Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49
Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rzad równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe str. 2/49
Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rzad równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe zwyczajne cząstkowe jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednego argumentu, np.y +x y=sinx. jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów. Równania różniczkowe str. 2/49
Równania różniczkowe zwyczajne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędunnazywamy równanie postaci F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, (1) w którym niewiadomą jest funkcjay=y(x) i w którym występuje pochodna rzęduntej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów, tzn.y = dy dx,y = d2 y dx 2,...,y(n) = dn y dx n. Równania różniczkowe str. 3/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego y (4) y =5xy Równania różniczkowe str. 4/49
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego y (4) y =5xy < równanie różniczkowe rzędu czwartego Równania różniczkowe str. 4/49
Całka (rozwiazanie) równania różniczkowego Rozwiazaniem lub całka równania różniczkowego F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję zmiennejxwyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodne do rzędunwłącznie i spełnia równanie F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 5/49
Przykład. Funkcja y = 2x jest całką równania x 2 y 2xy +2y=0, gdyży =2 iy =0 orazx 2 0 2x 2+2 2x=0. Przykład. Funkcjax 2 +y 2 =4 jest całką równania x+yy =0, gdyż 2xdx + 2ydy = 0 i po podzieleniu przez 2dx otrzymujemy równaniex+y dy dx =0. Równania różniczkowe str. 6/49
Wykres całkiy=y(x) równania różniczkowego F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0. nazywamy krzywa całkowa tego równania Przykład. y < krzywe całkowe równaniay = y x Równania różniczkowe str. 7/49
Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 zależne odndowolnych stałychc 1,C 2,...C n wyrażone w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c 1,C 2,...,C n ) h(x,y,c 1,C 2,...,C n )=0, i takie, że podstawiajac dowolne wartości zac 1,C 2,...C n otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 8/49
Podstawiając zac 1,C 2,...C n konkretne wartości otrzymamy tzw. lub całkę szczególna rozwiazanie szczególne równaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0. Równania różniczkowe str. 9/49
Przykład. Funkcja y= C 1 x +C 2 jest całką ogólną równaniaxy +2y =0, zaś funkcje y= 1 x,y= 3 x +5,y= 1, to całki szczególne równaniaxy +2y =0. Uwaga: Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska (wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór (rodzina) wszystkich krzywych całkowych. Równania różniczkowe str. 10/49
Rozwiazanie osobliwe (lub całka osobliwa) jest to rozwiązanie równaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, którego NIE można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie zac 1,C 2,...C n dowolnych wartości. Przykład. Funkcja y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania y =2 y. Całką ogólną tego równania jest y=t+c, gdzie t+c 0. Równania różniczkowe str. 11/49
Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie poczatkowe) Zagadnieniem Cauchy ego równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1,,...y (n 1) (x 0 )=y n 1 gdziex 0,y 0,y 1,...y n 1 nazywamy wartościami poczatkowymi. Równania różniczkowe str. 12/49
Przykład. Znajdziemy całkę szczególną równaniay =6x spełniająca warunek początkowy: y(0)=2 y (0)=3. y =6x y =3x 2 +C 1 y=x 3 +C 1 x+c 2 y(0)=2 C 2 =2 y (0)=3 C 1 =3 y=x3 +3x+2 jest rozwiązaniem szczególnym równaniay =6x. Równania różniczkowe str. 13/49
Równania różniczkowe rzędu pierwszego Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x,y,y )=0, (2) gdziey=y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennejx. Równania różniczkowe str. 14/49
Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równaniaf(x,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję zależną od dowolnej stałejc i wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c) h(x,y,c)=0, która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanief(x,y,y )=0 dla x (a, b). Wówczas podstawiajac dowolne wartości zac otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 15/49
Całka szczególna lub rozwiazaniem szczególnym równania F(x,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanie F(x,y,y )=0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 16/49
Jeżeli z równaniaf(x,y,y )=0 można wyznaczyćy, to równanie to przyjmuje postać y =f(x,y). Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. Równania różniczkowe str. 17/49
Zagadnienie Cauchy ego Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania (2)F(x,y,y )=0 można rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla tego równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania (2) spełniającej warunek początkowy y(x 0 )=y 0. Wówczas z równania y 0 =y(x 0,C) wyznaczamy stałąc=c(x 0,y 0 ). Następnie po podstawieniu otrzymanej stałejc do rozwiązania ogólnego otrzymujemy szukaną całkę szczególną. Równania różniczkowe str. 18/49
Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego y 0 y W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy ego polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt(x 0,y 0 ). Na przykład całką ogólną równania jest y = 2xy x 0 x a funkcja y=ce x2, y=y 0 e x2 +x 2 0 jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego odpowiadającego warunkowi początkowemu y(x 0 )=y 0. Równania różniczkowe str. 19/49
Równania o zmiennych rozdzielonych Niechf:(a,b) R,h:(c,d) R będą funkcjami ciągłymi, gdzie(a,b),(c,d) - są to skończone lub nieskończone przedziały oraz h(y) 0 dla wszystkich y (c, d). Równanie różniczkowe o funkcji niewiadomejy(x) nazywamy dy dx =f(x) h(y), (3) równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równania różniczkowe str. 20/49
Równanie dy dx =f(x) h(y) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco: h(y)dy=f(x)dx. Równania różniczkowe str. 21/49
Stwierdzenie. NiechF - funkcja pierwotna funkcjif w(a,b),h - funkcja pierwotna funkcjihw(c,d). Wtedy zbiór rozwiązań równania dy dx =f(x) h(y) zbiór rozwiązań równania H(y(x))=F(x)+C, jest taki sam jak gdziec R C jest dowolną stałą dobraną do funkcjif,h,y. Równania różniczkowe str. 22/49
Uwaga: Równanie H(y(x)) = F(x) + C, zapisujemy w następujący sposób: h(y)dy = f(x)dx+c. Równania różniczkowe str. 23/49
Twierdzenie. Jeżelif:(a,b) Rih:(c,d) Rsą funkcjami ciągłymi ih(y) 0 dla wszystkichy (c,d), to wzór h(y)dy = równania y = f(x) h(y), f(x)dx + C przedstawia całkę ogólną przez każdy punkt(x 0,y 0 ), gdziex 0 (a,b) iy 0 (c,d), przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y = f(x) h(y). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego y = f(x) h(y),y(x 0)=y 0. Równania różniczkowe str. 24/49
Przykład. Rozwiążmy równanie y = 2xy. Rozdzielamy zmienne dy = 2xdx i wyznaczamy całkę ogólna równania (mówimy, że y całkujemy równanie). dy y = 2 xdx ln y = x 2 +ln C, gdziec 0 Stąd dlac 0 funkcja y=ce x2 jest rozwiązaniem równania. GdyC=0 y=0 y =0; równanie jest spełnione, czyliy=0 jest krzywą całkową równania. Zatem rodzina y=ce x2, gdziec R jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania. Równania różniczkowe str. 25/49
Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y =f(x), gdzief jest ciągła na przedziale(a,b) R. Wówczas całkując obie strony względem zmiennejx otrzymujemy: y= f(x)dx y=f(x)+c, gdzief (x)=f(x), dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 26/49
Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y =g(y), gdzieg ma ciągłą pochodną na przedziale(c,d) R. Wówczas dy g(y) = gdzie G (y)= 1 g(y), dlay (c,g). dx G(y)=x+C, Równania różniczkowe str. 27/49
Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Równanie jednorodne Niechf będzie funkcją ciągła na przedziale(a,b) orazf(u) u. Równanie różniczkowe ) dy y dx =f( x, (4) o funkcji niewiadomejy(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Równania różniczkowe str. 28/49
Równanie jednorodne Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie u(x)= y x, Wtedy y=ux dy dx =du i otrzymujemy dx x+u następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych du du x+u=f(u) dx f(u) u =dx x Rozwiązanie równania du f(u) u =dx x wiąże ze sobą zmienneuix. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u= y x. Równania różniczkowe str. 29/49
Przykład równania różniczkowego jednorodnego Rozważmy równaniey = x+y x. Wówczasy =1+ y x. Stosując podstawienieu(x)= y x, otrzymujemy i x u =1 du= dx x du= dx x u=ln x +C y=x ln x +Cx. Równania różniczkowe str. 30/49
Równanie różniczkowe postaciy =f(ax+by+c) Niecha,b,c Rib 0orazf będzie funkcją ciągłą. Równanie dy dx =f(ax+by+c) rozwiązujemy przez podst.: u=ax+by+c, gdzieu=u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennejx. Wtedy du dx =a+bdy dx dy ( ) du dx =1 b dx a i otrzymujemy: du dx =b f(u)+a du a+bf(u) =dx du a+bf(u) = dx Równania różniczkowe str. 31/49
Równanie różniczkowe postaciy =f(ax+by+c) Niecha,b,c Rib 0orazf będzie funkcją ciągłą. Równanie dy dx =f(ax+by+c) rozwiązujemy przez podst.: u=ax+by+c, gdzieu=u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennejx. Wtedy du dx =a+bdy dx dy ( ) du dx =1 b dx a i otrzymujemy: Rozwiązanie du dx =b f(u)+a {}}{ równania wiąże ze sobą zmienneuix. du a+bf(u) = Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = ax + by + c. dx Równania różniczkowe str. 31/49
Przykład Rozważmy równanie y =cos(x y). Stosując podstawienie u(x) = x y, otrzymujemy u =1 cosu du 1 cosu =dx. Ponieważ1 cosu=2 sin 2u 2, więc du 2 sin 2u 2 = dx ctg u 2 =x+c. Zatem ctg x y =x+c, dlac R iy x 2kπ. Ponadto, jeśli 2 y=x 2kπ, toy =1 icos(x y)=cos2kπ=1. Zatem y = x 2kπ jest również całką rozważanego równania. Równania różniczkowe str. 32/49
Równania różniczkowe liniowe rzędu I-ego Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci: dy dx +p(x)y=q(x), (5) gdziep,q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (a,b). Jeśliq 0, to równanie (5) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśliq 0, to to równanie (5) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN Równania różniczkowe str. 33/49
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzędu Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: dy dx +p(x)y=0 (RJ) funkcjay 0jest rozwiązaniem RJ jeśliy 0, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych dy dx = p(x)y Równania różniczkowe str. 34/49
Rozdzielając zmienne dy y = p(x)dx, Równania różniczkowe str. 35/49
Rozdzielając zmienne gdziec 0, dy y = dy y = p(x)dx, całkując p(x)dx ln y = p(x)dx+ln C, Równania różniczkowe str. 35/49
Rozdzielając zmienne dy y = dy y = p(x)dx, całkując p(x)dx ln y = gdziec 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno y C =e p(x)dx p(x)dx+ln C, y = C e p(x)dx y=c e p(x)dx,c 0 Jednakże jeślic=0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązaniey=0. Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego (ozn. CORJ) jest y=c e p(x)dx, dlac R. Równania różniczkowe str. 35/49
Twierdzenie. Jeślipjest funkcją ciągła na przedziale(a,b) R, to y=c e p(x)dx, dlac R. jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru D={(x,y):x (a,b),y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania. Uwaga: Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ. Równania różniczkowe str. 36/49
Aby wyznaczyć CORN (Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod. 1 CORJ Metoda I Metoda II 2 CORN Równania różniczkowe str. 37/49
Metoda I: Metoda uzmienniania stałej StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c(x) e p(x)dx ( ) było CORN. Wtedy stąd dy dx =C (x) e p(x)dx +C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}}{ C (x) e p(x)dx C(x) p(x) e p(x)dx +p(x) y {}}{ C(x) e p(x)dx =q(x) Równania różniczkowe str. 38/49
