia wodz cego nazywamy siª centraln. Staªy punkt do, lub od którego skierowana jest ta siªa nazywamy centrum siªy. Poniewa» dla siª centralnych moment siª D = 0, wi c moment p du jest zachowany. Staªy jest wi c kierunek wektora J, czyli ruch pod dziaªaniem siªy centralnej jest pªaski. Siª centraln mo»emy wi c zapisa w postaci F = r r F r, gdzie F r = F, r = r.

4. PRAWA ZACHOWANIA 19 Trzeci zasad zachowania jak wyprowadzimy b dzie zasada zachowania energii. Punktem wyj±cia s znów równania Newtona. Tym razem pomno»ymy je skalarnie przez pr dko± : lub Lew stron mo»na ªatwo przeksztaªci, bo i wobec tego oznaczaj c mo»emy napisa (2.34) m d r dt r = F r vm d v dt = F r. v d v dt = 1 d v 2 2 dt, T = 1 2 m v2, dt dt = F v. Wielko± T nazywamy energi kinetyczn PM. Jest ona wyznaczona z dokªadno±ci do staªej addytywnej, niezale»nej od czasu, któr tutaj przyjmujemy za równ 0, tak aby w spoczynku T = 0, zgodnie z przyj t umow,»e energia kinetyczna jest to energia zwi zana z ruchem ciaªa. Równanie (2.34) mo»emy scaªkowa, otrzymuj c t T T 0 = F v dt = F d r t 0 r 0 jako,»e d r/dt = v. Wyra»enie r r 0 F d r przedstawia prac wykonan przez siª F na drodze od r0 do r. Warto± tej pracy zale»y na ogóª od drogi caªkowania. Je»eli jednak istnieje jednoznaczna funkcja V ( r, t), taka»e ( (2.35) F V = x, V y, V ) grad V, z wówczas mówimy,»e siªa F jest potencjalna, a sam funkcj V ( r, t) nazywamy potencjaªem tej siªy. Poniewa» potencjaª nie zale»y od pr dko±ci, wi c te» i siªa potencjalna mo»e by co najwy»ej funkcj poªo»enia i czasu. Je»eli potencjaª jest tylko funkcj poªo»enia, V = V ( r), wówczas nazywamy go energi potencjaln PM, za± o sile (2.35), mówimy,»e jest zachowawcza lub konserwatywna lub potencjalna. Je»eli wi c siªa jest potencjalna, to F d r = grad V d r = r ( ) V V V dx + dy + x y z dz. Je»eli V = V ( r), czyli jest energi potencjaln, to wyra»enie F d r jest ró»niczk zupeªn dv i mamy A wi c ostatecznie T T 0 = r r 0 dv ( r) = (V ( r) V ( r 0 )) = V + V 0. (2.36) T + V = T 0 + V 0. Wielko± T + V = E nazywamy energi caªkowit PM. Ze wzoru (2.36) wynika,»e wielko± ta nie ulega zmianie w czasie ruchu o ile siªy dziaªaj ce na PM s zachowawcze. Otrzymali±my w ten sposób zasad zachowania energii. Z denicji wida wprost,»e energia potencjalna wyznaczona jest przez

20 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO siª F z dokªadno±ci do staªej addytywnej, tym razem niezale»nej od poªo»enia. Umo»liwia to upraszczanie szeregu zagadnie«przez przyjmowanie odpowiedniej warto±ci tej staªej. Jest to równowa»ne po prostu przesuwaniu pocz tku skali wg której mierzymy energi potencjaln. Powierzchnie V ( r) = const nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Ze wzgl du na zwi zek F = grad V ( r), pole siªy F jest wsz dzie prostopadªe do powierzchni równego potencjaªu, grad V ( r) wskazuje bowiem kierunek zmian pola V ( r). Prostopadªo± F oraz powierzchni V ( r) = const mo»na pokaza z zerowania si iloczynu skalarnego F oraz przesuni cia d r równolegªego do powierzchni ekwipotencjalnej. Bior c bowiem ró»niczk zupeªn równania powierzchni staªego potencjaªu V ( r) = const mamy dv = 0 = V V V dx + dy + dz = grad V d r. x y z Podobnie jak w wypadku momentu p du, wyra»enie (2.36) nazywamy caªk energii. Jest to caªka pierwsza równa«newtona gdy F = grad V ( r). Jako