Akademia Morka w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych Miroław omera. WPROWADZENIE W układach terowania wymaga ię modyfikacji dynamiki układu celem uykania odpowiedi dynamicnej pełniającej adane wymagania jakościowe. Urądenia, które dokonują takich mian noą nawę kompenatorów. Wratające możliwości proceorów cyfrowych powalają na wykonywanie tych funkcji środkami cyfrowymi. Projektowanie kompenatorów ciągłych jet tematem dobre już ponanym i dlatego też ważne jet ponanie metod powalających na najdowanie dykretnych równoważników, które odpowiadają kompenatorom ciągłym. Metoda projektowania polegająca na projektowaniu kompenatora ciągłego, a natępnie atąpieniu go w potaci dykretnego równoważnika w celu aimplementowania go w urądeniu cyfrowym naywa ię emulacją. Chociaż materiał predtawiony w tej pracy orientowany jet w kierunku bepośredniego projektowania kompenatorów cyfrowych to jednak emulacja projektów ciągłych ich cyfrowymi równoważnikami jet na tyle ważna, że warto ponać techniki dykretnych odpowiedników arówno dla celów porównania jak i dlatego że metoda ta jet bardo eroko używana pre inżynierów praktyków. Problemem opianym w tym opracowaniu jet najdowanie tranmitancji dykretnych, które będą aprokymowały te ame charakterytyki w pewnym akreie cętotliwości jak dana tranmitancja G(). Zapreentowane otaną ctery metody realiujące to adanie:. Całkowanie numerycne. Metoda ta oparta jet na całkowaniu numerycnym równań różnickowych opiujących dany projekt. Chociaż jet wiele technik powalających na całkowanie numerycne, to tutaj otaną predtawione tylko prote reguły oparte na regułach protokąta i trapeu.. Dykretyacja odpowiedi impulowej. 3. Prektałcenie erowo-biegunowe. Kolejny poób oparty jet na porównaniu diedin ora. Należy auważyć, że odpowiedź naturalna układu ciągłego biegunem w pewnym punkcie o będie w układie poddanym próbkowaniu okreem repreentowana pre odpowiedź układu dykretnego biegunem w o e. a reguła może być używana do prektałcenia er i biegunów aprokymujących układ dykretny. 4. Równoważność ektrapolacji. reci i otatni poób oparty jet na pobieraniu próbek ygnału wejściowego, ektrapolacji pomiędy próbkami do potaci aprokymacji ygnału i preyłaniu tych aprokymacji pre daną tranmitancję układu.. RÓWNOWAŻNIKI OKREŚLONE MEODĄ CAŁKOWANIA NUMERYCZNEGO Zagadnienie całkowania numerycnego jet adaniem dość łożonym i dlatego też otaną tutaj predtawione najbardiej elementarne techniki tego akreu. Dla prykładu, roważane będą tylko reguły o małej łożoności i utalonym romiare kroku. Zaada określająca poób wynacenia dykretnych równoważników pry użyciu tej metody polega na atąpieniu danej tranmitancji układu Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych ciągłego G() pre równanie różnickowe i natępnie wyprowadeniu równań różnicowych będących aprokymacją równań różnickowych. e(t) e(k) e[(k+)] e() e() e(3) e() 3 (k ) k (k+) t (a) e(t) e(k ) e(k) e[(k+)] e() e() e() e(3) 3 (k ) k (k+) t (b) e(t) e(k) e[(k+)] e() e() e(3) e() 3 (k ) k (k+) t (c) Ry.. ry pooby wynacania obaru pod krywą w prediale od k do k+, (a) reguła protokątna wpród, (b) reguła protokątna wtec, (c) reguła trapeu. Dobre nana tranmitancja integratora analogowego jet natępująca U ( ) G( ) () E( ) gdie E() ora U() ą tranformatami, odpowiednio wejścia i wyjścia integratora