MODELOWANIE PRZEPŁYWU CIEPŁA W PRZEGRODACH Z INSTALACJAMI CENTRALNEGO OGRZEWANIA METODĄ BRZEGOWYCH RÓWNAŃ CAŁKOWYCH Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmi Adam SORKO Wydział Budwnictwa i Inżynieii Śdwiska, Plitechnika Białstcka, ul. Wiejska 45 A, 5-35 Białystk Steszczenie: W atykule zapezentwan algytm bliczeń i wyniki bliczeń pól tempeatuy i pzepływu ciepła w pzegdach budwlanych z instalacjami pzewdów centalneg gzewania metdą bzegwych ównań całkwych. Dla zbazwania dkładnści bliczeń zagadnień pzepływu ciepła pzy użyciu metdy elementów bzegwych pzedstawin pzykładwe wyniki bliczeń pzenikania ciepła w ścianie zewnętznej jednwastwwej, pównując je z ezultatem związania analityczneg. W pacwaniu pzedstawin gaficzne wyniki bliczeń pól tempeatuy, iztem i adiabat az stumienia ciepła w pzegdach, w któych znajdują się instalacje c.. Dknan pównania gafów cieplnych chaakteystyk analizwanych elementów budwlanych z temgamami wyknanymi kameą temwizyjną. Słwa kluczwe: izlacje temiczne, metda elementów bzegwych.. Wpwadzenie Symulacje pzepływu ciepła az zkłady tempeatuy w pzegdach budwlanych pzwalają ptymalnie zapjektwać izlacje cieplne az pawidłw wyznaczyć chaakteystykę cieplną budynku. Obecnie caz częściej stswane są metdy numeyczne w pjektwaniu, któe pjawiają się w nmach az wytycznych d pjektwania. Isttny wpływ na chaakteystykę enegetyczną budynku mają instalacje centalneg gzewania, któe są pwadzne w pzegdach budwlanych. Znajmść zkładów tempeatuy w pzegdach, w któych znajdują się instalacje centalneg gzewania, umżliwia właściwą cenę izlacyjnści pzewdów pzechdzących pzez ściany i stpy az keślenie i minimalizację stat ciepła. Metdy analityczne nie pzwalają na wyznaczenie pól tempeatu dla skmplikwanych bzegów, natmiast metdy siatkwe MRS, MES (Zienkiewicz i Tayl, 000; Mitchell i Giffiths, 980 wymagają pzy złżnych kształtach analizwanych biektów, dysketyzacji bszaów, c isttnie kmplikuje badziej pwszechne zastswanie tych metd d analizy i ptymalizacji zagadnień pzepływu ciepła w instalacjach i uządzeniach gzewczych i klimatyzacyjnych w pwiązaniu z właściwściami gemetycznymi i knstukcyjnymi stuktu budwlanych. Metda bzegwych ównań całkwych (elementów bzegwych jest pzbawina wad metd siatkwych, bwiem nie wymaga dysketyzacji bszau związania, a jedynie jeg bzegu, c zmniejsza ząd wymia zagadnienia bliczeniweg az pzwala na fmułwanie złżnych waunków bzegwych i mdelwanie biektów skmplikwanej gemetii.. Bzegwe ównanie całkwe pisujące ustalne ple tempeatuy w bszaze płaskim W wielu pzypadkach pzewdzenia ciepła, zagadnienia pzestzenne mżna upścić d pzepływów płaskich. Ustalne, bezźódłwe ple tempeatuy T T( w substancji jedndnej jest pisane ównaniem Lapalace a: T 0 ( - z waunkiem bzegwym Diichleta w pstaci zadanej na bzegu bszau watści tempeatuy: ( ( ; ( T T P P L P L (. - z waunkiem bzegwym Neumanna z zadaną watścią nmalnej d bzegu pchdnej tempeatuy, czyli Aut dpwiedzialny za kespndencję. E-mail: tjt@pb.edu.pl 45
