ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

Transkrypt

1 ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste? A. 16 B. 20 C. 24 D. 25 Zad. 2. (1 pkt) Wybieramy jedną liczbę ze zbioru i jedną liczbę ze zbioru. Na ile sposobów można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Zad. 3. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest A. 25 B. 24 C. 21 D. 20 Zad. 4. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest A. 16 B. 20 C. 25 D. 30 Zad. 5. (1 pkt) Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa A. 25 B. 20 C. 15 D. 12 Zad. 6. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą. Zad. 7. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20? Zad. 8. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności? Zad.9. ( 5 pkt ) W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. Czas ( w godzinach ) Liczba uczniów a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu. b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań domowych. c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego na przygotowanie zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do 0,01. Zad. 10. ( 5 pkt) Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. Opracowała D. Brzezińska 1

2 Masa kostki masła ( w dag ) Liczba kostek masła a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 11. ( 4 pkt) Właściciel kiosku notował liczbę biletów komunikacji miejskiej sprzedanych w kolejnych godzinach. Wyniki obserwacji zapisał w tabeli. Czas obserwacji Liczba biletów 5:00 6:00 2 6:00 7:00 3 7:00 8:00 9 8:00 9:00 8 9:00 10: :00 11: :00 12: :00 13: :00 14: :00 15: :00 16: :00 17:00 6 a) Oblicz średnią liczbę biletów sprzedanych w ciągu 1 godziny. b) Wynikiem typowym nazywamy wynik, który różni się od średniej o mniej niż jedno odchylenie standardowe. Podaj wszystkie godziny, w których liczba sprzedanych biletów nie była typowa Zad. 12. (1 pkt) Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie słupkowym. Średnia ocen ze sprawdzianu jest równa A. 4 B. 3,6 C. 3,5 D. 3 Opracowała D. Brzezińska 2

3 Zad. 13. ( 1 pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x. A. B. C. D. Zad. 14. ( 1 pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x, 2x jest równa 2n. Wynika stąd, że A B. C. D. Zad. 15. (2 pkt) Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x. Zad. 16. (2 pkt) Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz x i medianę tych pięciu ocen. Zad. 17. (1 pkt) Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 Zad. 18. (1 pkt) Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa Wartość liczebność A. 0 B. 0,5 C. 1 D. 5 Zad. 19. (2 pkt) Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności Wartość liczebność Zad. 20. (1 pkt) O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 i P( A B) = 0,7. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek A. B. C. D. Zad. 21. (1 pkt) O zdarzeniach losowych A i B są zawartych w Ω wiadomo, że B A, P(A) = 0,7 i P(B) = 0,3. Wtedy A. B. C. D. Zad. 22. (2 pkt) A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że A B oraz i. Oblicz Zad. 23. (1 pkt) Ze zbioru liczb } wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. B. C. D. Opracowała D. Brzezińska 3

4 Zad. 24. (1 pkt) Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech wyrzucenia i oczek w i-tym rzucie. Wtedy A. B. C. D. oznacza prawdopodobieństwo Zad. 25. (1 pkt) W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy A. B. C. D. Zad.26. (2 pkt) Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe 7 1. Oblicz, ile jest losów pustych. Zad.27. ( 3 pkt) Ośmiu uczniów, wśród których są Ola i Janek, ustawiło się losowo w kolejce do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że Ola i Janek nie stoją obok siebie. Wyniki przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zad.28. (3 pkt) Zorganizowano dwie loterie fantowe. W pierwszej przygotowano 100 losów, w tym jeden wygrywający, a w drugiej 200 losów, w tym dwa wygrywające. W której z tych loterii, gracz kupujący dwa losy, ma większe prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego losu wygrywającego? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 29.(3 pkt) Spośród odcinków o długościach 3, 4, 5, 6, 7 losujemy trzy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt. Zad.30. ( 3 pkt ) W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kule czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia. Zad. 31. ( 4 pkt ) Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek, b) B- suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9, c) C suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9. Zad. 32.( 4 pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Opracowała D. Brzezińska 4