i integrator ten poiada równoważne równanie różnickowe Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych du( t) e( t) dt era jeśli apie ię równanie () w potaci całkowej, to otryma ię () t u( t) e( ) d (3) Wiele wyprowadonych reguł opiera ię na tym w jaki poób aprokymowany jet kładnik powiękania pola. ry roważane możliwości nakicowane otały na ryunku. Pierwa aprokymacja całkowania (3) prowadi do reguły protokątnej wpród, gdie aprokymacja obaru odbywa ię pre protokąt wynacany wpród od k i biere jako amplitudę protokąta wartość napotkaną w k. Serokość protokąta wynoi. Wynikiem tego jet równanie w pierwej aprokymacji, u u ( k ) u( k) e( k) (4) gdie u ( k) onaca obar pod e(t) od t = do t = k. Po dokonaniu tranformaty Z na obu tronach równania (4) tranmitancja odpowiadająca regule protokątnej w pród w tym prypadku ma potać U( ) G F ( ) E( ) Druga reguła biere ię tąd, że amplituda aprokymującego protokąta jet wartością braną wtec od k do k. Równanie dla u, druga aprokymacja ma potać u ( k) u ( k ) e( k) (6) Znów po atoowaniu tranformaty Z i obliceniu tranmitancji według reguły protokątnej wtecnej U ( ) H B ( ) E( ) Otatnią regułą całkowania roważaną w tym podrodiale jet reguła trapeu, wynacana dla aprokymowanego obaru równania (3). Aprokymujące równanie różnicowe ma potać u 3( k ) u3( k) [ e( k) e( k )] (8) Odpowiadająca tranmitancja reguły trapeu ma potać U3( ) H ( ) (9) E( ) Z bepośredniego porównania tranmitancji operatorowej trema aprokymacjami dykretnymi, widać, że można było bepośrednio uykać tranmitancję dykretną tranformaty operatorowej pre podtawienie a mienną epoloną jej aprokymaty. Podtawienie pry użyciu reguły trapeu jet również nane, cególnie w układach terowania cyfrowego i impulowego jako metoda utina lub pod nawą tranformacji biliniowej. Metoda projektowania wykorytująca tę regułę polega na tym, że mając daną tranmitancję ciągłą, G(), równoważna tranmitancja dykretna może być wynacona pre podtawienie G ( ) G( ) () (5) (7) Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 3
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych abela. Zetawienie dotychca uykanych wyników. G() Metoda ranmitancja Aprokymacja Reguła protokąta wpród G ( ) F Reguła protokąta wtec H ( ) B Reguła trapeu H ( ) Każda aprokymacji awartych w tabeli może być traktowana jako prektałcenie płacyny na płacynę. Dale roumienie prektałcenia otanie dokonane na podtawie roważań graficnych. Dla prykładu, ponieważ oś ( j ) jet granicą pomiędy biegunami układu tabilnego i nietabilnego, to intereujące będie obacyć jak ta oś j będie prektałcana pre te try reguły i gdie lewa półpłacyna najdie ię na płacyźnie. W tym celu należy rowiąać ależności awarte w tabeli w kolumnie aprokymacja. Wynikają nich natępujące ależności: i) (dla reguły protokątnej wpród) ii) (dla reguły protokątnej wtec) () iii) (dla reguły biliniowej) Jeśli pryjmie ię w tych równaniach, że j to uyka ię granice obarów na płacyźnie, mających woje oryginały w tabilnej cęści płacyny na ryunku. Aby pokaać, że reguła (ii) prektałca lewą półpłacynę w okrąg, należy dodać i odjąć ½ od prawej trony równania, co daje era łatwo jet pokaać, że j, amplituda jet tałą. i krywa taje ię okręgiem jak to pokaano na ryunku (b). Ponieważ okrąg jednotkowy jet akreem tabilności na płacyźnie, taje ię to jane, że