Civil and Envinmental Engineeing / Budwnictw i Inżynieia Śdwiska (00 45-50 watścią stumienia cieplneg: ( T λ L ( P ; ( L n P gdzie λ jest współczynnikiem pzewdzenia ciepła. Y s P O P P O Q n P P Q L T n Q L ( Λ L Q X (. s Q (L w punkcie (P i dla gładkieg fagmentu bzegu jest n ówny χ(p /. P wyznaczeniu niewiadmych watści tempeatuy T(P i gęstści stumienia ciepła (P dpwiedni na częściach linii bzegwej (L T i (L p związaniu ównania całkweg ( tempeatuę T( w dwlnym punkcie {, y } (Λ, bszau płaskieg (Λ wyznacza się ze związku: T ( T ( Q E(, Q dl + ( L T ( Q K(, Q dl (3 ( L Stumień cieplny jest ówny: T ( Q ( L, ( ( Λ λ T (4 Rys.. Szkic d analizy zagadnień bzegwych w bszaze płaskim Składwe stumienia cieplneg (; y ( we wnętzu zpatywaneg bszau mżna wyznaczyć ze związków: Zakładając (ys., że w bszaze płaskim (Λ ganicznym zamkniętym bzegiem (L jest dane ustalne ple tempeatuy pisane ównaniem óżniczkwym ( z waunkami bzegwymi (.,. pzy załżeniu, że na części (L T linii bzegwej (L jest zadana funkcja T(P; (P (L T, a na części (L linii bzegwej (L jest zadana funkcja T ( P ( P λ (P (L T t pzy zastswaniu n P kyteium dchyłek ważnych (Majchzak, 00; Bebbia i in., 984, dla tak sfmułwaneg zagadnienia bzegweg dla ównania Laplace a w bszaze płaskim, tzymuje się ównanie całkwe: χ( P T ( P + ( Q K( P, Q dl gdzie ( L ( Lt ( Q E( P, Q dl K( P, Q ln ; PQ P Q λ PQ ( P ( L, ( Q ( L ( K P Q (, E( P, Q np ( + ( Q P n yq yp ny PQ T cs( np; PQ PQ ( P ( L, ( Q ( L ( (. (. Współczynnik χ(p jest zależny d kzywizny kzywej E(, Q ( T ( Q dlt + ( LT K (, Q ( dl ( LQ E(, Q y ( T ( Q dlt + ( LT K (, Q ( Q dl ( L gdzie: K (, Q Q ; Q λ K (, Q yq y λ E(, Q E(, Q ( ( y y n Q Q y ( ( Q Q + y y n ( ( y y n Q Q ( ( Q Q y + y y n gdzie n, n y są wesami nmalnej n Q. (5 (5.a (5.b (5.a (5.b 46
Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmi Adam SORKO Mduł gęstści stumienia cieplneg jest ówny: ( ( ( ( + ( (6 y Wpwadzając ównanie linii pądwych pzepływu ciepła adiabat: dξ ( dy ( d (7 y z waunku tgnalnści układów adiabat i iztem pla tempeatuy: T ( Ξ( T ( Ξ( ; tzymuje się ównanie adiabat: Ξ ( T ( Q W (, Q dlt + ( LT gdzie: ( Q S(, Q dl ( L Q S(, Q actan λ yq y W (, Q ( Q ny + ( yq y n Q ; ( ( Λ, ( Q ( L (8 (9 (9. (9. 3. Ocena dkładnści metdy elementów bzegwych W celu ceny dkładnści metdy bzegwych ównań całkwych wyknan pównania ezultatów związania zagadnienia jednwymiaweg pzenikania ciepła w ścianie zewnętznej jednwastwwej z betnu kmókweg gubści d 40 cm i współczynniku pzewdzenia ciepła λ 0,075 W/mK metdą bzegwych ównań całkwych z wynikami bliczeń teetycznych. Na pwiezchni zewnętznej ściany pzyjęt tempeatuę T e -ºC, a na pwiezchni wewnętznej T i 0ºC. Rzkład tempeatuy w ścianie jest pisany zależnścią liniwą (Staniszewski, 96: TTH ( Te + ( Ti Te (0 d W pzypadku metdy bzegwych ównań całkwych wyknan pdział na 40 i 80 elementów bzegwych. Błąd związania MEB dla wybanych punktów zestawin w tabeli. Względne błędy bliczeń pszczególnych tempeatu d pzedstawinych niżej zestawień gaficznych i tabelaycznych wyznaczn z zależnści: TTH T T MEB MEB *00% ( TTEO Tab.. Jednwymiawe pzenikanie ciepła w ścianie zewnętznej jednwastwwej - błąd związania BEM Współzędne węzłów teetyczne num. MEB Błąd metdy MEB 40 el. 40 el. X Y TTH TMEB TMEB [cm] [cm] [ C] [ C] [%] 0,00E+00 0,00E+00 -,000000E+0 -,986000E+0 6,3636364E-0 0,00E+00,00E+0 -,500000E+0 -,56000E+0,608696E-0 0,00E+00,00E+0 -,0000000E+00-9,990000E-0 8,0000000E-0 0,00E+00 3,00E+0 9,5000000E+00 9,55000E+00,64053E-0 0,00E+00 4,00E+0,0000000E+0,9986000E+0 7,0000000E-0 Współzędne węzłów teetyczne num. MEB Błąd metdy MEB 80 el. 40 el. X Y TTH TMEB TMEB [cm] [cm] [ C] [ C] [%] 0,00E+00 0,00E+00 -,000000E+0 -,004000E+0,8888E-0 0,00E+00,00E+0 -,500000E+0 -,50000E+0,739304E-0 0,00E+00,00E+0 -,0000000E+00-9,9999000E-0,0000000E-03 0,00E+00 3,00E+0 9,5000000E+00 9,507000E+00,7894737E-0 0,00E+00 4,00E+0,0000000E+0,0004000E+0,0000000E-0 Błąd metdy MEB w pzypadku bzegu składająceg się z 40 elementów nie pzekacza,640e-0 %, natmiast w pzypadku bzegu złżneg z 80 elementów nie pzekacza,00000e-0 %. Waz ze wzstem liczby elementów bzegwych zwiększa się dkładnść metdy. Niewielkie óżnice pmiędzy związaniem analitycznym i MEB w dniesieniu d wyznaczaneg zkładu tempeatuy wskazują, że ppnwane algytmy bliczeniwe metdy bzegwych ównań całkwych chaakteyzują się dużą dkładnścią bliczeń. 4. Obliczenia pól tempeatuy i pzepływu ciepła w pzegdach budwlanych z instalacjami c.. metdą elementów bzegwych Niżej pzedstawin ezultaty bliczeń pól tempeatuy i linii pzepływu ciepła w pzegdach, w któych znajdują instalacje centalneg gzewania az ciepłej wdy użytkwej. Obliczenia zstały pzepwadzne dla tempeatuy wewnątz pmieszczeń ównej 9ºC. Piewszy pzypadek dtyczy zkładu tempeatuy w stpie żelbetwym współczynniku pzewdzenia ciepła λ,70 W/mK pzez któy pzechdzi stalwy pinwy pzewód centalneg gzewania wdneg jednuweg bez izlacji temicznej śednicy zewnętznej,3 mm. pzy tempeatuze na ściance zewnętznej pzewdu 44ºC. Rysunek a pzedstawia iztemy wyznaczne metdą elementów bzegwych, na ysunku b wykeśln adiabaty, natmiast na ysunku c wyznaczn mduł gęstści stumienia ciepła. W celu spawdzenia tendów iztem, wyknan zdjęcie temwizyjne stpu w miejscu gdzie pin pzechdzi w pzez stp (ys. d. 47
Civil and Envinmental Engineeing / Budwnictw i Inżynieia Śdwiska (00 45-50 a a b b c c d d Rys.. Pzenikanie ciepła pzez stp pin instalacji centalneg gzewania wdneg jednuweg pzechdzący pzez stp: a iztemy, b adiabaty, c mduł gęstści stumienia ciepła, d temgam pwiezchni stpu Rys. 3. Pzenikanie ciepła pzez stp pin instalacji centalneg gzewania wdneg dwuuweg pzechdzący pzez stp: a iztemy, b adiabaty, c mduł gęstści stumienia ciepła, d temgam pwiezchni stpu 48
Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmi Adam SORKO a b c W dugim pzypadku wyznaczn zkład tempeatuy w stpie żelbetwym z pinem gzewania wdneg dwuuweg wyknaneg z pzewdów stalwych śednicach wewnętznych,3 mm, w któym tempeatua pwiezchni pzewdu zasilająceg wynsi 45ºC, natmiast tempeatua pwiezchni pzewdu pwtneg wynsi 39ºC. Na ysunkach 3a-c wykeśln gaficzne ezultaty bliczeń iztem, adiabat az mdułu gęstści stumienia ciepła metdą bzegwych ównań całkwych. Rysunek 3d pzedstawia temgam zkładu tempeatuy na pwiezchni stpu. Adiabaty na ysunku 3b wskazują na wymianę ciepła między pzewdem zasilającym i pzewdem pwtnym instalacji centalneg gzewania. Niżej pzedstawin związanie pla tempeatuy w pzekju ppzecznym ściany zewnętznej muwanej z gazbetnu (λ 0.35 W/mK gubści 4 cm bustnnie tynkwanej tynkiem cementw-wapiennym (d 0.0 m, λ 0.35 W/mK, w któej znajduje się pin centalneg gzewania dwuuweg pwadzny w buździe. Pzewdy c.. śednicach zewnętznych,3 mm, mają izlacje z pianki plietylenwej gubści 6 mm laminwanej z zewnątz flią plietylenwą. Zmiezna tempeatua na pwiezchni izlacji wynsi 34ºC dla pzewdu zasilająceg az 9ºC dla pwtu, natmiast tempeatua zewnętzna wynisła -ºC. Rysunki 4a-c zawieają gaficzne ezultaty bliczeń metdą bzegwych ównań całkwych iztem, adiabat az mdułu gęstści stumienia ciepła. Rysunek 4d pzedstawia temgam ściany wewnątz budynku w miejscu, gdzie pwadzny jest pin w buździe. Tendy iztem pzepływu ciepła tzymane kameą temwizyjną (ys. 4d są zbieżne z wynikami tzymanymi metdą bzegwych ównań całkwych. 