Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające ze zbioru X X do zbioru X. Zamiast pisać (x, y) dla wyrażenia wartości tej funkcji dla argumentu (x, y), będziemy pisali x y. Definicja 2. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Mówimy, że jest działaniem łącznym, gdy dla dowolnych x, y, z X zachodzi równość x (y z) = (x y) z. Definicja 3. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Mówimy, że jest działaniem przemiennym, gdy dla dowolnych x, y X zachodzi równość x y = y x. Definicja 4. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Element e X nazywamy elementem neutralnym, gdy dla dowolnego x X mamy x e = x = e x Definicja 5. Niech będzie działaniem w zbiorze X oraz e X będzie elementem neuralnym. Elementem odwrotnym do elementu x X nazywamy elementem x X taki, że x x = e = x x. Mówimy wówczas, że x jest elementem odwracalnym, a element odwrotny do x oznaczamy przez x 1 lub x w zależności od przyjętej notacji multiplikatywnej lub addytywnej. Definicja 6. Niech G będzie niepustym zbiorem z działaniem. Wówczas parę (G, ) nazywamy grupą, gdy działanie jest łączne, zbiór G posiada element neutralny dla działania oraz każdy element ze zbioru X jest odwracalny. Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, to mówimy, że grupa jest abelowa. Definicja 7. Niech G będzie grupą z działaniem. Rzędem grup nazywamy liczbę elementów zbioru G i oznaczamy go przez G. Definicja 8. Niech G będzie grupą z działaniem. Wówczas rzędem elementu g G nazywamy najmniejszą liczbę naturalną k, o ile istnieje, taką, że g... g = e, co zapisujemy rz(g) = k. Jeżeli }{{} k razy taka liczba nie istnieje, to mówimy, że rząd danego elementu wynosi nieskończoność, czyli rz(g) =. Stwierdzenie 1. Rząd dowolnego elementu grupy skończonej dzieli rząd tej grupy. Stwierdzenie 2. Niech będzie działaniem wewnętrznym w zbiorach H i G oraz H G. Wówczas: (i) jeżeli jest działaniem łącznym w zbiorze G, to jest również działaniem łącznym w zbiorze H; (ii) jeżeli jest działaniem przemiennym w zbiorze G, to jest również działaniem przemiennym w zbiorze H; (iii) jeżeli element e H jest elementem neutralnym w zbiorze G, to jest on również elementem neutralnym w zbiorze H. 1

Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, czy dane pary tworzą grupę (a) ((0, 1], ) (b) (N, +) (c) (R, ) (d) (R +, ) (e) ({ 1, 1}, ) (f) ({1, 1, i, i}, ) (g) (µ n, ), gdzie µ n = {z C : z n = 1} (h) (S 1, ), gdzie S 1 = {z C : z = 1} Zadanie 2. Niech µ := n N µ n. Pokaż, że µ = {cos(2qπ) + i sin(2qπ) : q Q}. Wywnioskuj, że µ ze zwykłym mnożeniem tworzy grupę abelową. Zadanie 3. Niech D n oznacza zbiór wszystkich izometrii własnych n-kąta foremnego. (a) Zauważ, że dla dowolnej izometrii T wierzchołek sąsiadujący wierzchołkowi A musi przejść na sąsiada wierzchołka T (A). (b) Udowodnij, że zbiór D n posiada dokładnie 2n elementów. (c) Wymień wszystkie izometrie własne n-kąta foremnego. (d) Pokaż, że zbiór D n tworzy grupę ze składaniem przekształceń. (e) Utworzyć tabelki działań w grupach D 3 i D 4. Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór Φ(n) = {a : 1 a < n, NWD(a, n) = 1} z mnożeniem modulo n tworzy grupę abelową. Utworzyć tabelkę działania w grupie Φ(12). Zadanie 5. Znajdź rząd elementu: (a) 2 w grupie Z 16 (b) 5 w grupie Z 12 (c) 3 w grupie Φ(11) (d) O 120 w grupie D 6 ( ) 1 2 3 4 5 (e) w grupie S 5 3 5 1 2 4 Zadanie 6. Ile elementów rzędu n ma dana grupa G: (a) n = 4, G = D 8 (b) n = 2, G = D 4 (d) n = 10, G = Z 100 (e) n = 2, G = Z 8 Z 8 (c) n = 6, G = Z 12 (f) n = 4, G = Φ(24) 2