reguła protokąta wpród może powodować, że tabilne układy ciągłe będą prektałcane na nietabilne układy cyfrowe. Scególnie intereujące jet to, że reguła biliniowa prektałca tabilną półpłacynę dokładnie na tabilny obar płacyny, pry cym cała oś j płacyny jet kompreowana na długości obwodu okręgu jednotkowego. O jakości tych prektałceń, ebranych w tabeli, świadcy to w jaki poób odbywa ię prektałcanie lewej półpłacyny na określony obar na płacyźnie co dobre widać na ryunku. Znajdująca ię w bibliotece MALABA funkcja cd może oblicyć odpowiednik dykretny yd układu ciągłego yc metodą biliniową utina realiowaną według woru (), należy w tym celu apiać tylko natępującą linię kodu programu yd = cd(yc,, tutin ) () Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 4
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych (a) (b) (c ) Okrąg jednotkowy Ry.. Prektałcenie lewej półpłacyny na płacynę pry użyciu reguł całkowania. Stabilne bieguny prektałcane ą na acieniowane obary na płacyźnie. Okrąg jednotkowy pokaany jet w celu odnieienia. (a) Reguła protokąta wpród, (b) Reguła protokąta wtec, (c) Reguła trapeu lub biliniowa. W celu uunięcia pojawiających ię niektałceń cętotliwości recywitych powodowanych pre regułę utina roera ię ją o właności prewarpingu i metoda ta noi nawę tranformacji biliniowej prewarpingiem. Polega ona na tym, że dla określonej cętotliwości tranmitancja dykretna ma taką amą wartość jak tranmitancja ciągła. Jednakże cętotliwość mui pełniać warunek aby tabilny układ ciągły po operacji warpingu w dalym ciągu pootał układem tabilnym. Równoważna tranmitancja dykretna uykiwana pry użyciu tranformacji biliniowej prewarpingiem polega na podtawieniu G ( ) G( ) (3) p tg ( ) gdie jet cętotliwością pry której tranmitancja dykretna ma taką amą wartość jak tranmitancja ciągła. Wyprowadenie tej ależności można naleźć w pracy []. Również dla metody biliniowej prewarpingiem można w MALABIE w łatwy poób oblicyć odpowiednik dykretny yd układu ciągłego yc według woru (3) pry użyciu funkcji cd yd = cd(yc,, prewarp ) Prykład ranmitancja treciego rędu filtru dolno-preputowego Butterwortha projektowana jet w taki poób aby mieć jednotkową erokość pama ) H ( ) 3 Prote kalowanie cętotliwości powoli ocywiście tak pretranponować projekt aby uykać pożądaną cętotliwość prejścia pama. Oblic dykretne równoważniki wykorytując do tego celu reguły protokąta w pród i wtec, regułę biliniową utina ora regułę biliniową prewarpingiem pry cętotliwości =.Zatouj cętotliwości próbkowania =., =, =. Rowiąanie: Oblicenie dykretnych równoważników wykonane otało pry użyciu funkcji cd biblioteki Matlaba. Na ryunku.(a) predtawione ą charakterytyki dla bardo dużej cętotliwości próbkowania ( =.) cętotliwość próbkowania jet p 63 i obydwie reguły nie mają żadnych odchyłek. Na ryunku.(b) widać, że p 6. 3 i już ą pewne odchyłki, mnieje dla prewarping. I otatecnie pry bardo małej cętotliwości próbkowania p 3.4 co odpowiada cętotliwości próbkowania = [] i tylko prewarping achowuje pożądaną erokość pama. ( p Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 5
Faa Moduł Faa Moduł eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych (a) p =. [].8.6.4..5.5.5 3-5 - -5 - -5.5.5.5 3 Cętotliowść normaliowana w/wp (b) p = [].8.6.4..5.5.5 3-5 - -5 - -5-3.5.5.5 3 Cętotliowść normaliowana w/wp Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 6