Metoda I: Metoda uzmienniania stałej StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c(x) e p(x)dx ( ) było CORN. Wtedy stąd dy dx =C (x) e p(x)dx +C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}}{ y C (x) e {}}{ p(x)dx C(x) p(x) e p(x)dx +p(x) C(x) e p(x)dx =q(x) Równania różniczkowe str. 38/49
Metoda I: Metoda uzmienniania stałej Zatem C (x)=q(x) e p(x)dx i C(x)= q(x) e p(x)dx dx+c 1, gdziec 1 R. Po podstawieniuc(x) doy=c(x) e p(x)dx otrzymujemy CORN: y(x)= ( q(x) e p(x)dx dx+c 1 ) e p(x)dx y(x)=c 1 e p(x)dx +e p(x)dx ( q(x) e p(x)dx dx ). Równania różniczkowe str. 39/49
Twierdzenie. Jeślip,q są funkcjami ciągłymi na przedziale(a,b) R, to y(x)=c 1 e p(x)dx +e p(x)dx ( ) p(x)dx q(x) e dx, dlac 1 R, jest CORN, ponadto przez każdy punkt obszaru D={(x,y):x (a,b),y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania. Równania różniczkowe str. 40/49
Twierdzenie. Niech y(x) CORJ, y s (x) CSRN = Całka Szczególna RN. Wtedy CORN = CORJ+CSRN, tzn. CORN = y(x)+y s (x). Równania różniczkowe str. 41/49
Przykład Rozważmy równaniey +2xy=x e x2. Szukamy rozwiązań RJ: y +2xy=0 dy dx = 2xy rozdzielając zmienne gdziec 0. dy y = dy y = 2xdx, całkując 2xdx ln y = x 2 +ln C, Równania różniczkowe str. 42/49
Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Przekształcajac otrzymujemy kolejno ln y =lne x2 +ln C y = C e x2 StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c e x2. y=c(x) e x2 ( ) było CORN. Wtedy y =C (x) e x2 +C(x) e x2 ( 2x) Równania różniczkowe str. 43/49
Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Ponieważ y =C (x) e x2 2xC(x) e x2, więc y {}}{ C (x) e x2 2x C(x) e x2 +2x y {}}{ C(x) e x2 =x e x2 Równania różniczkowe str. 44/49
Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Ponieważ y =C (x) e x2 2xC(x) e x2, więc y {}}{ y {}}{ C (x) e x2 2x C(x) e x2 +2x C(x) e x2 =x e x2 Zatem C (x) e x2 =x e x2 C (x)=x i C(x)= xdx+c 1 = 1 2 x2 +C 1, gdziec 1 R. Równania różniczkowe str. 44/49
Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) PodstawiającC(x)= 1 2 x2 +C 1 doy=c(x) e x2 otrzymujemy CORN: y(x)= ( ) 1 2 x2 +C 1 e x2 y(x)=c 1 e x2 + 1 2 x2 e x2. Równania różniczkowe str. 45/49
Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) PodstawiającC(x)= 1 2 x2 +C 1 doy=c(x) e x2 otrzymujemy CORN: y(x)= ( ) 1 2 x2 +C 1 e x2 y(x)=c 1 e x2 }{{} CORJ + 1 x2 x2 e 2 }{{} CSRN. Równania różniczkowe str. 45/49
Metoda II: Metoda przewidywania Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy p(x)=const CORN = CORJ + CSRN. wielomian stopnian q(x)= asinωx+bcosωx ae λx, lubq(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 46/49
Metoda przewidywania Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania (RN) y +py=q(x), p R Postaćq(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)= p 0 A n x n +...+A 1 x+a 0 =a n x n +...+a 1 x+a 0 p=0 x(a n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx λ p Ae λx λ= p Axe λx P n (x) e λx λ p (A n x n +...+A 0 )e λx λ= p x(a n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx Acosωx+Bsinωx P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm W n (x)cosωx+m n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm W n (x)e λx cosωx+m n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 47/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx y 2y=e 2x Równania różniczkowe str. 48/49
Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx y 2y=e 2x = y s (x)=axe 2x Równania różniczkowe str. 48/49
Podsumowanie Całki ogólne i szczególne równań różniczkowych zwyczajnych. Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe). Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych i równania sprowadzane do tych równań. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego. Równania różniczkowe str. 49/49