Zadanie 7. Pokaż, że rząd elementu k w grupie Z n wynosi Zadanie 8. n NWD(n,k). (a) Pokaż, że jeżeli τ 1, τ 2 są cyklami rozłącznymi w grupie S n, to τ 1 τ 2 = τ 2 τ 1. (b) Pokaż, że jeśli σ = τ 1 τ 2... τ k oraz τ i są cyklami rozłącznymi, to dla dowolnego n N mamy σ n = τ n 1 τ n 2... τ n k. (c) Wykaż, że jeśli permutacja σ = τ 1 τ 2... τ k oraz τ i są rozłącznymi cyklami długości n i, to rzσ = NW W (n 1, n 2,... n k ). Zadanie 9. Mając daną permutację σ S 8 oblicz σ 2007 a) σ = ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 7 5 1 4 6 8 b) σ = ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 6 1 3 8 7 2 5 4 c) σ = ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 5 8 4 2 3 1 7 6 Zadanie 10. Udowodnić, że dla każdego a, b G zachodzą równość rz(a) = rz(a 1 ), rz(ab) = rz(ba). Zadanie 11. Udowodnij, że jeżeli g k = e w grupie G, to rząd elementu g dzieli k. Pytania (a) Czy dla dowolnego n N grupa permutacji S n jest nieabelowa? (b) Czy istnieje nieabelowa grupa rzędu 2? (c) Czy istnieje nieabelowa grupa rzędu 3? (d) Podaj najszerszą klasę grup, dla których (a b) 1 = a 1 b 1. (e) Czy w grupie Φ(100) istnieje element rzędu 7? (f) Czy dla dowolnej grupy G z działaniem zbiór elementów skończonego rzędu tworzy grupę z działaniem? (g) Czy dla dowolnego k N i dowolnej grupy G z działaniem zbiór elementów rzędu k tworzy grupę z działaniem? (h) Czy dla dowolnej grupy skończonej G i dowolnej liczby naturalnej k G istnieje element w tej grupie rzędu k? (i) Czy dowolna grupa nieskończona posiada element, różny do elementu neutralnego, o skończonym rzędzie? (j) Czy każda skończona grupa rzędu parzystego większego niż 2 posiada co najmniej jeden element rzędu 2? 3

Algebra 1 Ćwiczenia 2 - Pojęcie podgrupy i dzielnika normalnego Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Podzbiór H grupy G z działaniem nazywamy podgrupą, gdy dla dowolnych elementów x, y H mamy x y 1 H. Piszemy wówczas H < G. Stwierdzenie 1. Niech G będzie grupą z działaniem oraz H G. Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) H < G; (ii) Zbiór H jest również grupą z działaniem obciętym do zbioru H; (iii) Działanie jest wewnętrzne w zbiorze H, element neutralny e H oraz dowolny element x H posiada element odwrotny w tym zbiorze. Stwierdzenie 2. Rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy. Definicja 2. Niech H < G oraz g G. Warstwą lewostronną (prawostronną) wyznaczoną przez element g względem podgrupy H nazywamy zbiór g H = {g h : h H} (odpowiednio H g = {h g : h H}). Stwierdzenie 3. Niech H < G oraz x, y G. Wówczas x H = y H wtedy i tylko wtedy, gdy y 1 x H. Podobnie H x = H y wtedy i tylko wtedy, gdy x y 1 H. Stwierdzenie 4. Niech H < G. Relacja xry y 1 x H jest relacją równoważności, dla której klasy abstrakcji pokrywają się z warstwami. W szczególności, dwie warstwy są rozłączne lub równe oraz suma mnogościowa wszystkich warstw daje cały zbiór G. Definicja 3. Indeks podgrupy H w grupie G oznaczamy przez (G : H) i oznacza on liczbę warstw lewostronnych wyznaczonych przez podgrupę H. Twierdzenie 1 (Lagrange). Jeżeli G jest grupą skończoną i H < G, to G = (G : H) H. Definicja 4. Podgrupę H grupy G z działaniem nazywamy dzielnikiem normalnym, gdy dla dowolnych g G i h H mamy g h g 1 H, czyli g H g 1 H. Piszemy wówczas H G. Stwierdzenie 5. Jeżeli H G, to dla dowolnego g G mamy g H = H g. Zadania Zadanie 1. Wypisać wszystkie podgrupy grupy : Z 6, Z 8, D 3, D 4, Φ(12) i Φ(14). Zadanie 2. Udowodnić, że każda podgrupa grupy Z jest postaci nz, gdzie n N. Zadanie 3. Pokazać, że SL n (K) jest podgrupą grupy GL n (K). 1