5 Zad.33. ( 2 pkt) Ze zbioru liczb losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3. Zad.34.( 4 pkt ) W jednej szufladzie znajduje się 6 czapek: 3 zielone, 2 czerwone i 1 niebieska, a w drugiej szufladzie jest 7 szalików: 2 zielone, 1 czerwony i 4 niebieskie. Wyjęto losowo jedną czapkę i jeden szalik. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A wylosowana czapka i wylosowany szalik są tego samego koloru. Zad.35. ( 4 pkt) W pudełku znajduje się 6 kul białych i 2 czarne. Wyciągnięto z niego jedną kulę, odkładamy ją i losujemy druga kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kule różnych kolorów. Zad. 36. Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7.Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów. Zad. 37. (4 pkt) Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. Zad. 38. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1. Zad. 39. (2 pkt) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2. Zad. 40. (2 pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15. Zad. 41. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5. Zad. 42. (2 pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedna liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12. Zad. 43. (5 pkt) Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. Zad. 44. (4 pkt) Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów na miejsca od od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo Opracowała D. Brzezińska 5

6 zdarzenia polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca? Zad. 45. (4 pkt) Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Rodzaj kupionych biletów Liczba osób ulgowe 76 normalne 41 Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka. Opracowała D. Brzezińska 6

7 ZADANIA MATURALNE RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować? Zad.2. (3 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15. Zad.3. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12. Zad. 4. (3 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5. Zad. 5. Ze zbioru liczb wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że: a) ich różnica będzie liczbą parzystą, b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery? Zad.6. (4 pkt) Tworzymy wszystkie liczby siedmiocyfrowe o cyfrach należących do zbioru w liczbie mogą się powtarzać. Ile jest takich liczb, w których: a) cyfry 3 i 4 sąsiadują ze sobą i pozostałe cyfry są większe od 4; b) cztery cyfry są równe 5 i pozostałe cyfry różnią się między sobą; c) co najmniej dwie cyfry są nie mniejsze niż 4? Zad.7. (3 pkt) Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz =0,1 i =0,2. Wykaż, że 0,7.. Cyfry Zad.8. ( 4 pkt) Niech A, B będą zdarzeniami losowymi, takimi że oraz. Zbadaj, czy zdarzenia A i B są rozłączne. Zad. 9. ( 4 pkt) Oblicz prawdopodobieństwo, jeśli, i. Zad. 10. ( 4 pkt) A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykaż, że jeżeli i, to ( oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia ). Zad.11. (5 pkt) Zawierając w kolekturze Toto Lotka jeden zakład w grze Expres-Lotek zakreślamy 5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych liczb. Wynik zaokrąglij do 0, Opracowała D. Brzezińska 7

8 liczba błędnie rozwiązanych zadań liczba rozwiązanych zadań Zad.12. (5 pkt) W pierwszej loterii jest n ( n > 2 ) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii jest 2n losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej? Odpowiedź uzasadnij. Zad.13. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że jedynka wypadnie co najmniej cztery razy. Zad.14. (3 pkt) Spośród wierzchołków kwadratu i środków jego boków wybieramy losowo trzy różne punkty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrane punkty są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego. Zad.15. (4 pkt) Czterech uczniów I, II, III, IV, przygotowujących się do egzaminu maturalnego z matematyki, podzieliło się rozwiązywaniem 2000 zadań. Każdy z uczniów przygotował oddzielny zeszyt z rozwiązaniami zadań. Liczby rozwiązanych zadań w zeszytach uczniów I, II, III IV oraz dane dotyczące liczby błędnych rozwiązań ilustrują podane niżej diagramy 1 i 2. Diagram zeszyt I zeszyt II zeszyt III zeszyt IV Diagram zeszyt I zeszyt II zeszyt III zeszyt IV Nauczyciel zamierza wylosować jeden zeszyt z rozwiązaniami, a następnie z tego zeszytu sprawdzić rozwiązanie jednego losowo wybranego zadania. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wybranym rozwiązaniu nie będzie błędu. Opracowała D. Brzezińska 8

9 Zad. 16. (4 pkt ) Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się autobusu w losowo wybrany dzień nauki. Zad. 17. (4 pkt ) Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie. Zad. 18. (5 pkt ) Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: A - na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek, B -suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3. Zad.19. (4 pkt ) Grupa 4 kobiet i 4 mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na wąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe ustawienia osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze od 0,001. Zad. 20. (4 pkt ) Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od. Zad. 21. (5 pkt ) Ze zbioru Z 1, 2, 3,..., 2n 1, gdzie n N wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe od. Zad. 22. (4 pkt ) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym dla każdej liczby naturalnej n 1. Ze zbioru liczb 1 a2, a3,..., 11 a, a losujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie że zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A wylosujemy trzy liczby całkowite, które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego. Zad. 23. (4 pkt) W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul białych w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od. Opracowała D. Brzezińska 9