przykªad znajdowania potencjaªu obliczymy potencjaª jednorodnego pola grawitacyjnego. Rozpatrzmy PM w pobli»u Ziemi, a wi c g = const. i siªa ma posta F = m g. Poniewa» F = dv d r = V grad V wi c V ( r) = V ( r 0) W przypadku siªy grawitacyjnej mamy wi c r V ( r) = V ( r 0 ) m g d r = V ( r 0 ) m g r + m g r 0. r 0 Je»eli o± O z b dzie zgodna z kierunkiem dziaªania siªy grawitacyjnej, wówczas problem staje si jednowymiarowy i dla potencjaªu mamy V (z) = mgz + const. Staª mo»emy przyj za równ zeru i ostatecznie energia potencjalna PM w polu grawitacyjnym jest równa V (z) = mgz. 4.1. Ukªad punktów materialnych. Osi gni te do tej pory wyniki mo»na prosto uogólni na ukªad wielu PM. Rozró»nia teraz b dziemy siªy zewn trzne F i z oraz wewn trzne. Te ostatnie to siªy z jakimi dany PM dziaªa na pozostaªe PM ukªadu. Równanie ruchu (Newtona) dla i-tego PM ma teraz posta (2.37) F z i + j F ij = p i, gdzie F ij to siªa oddziaªywania i-tego PM na j-ty. Poniewa» PM nie oddziaªuje sam na siebie, wi c F ii = 0. Do siª wewn trznych stosuje si III prawo Newtona, st d sumuj c (2.37) po wszystkich punktach ukªadu otrzymujemy F i z + F ij = p i = d p i, dt i ij i i a st d F i z = d p i, dt i F z i i oznacza sumaryczn siª zewn trzn dziaªaj c na ukªad PM. Dla ukªadu PM mo»na wyprowadzi, analogicznie jak dla pojedynczego PM, zasady zachowania. B d one dotyczy caªkowitej masy ukªadu oraz promienia wodz cego ±rodka masy ukªadu. i r r 0 F d r.

4. PRAWA ZACHOWANIA 21 4.2. Wi zy. Ukªad dot d rozpatrywany byª zbiorem swobodnych PM, tzn na jego ruch nie byªy naªo»one»adne ograniczenia i zale»aª on jedynie od przyªo»onej siªy F. Na ogóª jednak PM (lub ukªad PM) musi pozostawa na pewnej powierzchni f(x, y, z, t) = 0 ( dla i-go PM f(x i, y i, z i, t) = 0) lub krzywej f 1 ( r, t) = 0 f 2 ( r, t) = 0. Poniewa» równania te zawieraj jawnie czas, dopuszczamy zmienno± tych powierzchni, b d¹ krzywych w czasie. Przyczyny zyczne powoduj ce pozostawanie PM w trakcie ruchu na takiej powierzchni nazywamy wi zami, za± odpowiednie równania - równaniami wi zów. O funkcjach tych zakªadamy,»e s klasy C 2. Je»eli równania wi zów zale» jawnie od czasu, to wi zy takie nazywamy reonomicznymi, je±li za± nie zale» - skleronomicznymi lub stacjonarnymi. Przykªadem wi zów stacjonarnych jest ruch PM po nieruchomej powierzchni, np kula tocz ca si po stole. Przykªad wi zów zale»nych od czasu to korek unosz cy si na powierzchni strumienia. Je»eli na PM dziaªa pewna siªa F, wówczas z równania Newtona, znaj c mas tego PM, mo»emy wyznaczy przyspieszenie a. Z drugiej jednak strony, do równa«wi zów wchodzi promie«wodz cy PM ( r). Ró»niczkuj c go dwukrotnie wzgl dem czasu otrzymujemy wyra»enie na przyspieszenie. Mo»e okaza si,»e jest ono ró»ne od przyspieszenia wyznaczonego z równania Newtona, i odwrotnie, a z równania Newtona nie speªnia równania wi zów. Aby usun t sprzeczno± nale»y siª w równaniu Newtona uzupeªni o dodatkow wielko± F R, tak aby przyspieszenie obliczone z rozszerzonego równania Newtona speªniaªo równania wi zów. F R nazywamy siª reakcji wi zów. Nieswobodny PM musi wi c speªnia równanie Newtona m a = F + F R oraz równania wi zów f( r, t) = 0 lub f 1 ( r, t) = 0 i f 2 ( r, t) = 0. Wi zy mo»na klasykowa na rozmaite sposoby. Przyjmiemy tutaj nast puj cy podziaª - je»eli ograniczenia nakªadane przez