Zadanie 4. Niech H 1, H 2 będą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnić, że zbiór H 1 H 2 = {h 1 h 2 : h 1 H 1, h 2 H 2 } jest podgrupą grupy G i jest ona najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupą zawierającą H 1, H 2. Zadanie 5. Niech T będzie niepustym zbiorem. Udowodnić, że jeśli H t < G dla każdego t T, to również t T H t < G Zadanie 6. Niech H 1 i H 2 będą podgrupami grupy skończonej G. Udowodnij, że jeżeli ich rzędy H 1, H 2 są liczbami względnie pierwszymi, to H 1 H 2 jest podgrupą trywialna tzn. składającą się tylko z jednego elementu: neutralnego. Zadanie 7. Wyznaczyć wszystkie warstwy podgrupy: (a) {0, 3, 6, 9} w Z 12 ; (b) {1, 17, 19, 35} w Φ(36); (c) R + w R ; (d) S 1 w C ; (e) R w C; (f) Z w R. Zadanie 8. Udowodnić, że warstw lewostronnych jest tyle samo co prawostronnych. Zadanie 9. Dla danych grup sprawdzić czy dane podgrupy są dzielnikami normalnymi: (a) G = S 3, H = {id, (1, 2)}; (c) G = D n, H = {obroty}; (b) G = GL n (K), H = SL n (K); (d) G = D 4, H = {ID, symetria} Zadanie 10. Udowodnij, że jeśli H < G oraz (G : H) = 2, to H G. Pytania (a) Czy istnieje grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, posiadająca co najmniej 3 różne podgrupy? (b) Czy nietrywialna podgrupa grupy nieabelowej może być abelowa? (c) Czy indeks podgrupy Q w grupie R jest skończony? (d) Czy przekrój dowolnej rodziny dzielników normalnych grupy G jest również dzielnikiem normalnym tej grupy? (e) Czy zbiór wszystkich permutacji parzystych tworzy podgrupę grupy permutacji? (f) Czy zbiór wszystkich permutacji parzystych A n tworzy dzielnik normalny grupy permutacji S n? (g) Czy podgrupa podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G? (h) Czy podgrupa dzielnika normalnego grupy G jest również dzielnikiem normalnych grupy G? (i) Czy zbiór wszystkich permutacji zbioru S 4, które można przedstawić jako iloczyn dwóch transpozycji rozłącznych, wraz z identycznością tworzy dzielnik normalny grupy A 4. (j) Czy zbiór wszystkich permutacji zbioru S 4, które można przedstawić jako iloczyn dwóch transpozycji rozłącznych, wraz z identycznością tworzy dzielnik normalny grupy S 4. 2

Algebra 1 Ćwiczenia 3 - Homomorfizmy grup Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech G i F będą grupami odpowiednio z działaniami i. Wówczas odwzorowanie f : G F nazywamy homomorfizmem grup G i F, gdy dla dowolnych x, y G mamy f(x y) = f(x) f(y). Homomorfizm, który jest iniekcją nazwyamy monomorfizmem, homomorfizm, który jest suriekcją nazwyamy epimorfizmem, a homomorizm, który jest bijekcją izomorfizmem. Jeżeli istnieje izomorfizm między grupami G i F, to mówimy, że grupy G i F są izomorficzne i piszemy G = F. Homomorfizm f : G G nazywamy endomorfizmem, natomiast izomorfizm f : G G automorfizmem. Stwierdzenie 1. Relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności. Stwierdzenie 2. Jeżeli f : G F jest homomorfizmem, to f(e G ) = e F oraz f(x 1 ) = (f(x)) 1 dla dowolnego x G. Definicja 2. Jądrem homomorfizmu f : G F nazywamy zbiór ker f = {x G : f(x) = e F }. Natomiast obrazem nazywamy zbiór im f = {f(x) : x G}. Stwierdzenie 3. Homomorfizm f : G F jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy ker f = {e G }. Natomiast f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy im f = F. Zadania Zadanie 1. Czy następujące przekształcenia są homomorfizmami, jeśli tak to wyznaczyć jądro i obraz: (a) f : R + R, f(x) = x 2 ; (c) f : C [0,1] R, f(ϕ) = 1 0 ϕ(x)dx; (b) f : Z Z n, f(x) = (x) n ; (d) f : R R R, f(x) = (x, x). Zadanie 2. Niech ϕ : G 1 G 2 będzie homomorfizmem grup. Pokaż, że (a) jeśli H jest podgrupą w G 1 to ϕ(h) jest podgrupą w G 2 oraz jeśli N jest dzielnikiem normalnym w G 1 i ϕ jest epimorfizmem to ϕ(n) jest dzielnikiem normalnym w G 2 ; (b) jeśli K G 2 jest podgrupą w G 2 to ϕ 1 (K) G 1 jest podgrupą w G 1 oraz jeśli K jest dzielnikiem normalnym w G 2 to ϕ 1 (K) jest dzielnikiem normalnym w G 1 ; (c) jeśli f jest izomorfizmem, to grupy G 1 i G 2 mają taką samą liczbę podgrup tego samego rzędu. Zadanie 3. Udowodnij, że jeśli f : G 1 G 2 jest homomorfizmem grup, to dla dowolnego g G 1 rząd elementu g jest podzielny przez rząd elementu f(g). Jak wygląda analogiczna sytuacja, gdy f jest izomorfizmem. 1

Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli zbiory A i B są równoliczne oraz A jest grupą, to w zbiorze B można zdefiniować działanie, dla którego zbiór ten będzie również grupą. Wywnioskuj, że każdym zbiorze skończonym, przeliczalnym oraz mocy kontinuum można tak zdefiniować działanie, aby był on grupą. Zadanie 5. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grup: (a) f : Z Z; (b) f : Z 12 Z 18 ; (c) f : Z 24 Z 16 ; (d) f : µ 2 S 2 ; (e) f : S 3 µ 2 ; (f) f : Z 3 S 3 ; (g) f : S 3 Z 3 ; (h) f : µ 4 S 3 ; Zadanie 6. Wskaż nietrywialny epimorfizm grupy S n i { 1, 1, }. Oblicz jądro tego odwzorowania. Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G jest grupą ze składaniem. Wyznacz Aut(Z) i Aut(S 3 ). Zadanie 8. Wskazać izomorfizmy podanych grup: (a) Z n i µ n ; (b) M(2, R) i R 4 ; (c) Z 2 Z 2 i Φ(12); (d) R i R + {1, 1}; Zadanie 9. Uzasadnić dlaczego poniższe grupy nie są izomorficzne: (a) R, C (b) R, Q (c) D 12, S 4 (d) Φ(12), Z 4 Pytania (a) Czy dla dowolnej grupy G funkcja f : G G określona wzorem f(x) = x x jest homomorfizmem? (b) Czy istnieje epimorfizm grupy < Z, + > na grupę < Q, + >? (c) Czy odwzorowanie f : Q R określone wzorem f(x) = x jest homomorfizmem? (d) Czy między dowolnymi grupami istnieje zawsze co najmniej jeden homomorfizm? (e) Czy złożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem? (f) Czy dla dowolnej podgrupy H grupy G istnieje monomorfizm f : H G? (g) Czy wszystkie grupy 3-elementowe są izomorficzne? (h) Czy wszystkie grupy 4-elementowe są izomorficzne? (i) Czy homomorficzny obraz grupy abelowej może być nieabelowy? (j) Czy homomorficzny obraz grupy nieabelowej może być abelowy? 2

Algebra 1 Ćwiczenia 4 - Grupy ilorazowe i sumy proste Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wówczas zbiór wszystkich warstw w grupie G wyznaczonych przez H wraz z działaniem (a H) (b H) = (a b) H tworzy grupę, którą oznaczamy przez G/H i nazywamy grupą ilorazową. Twierdzenie 1 (I twierdzenie o izomorfizmie). Niech H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Jeżeli f : G F jest homomorfizmem grup, to G/ ker f = im f. Definicja 2. Grupa abelowa G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n, co zapisujemy G = H 1... H n, gdy funkcja f : H 1... H n G określona wzorem f(h 1,..., h n ) = h 1... h n jest izomorfizmem. Stwierdzenie 1. Jeżeli G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n, to każdy element z G można tylko na jeden sposób przedstawić jako h 1... h n, gdzie h j H j. Twierdzenie 2. Grupa G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n wtedy i tylko wtedy, gdy (i) dla dowolnego g G zachodzi h 1... h n dla pewnych h j H j ; (ii) dla dowolnego 2 k n mamy H k (H 1... H k 1 ) = {e}, gdzie H 1... H k 1 = {h 1... h k 1 : h j H j }. Zadania Zadanie 1. Wypisać elementy następujących grup ilorazowych oraz utworzyć w nich tabelkę działania: (a) Z/5Z; (b) Φ(7)/{1, 2, 4}; (c) Φ(15)/{1, 4}; (d) µ 12 /µ 3 ; (e) 10Z/30Z; (f) mz/mnz; Zadanie 2. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie udowodnić, że: (a) Z/nZ = Z n ; (b) mz/mnz = Z n ; (c) µ mn /µ m = µn ; (d) D 4 /{Obroty} = Z 2 ; (e) GL n (R)/SL n (R) = R ; (f) C/R = R; (g) R /{ 1, 1} = R + ; (h) R/Z = S 1 ; (i) Q/Z = µ ; (j) C /S 1 = R + ; (k) C /R + = S 1 ; (l) S 1 /µ n = S 1. 1