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych (c).8 p = [] Moduł.6.4..5.5.5 3 - Faa - -3-4.5.5.5 3 Cętotliowość normaliowana / p Ry... (a) Odpowiedź filtru treciego rędu i cyfrowych równoważników dla p, (b) Odpowiedź filtru treciego rędu i cyfrowych równoważników dla p, (c) Odpowiedź filtru treciego rędu i cyfrowych równoważników dla p, Z ryunków tych widać, że amplituda i faa równoważnika dykretnego prewarpingiem odworowuje filtr ciągły dokładnie pry cętotliwości p. Nie jet to niepodianką, gdyż taka jet cała idea prewarpingu. 3. RÓWNOWAŻNIK UZYSKIWANY MEODĄ DYSKREYZACJI ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ Metoda ta polega na wynaceniu dla tranmitancji ciągłej G() ciągłej odpowiedi impulowej, którą natępnie dykretyuje ię i dla dykretnej odpowiedi impulowej wynaca ię tranmitancję dykretną Metoda ta ilutrowana otała poniżym prykładem G ( ) Z{ G( )} (4) Prykład Wynac dykretny odpowiednik tranmitancji G ( ) (.) (.5) Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 7
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych Okre próbkowania wynoi = []. Rowiąanie: W pierwej kolejności należy wynacyć odpowiedź impulową układu ciągłego (.) g.5t ( t) ( t) e (.) Natępnie należy dokonać dykretyacji t = k otrymanej odpowiedi impulowej okreem próbkowania = []. g.5k ( k) ( k) e (.3).5k g( k) ( k) e ( k). 665 Dla każdego kładnika równania (.4) należy wynacyć tranformatę dykretną i po umowaniu uykuje ię poukiwaną tranmitancje dykretną. k (.4).7869 G ( ) (.5).665.665.665 e ame wyniki można uykać korytając funkcji cd biblioteki MALABA. = ; % Okre próbkowania numc = ; % Licnik tranmitancji ciągłej denc = [.5]; % Mianownik tranmitancji [numd, dend] = cdm(numc, denc,,'imp'); % Licnik % i mianownik tranmitancji dykretnej 3. RÓWNOWAŻNIKI UZYSKIWANY MEODĄ PRZEKSZAŁCENIA ZEROWO- BIEGUNOWEGO Bardo protą lec bardo efektywną metodą uykiwania dykretnego odpowiednika dla tranmitancji ciągłej jet wykorytanie ależności prektałcającej płacynę na płacynę. Jeśli wynacy ię tranformatę Z dla próbek ygnału ciągłego e(t), to wówca bieguny tranformaty dykretnej E() mają powiąanie biegunami tranformaty ciągłej E() pre prektałcenie e. Ocywiście pry prektałcaniu tranmitancji ciągłej na jej dykretny odpowiednik to amo prektałcenie e mui być również atoowane do er. Metoda ta kłada ię e bioru poniżych reguł heurytycnych powalających na prektałcanie położeń er i biegunów i na utalenie wmocnienia tranmitancji dykretnej, równoważnej tranmitancji G(). Reguły te ą natępujące:. Wytkie bieguny tranmitancji ciągłe G() ą prektałcane toownie do ma biegun w =, to G p () ma biegun w wówca G p () ma biegun w j re, gdie e. Jeśli G() e. Jeśli G() ma biegun w = + j, r e ora.. Wytkie końcone era ą również prektałcane pre G p () ma ero w e, i tak dalej. e. Jeśli G() ma ero =, to 3. Zera tranmitancji G() najdujące ię w niekońconości ( = ) ą prektałcane na punkt = -. Z reguły tej wynika, że prektałcenie cętotliwości recywitych od j = do ronących powoduje premiecanie po okręgu jednotkowym od e aż j e. Dlatego też punkt = repreentuje w recywity poób, najwięką możliwą cętotliwość, która może otać pretworona pre układ cyfrowy. j Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 8
