CHARAKTERYSTYKA OPTYMALIZACJI ODPORNEJ PROBLEMU NAJKRÓTSZEJ ŚCIEŻKI W OBSZARACH ZURBANIZOWANYCH

Studia Ekonomicne. Zesyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicnego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 235 2015 Daniel Kubek Politechnika Krakowska Wydiał Inżynierii Lądowej Instytut Zarądania w Budownictwie i Transporcie Zakład Transportu dkubek@pk.edu.pl CHARAKTERYSTYKA OPTYMALIZACJI ODPORNEJ PROBLEMU NAJKRÓTSZEJ ŚCIEŻKI W OBSZARACH ZURBANIZOWANYCH Strescenie: Niniejsy artykuł predstawia problematykę wynacania ścieżek dla pojadów porusających się w sieci drogowej miasta. Ścieżki te ostały wynacone w oparciu o optymaliację odporną, która uwględnia możliwość wystąpienia wahań od wartości ocekiwanej casów prejadu na odcinkach sieci drogowej. Porusone agadnienie popularnie nane jest jako problem najkrótsej ścieżki niepewnymi casami prejadów (robust shortest path problem). Odporny model matematycny problemu najkrótsej ścieżki ostał rowiąany a pomocą metody, która amienia oryginalny problem na deterministycny odpowiednik programowania liniowego. Odpowiednik ten jest uyskiwany pre pryjęcie ałożenia, że mienna decyyjna jest funkcją afinicną, która ależy od realiacji niepewności danych. Niepewność jest definiowana na podstawie odchylenia standardowego casu prejadu na poscególnym odcinku. Parametry te są wykorystane do opisu rodiny rokładów prawdopodobieństwa, godnie którymi wartość niepewności danych będie realiowana. Zalety stosowania optymaliacji odpornej ora charakterystyka problemu ostały apreentowane na recywistej sieci drogowej miasta Krakowa. Słowa klucowe: problem najkrótsej ścieżki, optymaliacja odporna, elastycne okna casowe. Wprowadenie Dynamika mienności casów prejadów w sieci transportowej miasta jest wysoka. Godiny scytu, lokaliacja danego odcinka drogi, warunki pogodowe, darenia losowe ora incydenty drogowe powodują, że estymacja casów prejadów na danych odcinkach może być odmienna od recywistej wartości. Brak

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 133 uwględnienia tych cynników w procesie decyyjnym pry wynacaniu tras prejadu pojadów może powodować ponosenie więksych kostów transportowych. Wrost ten może być spowodowany brakiem pryjęcia ałożenia, że dane o ruchu drogowym, którymi dysponuje się, mogą być obarcone pewnym stopniem nieokreśloności lub niepewności. Pryjęcie deterministycnych, góry nanych wartości casów prejadów do wynacenia trasy dla pojadu może być kostowne nie tylko dla firmy wykonującej usługi transportowe w danym mieście, ale również może być kostowne dla całego systemu transportowego miasta. Chodi tu prede wsystkim o kosty ewnętrne transportu, tj. emisja spalin, emitowany hałas, więksona ajętość dróg, cy też kwestie wierunkowe danego miasta. Niniejsy artykuł predstawia problematykę wynacania ścieżek dla pojadów porusających się w sieci drogowej miasta. Ścieżki te ostały wynacone na podstawie optymiacji odpornej, która uwględnia możliwość wystąpienia wahań od wartości ocekiwanej casów prejadu na odcinkach sieci drogowej. Porusone agadnienie popularnie nane jest jako problem najkrótsej ścieżki niepewnymi casami prejadów (robust shortest path problem). Odporny model matematycny problemu najkrótsej ścieżki ostał rowiąany a pomocą metody, która amienia oryginalny problem na sereg deterministycnych odpowiedników. Są one uyskiwane pre pryjęcie ałożenia, że mienna decyyjna jest funkcją afinicną, która ależy od realiacji niepewności danych. Niepewność jest definiowana na podstawie odchylenia standardowego ora wariancji mienności casu prejadu na poscególnym odcinku. Parametry te są wykorystane do opisu rodiny rokładów prawdopodobieństwa, godnie którymi wartość niepewności danych będie realiowana. Zalety stosowania optymaliacji odpornej ora charakterystyka problemu ostały apreentowane na recywistej sieci drogowej miasta Krakowa. 1. Charakterystyka ruchu miejskiego Funkcjonowanie współcesnych miast jest nieroerwalnie wiąane funkcjonowaniem transportu. Dynamicny rowój miast powoduje równie dynamicny i niekontrolowany rowój transportu. Ten kolei generuje wiele problemów dla mieskańców, np. atłocenie, aniecyscenie powietra cy hałas. Jednym najważniejsych problemów miejskich jest wmożony ruch, który pry planowaniu dystrybucji wymusa uwględnienie wydłużonych casów dostaw. Godiny scytu, lokaliacja danego odcinka drogi, warunki pogodowe, darenia losowe ora incydenty drogowe powodują, że estymacja casów prejadów na

