05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi (lub łącznie niezależnymi), gdy P(A i A i2... A ik ) = P(A i ) P(A i2 )... P(A ik ), dla wszystkich ciągów wskaźników (i, i 2,..., i k ), gdzie i < i 2 <... < i k n, k = 2,,..., n. Zanim sformułujemy twierdzenie dotyczące zdarzeń niezależnych, wprowadźmy następujące oznaczenie: jeżeli A jest zdarzeniem losowym, to przyjmujemy A 0 = A oraz A = A. Twierdzenie.. Następujące warunki są równoważne: (a) zdarzenia A,..., A n są niezależne; (b) dla każdego ciągu ε,..., ε n, gdzie ε i {0, }, i =,..., n, zdarzenia A ε, Aε2 2,..., Aεn n (c) dla każdego ciągu ε,..., ε n, gdzie ε i {0, }, i =,..., n, zachodzi równość P(A ε... Aεn są niezależne; n ) = P(A ε )... P(Aεn n ). Definicja.. Schematem Bernoulliego będziemy nazywać skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwu możliwych wynikach, nazywanych umownie sukcesem i porażką. Poszczególne doświadczenia będziemy nazywać próbami Bernoulliego. Twierdzenie. 2. Prawdopodobieństwo pojawienia się dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób, z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p, wynosi ( ) n p k ( p) n k. k A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω, ω 2, ω }, B = {ω, ω 2, ω } i C = {ω, ω, ω }. Pokazać, że P(A B C) = P(A) P(B) P(C), ale zdarzenia A, B, C nie są niezależne. Zadanie A.2. Zdarzenia losowe A, B, C, D, E są niezależne oraz P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(D) = d, P(E) = e. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a. (A B C) D E, b. (A c B c ) (A B) Zadanie A.. W urnie znajdują się trzy kule, po jednej w kolorach amarantowy, biały i czarny. Eksperyment polega na wylosowaniu jednej kuli z urny (ze zwracaniem). Powtarzamy eksperyment niezależnie 0 razy. Korzystając z niezależności wyników eksperymentów, wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a. co najmniej raz została wylosowana kula amarantowa; b. co najmniej razy została wylosowana kula amarantowa; c. dokładnie razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; d. dokładnie razy została wylosowana kula amarantowa, w tym za pierwszym i drugim razem; e. dokładnie razy została wylosowana kula amarantowa, jeśli wiadomo, że za pierwszym i drugim razem została wylosowana kula amarantowa; f. w pięćdziesiątym eksperymencie wylosowaliśmy amarantową kulę po raz dziesiąty; g. dokładnie razy wylosowaliśmy kulę amarantową i dokładnie 20 razy kulę białą. Zadanie A.. Adam, Bolek i Czesio rzucają w tej właśnie kolejności monetą symetryczną, tak długo aż któryś z nich wyrzuci pierwszego orła. Wygrywa ten, który wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy. Zadanie A.5. Wielokrotnie losujemy jedną kartę z talii 52 kart aż do wylosowania asa. Wyznacz prawdopodobieństwo, że w trakcie eksperymentu nie wylosowaliśmy ani razu króla czerwonego.
Zadanie A.6. W kieszeni mamy dwie monety. Na jednej a nich orzeł wypada z prawdopodobieństwem / a na drugiej z prawdopodobieństwem /. (I) 200 razy wykonujemy następującą operację: wyjmujemy z kieszeni losowo monetę i rzucamy nią jeden raz (następnie monetę odkładamy do kieszeni). (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wypadł orzeł? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wypadł orzeł? (c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 60 razy wypadł orzeł? (d) Wiadomo, że za pierwszym razem wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wypadł orzeł? (II) Odpowiedz na pytania (a) (d) w przypadku, gdy najpierw wyjmujemy losowo wybraną monetę, a następnie rzucamy nią 200 razy. Zadanie A.7. Mamy dwie kostki. Jedna z nich ma 2 ścianki czarne i ścianki białe, a druga ma ścianki czarne i 2 ścianki białe. Najpierw losujemy kostkę (każdą z prawdopodobieństwem /2), a następnie rzucamy nią 0 razy. Dokładnie 60 razy wypadła biała ścianka. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wybraliśmy pierwszą z kostek? B Zadania domowe Zadanie B.. Załóżmy, że P(B) (0, ). Wykaż, że zdarzenia A, B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P(A B) = P(A B ). Zadanie B.2. Zad.,.. Zadanie B.. Zad.,.. Zadanie B.. Zad. 8,.. Zadanie B.5. Losujemy jedną kartę ze standardowej talii 52 kart. Zbadaj niezależność zdarzeń: A wyciągnięto figurę oraz B wyciągnięto asa trefl lub dwójkę karo. Zadanie B.6. Rzucamy n razy monetą symetryczną. Czy zdarzenia A wypadnie co najwyżej orzeł i B moneta nie będzie upadać zawsze na tą samą stronę są niezależne? UWAGA: Rozważ oddzielnie przypadki n = i n. Zadanie B.7. Trzy ściany czworościanu zostały pomalowane na biało, czerwono i zielono, zaś czwarta w pasy biało czerwono zielone. Doświadczenie polega na rzuceniu czworościanu na płaszczyznę i obserwowaniu koloru ściany, na którą upadł czworościan. Zdarzenia B, C, Z określono następująco: B czworościan upadł na ścianę z kolorem białym (paskowana też możliwa) C czworościan upadł na ścianę z kolorem czerwonym (paskowana też możliwa) Z czworościan upadł na ścianę z kolorem zielonym (paskowana też możliwa) Czy zdarzenia B, C, Z są niezależne parami? Czy zdarzenia te są niezależne? Zadanie B.8. Spośród liczb {, 2,, } losujemy kolejno dwie bez zwracania. Niech A będzie zdarzeniem: pierwsza liczba jest co najwyżej 2, B druga liczba jest co najmniej, C pierwsza liczba jest parzysta i druga nieparzysta. