Modelowanie pola temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylora metodą elementów brzegowych

Transkrypt

1 Symulacja w Badaniach i Rzwju Vl. 7, N. 3-4/016 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO Plitechnika Białstcka, WBiIŚ, ul.wiejska 45E, Białystk t.teleszewski@pb.edu.pl, s.srk@pb.edu.pl Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych 1 Wprwadzenie Przepływ Taylra-Cuette'a jest frmą laminarneg ruchu cieczy lepkiej między dwma kncentrycznie usytuwanymi bracającymi się cylindrami [1], [] (rys.1). Kryterium frmy ruchu cieczy w przepływach Taylra-Cuette'a stanwią: liczba Reynldsa i liczba Taylra, pisująca relacje pmiędzy siłami dśrdkwymi w ruchu cieczy i siłami wynikającymi z lepkści cieczy []: 4 ω h Ta =, (1) ν gdzie: ω = ω = ( ω1 ω ) jest różnicą prędkści kłwej ruchu cylindrów, h = r 1 r jest dległścią pmiędzy ściankami cylindrów, natmiast ν znacza kinematyczny współczynnik lepkści cieczyν = µ ρ, przy czym µ jest dynamicznym współczynnikiem lepkści cieczy. Liczba Taylra kreśla warunki utraty stabilnści przepływu [3]. Pwyżej krytycznej liczby Taylra, frmułwanej różnie w funkcji gemetrycznych i kinematycznych właściwści ruchu w układzie kncentrycznych cylindrów, kłwy laminarny przepływ płaski przekształca się w trójwymiarwy przepływ ze zdefrmwanymi przestrzennie wirami tridalnymi [1]. ur = uz = 0 y ω uϕ( r) r r 1 ω 1 x Rys. 1. Przepływ Taylra-Cuette'a pmiędzy dwma kncentrycznymi cylindrami Fig. 1. Taylr flw between tw cncentric cylinders 131

2 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO Przepływy Taylra-Cuette'a ze względu na ich złżnść są przedmitem intensywnych badań teretycznych w sensie pznawczym, jak też przedmitem zagadnień inżynierskich dtyczących knstrukcji mieszalników, lepkścimierzy rtacyjnych raz knstrukcji hydrstatycznych łżysk ślizgwych [4]. Przedmitem pracwania jest wyznaczenie parametrów przepływwych i energetycznych, w tym dyssypacji energii w płaskim laminarnym przepływie cieczy lepkiej pmiędzy rtującymi ze stałą prędkścią kątwą współsiwymi cylindrami. Matematyczny pis zagadnienia sfrmułwan przy użyciu metdy brzegwych równań całkwych. Efektem rzwiązania są: ple temperatury i izlinie strumienia ciepła dla różnych warunków gemetrycznych i kinematycznych układu cylindrów i fizycznych własnści cieczy. Sfrmułwanie zagadnienia Laminarny, płaski przepływ cieczy lepkiej w cylindrycznym układzie współrzędnych { r, ϕ, z} przy załżeniu, że prędkści ur = uz = 0 pisują: równanie ciągłści i równania Stkes'a w pstaci: u ϕ = 0 ϕ, (a) uϕ dp ρ =, r dr µ d u 1 du u ϕ ϕ ϕ + = 0. (b), (c) dr r dr r Rzwiązanie równania różniczkweg (c) z warunkami brzegwymi: uϕ ( r1) = ω1r1, uϕ ( r) = ω r ma pstać: ω r ω1r 1 ( ω1 ω ) r 1 r 1 uϕ ( r) = r. (3) r r 1 r r 1 r P wstawieniu zależnści (3) d równania różniczkweg (b) p scałkwaniu trzymuje się zależnść pisującą ple ciśnienia: ρ ω r ω1r 1 ω r ω1r 1 ( ω1 ω ) r 1 r p( r) = r + ρ ln r r r 1 r r 1 r r 1 ρ ( ω1 ω ) r 1 r 1 + cnst r r 1 r Mmenty pru ruchu cylindrów w cieczy lepkiej są dpwiedni równe: (4) 13