134 Daniel Kubek danych odcinkach może być odmienna od recywistej wartości. Brak uwględnienia tych cynników w procesie decyyjnym pry wynacaniu tras prejadu pojadów może powodować ponosenie więksych kostów transportowych. Wrost ten może być spowodowany brakiem pryjęcia ałożenia, że dane o ruchu drogowym, którymi się dysponuje, mogą być obarcone pewnym stopniem nieokreśloności lub niepewności. Pryjęcie deterministycnych, góry nanych wartości casów prejadów do wynacenia trasy dla pojadu może być kostowne nie tylko dla firmy wykonującej usługi transportowe w danym mieście, ale również dla całego systemu transportowego miasta. Chodi tu prede wsystkim o kosty ewnętrne transportu, tj. emisja spalin, emitowany hałas, więksona ajętość dróg, cy też kwestie wierunkowe danego miasta. Jak pokaano w pracy [Adamski i Kubek, 2014], nawet niewielkie miany w casach prejadu mogą powodować mianę aktualnego optymalnego rowiąania. 2. Problem najkrótsej ścieżki Zagadnienie najkrótsej ścieżki w sieci jest bardo popularnym problemem diediny badań operacyjnych, którego celem jest wynacenie optymalnej trasy w sieci. Dotychcas więksość prac naukowych o tematyce SPP akłada, że: kosty są stałe (modele deterministycne) [Kara şan, Pinar i Yaman, 2001], kosty są mienne w casie (modele dynamicne) [Dellaert, Woensel i Kok, 2013], kosty są pryjmowane pewnym prawdopodobieństwem (modele stochastycne) [Cheng, 2013]. Ostatnie podejście akłada, że kosty mogą być określone pewną doą niepewności. Ta kolei jest określona pre prawdopodobieństwo wystąpienia wartości kostu, np. casu podróży na danym odcinku drogi. Modele stochastycne pryjmują, że niepewność (tu prawdopodobieństwo wystąpienia kostu) występuje godnie pryjętym rokładem prawdopodobieństwa, który góry jest nany. Ostatni warunek jest ałożeniem nie do końca poprawnym, ponieważ nie ma całkowitej pewności, że pryjęty rokład prawdopodobieństwa kostów odpowiada dokładnie recywistym mianom na odcinkach sieci drogowej. Z tą niedogodnością radi sobie cwarte podejście do problemów optymaliacja odporna (robust optimiation). Zakłada ona, że niektóre dane modelu mogą się mieniać, jednak miany te nie są opisane pre konkretny rokład prawdopodobieństwa, tylko pre rodinę rokładów. Dodatkową prewagą tego podejścia w stosunku do podejścia stochastycnego jest mniejse apotrebowa-

