Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to: (01) x + y xy, (0) x 5 + y 5 x 3 y + y 3 x, (03) x + y + z xy + yz + zx, (04) x 3 + y 3 + z 3 3xyz, (05) x y + y z + z x x yz + xy z + xyz, (06) x 3 + y 3 + z 3 + t 3 xyz + xyt + xzt + yzt Pewne z tych nierówności są prawdziwe nawet dla dowolnych liczb rzeczywistych (niekoniecznie dodatnich) Rozważać będziemy jednak tylko liczby dodatnie Pokażemy, że wszystkie powyższe nierówności są szczególnymi przypadkami pewnego twierdzenia udowodnionego w 1903 roku przez R E Muirheada Przed wysłowieniem tego twierdzenia wprowadzimy najpierw kilka nowych pojęć i oznaczeń 1 Podziały Podziałem długości k liczby naturalnej n nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg α = (α 1,, α k ) nieujemnych liczb całkowitych spełniających następujące dwa warunki: (1) α 1 α 1 α k, () α 1 + α + + α k = n Zbiór wszystkich podziałów długości k liczby n oznaczać będziemy przez P(n, k) W szczególności zbiór P(4, 3) składa się z 4 elementów: Natomiast zbiór P(7, 4) ma 11 elementów: (4, 0, 0), (3, 1, 0), (,, 0), (, 1, 1) (7, 0, 0, 0), (6, 1, 0, 0), (5,, 0, 0), (5, 1, 1, 0), (4, 3, 0, 0), (4,, 1, 0), (4, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 0), (3,,, 0), (3,, 1, 1), (,,, 1) Jeśli n < 10, to elementy zbioru P(n, k) zapisywać będziemy bez nawiasów i bez przecinków Elementami zbioru P(4, 3) są więc podziały: 400, 310, 0, 11, a elementami zbioru P(7, 4) podziały: 7000, 6100, 500, 5110, 4300, 410 4111, 3310, 30, 311, 1 1
A Nowicki, Sierpień 1995, Nierówności symetryczne Porównywanie podziałów Załóżmy, że α = (α 1,, α k ), β = (β 1,, β k ) są podziałami należącymi do zbioru P(n, k) Mówić będziemy, że podział α jest większy lub równy od podziału β, co zapisywać będziemy jako α β, jeśli: α 1 β 1, α 1 + α β 1 + β, α 1 + α + α 3 β 1 + β + β 3, α 1 + α + α 3 + + α k β 1 + β + β 3 + + β k Spójrzmy na przykłady Ciągi 41 i 3 są podziałami długości 3 liczby 7 Zachodzi nierówność 41 3, gdyż: 4 > 3, 4 + > 3 +, 4 + + 1 = 3 + + W ten sam sposób sprawdzamy, że: 70 5, 51 431, 5100 43100, 0 11 Łatwo udowodnić: Stwierdzenie Niech α, β, γ będą podziałami należącymi do zbioru P(n, k) Wtedy: (1) α α; () jeśli α β i β α, to α = β; (3) jeśli α β i β γ, to α γ W zbiorze P(3, 3) mamy elementy 300, 10, 111 i zachodzi: 300 10 111 Wszystkie elementy zbioru P(4, 3) uporządkowane są następująco: 400 310 0 11 Podobnie jest w zbiorze P(5, 3): 500 410 30 311 1 Widzimy tutaj, że każde dwa elementy α, β zbioru P(n, k) są w relacji: albo α β albo β α Na ogół tak jednak nie musi być Elementy α = 411 i β = 330 zbioru P(6, 3) nie są w żadnej relacji; nie jest prawdą, że α β i nie jest prawdą, że β α 3 Wielomiany symetryczne Jeżeli k jest ustaloną liczbą naturalną, to przez S k oznaczać będziemy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,,, k} Przypomnijmy, że zbiór S k ma k! elementów Niech f(x 1,, x k ) będzie wielomianem zmiennych x 1,, x k Mówimy, że wielomian ten jest symetryczny, jeśli dla każdej permutacji σ należącej do zbioru S k zachodzi równość f(x σ(1), x σ(),, x σ(k) ) = f(x 1, x,, x k ) Załóżmy, że mamy tylko dwie zmienne x 1 i x (tzn k = ) Zmienne te oznaczmy odpowiednio przez x i y W tym przypadku wielomian f(x, y) jest symetryczny dokładnie wtedy, gdy f(y, x) = f(x, y) W szczególności wielomiany xy, x 5 + y 5, x 3 + y 3 13xy są symetryczne Natomiast wielomiany x + 4y, x + y 3, xy + 5y nie są symetryczne Rozważmy teraz trzy zmienne x = x 1, y = x, z = x 3 (tzn k = 3) W tym przypadku wielomian f(x, y, z) jest symetryczny dokładnie wtedy, gdy f(x, y, z) = f(x, z, y) = f(y, x, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y) = f(z, y, x)