3 Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych ( ω1 ω ) r 1 r M1 = τ rϕ + π r 1 = 4πµ r= r1 r r 1, (5a) ( ω1 ω ) r 1 r M = τ rϕ π r = + 4πµ. (5b) r= r r r 1 W przypadku ruchu cieczy znacznej lepkści isttna jest dyssypacja energii. Równanie energii dla dpwiedni małych liczb Reynldsa przy przepływie Taylra przybiera pstać [5]: T = u ϕ = Φ, (6) λ µ gdzie Φ znacza dyssypację energii w przepływie. Przy przyjętych wyżej warunkach gemetrycznych i kinematycznych trzymuje się: d uϕ ( ω1 ω ) r 1 r 1 Φ = µ r = 4µ. (7) dr r r r 1 r 3 Brzegwe równanie całkwe pisujące ple temperatury w przepływie cieczy lepkiej Całkwe sfrmułwanie zagadnienia pisaneg równaniem różniczkwym (6) w plu ( Λ ),granicznym ciągłym brzegiem ( L = L L ) z fizycznymi warunkami brzegwymi pisującymi na części brzegu LT ( p LT ) zadaną wartść temperatury T( p) L = Ts ( p ), a części brzegu L ( p ) p T Q LQ zadaną wartść strumienia ciepła q( p) = qs ( p ), prwadzi d równania całkweg: p LQ χ( p) T( p) + T ( q) H ( p, q) dlq + Ts ( q) H ( p, q) dlq = LQ LT q( q) G( p, q) dlq + qs ( q) G( p, q) dlq + Φ( w) G( w, q) dλ λ λ λ LT LQ Λ gdzie p ( xp, yp ) i q ( xq, yq ) są dpwiedni punktem ustalnym i punktem bieżącym całkwania, a funkcje G( p, q ) i H ( p, q) są rzwiązaniami pdstawwymi: natmiast współczynnik χ( p ) przy wydzielnej wartści T( p ) w punkcie sbliwym na gładkiej części brzegu (L) jest równy 1, przy czym w Λ : T Q (8) 133

4 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO 1 1 G( p, q ) = ln, π r pq rpq = p q = ( δ xpq ) + ( δypq ), (8 1 ) G( p, q) 1 δ xpqn yq + δypqnxq H ( p, q ) = =, (8 ) nq π rpq przy czym: δ xpq = ( xp xq ) ; δ ypq = ( yp yq ),, δy x y, δx n n q q n q = q q = δl δl, jest q q wektrem nrmalnym d granicy (L) w punkcie q ( x, y ). P wyznaczeniu wartści brzegwych: temperatury T ( p) p L i strumienia ciepła q( p) p L temperaturę w wewnętrznych punktach v Λ w bszarze Λ wyznacza się ze związku całkweg: 1 1 T( v) = T( q) H ( v, q) dlq q( q) G( v, q) dlq + Φ( w) G( w, q ) dλw. λ λ L L Λ Składwe strumienia ciepła wyznacza się, różniczkując zależnść (9): T ( v) H ( v, q) G( v, q) qx ( v) = λ = λ T( q) dlq + q( q) dlq + x v x v x v L L G( v, w) Φ( w) dλw x v Λ q q (9) (9a) T ( v) H ( v, q) G( v, q) qy ( v) = λ = λ T ( q) dlq + q( q) dlq + y v y v y v L L G( v, w) Φ( w) dλw y v Λ (9b) Odpwiednie scałkwanie funkcji pdcałkwych zgdnie z definicją [6] pzwala na wyznaczenie linii przepływu ciepła: Ξ T T = λ ; Ξ = λ y x x y, (11) dξ = q dy q dx (10) x y 134