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 135 nie na moce obliceniowe komputera [Bertsimas, 2003]. Ostatnie lata wskaują, że podejście to jest cora cęściej stosowane w wielu problemach optymaliacyjnych [Gabrela, Murata i Thiele, 2014]. Zapreentowany poniżej model najkrótsej ścieżki elastycnymi oknami casowymi może powodeniem być aimplementowany w problematyce wynacania tras pojadom (vehicle routing problem, VRP), gdie głównym ałożeniem jest istnienie pełnej siatki połąceń pomiędy punktami w sieci drogowej. W recywistości nie każdy punkt jest połącony poostałymi, wobec cego problem ten możliwy jest do rowiąania pre stworenie sieci wirtualnymi odpornymi połąceniami, które ostałyby wynacone na podstawie aproponowanego poniżej podejścia. Dięki temu można uyskać pełną macier kostów pomiędy obsługiwanymi klientami ora odporne ścieżki, na baie których możliwe jest wykonanie optymaliacji sekwencji odwiedania. W konsekwencji doprowadi to do uyskania problemu odpornego VRP. 2.1. Model deterministycny Model matematycny problemu najkrótsej ścieżki elastycnymi oknami casowymi (shortest path problem with soft time windows, SPPSTW) można predstawić następująco (stworono na podstawie modelu apreentowanego w pracy [Desaulniers i Villeneuve, 2000]). Dany jest skierowany graf G = (V,A), gdie V = {1, 2,, n} onaca biór punktów grafu, A = {(i, j): i j V, i j} onaca biór skierowanych łuków (połąceń pomiędy i-tym a j-tym punktem). Każdy łuk (i, j) e bioru A charakteryuje się kostem prejadu T, który w dalsej cęści artykułu onaca cas prejadu pomiędy poscególnymi punktami grafu ora kostami operacyjnymi C, które są wiąane porusaniem się pojadu w sieci drogowej. W grafie istnieją dwa punkty {org, des} V, onacające odpowiednio pocątek ścieżki ora koniec ścieżki, które charakteryują się stałymi oknami casowym: TW i = [e i, l i ] (i) {org, des}. Okna te onacają, kiedy realiacja ścieżki powinna się ropocąć ora kiedy powinna się skońcyć. Możliwe jest niespełnienie warunku trafienia w okno casowe, w takich wypadkach będie nalicana umowna kara. Problem sprowada się do naleienia optymalnego połącenia pomiędy dwoma punktami sieci {org, des} V, uwględnieniem okna casowego pocątku i końca realiacji trasy. W problemie występują try mienne: { 0,1}, ( i, j) A onaca, cy łuk (i, j) najduje się w ścieżce, x ij

136 Daniel Kubek + y 1,2 R onaca odpowiednio cas odjadu punktu startu/cas pryjadu do punktu celu, + w 1,2,3,4 R onaca dewiacje od stałego okna casowego; w 1 to cas ocekiwania, w 4 to cas opóźnienia, a w 2 ora w 3 są dodatkowymi miennymi, które apewniają poprawność modelu, gdy pojad pryjedie do punktu celu o casie awierającym się w akresie stałego okna casowego. Konstrukcja ta jest apożycona metodyki programowania celowego w optymaliacji wielokryterialnej [Calvete i in., 2007]. Elastycność okien ostała wprowadona do modelu e wględu na fakt późniejsego występowania wahań w casach prejadów, jak również dlatego, że ałożenie to jest bliżse recywistości. Deterministycny model matematycny SPPSTW można predstawić następująco: ( DET ) min Q Cij xij + (1 Q) α 1 β 4 (1) i V j V 1 dla i = org xij x ji = 1 dla i = des (2) j= V j V 0 w. p. p y 1 + i V e j V T ij x ij org l org = y 2, ( i, j) A ( w + w ) (3) y 1 (4) x ij y y 2 2 + w1 w2 + w w 3 4 = a = b n { 0,1}, ( i, j) A, des des + y 1,2 R, (5) + w 1,2,3,4 R (6) Funkcja kryterialna (1) składa się dwóch cłonów: pierwsy odpowiada a minimaliację kostów operacyjnych pojadu, drugi a minimaliację casu ocekiwania w 1 na ropocęcie się okna casowego w punkcie celu lub casu opóźnienia w 4, które może wystąpić po pryjeźdie pojadu do celu. Zmienna parametr Q onaca wagę ważności kryterium minimaliacji kostów nad kryterium minimaliacji odchylenia od stałego okna casowego. Wagi α i β są karami a wystąpienie ocekiwania/spóźnienia. Pry niskiej akceptacji opóźnień β po-