A Nowicki, Sierpień 1995, Nierówności symetryczne 3 Wielomiany xyz, x 9 + y 9 + z 9, xy + yz + zx, 5xyz 1x 1y 1z są symetryczne Wielomiany xyz, x + 5y + z, x + y + z nie są symetryczne Zanotujmy jeszcze kilka przykładów wielomianów symetrycznych większej ilości zmiennych x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6, x 3 1 + x3 + x3 3 + x3 4 + x3 5 + x3 6, x 1 x + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x x 3 + x x 4 + x 3 x 4, x 1 x x 3 + x 1 x x 4 + x 1 x 3 x 4 + x x 3 x 4 Łatwo udowodnić, że suma wielomianów symetrycznych jest wielomianem symetrycznym Podobnie jest z iloczynem 4 Wielomian symetryczny stowarzyszony z podziałem Niech α = (α 1,, α k ) będzie podziałem długości k liczby naturalnej n Oznaczmy przez A α jednomian zmiennych x 1,, x k zdefiniowany następująco: A α = A α (x 1,, x k ) = x α 1 1 xα xα k k Przykłady: A 1 (x, y) = x y, A 43 (x, y, z) = x 4 y 3 z, A 5100 (x, y, z, t) = x 5 y W dalszym ciągu istotną rolę odgrywać będzie wielomian symetryczny zmiennych x 1,, x k, którego oznaczać będziemy przez T α lub T α (x 1,, x k ) Wielomian ten definiujemy następująco: T α = T α (x 1,, x k ) = σ S k A α (x σ(1), x σ(),, x σ(k) ) W szczególności, dla dwóch zmiennych x i y, mamy: natomiast dla trzech zmiennych x, y, z: T α (x, y) = A α (x, y) + A α (y, x), T α (x, y, z) = A α (x, y, z) + A α (x, z, y) + A α (y, x, z) + A α (y, z, x) + A α (z, x, y) + A α (z, y, x) Przykłady: T 3 (x, y) = x 3 y + y 3 x, T 31 (x, y, z) = x 3 y z + x 3 z y + y 3 x z + y 3 z x + z 3 x y + z 3 y x, T 3300 (x, y, z, t) = 4x 3 y 3 + 4x 3 z 3 + 4x 3 t 3 + y 3 z 3 + 4y 3 t 3 + 4z 3 t 3, T 4110 (x, y, z, t) = x 4 (yz + yt + zt) + y 4 (xz + xt + zt)+ z 4 (xy + xt + yt) + t 4 (xy + xz + yz), T 50000 (x, y, z, t, u) = 4(x 5 + y 5 + z 5 + t 5 + u 5 ), T 11111 (x, y, z, t, u) = 10xyztu 5 Twierdzenie Muirheada Teraz możemy już wysłowić zapowiedziane wcześniej Twierdzenie Muirheada Twierdzenie Niech α, β będą podziałami długości k liczby naturalnej n Następujące dwa warunki są równoważne
4 A Nowicki, Sierpień 1995, Nierówności symetryczne (1) α β (1) Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych x 1,, x k zachodzi nierówność T α (x 1,, x k ) T β (x 1,, x k ) Dowód tego twierdzenia nie jest trudny Można go znaleźć np w [3], [] lub [1] 6 Dowody nierówności podanych we Wstępie Przykład 61 x + y xy Dowód Rozpatrzmy podziały 0 i 11 Są to podziały długości liczby Poniewż 0 11, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x + y = T 0 (x, y) T 11 (x, y) = xy Przykład 6 x 5 + y 5 x 3 y + y 3 x Dowód Rozpatrzmy podziały 50 i 3 Są to podziały długości liczby 5 Poniewż 50 3, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x 5 + y 5 = T 50 (x, y) T 3 (x, y) = x 3 y + y 3 x Przykład 63 x + y + z xy + yz + zx Dowód Wynika to z Twierdzenia Muirheada dla podziałów α = 00, β = 110 Przykład 64 x 3 + y 3 + z 3 3xyz Dowód α = 300, β = 111 Przykład 65 x y + y z + z x x yz + xy z + xyz Dowód α = 0, β = 11 Przykład 66 x 3 + y 3 + z 3 + t 3 xyz + xyt + xzt + yzt Dowód α = 3000, β = 1110 7 Zadania Korzystając z Twierdzenia Muirheada wykazać, że zachodzą następujące nierówności Wszystkie liczby rzeczywiste x, y, z,, x 1, x,, wysępujące w tych nierównościach, są dodatnie 71 x k 1 + xk + + xk k kx 1x x k 7 x 4 + y 4 + z 4 xyz(x + y + z) 73 x 5 + y 5 + z 5 xyz(xy + yz + zx) 74 (x + y + z )(x + y + z) 9xyz 75 x 3 yz + y3 xz + z3 xy x +y z + y +z x + x +z y x + y + z
A Nowicki, Sierpień 1995, Nierówności symetryczne 5 76 x y+z + y x+z + z x+y 3 77 x 1 x +x 3 + +x n + x x 1 +x 3 + +x n + + x n x 1 +x + +x n 1 n n 1 78 8(x 4 + y 4 ) (x + y) 4 79 (x 3 y 3 ) (x y )(x 4 y 4 ) 710 (x + y)(x 4 + y 4 ) (x + y )(x 3 + y 3 ) 711 1 x+y+z + 1 x+y+t + 1 x+z+t + 1 y+z+t 16 x+y+z+t 71 713 x 6 +y 6 x+y x +y x3 +y 3 x n+m +y n+m xn +y n xm +y m Literatura [1] A Berent, Twierdzenie Muirheada i nierówności symetryczne, Praca magisterska, UMK Toruń, 1991 [] S W Dworianinow, E A Jasinowyj, Jak otrzymuje się nierówności symetryczne, (po rosyjsku), Kwant, 7(1985), 33-36 [3] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya, Nierówności, (po rosyjsku), Moskwa, 1948