Zadanie 3. Pokazać, że R = { 1, 1} R +, C = R ir oraz C = R + S 1. Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli G = H 1 H 2, to G/H 1 = H2. Zadanie 5. Udowodnij, że grupa Z 20 jest sumą prostą podgrup {0, 4, 8, 12, 16} i {0, 5, 10, 15}, ale nie jest sumą prostą podgrup {0, 10} i {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}? Zadanie 6. Udowodnij, że grupa R 3 z dodawaniem po współrzędnych jest sumą prostą swoich podgrup: H 1 = {(t, 0, 0) : t R}, H 2 = {(t, t, 0) : t R}, H 3 = {(t, t, t) : t R}. Zadanie 7. Niech układ v 1,..., v n będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Udowodnij, że V jako grupa abelowa jest sumą prostą swoich podgrup postaci H k = {αv k : α K}. Pytania (a) Czy każdy dzielnik normalny jest jądrem pewnego nietrywialnego homomorfizmu? (b) Czy grupa ilorazowa utworzona z grupy abelowej jest również abelowa? (c) Czy grupa ilorazowa utworzona z grupy nieabelowej jest również nieabelowa? (d) Niech H będzie dzielnikiem normalnym grup G i F oraz F < G. Czy F/H < G/H? (e) Czy z faktu, że H < G/H wynika, że istnieje F < G takie, że F/H = H? (f) Czy zawsze rząd elementu g w grupie G jest nie mniejszy niż rząd warstwy g H w grupie ilorazowej G/H? (g) Czy z faktu, że G/H = F wynika, że istnieje homomorfizm f : G F taki, że ker f = H oraz im f = F? (h) Czy grupa Z może być sumą prostą skończonej liczby swoich podgrup? (i) Czy jeżeli G = H 1 H 2... H n, to G/(H 2... H n ) = H 1? (j) Czy jeżeli G = H 1 H 2... H n oraz G = F, to również grupę F da się zapisać jako sumę prostą swoich n podgrup? 2

Algebra 1 Ćwiczenia 5 - Grupy cykliczne Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem grupy G. Wówczas, najmniejsza w sensie inkluzji, grupa A zawierająca zbiór A składa się ze wszystkich elementów postaci k j=1 a n j j, gdzie a 1, a 2,..., a k są dowolnymi elementami ze zbioru A, natomiast n 1, n 2,..., n k są dowolnymi liczbami całkowitymi. Grupę tę nazywamy grupą generowaną przez elementy zbioru A. Definicja 2. Grupą cykliczną nazywamy grupę generowaną przez jeden element i oznaczamy ją przez g. Element g nazywamy wówczas generatorem grupy cyklicznej. Zadania Zadanie 1. Jak wygląda grupa g w zależności od rzędu elementu g G. Zadanie 2. Pokazać, że jeżeli G jest skończoną grupą cykliczną to, element g jest generatorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy rząd elementu g wynosi G. Zadanie 3. Udowodnij, że a) jeśli n > 1, to grupa Z n Z n nie jest cykliczna. b) jeśli (n, m) > 1, to grupa Z n Z m nie jest cykliczna. c) jeśli (n, m) = 1, to grupa Z n Z m jest cykliczna, a para (a, b) jest generatorem wtedy i tylko wtedy, gdy (a, n) = (b, m) = 1. d) liczba różnych generatorów cyklicznej grupy skończonej G wynosi ϕ( G ). e) jeśli (n, m) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(n) ϕ(m). Zadanie 4. Wypisać wszystkie generatory następujących grup cyklicznych: Z 24, Z 35, Z, Φ(25), Φ(27). Zadanie 5. Niech G = g będzie skończoną grupą cykliczną oraz N k G. Udowodnij, że rza = k wtedy i tylko wtedy, gdy a = g m G /k dla pewnego m Φ(k). Wywnioskuj, że k n ϕ(k) = n. Wyznacz wszystkie elementy rzędu 10 w grupie Z 100 oraz elementy rzędu 9 w Φ(27). Zadanie 6. Niech G = g będzie skończoną grupą cykliczną oraz N k G. Udowodnij, że w grupie G istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu k i jest ona postaci g G /k. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z 30 oraz Φ(25). 1

Pytania (a) Czy obraz homomorficzny grupy cyklicznej musi być cykliczny? (b) Czy nietrywialny obraz homomorficzny grupy niecyklicznej musi być niecykliczny? (c) Czy grupa Z Z z dodawaniem po współrzędnych jest cykliczna? (d) Czy każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna? (e) Czy istnieje nieprzeliczalna i nieskończona grupa cykliczna? (f) Czy w grupie niecyklicznej można znaleźć nietrywialną podgrupę cykliczną? (g) Czy w grupie cyklicznej każda podgrupa jest dzielnikiem normalnym? (h) Czy istnieje grupa niecykliczna, w której każda podgrupa właściwa jest cykliczna? (i) Czy Q z dodawaniem jest grupą cykliczną? (j) Czy grupa G F z działaniem po współrzędnych może być cykliczna, o ile G lub F nie jest cykliczna? 2