5 Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych 4 Numeryczne rzwiązanie zagadnienia bliczeniweg Dyskretne rzwiązanie równania całkweg (8) plega na sprwadzeniu d układu algebraicznych równań liniwych względem dyskretnych wartści niewiadmych funkcji T ( q ), q( q ) w branych punktach (punkty klkacji) na brzegu rzpatrywaneg bszaru. Najprstszą frmą rzwiązania jest pdział brzegu na elementy liniwe, na których wartści pszukiwanej funkcji w punktach klkacji tżsamych z punktami centralnymi elementów przyjmuje się za stałe. Przyjmując przybliżenie brzegu bszaru (L) J-elementwym układem elementów liniwych L j ; j = 1, J, na których wartści funkcji T( q j ) ; j = 1, J i q( q j ) ; j = 1, J w punktach centralnych elementów mają stałe wartści, równanie całkwe (8) sprwadza się d układu algebraicznych równań liniwych: J J Q δ T j T( q j ) H ( p i, q j ) δ j q( q j ) G( p i, q j ) = j 1 j= 1 J K (11) Q T 1 δ j Ts ( q j ) H ( pi, q j ) δ j qs ( q j ) G( pi, q j ) + Φ( vk ) G( pi, vk ) k j 1 λ k= 1 gdzie: 1 jeżeli na elemencie L j pszukiwaną funkcją jest T( q ) T j δ j = 0 jeżeli na elemencie L j pszukiwaną funkcją jest q( q j ), (11 1 ) 1 jeżeli na elemencie L j pszukiwaną funkcją jest q( q ) Q j δ j = 0 jeżeli na elemencie L j pszukiwaną funkcją jest T ( q j ). (11 ) Całkę pwierzchniwą w równaniu (11) p triangulacji bszaru (Λ) na K-elementów k i wyznaczeniu wartści funkcji pdcałkwej Φ ( v k ) ; k = 1, K w punktach centralnych elementów, przyjmując, że w brębie pszczególnych elementów ma na stałą wartść, sprwadza się kubatury: J K Φ( v) G( p, v ) dλv = Φ( k ) G( i, k ) k j= 1k= 1 Λ v p v. (11*) W analgiczny spsób wyznacza się wartści temperatury T( vk ) ; k 1, K raz strumienia ciepła q( v k ) ; k 1, K i składwych qx ( v k ) ; k 1, K, qy ( v k ) ; k 1, K w punktach vk ; k = 1, K bszaru ( Λ ). 5 Weryfikacja algrytmu MEB W literaturze teretyczne rzwiązanie pla temperatury dla zagadnienia dyssypacji energii w płaskim przepływie Taylra znane jest rzpatrywanym przypadku przy załżeniu stałej temperatury na ściankach T > T1 []: 135