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 137 winno być nacnie więkse od α. Ogranicenie (2) apewnia poprawność prepływu w sieci drogowej. Warunek (3) określa cas pryjadu do punktu celu, a ogranicenie (4) apewnia, że cas ropocęcia realiacji ścieżki awiera się w oknie casowym startu. Ogranicenie (5) powala na wystąpienie casu ocekiwania lub opóźnienia w punkcie celu. Ostatni warunek definiuje naturę miennych. 2.2. Model odporny Predstawiony deterministycny model DET problemu można preformułować na problem optymaliacji odpornej popre ałożenie, że cas prejadu na poscególnych odcinkach sieci pryjmuje wartości akresu T = = {T ij [T ij med, T ij med + T ij dev ], (i, j) A}, gdie T ij med onaca ocekiwany cas prejadu, a T ij dev onaca możliwą dewiację casu od wartości ocekiwanej casu prejadu. Prediał mienności casu prejadu można również apisać jako biór: T = T() = {T ij :[T ij med, T ij med + ij T ij dev ], ij [0, 1] Σ ij ij Γ, (i, j) A}. Zbiór ten jest biorem niepewności casu prejadu każdego odcinka sieci, a stopień niepewności jest kontrolowany pre parametr Γ. Onaca on stopień konserwatymu rowiąania, cyli w jakim stopniu uyskane rowiąanie będie odporne na występujące odchyłki od wartości ocekiwanej. Jeśli pre J onacymy ilość elementów maciery kostów (licba odcinków w sieci), to parametr Γ będie pryjmował wartości akresu [0, J ]. Dla Γ = 0 model sprowadi się do deterministycnej wersji, jeśli kolei Γ = J, model doprowadi do modelu Soystera, cyli do wyboru scenariusa najlepsego najgorsych [Soyster, 1973]. Dodatkowa mienna ij onaca mienną nieokreśloną, która pryjmuje wartości akresu [0, 1] [Bertsimas, 2004]. Dodatkowa mienna jest macierą losowych współcynników nieokreśloności casu prejadu definiowanych w prestreni (Ω, F, P), dla których nie akłada się najomości rokładu prawdopodobieństwa P. Rokład ten jest opisany pre rodinę rokładów F. Zakłada się również, że cęść miennych decyyjnych jest funkcją afinicną nieokreślonych współcynników ij. Wobec takich ałożeń problem (DET) można amienić na problem odporny SPPSTW (robust shortest path problem with soft time windows, RSPPSTW), którego apis matematycny predstawia się następująco: ROB ) min Q Cij xij + (1 Q) α 1 β ) (7) i V j V ( w ( T ) + w ( T ) ( 4

138 Daniel Kubek j= V x ij x j V ji 1 dla i = org = 1 dla i = des 0 w. p. p y1 ( T ) T xij = y2 ( T ), ( i, j) A (9) + i V j V (8) e org y ( T ) l 1 org (10) x ij w y y 2 2 ( T ( T ) + w ( T 1 ) + w 3 ( T n { 0,1}, ( i, j) A, y T R R ) w 2 ) w T 4 ( T ( T ) = a ) = b R des des R n ) + 1,2 (, n ) + 1,2,3,4 ( ij [0,1] ( i, j) A (11) (12) Predstawiony powyżej model (ROB) akłada, że niepewne dane T są ależne afinicnie w dopuscalnej prestreniu niepewności. Takie sformułowanie problemu amienia również mienne ależne od niepewności danych na mienne typu pocekaj i obacˮ [Ben-Tal i in., 2004]. Zmienne y(t ) ora w(t ) mogą dostosowywać swoje wartości do realiowanych wartości współcynników nieokreśloności ij. Zmienna x ij jest mienną typu tu i teraˮ, cyli na jej wartości nie wpływają elementy niepewne modelu. Dięki astosowaniu liniowych współcynników nieokreśloności ora wprowadeniu miennych decyyjnych liniowo ależnych (linear decision rules) model (ROB) jest rowiąywalny i można uyskać rowiąanie co najmniej dopuscalne. Scegóły metody ora dowody równoważności obu preentacji problemu ostały apreentowane w pracach [Ben-Tal i in., 2004] ora [Goh i Sim, 2010]. 3. Charakterystyka optymaliacji odpornej problemu najkrótsej ścieżki Predstawiony model RSPPSTW ostał aimplementowany do wynacenia optymalnej trasy w recywistej sieci drogowej miasta Krakowa uwględnieniem recywistych natężeń ruchu na tej sieci. Charakterystykę mienności casów prejadów uyskano pry użyciu symulatora ruchu Aimsun 8.03. Oprogramowanie to umożliwia wykonanie m.in. mikrosymulacji ruchu drogowego. Rys. 1 predstawia analiowaną sieć ora jej model w programie Aimsun.