Algebra 1 Ćwiczenia 6 - Pierścienie, elementy odwracalne i dzielniki zera Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niepusty zbiór P z działaniami + i nazywamy pierścieniem, gdy (i) P z + jest grupą abelową (działanie + jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny 0 oraz każdy element z P ma element przeciwny w P ); (ii) działanie jest łączne w P ; (iii) zachodzi rozdzielność względem + tj. dla dowolnych a, b, c P mamy a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a Definicja 2. Pierścień P z działaniami + i nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy jest przemienne w P ; pierścieniem z jedynką, gdy istnieje element neutralny dla (element ten nazywamy jedynką); ciałem, gdy jest pierścieniem przemiennym z jedynką, w którym każdy element różny od zera jest odwracalny w P względem. Definicja 3. Niech K będzie ciałem z działaniami + i. Charakterystykę ciała K definiujemy wzorem n, gdy rząd elementu 1 w grupie K z + wynosi n, char K = 0, gdy rząd elementu 1 w grupie K z + jest nieskończony. Definicja 4. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z + i. Element niezerowy a P nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje element niezerowy b P taki, że a b = 0. Definicja 5. Pierścienie przemienny z jedynką bez dzielników zera nazywamy dziedziną całkowitości. Twierdzenie 1. W pierścieniu przemiennym z jedynką nie istnieje element odwracalny, który jest jednocześnie dzielnikiem zera. Twierdzenie 2. W skończonym pierścieniu przemiennym z jedynką każdy niezerowy element jest albo dzielnikiem zera albo elementem odwracalnym. Stwierdzenie 1. Niech P z działaniami + i będzie pierścieniem z jedynką. Zbiór wszystkich jedności tj. elementów odwracalnych z tworzy grupę. Oznaczamy ją przez U(P ) i nazywamy grupą jedności. Definicja 6. Niepusty podzbiór R pierścienia P nazywamy podpierścieniem, gdy dla dowolnych a, b R mamy a b R oraz a b R. 1

Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, że dany zbiór jest pierścieniem : a) R ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem; b) Z ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem; c) C ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym; d) Z[i] ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym, gdzie Z[i] = {a + bi : a, b Z}; e) Z[ D] ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym, gdzie Z[ D] = {a + b D : a, b Z} oraz D Z; f) { a n k : a Z, k N} ze zwykłym mnożeniem i dodawaniem; g) C [0,1] z działaniami określonymi wzorami (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). Zadanie 2. Wyznaczyć elementy odwracalne oraz dzielniki zera w pierścieniach: a) Z 24 b) Z p, gdzie p jest liczbą pierwszą c) Z p 2, gdzie p jest liczbą pierwszą d) R Z e) Z 6 Z 4 f) Z 4 Z Zadanie 3. Scharakteryzuj elementy odwracalne i dzielniki zera w dowolnym pierścieniu Z n. Zadanie 4. Wyznacz grupę jedności dla: a) dowolnego ciała K b) pierścienia Z n c) pierścienia liczb Gaussa Z[i] d) pierścienia Z[ 5] Zadanie 5. Czy w pierścieniu liczb Gaussa istnieją dzielniki zera? Zadanie 6. Wyznacz elementy odwracalne w pierścieniu (C [0,1], +, ). Czy istnieją w nim dzielniki zera? Czy istnieje niezerowy element nie będący ani dzielnikiem zera, ani elementem odwracalnym. Pytania (a) Czy jeżeli A z działaniem dodawania + jest grupą abelową a działanie w zbiorze A jest dla wszystkich a, b A określone wzorem a b = 0, to zbiór A z tymi działaniami tworzy pierścień przemienny? (b) Czy z faktu, że a n dla n N jest dzielnikiem zera w pierścieniu przemiennym A wynika, że a jest dzielnikiem zera w A? 2

(c) Czy z faktu, że ab jest odwracalny w pierścieniu z jedynką A bez dzielników zera wynika, że a i b są odwracalne w A? (d) Czy z faktu, że ab i ba są odwracalne w pierścieniu z jedynką A wynika, że a i b są odwracalne w A? (e) Czy istnieje dziedzina całkowitości o skończonej liczbie elementów, która nie jest ciałem? (f) Czy wyrzucenie z pierścienia przemiennego z jedynką wszystkich dzielników zera oraz elementu 0 powoduje, że powstały zbiór z mnożeniem będzie grupą? (g) Czy niezerowy podpierścień z jedynką dziedzieny całkowitości jest dziedziną całkowitości? (h) Czy niezerowy podpierścień z jedynką ciała jest również ciałem? (i) Czy charakterystyka ciała skończonego jest zawsze liczbą pierwszą? (j) Czy jeżeli charakterystyka ciała K jest liczbą pierwszą p, to (a + b) p = a p + b p dla dowolnych a, b K? 3