6 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO r r ln ln 4 r r 1 ω r 1 r 1 T( r) = Br ( T T1 ) T r r 1 r ω 1 r ln r ln r 1 r 1 (1) gdzie Br jest liczbą Brinkmana, którą w rzpatrywanym przypadku definiuje się jak: µ r 1ω Br = 1. (1a) λ ( T T1 ) W celu weryfikacji prezentwaneg algrytmu psłużn się rzwiązaniem (1) przy: 1 1 r 1 = 0.5 m, ω 1 =.0 s, T 1 = C ; r = m, ω = s, T = C raz λ = 0.1W (m K), µ = Pa s. Błąd rzwiązania dla temperatury wyznaczn an a n a z zależnści δ T = ( T T ) T *100%, gdzie (a) znacza rzwiązanie analityczne, natmiast (n) rzwiązanie numeryczne metdą elementów brzegwych. W tabeli 1 prównan rezultaty bliczeń MEB z rzwiązaniem testwym (1) dla brzegu składająceg się ze 100 i 00 liniwych elementów. Błąd metdy elementów brzegwych zależy przede wszystkim d stpnia dyskretyzacji linii brzegwej. W pisywanym przypadku maksymalny błąd MEB dla brzegu zbudwaneg ze 100 elementów nie przekracza 1%, natmiast błąd dla brzegu składająceg się z 1000 elementów nie przekracza 0.3%. Tab. 1. Rzkład temperatury w przekrju y= - błąd rzwiązania MEB Tab. 1. Temperature prfile at y= crss sectin - errr analysis applied in BEM Współrzędne węzłów Rzwiązanie teretyczne Rzwiązanie MEB Błąd met. MEB Rzwiązanie MEB Błąd met. MEB 100 elem. 100 elem. 00 elem. 00 elem. x y a T n T δt [%] n T δt [%] 0,5 0,0 0,0000 0,0000-0,0000-0,6 0,0 1,8643 1,880 0,858 1,8689 0,517 0,7 0,0,777,859 0,365,807 0,1305 0,8 0,0,073,099 0,119,087 0,0645 0,9 0,0 1,1595 1,1609 0,108 1,1596 0,0081 1,0 0,0 1,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 Na rysunku wykreśln graficzne prównanie rezultatów bliczeń MEB temperatury z rzwiązaniem teretycznym () dla brzegu złżneg z 00 liniwych elementów. 136

7 Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych MEB rzw. teretyczne 0.5 r [m] Rys.. Prównanie rezultatów bliczeń temperatury MEB z rzwiązaniem teretycznym Fig.. Cmpare results f temperature calculatins by BEM with theretical slutin 6 Przykłady bliczeniwe Przykładem zastswania metdy elementów brzegwych, dla któreg nie jest znane rzwiązanie analityczne przepływów Taylra z uwzględnieniem dyssypacji energii, jest przepływ z częściw adiabatyczną ścianką zewnętrzną. Stpień zagłębienia ścianki zewnętrznej kreśla parametr h d, gdzie h jest wyskścią izlacji ścianki zewnętrznej, natmiast d = r (rys. 3). Nadt w bliczeniach przyjęt: r 1 = 0.5 m, ω 1 =.0 s ; r = m, ω = s, ρ = 100 kg m, T 1 = C, T = C raz µ = Pa s λ = 0.1W (m K). W rzpatrywanym przypadku liczba Reynldsa Re = ω1r1d h / ν = 5 (gdzie Dh = [ π ( r r1 ] / [ π ( r + r1)] ) raz 3 liczba Taylra Ta = ω1r1 / ( r r1) ν = 5000 i liczba Brinkmana Br = 6.7. Na rysunku 4a przedstawin linie prądu wraz z zaznacznymi zwrtami przepływu, na rysunku 4b zaprezentwan ple prędkści przepływu (prędkść kątwą), na rysunkach 4c i 4d przedstawin linie przepływu ciepła i ple temperatury. Na rysunkach (5.1a - 5.5a) wykreśln linie przepływu ciepła między dwma walcami, na rysunkach (5.1b - 5.5b) pla temperatury dla wybranych stpni zagłębienia ścianki adiabatycznej ϑ = h d : 0.5, 0.50, 0.75, 0.90,0. 137

8 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO uθ = ωr = 0 uθ 1 = ω1r1 = h ω 1 = 4 r r 1 y T s1 ω = 0 T s x q s = 0 Rys. 3. Szkic brazujący zagadnienia brzegwe w przykładwym przepływie Fig. 3. Sketch t cnsideratin f bundary cnditins f the flw (a) Ψ Rys. 4. Przepływ Taylra wyznaczny metdą MEB: (a) linie prądu, (b) ple prędkści Fig.4. Taylr flw f BEM slutins: (a) streamlines, (b) velcity field (c) (d) Ξ (b) [m s] u ϕ Rys. 4. Przepływ Taylra wyznaczny metdą MEB: (c) linie przepływu ciepła, (d) ple temperatury Fig.4. Taylr flw f BEM slutins: (c) heat flw lines, (d) temperature field