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 139 Dane o natężeniach ruchu na wlotach do analiowanej sieci ostały wprowadone na podstawie pomiaru ruchu wykonywanego w 2012 r. pre Zarąd Infrastruktury Komunalnej i Transportu w Krakowie. Pomiar wykorystany w analiie ostał wykonany w porannym scycie komunikacyjnym w dień powsedni. Dięki badaniom ruchu ora funkcjonalności symulatora możliwe jest uyskanie charakterystyki mienności casu prejadu na poscególnych odcinkach dla danej sieci. Wyniki otrymane symulatora ukaują, że w sieci występują odcinki, gdie różnicowanie casu prejadu jest nieduże, ale występują również takie, gdie mienność casu prejadu jest duża. Świadcą o tym wysoka wariancja ora odchylenie standardowe casu prejadu. Dla tych odcinków niepewność w modelu będie więksa wartość możliwej dewiacji T ij dev będie więksa. Rys. 1. Analiowany obsar centrum Krakowa ora jego model symulacyjny w Aimsun Źródło: Na podstawie Google Maps ora Kubek [ 2014]. 3.1. Wyniki symulacji Model wynacania odpornych tras ostał aimplementowany w środowisku optymaliacyjnym CPLEX 12.5, gdie uyskane rowiąanie ostało wynacone metodą optymaliacji dokładnej (algorytm Branch and Bound). Zapreentowana sieć drogowa ostała definiowana jako graf skierowany składający się 250 punktów ora 551 łuków skierowanych. Niepewność casów prejadów

140 Daniel Kubek ostała definiowana jako różnica pomiędy maksymalną wartością casu prejadu a jego wartością ocekiwaną. Duża różnica tych wartości onaca, że dany odcinek drogi charakteryuje się wysoką miennością casu podróży. Analię wykonano dla dwóch losowo wybranych punktów, którym prypisano losowe okna casowe maksymalną długością prediału 1,5 godiny. W celu pokaania alet stosowania modelu (ROB) okna casowe startu i celu mają cęść wspólną, tn. możliwe jest wynacenie takiej trasy w modelu (DET), że nie wystąpią opóźnienia ora wceśniejsy pryjad pojadu. Sytuacja ta jest dość cęsto spotykana w recywistej obsłude transportowej danego obsaru, gdie na wynaconym terenie najduje się biór klientów o podobnym oknie casowym obsługi. Parametr ważności kryterium pryjęto jako Q = 0.5, a wagi w kryterium opóźnień równe α,β = 1. W celach porównawcych oblicono ścieżkę na podstawie modelu (DET) ora modelu (ROB) poiomem konserwatymu Γ = 5. Rys. 2 predstawia uyskane rowiąania. Jak można auważyć, nawet pry niskim poiomie konserwatymu rowiąanie jest inne niż w prypadku wynaconego deterministycnie. Jednakże sama miana trasy nie świadcy jesce o wyżsości metody odpornej nad klasycnymi metodami. Rys. 2. Najkrótsa ścieżka na podstawie modelu deterministycnego (DET) linia ciągła ora wersji odpornej (ROB) linia prerywana

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 141 W wiąku tym, że ruch drogowy to proces dynamicny, którego główną cechą jest niemożliwość dokładnego prewidenia jego parametrów, tj. casu prejadu, w dalsej analiie sprawdono otrymane rowiąanie metodą Monte Carlo. Dla 1000 losowo wybranych wartości miennej ij akresu [0, 1] sprawdono, jaki byłby kost ścieżki ora wartość opóźnienia dla rowiąania deterministycnego ora odpornego. Wyniki predstawia tabela 1, w której estawiono 3 prypadki: losowyˮ, wartość ocekiwanaˮ ora najgorsyˮ. Dla prypadku losowyˮ wskaano wartości średnie dla 1000 wyników analiy Monte Carlo. Prypadek wartość ocekiwanaˮ to sytuacja, gdy w recywistości nie wystąpiła realiacja niepewności, cyli nie wystąpiła dewiacja w casach prejadu. Ostatni prypadek to sytuacja, gdy w sieci drogowej wystąpiły maksymalne wahania od wartości ocekiwanej. Tabela 1. Porównanie wyników optymaliacji dla modeli DET i ROB Rowiąanie (DET) Rowiąanie (ROB) Prypadek Długość ścieżki [sek.] Opóźnienie [sek.] Długość ścieżki [sek.] Opóźnienie [sek.] Losowy 409,95 373,48 409,95 0,00 Wartość ocekiwana 333,48 0,00 333,79 0,00 Najgorsy 489,91 763,89 378,73 0,00 Jak można auważyć, rowiąanie deterministycne jest korystne tylko w prypadku sytuacji idealnej gdy recywista realiacja casów podróży w sieci drogowej będie w całości taka sama, jak ałożono to pry planowaniu ścieżki. Jednak gdy w sieci drogowej wystąpi niewielka dewiacja od ałożonych wartości danych, to rowiąanie klasycne może prynieść straty dla firmy transportowej, jak również dla całego systemu transportowego miasta. Świadcą o tym występujące opóźnienia dla ścieżki wynaconej metodą deterministycną ora wydłużony cas realiacji ścieżki pre pojad. Podsumowanie Predstawione podejście pokauje alety stosowania optymaliacji odpornej, dięki której możliwe jest bardiej dokładne opisanie recywistego obiektu, jakim jest mienny i niepewny ruch miejski. Dalse prace nad tą tematyką będą prowadone w kierunku uwględnienia dynamimu miany casu prejadu w casie, jak również propoycji integracji odpornych problemów najkrótsej ścieżki