istnienie wi zów dadz si przedstawi w postaci równo±ci ª cz cych wspóªrz dne i czas, tzn w postaci f( r, t) = 0 lub (2.38) f( r 1, r 2,..., r N, t) = 0 dla ukªadu N PM, wówczas nazywa je b dziemy holonomicznymi. Przykªadem s wi zy w ciele sztywnym, gdzie odlegªo±ci pomi dzy PM s ustalone. Mo»na to zapisa w postaci ( r i r j ) 2 = c 2 ij. Natomiast te wi zy, których nie da si przedstawi w ten sposób nazywamy nieholonomicznymi. Przykªadem jest ruch PM wewn trz sfery, co zapisujemy w postaci r i < a 2, gdzie a jest promieniem sfery. Wi zy wprowadzaj do zagadnie«mechaniki dwie trudno±ci. Pierwsza z nich polega na tym,»e nie wszystkie wspóªrz dne r i (dla ukªadu PM) s liniowo niezale»ne, poniewa» zwi zane s równaniami, b d¹ nierówno±ciami wi zów. Druga trudno± polega na tym,»e wi zy wprowadzaj nieznane a priori siªy - siªy reakcji wi zów. Mo»e to by np siªa oddziaªywania kuli na stóª. Siª tak nale»y dopiero wyznaczy. Je»eli mamy do czynienia z wi zami holonomicznymi, wówczas pierwsza trudno± zostaje pokonana przez wprowadzenie tzw wspóªrz dnych uogólnionych. We wspóªrz dnych kartezja«skich, jakimi do tej pory posªugiwali±my si, ukªad N PM miaª 3N niezale»nych wspóªrz dnych - je»eli nie byªo wi zów. Mówimy wi c,»e miaª on 3N stopni swobody. Je»eli na ukªad naªo»onych jest k równa«wi zów holonomicznych, postaci (2.38), to spo±ród 3N dotychczasowych zmiennych niezale»nych, tylko 3N k pozostanie w dalszym ci gu niezale»nymi. Ukªad b dzie wi c miaª teraz tylko 3N k stopni swobody. Musimy pozby si tych k zale»nych zmiennych wprowadzaj c 3N k nowych, niezale»nych ju»,

22 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO zmiennych q 1, q 2,..., q 3N k i wyra»aj c stare wspóªrz dne r 1,..., r N przez nowe. Otrzymujemy wtedy ukªad równa«(2.39) r 1 = r 1 (q 1, q 2,..., q 3N k, t),... r N = r N (q 1, q 2,..., q 3N k, t). Równania te mo»na traktowa jako parametryczne przedstawienie zmiennych r 1,..., r N, przy czym równania wi zów nie wchodz jawnie do (2.39). O funkcjach r i (q, t) zakªadamy,»e s klasy C 2. Wprowad¹my oznaczenie n = 3N k na liczb stopni swobody ukªadu z wi zami, lub, co jest równowa»ne, liczb niezale»nych wspóªrz dnych uogólnionych. Maj one inny charakter ni» wspóªrz dne kartezja«skie. Nie mo»na ich podzieli na trzy grupy, tak aby otrzyma wektory. Nie musz tak»e mie wymiaru dªugo±ci. n-wymiarow przestrze«rozpi t przez zmienne q nazywamy przestrzeni konguracyjn. Ka»demu poªo»eniu ukªadu jako caªo±ci w chwili t odpowiada punkt w tej przestrzeni. Ruch ukªadu jest tam przedstawiony jako pewna krzywa. Je»eli wi zy nie zale» od czasu, wówczas zawsze mo»na tak wybra wspóªrz dne uogólnione aby czas nie wchodziª jawnie do (2.39). W przypadku wi zów nieholonomicznych wi zy wprowadzaj ograniczenia na pr dko±ci (pochodne promienia wodz cego), st d te» nazywane s wi zami ró»niczkowymi lub kinematycznymi, w odró»nieniu od wi zów geometrycznych, czyli holonomicznych. W dalszym ci gu zajmowa si b dziemy wyª cznie wi zami holonomicznymi. Rozpatrzmy teraz drug trudno± wywoªan przez naªo»enie wi zów, tzn pojawienie si siªy reakcji wi zów. Wprowad¹my najpierw poj cie przesuni cia rzeczywistego i wirtualnego. Niech na nasz ukªad N PM naªo»onych b dzie k równa«wi zów f α ( r i, t) = 0 (α = 1,..., k; i = 1,..., N). Obliczaj c ró»niczk tego wyra»enia otrzymujemy N f (2.40) α d r i + f α r i t dt = 0 lub i=1 N i=1 f α v i + f α = 0. r i t Ukªad wektorów v i nazywamy pr dko±ciami dopuszczalnymi je»eli speªniaj one równania wi zów. S to wi c pr dko±ci dopuszczalne przez wi zy. Na ogóª dla danego czasu t i poªo»enia punktów ukªadu istnieje niesko«czenie wiele mo»liwych pr dko±ci zgodnych z wi zami. Podczas rzeczywistego ruchu ukªadu realizuje si jeden z nich. Z kolei ukªad niesko«czenie maªych przesuni d r i = v i dt (i = 1,..., N) gdzie v i to pr dko±ci dopuszczalne, nazywamy przesuni ciami dopuszczalnymi, b d¹ rzeczywistymi. Przesuni cia te speªniaj równania wi zów (2.40). Rozpatrzmy teraz dwa ukªady przesuni rzeczywistych dla tego samego czasu t i tego samego poªo»enia pocz tkowego ukªadu PM d r i = v i dt oraz d r i = v i dt. Ka»de z nich speªnia równania wi zów. Wobec tego ich ró»nica δ r i = d r i d r i (i = 1,..., N)

speªnia równanie jednorodne (2.41) N i=1 4. PRAWA ZACHOWANIA 23 f α r i δ r i = 0 (α = 1,..., k) Wielko±ci δ r i nazywamy przesuni ciami wirtualnymi. Aby odczyta sens zyczny obu tych wielko±ci zauwa»my,»e przesuni cia wirtualne ró»ni si od rzeczywistych tym,»e nie wyst puje tam czªon ( f α / t) dt. Dlatego te» cz sto mówi si,»e przesuni cia wirtualne s to przesuni cia przy zamro»onych, niezmiennych, wi zach. Je±li bowiem ustalimy w równaniu wi zów czas, wówczas ró»niczkuj c funkcje f α czªon z dt jest równy 0 i oba wyra»enia s identyczne. W przypadku wi zów stacjonarnych nie ma ró»nicy mi dzy obu typami wi zów. Mamy wobec tego nast puj cy problem - zadane s siªy aktywne F i = F i ( r i, r i, t) dziaªaj ce na punkty ukªadu i dane s zgodne z wi zami poªo»enia pocz tkowe r 0 0 i oraz pr dko±ci pocz tkowe v i punktów ukªadu (i = 1,..., N). Nale»y wyznaczy ruch punktów ukªadu i siªy reakcji wi zów F i R. Przy tak postawionym zadaniu pojawia si trudno± - nale»y wyznaczy 6N wielko±ci skalarnych - x i, y i, z i oraz Fi Rx, F Ry i, Fi Rz (i = 1,..., N), maj c do dyspozycji mniejsz liczb równa«- 3N równa«newtona oraz k równa«wi zów. k oczywi±cie musi by mniejsze od 3N. W przypadku k = 3N ukªad nie ma»adnego stopnia swobody i nie mo»e si porusza. Tak wi c musimy znale¹ dodatkowe n = 3N k równa«. Otrzymamy je je»eli ograniczymy si do pewnej klasy wi zów, które nazywa si cz sto wi zami idealnymi. S to takie wi zy, dla których suma prac na przesuni ciach wirtualnych znika : N (2.42) F i R δ r i = 0. i=1 Spo±ród 3N wielko±ci δx i, δy i, δz i tylko 3N k = n jest niezale»nych. Mo»emy wi c wykorzysta to równanie aby wyrazi przesuni cia zale»ne przez n niezale»nych. Otrzymamy w ten sposób wyra»enie (2.42) w zmiennych niezale»nych. Aby byªo ono speªnione konieczne jest aby zerowaªy si wspóªczynniki przy niezale»nych zmiennych. To daje nam szukanych n równa«. Wprowadzenie przesuni wirtualnych rozszerzyªo klas rozpatrywanych ukªadów. 