9 Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych 5.1 (a) ϑ = (b) ϑ = 0.5 Ξ (a) ϑ = (b) ϑ = 0.50 Ξ (a) ϑ = (b) ϑ = 0.75 Ξ

10 Tmasz Janusz TELESZEWSKI, Sławmir Adam SORKO 5.4 (a) ϑ = (b) ϑ = 0.90 Ξ (a) ϑ = (b) ϑ = 0 Ξ Rys. 5. Przepływ Taylra wyznaczny metdą MEB: (c) linie przepływu ciepła, (b) ple temperatury Fig.5. Taylr flw f BEM slutins: (a) heat flw lines, (b) temperature field 7 Pdsumwanie Zaprezentwany wyżej algrytm metdy elementów brzegwych jest rzszerzeniem znaneg rzwiązania analityczneg pla temperatury w przepływie Taylra z uwzględnieniem dyssypacji energii. W klasycznym rzwiązaniu analitycznym wykrzystuje się jedynie warunek brzegwy Dirichleta w pstaci zadanej temperatury. Isttne jest, że w prezentwanym algrytmie MEB istnieje mżliwść zastswania warunku Neumanna w pstaci zadaneg strumienia ciepła na brzegu, jak również i warunku mieszaneg, czyli warunku Rbina. Warty pdkreślenia jest fakt, że mały błąd metdy MEB świadczy jej dużej użytecznści w rzwiązywaniu zagadnień różnrakich laminarnych, nieiztermicznych przepływów płynów lepkich. 140

11 Mdelwanie pla temperatury i strumienia ciepła w płaskich przepływach Taylra metdą elementów brzegwych Literatura 1. Taylr G.I.: Stability f a Viscus Liquid cntained between Tw Rtating Cylinders, Phil. Trans. Ryal Sciety, Vl. 3, 193. White F.M.: Viscus Fluid Flw, McGraw-Hill, White M.F.: Fluid Mechanics, 7th editin, McGraw-Hill, Childs P. R. N.: Rtating flw, Elsevier Inc Jhnsn R.W.: The Handbk f Fluid Dynamics 6. Hlman J.P.: Heat Transfer Tenth Editin, McGraw-Hill, 010 Streszczenie Opracwanie zawiera algrytm wyznaczania pól temperatur w przepływach Taylra z uwzględnieniem dyssypacji energii metdą elementów brzegwych. W prezentwanej pracy przedstawin przykładwe graficzne rezultaty bliczeń, dla których nie są znane rzwiązania analityczne, tj. przepływ z adiabatyczną ścianką na cylindrze zewnętrznym. Algrytm zstał zaimplementwany w autrskim prgramie bliczeniwym napisanym w języku Frtran. Prgram mże być stswany w przepływach cieczy lepkich np. lejów, tam, gdzie wpływ dyssypacji energii jest isttny. Słwa kluczwe: metda elementów brzegwych, przepływy Taylra, dyssypacja energii Mdeling f the temperature field and the heat flux in flat Taylr flws with the bundary element methd Summary In the article it has been intrduced the way t simulatin viscus dissipatin f Taylr flw using Bundary Element Methd. Viscus dissipatin is a main part, where the viscsity is large fr example in ils. The algrithm was verified using a theretical slutin. The cmputer prgram was written in Frtran prgramming language. A numerical examples were presented flw with adiabatic wall temperature. Keywrds: bundary element methd, Taylr flw, viscus dissipatin Badania zstały zrealizwane w ramach pracy statutwej nr S/WBiIŚ/4/014 Katedry Ciepłwnictwa, Ogrzewnictwa i Wentylacji Plitechniki Białstckiej i sfinanswane ze śrdków na naukę MNiSW. 141

12 Symulacja w Badaniach i Rzwju Vl. 7, N. 3-4/016 14