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne parami? Czy zdarzenia te są niezależne? Zadanie B.9. Rzucamy dwiema kostkami. Niech A będzie zdarzeniem, że na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, B na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, a C suma liczb wyrzuconych na obu kostkach jest nieparzysta. Zbadaj czy niezależne są zdarzenia A i B oraz A, B i C. Zadanie B.. Zdarzenia A, A 2,..., A 0 są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo /. Jaka jest szansa, że a. zajdzie co najmniej jedno z nich? b. nie zajdzie żadne z nich? c. zajdą dokładnie trzy z nich? d. zajdą co najwyżej dwa? e. zajdą co najmniej trzy z nich? f. zajdzie A 0 lub zajdą co najmniej dwa z nich? 2
g. zajdą tylko A 2 i A 5? Zadanie B.. Zdarzenia A, B i C są niezależne. Wiemy, że P(A) = 2 i P(B) = P(C) =. Ile wynosi a. P(A \ B)? b. P(A B C)? c. P((A B) \ C)? Zadanie B.2. Zad. 9,.. Zadanie B.. Eksperyment polega na wylosowaniu jednej karty z talii 52 kart. Powtarzamy go 20 razy niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A : a. dokładnie 7 razy wylosowaliśmy króla. b. co najmniej raz wylosowaliśmy asa pik. c. dokładnie 8 razy wylosowaliśmy kiera w tym za pierwszym i ostatnim razem. d. dokładnie 6 razy wylosowaliśmy asa, jeśli wiadomo, że za pierwszym i ostatnim razem wylosowaliśmy asa. e. w szóstym eksperymencie wylosowaliśmy króla po raz trzeci. f. dokładnie 6 razy wylosowaliśmy asa, dokładnie 2 razy damę i dokładnie razy dziewiątkę. Zadanie B.. Rzucamy kostką do momentu wypadnięcia szóstki. Jaka jest szansa, że liczba rzutów jest parzysta? Zadanie B.5 (Zad. 7,.). Adam, Bolek i Czesio rzucają w tej właśnie kolejności monetą niesymetryczną (orzeł wypada z prawdopodobieństwem p (0, ]) tak długo, aż któryś z nich wyrzuci orła. Wygrywa ten, który wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy. Zadanie B.6. Rzucamy standardową kostką do momentu wyrzucenia dwójki. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną tylko liczby parzyste. Zadanie B.7. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia dziesiąty sukces uzyskano w trzydziestym doświadczeniu w schemacie 0 niezależnych doświadczeń z prawdopodobieństwem sukcesu /? Zadanie B.8. Przyjmijmy, że szansa, iż mężczyzna jest brunetem wynosi 55%, szansa, że jest on blondynem wynosi 0%; łysi zaś stanowią 5% mężczyzn. Badania wykazały, że uzależnionych od komputera jest 20% spośród blondynów, 5% spośród brunetów oraz % spośród łysych. Przeprowadzono sondę, polegającą na 0-krotnym losowaniu mężczyzny (powtórzeń nie wykluczamy) i sprawdzeniu czy jest uzależniony od komputera. Oblicz prawdopodobieństw, że a. pierwszy z wybranych mężczyzn jest uzależniony od komputera. b. dokładnie 20 razy trafiono na mężczyznę uzależnionego od komputera. c. drugi zapytany mężczyzna jest uzależniony od komputera, jeśli wiemy, że pierwszy wybrany mężczyzna jest uzależniony. d. trzech pierwszych wybranych mężczyzn jest uzależnionych. Zadanie B.9. Strzelcy A, B i C trafiają do tarczy niezależnie, z prawdopodobieństwami odpowiednio 5, 2 oraz 2 5. Wszyscy jednocześnie strzelili do tarczy i okazało się, że dokładnie dwa strzały są celne. Czy bardziej prawdopodobne jest, że C trafił czy chybił? Zadanie B.20. W pewnej grze hazardowej można grać za 0 złotych, wtedy szansa wygranej wynosi /5 lub za złotych, wtedy szansa wygranej wynosi /. Daria wybiera kwotę którą obstawia: 0 zł z prawdopodobieństwem / i zł z prawdopodobieństwem /. A następnie gra za tą kwotę 50 razy. a. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Daria wygrała 20 razy? b. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Daria wygrała pierwsze gry? c. Wiemy, że Daria wygrała razy. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że zagrała za złotych? d. Wiemy, że Daria wygrała za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że wygrała za drugim razem? e. Wiemy, że Daria wygrała za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że wygrała trzy pierwsze gry? Zadanie B.2. Damian ma talię 52 kart i talię 2 kart (od 9 do Asa). Damian wybiera losowo (każdą z prawdopodobieństwem /2) talię kart i z wybranej talii losuje 0 razy ze zwracaniem po jednej karcie.