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych (a) Jeśli nie jet pożądane żadne opóźnienie w odpowiedi dykretnej to wówca wytkie era najdujące ię w ą prektałcane na =. (b) Jeśli natomiat pożądany jet jeden okre opóźnienia po to aby dać komputerowi ca na kompletowanie obliceń to wówca jedno er najdujących ię w jet prektałcane na, natomiat pootałe prektałcane ą na =. W tym prypadku G p () ma o jedno ero mniej niż biegunów. 4. Wmocnienie układu cyfrowego wybierane jet w taki poób aby prektałcić wmocnienie tranmitancji G() w środku pama lub w innym podobnym punkcie krytycnym. W więkości atoowań terowania, cętotliwość krytycna najduje ię w punkcie = i tąd awycaj wybiera ię wmocnienie tak aby G ( ) G ( ) (5) p Prykład 3 Wynac dykretny odpowiednik tranmitancji G ( ) (3.).5 pre prektałcenie erowo-biegunowe według punktu 3(b). Cętotliwość próbkowania wynoi = []. Rowiąanie: Po prektałceniu bieguna G() najdującego ię w =.5 na biegun G().5 w punkcie e uykuje ię tranmitancję dykretną potaci G ( ) K (3.).665 Pootaje do wynacenia wartość wmocnienia K, która oblica ię ależności (4) G( ) G p ( ).545 K Z powyżej ależności (3.3) uykuje ię poukiwaną wartość wmocnienia K =.7869 i otatecnie poukiwana tranmitancja dykretna ma potać (3.3).7869 G ( ) (3.4).665 e ame wyniki można uykać korytając funkcji cd biblioteki MALABA. = ; % Okre próbkowania numc = ; % Licnik tranmitancji ciągłej denc = [.5]; % Mianownik tranmitancji yc = tf(numc, denc); % ranmitancja operatorowa yd = cd( yc,,'matched'); % Wynacenie tranmitancji dykretnej [numd, dend] = tfdata( yd, v ) 4. ODPOWIEDNIK DYSKRENY UZYSKIWANY MEODAMI EKSRAPOLACJI Odpowiedniki dykretne ą wynacane w tej metodie w układie nakicowanym na ryunku 3. Impulatory na ryunku 3(b) dotarcają próbek na wejście G ho () i pobierają próbki wyjścia abepiecając w ten poób to, że G ho () może być realiowane jako tranmitancja dykretna. Wynacanie tranmitancji dykretnej dla układu ciągłego popredonego pretwornikiem C/A wymaga uwględnienia w tranmitancji dykretnej jego równoważnika w potaci ektrapolatora. Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 9
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych Dykretny równoważnik ektrapolatora (hold equivalent) kontruowany jet w oparciu o pierwą aprokymację ygnału e(t) próbek e(k). Jet wiele metod otrymywania ygnału ciągłego na podtawie ciągu próbek. W prypadku gdy ygnał ciągły uykiwany na podtawie próbek ygnału ma potać kawałkami tałych aprokymacji e(t) uykanych pre operację tałego podtrymania w chwilach e(k) pre prediał cau od k do (k+) to operacja ta naywana jet ektrapolacją erowego rędu (ZOH). e(t) y(t) G() E() Y() impulator (a) impulator e(t) e(k) Ektrapolator G() u(t) u(k) G ho () (b) Ry. 3. Układu dla dykretnych odpowiedników wynacanych metodami ektrapolacji, (a) tranmitancja ciągła, (b) chemat blokowy układu równoważnego. e(t) 3 4 5 6 7 Ry.4. Sygnał, jego próbki ora jego aprokymacja pre ektrapolator erowego rędu. 4.. ODPOWIEDNIK EKSRAPOLAORA ZEROWEGO RZĘDU Jeśli aprokymowanym podtrymaniem jet ektrapolator erowego rędu, wówca dla niego roważana jet taka ama aprokymacja, która analiowana była dla układu impulowego. Dlatego też odpowiednik ektrapolatora erowego rędu do H() dany jet pre G( ) G h ( ) ( ) Z (6) W bibliotece Matlaba funkcja cd może oblicyć odpowiednik ektrapolatora erowego rędu w natępujacy poób