Algebra 1 Ćwiczenia 7 - Ideały i pierścienie ilorazowe Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, gdy (i) dla dowolnych a, b I mamy a b I; (ii) dla dowolnego x A i dowolnego a I mamy ax I oraz xa I. Definicja 2. Ideał właściwy I pierścienia P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych a, b P z faktu, że ab I wynika, że a I lub b I. Definicja 3. Ideał właściwy I pierścienia P nazywamy maksymalnym, gdy jedynym ideałem J zawierającym I (tj. I J) jest ideal I lub cały pierścień P. Definicja 4. Ideał I pierścienia przemiennego P z jedynką nazywamy głównym, gdy istnieje element a I taki, że I = (a) := {ax : x P }. Definicja 5. Niech P będzie pierścieniem, I ideałem w P oraz x P. Warstwą wyznaczoną przez element x względem ideału I nazywamy zbior x + I = {x + a : a I}. Definicja 6. Niech P 1, P 2 będą pierścieniami. Wówczas odwzorowanie f : P 1 P 2 nazywamy homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b P 1 mamy f(a + b) = f(a) + f(b) oraz f(ab) = f(a)f(b). Co więcej, jeżeli P 1 i P 2 są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo żądamy, aby f(1) = 1. Pojęcia jądra i obrazu są identyczna jak w przypadku homomorfizmu grup. Definicja 7. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Wówczas zbiór wszystkich warstw wyznaczonych przez ideał I z działaniami (a + I) + (b + I) = (a + b) + I, (a + I) (b + I) = (a b) + I tworzy pierścień zwany pierścieniem ilorazowym. Twierdzenie 1 (I twierdzenie o izomorfizmie). Jeżeli f : P 1 P 2 jest homomorfizmem pierścieni, to P 1 / ker f = im f. Twierdzenie 2. Jeżeli I jest ideałem pierścienia P przemiennego z jedynką, to ideał I jest: maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest ciałem; pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest dziedziną całkowitości; 1

Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, czy zbiór tych funkcji f C [0,1] które spełniają podany warunek, jest ideałem pierścienia C [0,1]. a) f(1) = 0 b) f(0) Q c) f(0) = f(1) Zadanie 2. Sprawdzić, czy zbiór funkcji znikających w jest ideałem pierścienia C (0, ). Zadanie 3. Niech I będzie ideałem pierścienia przemiennego A z jedynką. Udowodnić, że jeśli do I należy pewien element odwracalny pierścienia A, to I = A. Wywnioskuj jakie ideały posiada dowolne ciało K. Zadanie 4. Czy ideał I = {f C [0,1] : f(1) = 0} pierścienia C [0,1] jest pierwszy lub maksymalny? Zadanie 5. Udowodnić, że zbiór I = {f C (0,1) : 0<c<1 x (0,c) f(x) = 0} nie jest ideałem głównym pierścienia C (0,1). Zadanie 6. Wyznaczyć warstwy danego pierścienia A względem jego ideału I oraz utworzyć tabelki działań: a) A = Z 15, I = 3A b) A = Z 12, I = 4A c) A = Z[i], I = 2A d) A = Z[i 3], (1 + i 3)A Zadanie 7. Niech A = Z[i] i niech I = (3 + 2i)Z[i]. Rozpatrując funkcję ϕ : Z 13 A/I określoną wzorem ϕ(m) = m + I, pokazać, że A/I = Z 13. Zadanie 8. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie, udowodnić, a) C [0,1] /I = R, gdzie I = {f C [0,1] : f(1) = 0} b) R /I = R 2, gdzie I = {(a 0, a 1, a 2,...) R : a 3 = a 4 = 0} c) R 4 /I = R 2, gdzie I = {(a, b, c, d) R 4 : a = c = 0} d) R /I = R, gdzie I = {(a 0, a 1, a 2,...) R : k N a 2k = 0} Zadanie 9. Które ideały w poprzednim zadaniu są maksymalne? Pytania (a) Czy każdy ideał pierścienia Z jest główny? (b) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p ideał pz jest ideałem pierwszym? (c) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p ideał pz jest ideałem maksymalnym? (d) Czy ideał I = {f C [0,1] : 0<c<1 x [0,c] f(x) = 0} jest maksymalny? 2

(e) Czy zbiór IJ = {a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n : a i I, b i J, n N} jest ideałem o ile I i J są ideałami? (f) Czy z faktu, że jest ideałem pierwszym oraz I, J ideałami takimi, że IJ wynika, że I lub J. (g) Czy ciało może posiadać więcej niż dwa ideały? (h) Czy każdy pierścień posiadający dokładnie dwa ideały jest ciałem? (i) Czy istnieje pierścień, w którym żaden ideał maksymalny nie jest pierwszy? (j) Czy istnieje ciało, które ma dokładnie jeden ideał maksymalny? 3