a. Damian wylosował razy Króla, ile wynosi prawdopodobieństwo, że wybrał talię 2 kart. b. Damian wylosowała Asa za pierwszym razem. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo, że w kolejnym losowaniu wybrał Damę? Zadanie B.22. Mamy trzy substancje: A, B i C, które wybuchają z prawdopodobieństwem odpowiednio, oraz. Przyjaciel wybiera dla nas losowo, z jednakowym prawdopodobieństwem, jedną z substancji, a następnie przeprowadzamy niezależnych prób sprawdzających, czy ta substancja wybuchnie. Okazało się, że dokładnie próby zakończyły się wybuchem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyjaciel podał nam substancję A? Zakładamy, że wybuchy są niegroźne i nawet po wybuchu jesteśmy w stanie testować substancje dalej. Zadanie B.2. Zad.,.. C Zadania dla chętnych Zadanie C.. Zad. 2,.2. (Rozwiązanie ma być zwięzłe - nie w postaci sumy) Zadanie C.2. Zad.,.2 Zadanie C.. Zad. 5,.2. Zadanie C.. Zad. 8,.2. Zadanie C.5. Zad.,.2. Zadanie C.6. Na każdej z monet orzeł wypada z prawdopodobieństwem 5. Orłom i reszkom na tych monetach przypisujemy punkty: moneta orzeł p., reszka 2p.; moneta 2 orzeł i reszka po p.; moneta orzeł p, reszka 20p. Grasz z kolegą w grę, która polega na tym, że najpierw kolejno każdy z Was wybiera monetę, a następnie obaj rzucacie raz wybranymi monetami. Wygrywa ten, kto zdobędzie więcej punktów. Czy w tej grze warto być pierwszym graczem czy drugim? Zadanie C.7. Pasikonik skacze po osi liczb rzeczywistych, z równym prawdopodobieństwem o jeden w lewo co o jeden w prawo. Zaczyna w punkcie 0. W punkcie jest przepaść. Wszystkie punkty poza są bezpieczne. Jaka jest szansa na to, że pasikonik spadnie w przepaść. Jak zmieni się odpowiedź, gdy pasikonik skacze w prawo z prawdopodobieństwem p a w lewo z prawdopodobieństwem q = p,dla p > q. Uwaga: Przypadek p < q jest o wiele bardziej skomlikowany. Dlaczego? Zostawiamy jako zadanie dla wytrwałych.
Odpowiedzi do niektórych zadań B.5 zależne B.6 zależne dla n i niezależne dla n = B.7 niezależne parami, A, B, C zależne B.8 nie są niezależne parami nie są niezależne B.9 niezależne parami, A, B, C zależne B. a) ( 9 b) ( 9 c) ( 0 d) ( 9 ) 0 ) 9 27 0 e) ( ( 9 f) ( 9 g) 928 0 B. a) / b) 8/9 c) /9 ) 0 ) 0 + 0 9 29 + ( 0 0 2 B. a) ( ) ( 20 ) 7 ( 2 7 b) ( 5 52 ) 9 28 ) 0 + 0 9 29 + ( 0 0 2 ) 0 ( 29 ) ( 9 29 ) ) 20 ) 2 c) ( ) ( 8 8 ( 6 ) d) ( ) ( 8 ) ( 2 e) ( ( 5 ) ( 2 2) f) ( 20 6 B. 5/ )( 2 ) ) ) )( 2 ) ( ) 2 ( ) 8 B.5 Prawdopodobieństwo wygranej: B.6 / 0 ) ) 9 28 0 Adama równa się p/( ( p) ) Bolka jest równe p( p)/( ( p) ) Czesia wynosi p( p) 2 /( ( p) ) B.7 ( 29 9 ) ( ) ( 2 ) 20 B.8 a) 9 80 b) ( ) ( 0 9 ) 20 ( 7 ) 80 20 80 80 c) 9 80 d) ( 9 80 ) B.9 Bardziej prawdopodobne, że trafił: 9 > 9 9 5
( 50 ( B.20 a) 20 ( 20) 5) 5 b) ( ) 5 + ( c) ) 0 + ) ( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 2 ) 0 +( 5) ( 5) 0 d) ( 5) 2 + ( ) 2 5 + e) ( 5) + ( ) 5 + ( B.2 a) 6) ( 5 6) 20 ( ) ( 2 ) 20 +( 6) ( 5 6) 20 b) 205/82 ( 50 ( 20 ( 2 ) 0 20) ) B.22 2 7 2 + 5 6