142 Daniel Kubek problematyką wynacania tras w celu stworenia modeli odpornych VRP. Innym właściwym kierunkiem rowoju tej problematyki jest badanie, w jaki sposób należy definiować biór niepewności, aby uwględnić niepewność wystąpienia incydentu drogowego na danym odcinku. Literatura Adamski A., Kubek D. (2014), HITS: Advanced City Logistics Systems [w:] T. Marek (red.), Human Factors of a Global Society: A System of Systems Perspectiveˮ, CRC Press. Ben-Tal A., Goryashko A., Gusliter E., Nemirovski A. (2004), Adjustable robust solutions of uncertain linear programs, Mathematical Programmingˮ, Vol. 99. Bertsimas D., Sim M., (2003), Robust discrete optimiation and network flows, Mathematical Programmingˮ, Vol. 98. Bertsimas D., Sim M. (2004), Price of Robustness. Operations Researchˮ, Vol. 52, Iss. 1. Calvete H.I., Galé C., Oliveros M.J., Sánche-Valverde B. (2007), A goal programming approach to vehicle routing problems with soft time windows, European Journal of Operational Researchˮ, Vol. 177, Iss. 3. Cheng J., (2013), Distributionally robust stochastic shortest path problem, Electronic Notes in Discrete Mathematicsˮ, Vol. 41. Dellaert N., Woensel T., Kok T. (2013), Dynamic shortest path problems: Hybrid routing policies considering network disruptions, Computers & Operations Researchˮ, Vol. 40, Iss. 12. Desaulniers G., Villeneuve D. (2000), The Shortest Path Problem with Time Windows and Linear Waiting Costs, Transportation Scienceˮ, Vol. 34, Iss. 3. Gabrela V., Murata C., Thiele A. (2014), Recent advances in robust optimiation: An overview, European Journal of Operational Researchˮ, Vol. 235, Iss. 3. Goh J., Sim M. (2010), Distributionally Robust Optimiation and its Tractable Approximations, Operations Researchˮ, Vol. 58. Kara şan O.E., Pinar M.Ç., Yaman H. (2001), The robust shortest path problem with interval data. Technical report, Bilkent University. Kubek, D. (2014), Integration of robust shortest path with pickup and delivery vehicle routing problem, ICTTE: International conference on traffic and transport engineering, November 27-28, 2014 Belgrade, Serbia. Soyster A. (1973), Convex programming with set-inclusive constraints and application to inexact linear programming, Operation Researchˮ, Vol. 21.

Charakterystyka optymaliacji odpornej... 143 ANALYSIS OF ROBUST OPTIMIZATION FOR SHORTEST PATH PROBLEM IN URBAN AREAS Summary: The paper addresses the shortest path problem for vehicles traversing the road network of the city. The paths have been determinate based on the robust optimiation theory, which take into account the data uncertainty. The problem is known as robust shortest path problem. Formulation of robust mathematical model is solved by transforming the robust model into a deterministic counterpart. Deterministic counterpart is obtained by assumption that variables are affinely dependent on primitives uncertainty. Uncertainty set is defined as affine function of standard deviation of sections travel time. These parameters are used to describe a family of probability distributions under which the value of the uncertainty of the data will be implemented. The advantages, analysis and the characteristics of robust approach are presented on a real example the road network of Cracow. Keywords: shortest path problem, robust optimiation, soft time windows.