5. Pdsumwanie d Rys. 4. Pzenikanie ciepła pzez ścianę pin centalneg gzewania dwuuweg pwadzny w buździe: a iztemy.b adiabaty, c mduł gęstści stumienia ciepła, d temgam pwiezchni wewnętznej ściany zewnętznej w miejscu płżenia instalacji c.. w buździe. Pzedstawine w pacy pzykłady bliczeniwe wskazują na znaczny wpływ tempeatuy instalacji centalneg gzewania na tempeatuę wewnątz pzegdy az pkazują, jak ważne jest pawidłwe wyknanie izlacji temicznej pzewdów c.. pzechdzących pzez pzegdy budwlane. W pzypadku instalacji dwuuwych ównież następuje wymiana ciepła między pzewdem zasilającym i pzewdem pwtnym. Znajmść pól tempeatu, stumieni ciepła w waunkach pacy instalacji centalneg gzewania pzwala na keślenie wpływu tych instalacji na bilans cieplny budynku. Zapjektwany algytm pzwala związywać zagadnienie pzewdnictwa cieplneg badz złżnej gemetii. Zaletą MEB jest mżliwść związywania zagadnień dla bszaów półskńcznych i nieskńcznych. Metda elementów bzegwych stanwi altenatywę, wbec najczęściej stswanych metd siatkwych, tj. metdy elementów skńcznych az metdy óżnic skńcznych w zagadnieniach inżynieskich. Główną zaletą metdy bzegwych ównań całkwych jest pminięcie budwania pacchłnnych 49
Civil and Envinmental Engineeing / Budwnictw i Inżynieia Śdwiska (00 45-50 siatek numeycznych, któe są stswane w metdach bszawych. Duża dkładnść MEB świadczy tym, że jest t metda badz atakcyjna i twają pace nad jej dsknaleniem. Liteatua Bebbia C.A., Telles J.F.C., Wbel L.C. (984. Bunday Element Techniues. They and Applicatins in Engineeing. Spinge-elag. NY. Majchzak E. (00. Metda elementów bzegwych w pzepływie ciepła. Wyd. Pl. Częstchwskiej. Mitchell A.R., Giffiths D.F. (980. The finite diffeence methd in patial diffeential euatins. Wiley-Intescience, Chicheste, Susse, England and New Yk, Wiley- Intescience. Staniszewski B. (96. Temdynamika. PWN. Zienkiewicz O.C., Tayl R.L (000. The Finite Element Methd. Daniel D.E. (Ed.. Buttewth-Heinemann, NY. MODELLING OF TRANSIENT HEAT CONDUCTION IN WALLS WITH HEATING INSTALATIONS BY MEANS OF THE BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS METHOD Abstact: The pape aim was t pesent a slutin cncening heat cnductin pblem using bunday element methd in walls with cental heating. The bunday integal euatin methd is a numeical methd f slving patial diffeential euatins encunteed in mathematical physics and engineeing. Only the bunday distibutins f the unknwn functins ne f its deivatives wee slved in this methd. The bunday integal euatin methd is the eductin f the dimensin f the slutin space with espect t physical space by ne unit. The bunday element methd is an altenative t the finite diffeence methd and the finite element methd. Numeical slutins wee cmpaed with the esults f the theetical slutins. Eamples f heat calculatins wee pesented. Pacę wyknan w amach pacy statutwej S/WBiIŚ/3/08 Paca współfinanswana ze śdków Unii Eupejskiej w amach Eupejskieg Funduszu Spłeczneg n umwy WIEM/POKL/MD/II/00/6 50