Algebra 1 Ćwiczenia 8 - Pierścienie wielomianów Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Wówczas pierścieniem wielomianów P [X] nazywamy zbiór wszystkich wyrażeń postaci a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 2 X 2 + a 1 X + a 0, gdzie n N oraz a 0, a 1,..., a n A, z działaniami dodawania i mnożenia określonego wzorami (a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) + (b n X n + b n 1 X n 1 +... + b 2 X 2 + b 1 X + b 0 ) = = (a n + b n )X n + (a n 1 + b n 1 )X n 1 +... + (a 2 + b 2 )X 2 + (a 1 + b 1 )X + a 0 + b 0, (a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) (b n X n + b n 1 X n 1 +... + b 2 X 2 + b 1 X + b 0 ) = = c n X n + c n 1 X n 1 +... + c 2 X 2 + c 1 X + c 0, gdzie c n = n k=0 a k b n k. Elementy a j nazywamy współczynnikami wielomianu, natomiast największe k takie, że a k 0 nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy przez deg(f) (stopień wielomianu zerowego wynosi ). Definicja 2. Mówimy, że wielomian f(x) dzieli się z resztą przez wielomian g(x) w pierścieniu P [X], gdy istnieją wielomiany q(x), r(x) [X] (zwane ilorazem i resztą odpowiednio) takie, że f(x) = q(x)g(x) + r(x), deg r < deg g. Stwierdzenie 1. Jeżeli K jest ciałem, to w pierścieniu K[X] można podzielić z resztą dowolne dwa niezerowe wielomiany. Co więcej ich iloraz i reszta jest wyznaczona jednoznacznie. Definicja 3. Wielomian f(x) P [X] jest nierozkładalny w P [X], gdy nie jest iloczynem dwóch wielomianów z P [X] stopnia co najmniej 1. Inaczej mówiąc, wielomian nierozkładalny nie dzieli się przez żaden wielomian stopnia 1. Zadania Zadanie 1. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) (b) (c) X 4 9X 3 + 23X 2 16X + 13 przez X 5 w Z[X] 2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z 5 [X] 2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z 11 [X] 1

Zadanie 2. Wyznaczyć warstwy danego pierścienia P względem jego ideału I oraz utworzyć tabelki działań: (a) P = Z 2 [X], I = X 2 P (b) P = Z 2 [X], I = (X 2 + X + 1)P (c) P = Z 2 [X], I = (X 2 + X)P Zadanie 3. W pierścieniu ilorazowym Z[X]/I, gdzie I = X 2 Z[X], rozwiązać równanie ((1 + 2X) + I)t = (5 + 9X) + I o niewiadomej t. Zadanie 4. W pierścieniu ilorazowym Z 3 [X]/I, gdzie I = (X 3 + 2X + 1)Z 3 [X], rozwiązać dane równania z niewiadomą t: ((1 + 2X + 2X 2 ) + I)t = (2 + X + 2X 2 ) + I oraz (X + I)t = I. Zadanie 5. W pierścieniu ilorazowym Z 5 [X]/I, gdzie I = X 3 Z 5 [X], obliczyć odwrotność elementów: (1 + X) + I, (3 + 4X + X 2 ) + I, (1 + 2X) + I. Zadanie 6. Zbadać, czy pierścień ilorazowy Z 5 [X]/f(X)Z 5 jest dziedziną całkowitości, jeśli f(x) jest następującej postaci: (a) X 2 + 1 (b) X 2 + 4X + 1 (c) X 3 + 4X + 4 Zadanie 7. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie, udowodnij, że (a) P/I = R 2, gdzie P = R[X], I = (X 2 5X + 4)R[X] (b) P/I = ( Z/7 ) 2, gdzie P = Z/7[X], I = (X 2 + 5)R[X] Pytania (a) Czy ideał I = 5Z[X] + XZ[X] := {5f(X) + Xg(X) : f(x), g(x) Z[X]} pierścienia Z[X] jest główny? (b) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p pierścień ilorazowy Z p [X]/XZ p [X] jest ciałem? (c) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnego n N pierścień ilorazowy Z p [X]/X n Z p [X] jest ciałem? (d) Czy ideał główny (X 3 + X + 1)Z 3 [X] jest maksymalny w pierścieniu Z 3 [X]? (e) Czy w pierścieniu Z 10 [X] istnieją wielomiany niezerowe, których nie można podzielić przez siebie z resztą? (f) Czy w pierścieniu Z 10 [X] istnieją wielomiany niezerowe, które można podzielić przez siebie z resztą? 2

(g) Czy dla dowolnego pierścienia P przemiennego z jedynką w pierścieniu wielomianów P [X] zachodzi wzór deg(f g) = deg f + deg g? (h) Czy dla dowolnego ciała K pierścienie ilorazowe typu K[X]/(aX + b)k[x] są izomorficzne, gdzie a, b K? (i) Czy dla dowolnego ciała K i dowolnej liczby naturalnej n istnieje wielomian nierozkładalny stopnia n w K[X]? (j) Czy wielomianów w pierścieniu Q[X] jest przeliczalnie wiele? 3