4.3. Ogólne równanie dynamiki. Zasada prac wirtualnych. Postarajmy si teraz znale¹ równanie opisuj ce ruch ukªadu nieswobodnych PM. Równanie to nie powinno zawiera nieznanych siª reakcji wi zów. Mamy równania Newtona m a i = F i + F R i oraz (2.42). Wyznaczaj c F R z równa«newtona i wstawiaj c do (2.42), dostajemy (2.43) N i=1 ( Fi m i a i ) δ r i = 0, zwane czasami ogólnym równaniem dynamiki. Fi jest tu wypadkow wszystkich siª aktywnych dziaªaj cych na i-ty PM. Równanie (2.43) jest speªnione dla dowolnego ruchu zgodnego z wi zami (o co dbaj siªy reakcji wi zów) pod dziaªaniem siª F. Ogólnie (2.43) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby ruch zgodny z wi zami odpowiadaª zadanemu ukªadowi siª aktywnych. Zajmijmy si teraz na chwil statyk. Rozwa»a b dziemy ukªad N PM znajduj cy si w równowadze. Oznacza to,»e je»eli ukªad znajdowaª si w chwili pocz tkowej w tym poªo»eniu i pr dko±ci wszystkich PM byªy równe zeru, to ukªad pozostanie w tym stanie dowolnie dªugo. Tego typu ruch równie»

24 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO powinien wynika z ogólnego równania dynamiki. Zgodnie z przyj t denicj, w poªo»eniu równowagi v i = 0 a i = 0 i (2.43) redukuje si do N (2.44) F i δ r i = 0. i=1 Równo± ta mówi ca,»e w poªo»eniu równowagi suma prac siª aktywnych na przesuni ciach wirtualnych znika, nazywana jest zasad prac wirtualnych lub zasad Lagrange'a. Jest ona jednocze±nie warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby dane poªo»enie ukªadu zgodne z wi zami byªo poªo»eniem równowagi. Zasada ta znana ju» byªa w czasach Galileusza (XVI-XVII w.) jako zªota zasada mechaniki. Zasad prac wirtualnych otrzymali±my z ogólnego równania dynamiki. Mo»emy teraz spojrze na nie inaczej, a mianowicie potraktowa je jako szczególny przypadek zasady prac wirtualnych, konkretnie jako równanie opisuj ce poªo»enie równowagi ukªadu. Nale»y w tym celu do rzeczywistych siª aktywnych dziaªaj cych na PM doª czy umowne siªy bezwªadno±ci m i a i. Otrzymujemy wówczas zasad prac wirtualnych dla siª ( F i m i a i ). Ujmuje to tzw zasada d'alemberta: Podczas ruchu ukªadu PM dowolne poªo»enie ukªadu mo»na uwa»a za poªo»enie równowagi je»eli do siª aktywnych, F i, dziaªaj cych na ukªad doª czy umowne siªy inercji m a i. Zasada d'alemberta pozwala sprowadzi zagadnienia dynamiki do statyki. Czasami ogólne równanie dynamiki nazywane jest te» zasad d'alemberta. Warto zauwa»y,»e z ogólnego równania dynamiki (2.43) dla wi zów stacjonarnych i ukªadu zachowawczego wynika zasada zachowania energii. Mamy bowiem wtedy δ r i = d r i = r i dt, ( Fi d(m r ) i i ) r i dt = Fi dt r i dt d ( ) 1 dt 2 m r 2 i i dt = 0 ale 1 2 m r i i 2 = T oraz dla ukªadu konserwatywnego Fi r i = dv/dt a wi c d (2.45) (V + T ) dt = 0 dt V + T = E = const. 5. Równania Lagrange'a II rodzaju. Ogólne równanie dynamiki w postaci (2.43) nie ma dogodnej dla rachunków postaci. Wykorzystajmy teraz poj cie wspóªrz dnych uogólnionych. Pozwoli to nam zredukowa liczb równa«ruchu do ilo±ci równej liczbie stopni swobody. Zapiszmy (2.43) we wspóªrz dnych uogólnionych, przejd¹my wi c od zmiennych r i (i = 1,..., N) do zmiennych q j (j = 1,..., n), zgodnie z (2.39) : r i = r i (q 1,..., q n, t). Dla pr dko±ci mamy n r (2.46) i v i = q j + r i (i = 1,..., N) q j t Dla przesuni wirtualnych (branych przy ustalonym czasie) n r (2.47) i δ r i = δq j q j Elementarna praca przy przesuni ciach wirtualnych ma posta N δa = F i, δ r i, i=1