yd = cd(yc,, oh ) Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych 4.. ODPOWIEDNIK EKSRAPOLAORA RÓJKĄNEGO Intereujący odpowiednik ektrapolatora kontruowany jet pry ałożeniu, że dotępna jet odpowiedź impulowa ektrapolatora pierwego rędu o potaci pokaanej na ryunku 5, naywana ektrapolatorem trójkątnym w celu odróżnienia go od ektrapolatora pierwego rędu.. t Ry. 5. Odpowiedź impulowa ektrapolatora pierwego rędu. Wpływ ektrapolatora trójkątnego polega na tym, że ektrapoluje ona próbki w taki poób, że ą one łącone linią protą. ranformata Laplace a impulu pokaanego na ryunku 5 jet natępująca G ( ) Dlatego też dykretny odpowiednik który odpowiada równaniu (6) h e e ( ) G( ) G htri ( ) Z (7) W bibliotece Matlaba funkcja cd może oblicyć odpowiednik ektrapolatora trójkątnego (określany jako odpowiednik ektrapolatora pierwego rędu) układu ciągłego yc yd = cd(yc,, foh ) Prykład 4 Oblic odpowiednikm ektrapolatora trójkątnego dla G ( ). Rowiąanie. W tym prypadku, tablicy tranformat 3 G( ) ( 4 ) Z Z (4.) 4 4 6 ( ) i bepośrednio podtawiając do równania (6.39) uykuje ię 3 ( ) ( 4 ) 4 G tri ( ) (4.) 4 6 ( ) 6 ( ) ĆWICZENIA. Nakicuj na płacyźnie, gdie najdą ię bieguny odpowiadające lewej półpłacyźnie która jet prektałcona metodami: prektałcenia erowo-biegunowego i ektrapolatora erowego rędu. Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych. Poniża tranmitancja opiuje układ wypredający faę, który dodaje 6 o fay pry cętotliwości = 3 rad/. G ( ). (a) Dla każdej poniżych metod projektowania oblic i wykreśl na płacyźnie położenia er j t i biegunów ora oblic ilość fay wprowadanej pre równoważny filtr w e, jeśli =.5 [], a projekt prowadony jet i) regułą protokątną wpród ii) iii) regułą protokątną wtecna reguła biliniowa utina iv) reguła biliniowa prewarping (użyj jako cętotliwość warping) v) prektałcenie ero-biegunowe vi) vii) równoważnik ektrapolatora erowego rędu równoważnik ektrapolatora trójkątnego (b) Wykonaj wykrey Bodego amplitudy i fay dla każdego powyżych równoważników w akrei l =. -> h =. 3. Dla poniżej tranmitancji filtru dolno-preputowego aprojektowanego po to aby więkyć K v pre wpółcynnik i mieć pomijalną faę = 3 rad G ( ) Dla każdej poniżych metod projektowania oblic i wykreśl na płacyźnie położenia er j t i biegunów ora oblic ilość fay wprowadanej pre równoważny filtr w e, jeśli =.5 [], a projekt prowadony jet (a) Dla każdej poniżych metod projektowania oblic i wykreśl na płacyźnie położenia er j t i biegunów ora oblic ilość fay odejmowanej pre równoważny filtr w e, jeśli =.5 [], a projekt prowadony jet i) regułą protokątną wpród ii) regułą protokątną wtec iii) reguła biliniowa iv) reguła biliniowa prewarping (użyj v) prektałcenie ero-biegunowe vi) równoważnik ektrapolatora erowego rędu vii) równoważnik ektrapolatora trójkątnego jako cętotliwość warping) Wykonaj wykrey Bodego amplitudy i fay dla każdego powyżych równoważników w akreie l =. -> h =. Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera
eoria terowania Równoważniki dykretne dla tranmitancji układów ciągłych ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ZADAŃ LIERAURA. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Sytem, 3rd ed. Addion-Weley Publihing Company, 998.. Kuo B.C.: Automatic Control Sytem, John Wiley&Son, 995. Otatnia aktualiacja: 3--6 M. omera 3