10 Zad. 24. (5 pkt) Doświadczenie losowe polega na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A liczba rzutów, w których otrzymamy sześć oczek, będzie równa liczbie rzutów, w których uzyskamy jedno oczko. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zad. 25.( 5 pkt) Na stole stoją dwa identyczne koszyki, w których znajduje się po 15 jednakowej wielkości piłeczek. Piłeczki są w kolorze żółtym i czerwonym. W obu koszykach liczba piłeczek żółtych jest taka sama. Z każdego koszyka losujemy jedną piłeczkę. Ile powinno być w każdym koszyku żółtych piłeczek, aby prawdopodobieństwo wylosowania piłeczek różnych kolorów było największe? Zad.26. (5 pkt) W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie. od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto Zad.27. (4 pkt) W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01. Zad.28. (4 pkt) Ze zbioru losujemy kolejno, bez zwracania trzy cyfry i tworzymy liczbę trzycyfrową: pierwsza wylosowana cyfra jest cyfra setek, druga cyfrą dziesiątek, a trzecia cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana liczba ma następująca własność; różnica między największą i najmniejszą cyfrą tej liczby jest nie większa niż 3. Zad.29. (4 pkt) Ze zbioru liczb, gdzie jest ustaloną liczbą naturalną, większą od 4, losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeśli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne. Wiedząc, że =, oblicz. Zad.30. (4 pkt) Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru. Zad.31. (4 pkt) Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60. Zad.32. (4 pkt) Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru. Opracowała D. Brzezińska 10

11 Zad.33. (4 pkt) Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul. Zad.34. (4 pkt) W zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych. Zad. 35. Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary, B wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para. Zad. 36. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w sześciostopniowej skali ocen). Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku. Zad. 37. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym dla każdej liczby naturalnej. Ze zbioru liczb losujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A wylosujemy trzy liczby całkowite, które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego. Zad. 38. ( 0-5) Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Zad. 39. ( 0-5) Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki. Zad. 40. ( 0-3) Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste. Zad. 41. ( 0-4) Oblicz sumę wszystkich liczb siedmiocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 i 3, wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać. Opracowała D. Brzezińska 11

12 Zad. 42. ( 0-7) Oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24. Zad. 43. ( 0-6) Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w zapisie których występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5. Zad. 44. ( 0-6) Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 4. Zad. 45. Uzasadnij, że istnieje dokładnie 1908 nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka. Zad. 46. ( 2 pkt ) Niech będą zdarzeniami losowymi zawartymi w. Wykaż, że jeżeli, to. Zad. 47. ( 1 pkt) Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. B. C. D. Zad. 48. ( 0-3) Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 8, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Zad. 49. ( 0-3) Niech będą zdarzeniami losowymi zawartymi w. Wykaż, że jeżeli =0,7 i =0,8, to. oznacza prawdopodobieństwo warunkowe. Zad. 50. ( 0-4) Wybieramy losowo jedną liczbę ze zbioru i gdy otrzymamy liczbę, to rzucamy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zad. 51. ( 3 pkt) Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby k jest dane wzorem:. Rozważmy dwa zdarzenia: zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru, zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe. Opracowała D. Brzezińska 12

13 Zad. 52. ( 5 pkt) Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną jedynkę, pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę. Zad. 53. ( 4 pkt) W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe. Zad. 54. ( 3 pkt) Rozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia równocześnie trzy warunki: dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku; dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek; suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta. Zad. 55. ( 4 pkt) Każda z urn oznaczonych liczbami 1, 2, 3 zawiera po 3 kule czarne i 4 białe, a każda urna oznaczona liczbami 4, 5, 6 zawiera po 3 czarne i 2 białe kule. Rzucamy sześcienną kostką do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwracania 2 kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul czarnych, czy dwóch kul białych? Opracowała D. Brzezińska 13