ale ze wzgl du na (2.47) δa = N F i i=1 5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 25 n gdzie Q j s siªami uogólnionymi r i q j δq j = (2.48) Q j = ( n N N i=1 i=1 F i r i q j F i r i q j. W poªo»eniu równowagi δa = 0, wi c równie» n Q j δq j = 0. ) δq j n Q j δq j, Poniewa» wielko±ci q j s liniowo niezale»ne, wi c w poªo»eniu równowagi Q j = 0. Znikanie siª uogólnionych jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie poªo»enia równowagi. Podobnie jak wspóªrz dne uogólnione nie musz mie wymiaru dªugo±ci, tak i siªy uogólnione nie musz mie wymiaru siªy, jednak iloczyn Q j q j musi mie wymiar pracy. Udaªo si nam wyrazi jeden ze skªadników (2.43) we wspóªrz dnych uogólnionych. Zróbmy teraz to samo z drugim. Ma on posta N m i ri δ r i. Ró»niczkuj c (2.46) wzgl dem q k dostajemy (2.49) r i = r i. q k q k Natomiast ró»niczkuj c (2.46) wzgl dem q l dostajemy n i wobec tego Poniewa» T = i 1 2 m iv 2 i Z j = i r i q l = m i ri δ r i = i i m i ri r i q j = d dt i=1 2 r i q j + 2 r i = d r i q j q l t q l dt q l j i m i ri r i q j δq j = j m i ri r i q j i = d m r i i ri m r i i ri. dt q i j q i j jest energi kinetyczn ukªadu, wi c Z j = d dt T T (j = 1,..., n) q j q j Z j δq j d r i m i ri = dt q j Tak otrzymane warto±ci mo»emy teraz podstawi do (2.43) otrzymuj c ogólne równanie dynamiki we wspóªrz dnych uogólnionych n ( d T (2.50) T ) Q j δq j = 0. dt q j q j

26 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Je»eli teraz rozpatrywane wi zy s holonomiczne, wówczas mo»emy wyeliminowa wspóªrz dne zale»ne i wielko±ci δq s niezale»ne, a wi c zerowa si musz wszystkie wspóªczynniki. Otrzymujemy st d ukªad równa«(2.51) d dt T T = Q j q j q j (j = 1, 2,..., n). Równania te, wynikaj ce dla wi zów holonomicznych z ogólnego równania dynamiki, nazywane s równaniami Lagrange'a II rodzaju. Wyst puj ce w nich wielko±ci q j nazywamy pr dko±ciami uogólnionymi. Do równa«tych nie wchodz jawnie siªy reakcji wi zów. Gdyby±my jednak chcieli siªy te wyznaczy. mo»na to zrobi po scaªkowaniu równa«lagrange'a i wyznaczeniu z nich zale»no±ci q j = q j (t). Zale»no±ci te nale»y nast pnie podstawi do równa«r i = r i (q 1,..., q n, t) i wyznaczy st d r i = r i (t). Nast pnie dwukrotnie ró»niczkuj c wzgl dem czasu znale¹ a i = r i. Nieznane siªy reakcji wi zów znajdujemy ze zwi zków F R i = m i a i F i (i = 1, 2,..., n). Tak wi c równania Lagrange'a II rodzaju s szukanym rozwi zaniem postawionego uprzednio problemu. Caªkuj c dwukrotnie te równania otrzymujemy rozwi zanie ogólne, a nast pnie zadaj c warunki pocz tkowe (2n warunków - n dla poªo»e«i n dla pr dko±ci) mo»emy wyznaczy tor PM w przestrzeni konguracyjnej. Jednocze±nie mo»emy te» wyznaczy siªy reakcji wi zów. Równania Lagrange'a II rodzaju (RL2) s ukªadem n równa«ró»niczkowych zwyczajnych drugiego rz du dla n nieznanych funkcyj q j zmiennej niezale»nej t. Rz d ukªadu jest wi c 2n. Je»eli teraz siªy uogólnione Q j nie zale» od pr dko±ci uogólnionych, tzn s postaci Q j = Q j (q 1,..., q n, t) (j = 1,..., n), oraz istnieje taka funkcja V (q 1,..., q n, t),»e (2.52) Q j = V (j = 1,..., n), q j wówczas siªy uogólnione nazywamy potencjalnymi, a funkcj V - potencjaªem tych siª. Je»eli wi c siªy s potencjalne, mo»emy RL2 przepisa w postaci d T (T V ) = 0 (j = 1, 2,..., n). dt q j q j poniewa» jednak potencjaª nie zale»y od pr dko±ci uogólnionych, mo»na to przepisa jako d (T V ) (T V ) = 0 (j = 1, 2,..., n). dt q j q j lub te» wprowadzaj c now funkcj, zwan funkcj Lagrange'a b d¹ Lagrangianem (2.53) L = T V, mo»emy zapisa RL2 w postaci (2.54) d dt L L = 0, q j q j gdzie L(q j, q j, t) = T (q j, q j, t) V (q j, t). Równania (2.54) to RL2 dla siª potencjalnych.

5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 27 Warunki kiedy energia caªkowita jest zachowana Poka»emy teraz,»e energia kinetyczna ukªadu stacjonarnego jest funkcj jednorodn stopnia drugiego pr dko±ci uogólnionych. Mamy bowiem gdzie = 1 2 a jk = = 1 2 N i=1 N i=1 T = 1 2 N i=1 m i m i m i r i q j N 2 m i r i = 1 2 i=1 N i=1 n r i q j q j n n k=1 = 1 2 r i q j 2 m i + 2 n r i q k q j q k + 2 n a jk q j q k + j,k r i q k, a j = 2 N i=1 n r i q j + r i q j t r i q j r i t q j + n r i q j r i t q j + n a j q j + a 0 m i r i q j r i t, a 0 = 1 2 2 = ( ) 2 ri = t ( ) 2 ri = t N i=1 ( ) 2 ri m i. t Ogólnie wi c dla ukªadu holonomicznego energia kinetyczna jest wielomianem stopnia drugiego wzgl dem pr dko±ci uogólnionych T = T 2 + T 1 + T 0, T 2 = 1 a jk q j q k, 2 j,k T 1 = a j q j, j T 0 = a 0. Je»eli nasz ukªad jest stacjonarny (skleronomiczny), wówczas wi zy i równania ª cz ce r i z q j nie zale» jawnie od czasu i r/ t = 0 i wobec tego a 0 = a j = 0. Ostatecznie dla ukªadu holonomicznego i stacjonarnego mamy (2.55) T = T 2 = 1 a jk q j q k. 2 Energia kinetyczna jest, jak wida, funkcj jednorodn stopnia 2 pr dko±ci uogólnionych. Poka»emy teraz od czego zale»y zmiana caªkowitej energii ukªadu. Caªkowit energi ukªadu E okre±limy jako sum E = T + V. Narazie nie zakªadamy niczego, poza holonomiczno±ci, o naszym ukªadzie. Nie musi by on stacjonarny i obok siª potencjalnych mog wyst powa siªy niepotencjalne. Bada b dziemy caªkowit zmian energii w czasie, de/dt. Zacznijmy od obliczenia dt/dt, gdzie T = T (q j, q j, t) (2.56) dt dt = n ( T q j + T ) q j + T q j q j t = d dt j,k n T q j + q j Skorzystamy teraz ze znanego z analizy wzoru Eulera dla funkcyj jednorodnych n f (2.57) x j = mf, f(λx i ) = λ m f(x i ), x j n [ T d ( )] T q j + T q j dt q j t

28 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO gdzie m jest stopniem jednorodno±ci. Np f(x, y) = x 2 + xy jest funkcj jednorodn stopnia drugiego. W naszym ogólnym przypadku T = T 2 + T 1 + T 0, gdzie dolny wska¹nik jest stopniem jednorodno±ci. Tak wi c n T q j = T 1 + 2T 2. q j Korzystaj c z RL2 (2.51) w przedostatnim czªonie (2.56), dostajemy dt dt = d n dt (T 1 + 2T 2 ) Q j q j + T t Poniewa» na ukªad dziaªaj zarówno siªy potencjalne jak i niepotencjalne ( ˆQ j ), wi c Q j = ˆQ j V/ q j. St d dt dt = d dt (T 1 + 2T 2 ) + T n t + ( ) V q ˆQ j q j = j 2 dt dt d dt (T 1 + 2T 0 ) + T t + dv dt V t n Korzystaj c z tego,»e T + V = E, mamy w ko«cu (2.58) de dt = n ˆQ j q j + d dt (T 1 + 2T 0 ) T t + V t. Wzór ten daje nam zmian caªkowitej energii ukªadu holonomicznego w czasie ruchu. Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki (1) Ukªad stacjonarny ˆQ j q j. r/ t = 0 T 1 = T 0 = 0 T = T 2 T/ t = 0, poniewa» T mo»e zale»e od czasu tylko poprzez r (p. wzory dla a jk, a j i a 0 ). de dt = n ˆQ j q j + V t. (2) Ukªad stacjonarny i potencjaª nie zale»y jawnie od czasu V = V (q j ) de dt = n (3) Ukªad konserwatywny - tzn stacjonarny, wszystkie siªy s potencjalne i potencjaª nie zale»y od czasu de dt = 0 E = const. a wi c caªkowita energia ukªadu jest zachowana. St d te» nazwa - ukªad konserwatywny. Jako pierwszy przykªad posªugiwania si RL2 rozpatrzmy ruch PM bez wi zów. Najprostszy wybór wspóªrz dnych uogólnionych to wspóªrz dne kartezja«skie. Mamy wtedy ˆQ j q j. T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). T x = T y = T z = 0;

5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 29 T ẋ = mẋ, T ẏ = mẏ, T ż = mż. Na PM dziaªa siªa F = (F x, F y, F z ) i wobec tego RL2 maj posta d dt (mẋ) = F d x, dt (mẏ) = F d y, dt (mż) = F z i jak wida, pokrywaj si z równaniami Newtona dla PM bez wi zów. Równa«tych jest trzy, poniewa» na PM nie s naªo»one»adne wi zy, a wi c ma on trzy stopnie swobody i posªugujemy si trzema wspóªrz dnymi uogólnionymi, które w tym przypadku s wprost wspóªrz dnymi kartezja«skimi. Je»eli dana jest siªa zewn trzna F, to caªkuj c otrzymane równania ruchu mo»emy (przynajmniej w zasadzie) otrzyma równania toru PM, co jest rozwi zaniem postawionego problemu. W przykªadzie, który przed chwil rozpatrzyli±my wybór wspóªrz dnych uogólnionych byª wªa±ciwie automatyczny. Niestety nie istnieje»adna ogólna metoda. która pozwalaªaby na najlepszy wybór wspóªrz dnych uogólnionych. Najlepszy tzn taki, który pozwoli rozwi za dany problem najszybciej i najpro±ciej. Potrzebne jest tutaj pewne wyczucie i wprawa. Np gdy PM znajduje si pod dziaªaniem siªy centralnej, wskazany jest wybór wspóªrz dnych sferycznych, gdy» na ogóª siªa taka nie zale»y od kierunku lecz tylko od odlegªo±ci od centrum siªy, tzn F = F (r), a wi c od jednej tylko wspóªrz dnej biegunowej z pary (r, ϕ), natomiast we wspóªrz dnych kartezja«skich zale»y od obu, zwi zanych ze sob, zmiennych (x, y). Jako drugi, nieco mniej banalny przykªad, rozpatrzymy ruch PM w polu siªy grawitacyjnej. Ruch ten wyznaczali±my poprzednio korzystaj c z równa«newtona. Ruch PM odbywa si w polu siªy centralnej, jest wi c pªaski, co stanowi jedno ograniczenie na ruch PM - jedno równanie wi zów. Mamy st d 2 stopnie swobody i jako wspóªrz dne uogólnione mo»emy wybra np wspóªrz dne kartezja«skie (x, y). Potencjaª ma posta V = V (y) = mgy natomiast energia kinetyczna i st d funkcja Lagrange'a St d równanie dla wspóªrz dnej x d dt i dla wspóªrz dnej y i st d T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) mgy. L y = mg, L ẏ = mẏ, L ẋ L x = d dt mẋ = 0 ẋ = const = C 1 x(t) = C 1 t + C 2, d L dt ẏ L y = d mẏ + mg = 0 dt ẏ = gt + C 3 y(t) = 1 2 gt2 + C 3 t + C 4. Wybieraj c warunki pocz tkowe odpowiadaj ce np swobodnemu spadkowi z punktu (0, y 0 ) dostajemy St d mamy dla staªych ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = y 0. ẋ(0) = C 1, x(0) = C 2 C 1 = C 2 = 0, ẏ(0) = C 3, y(0) = C 4 C 3 = 0, C 4 = y 0.

30 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Ostatecznie wi c dostajemy równanie dla PM y(t) = 1 2 gt2 + y 0. Jako nast pny przykªad znajdziemy równanie ruchu (RL2) dla wahadªa matematycznego. Jest to PM o masie m zawieszony na niewa»kiej i nierozci gliwej nici o zadanej dªugo±ci l, na który dziaªa siªa grawitacji. Zaczniemy od znalezienia liczby stopni swobody takiego ukªadu. W zale»no±ci od tej liczby b dziemy mieli odpowiedni liczb wspóªrz dnych uogólnionych. Ukªad zªo»ony jest z 1 PM, a wi c liczba stopni swobody n = 3 k, gdzie k to liczba równa«wi zów. Ruch wahadªa odbywa si w staªej pªaszczy¹nie, np z = 0, co daje jedno równanie wi zów. Poniewa» PM zawieszony jest na nici o staªej dªugo±ci, wi c x 2 + y 2 = l 2 = const. Mamy dwa równania wi zów, czyli nasz ukªad ma jeden stopie«swobody (n = 3 2 = 1). Wprowadzimy wi c jedn zmienn uogólnion. Najlepiej jest w tym celu wybra k t ϕ wychylenia PM od osi O y. Mamy wtedy x = l sin ϕ, y = l cos ϕ, z = 0. Siªa grawitacji dziaªaj ca na PM skierowana jest np wzdªu» osi O y, tzn F = (0, mg, 0). Potencjaª tej siªy V = F d r = mgy = mgl cos ϕ. Dalej St d Dla funkcji Lagrange'a mamy ẋ = l ϕ cos ϕ, ẏ = l ϕ sin ϕ T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = 1 2 m(l2 ϕ 2 cos 2 ϕ + l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ) = 1 2 ml2 ϕ 2. L = T V = 1 2 ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ. L L = mgl sin ϕ, ϕ i jedno RL2, bo jest jedna wspóªrz dna uogólniona d dt ϕ = ml2 ϕ L ϕ L ϕ = ml2 ϕ + mgl sin ϕ = 0. Ostatecznie l ϕ + g sin ϕ = 0. Równanie to daje si prosto rozwi za w wypadku maªych wychyle«, tzn wtedy gdy sin ϕ = ϕ. Równanie ruchu ma wtedy posta l ϕ + gϕ = 0, a wi c jest takie jak równanie oscylatora harmonicznego.