Wykła 7 Pojęc własośc zury Jżl z załogo asa j lktro rzchoz a ozo w wyższy aś, w as ozostają lktroów. Właścwośc takgo asa zawrającgo lktroów oża osać wrowazając ojęc owj kwazcząstk - zury. Jśl ozaczy rzz φ k wą fukcję charaktryzującą lktro o wktorz falowy k, to wartość tj saj fukcj okrślającj zurę asa, w który brakuj lktrou w sta j osuj wzór φ k φ k. 7. j j Wktor falowy zury jst rówy k j k j k k j k j. 7. Tu skorzystalśy z faktu, ż la asa obsazogo całkowc k 0. 7.3 rga wszystkch lktroów w aś jst rówa k 0. 7.4 zat rga zury wyos k. 7.5 k 0 Jżl rzyjy, ż 0 0, to z wzoru 7.5 ay k. 7.6 k 88
Uwzglęając wzory 7. 7.6, łatwo uowoć, ż rękość zury jst rówa rękośc usuętgo lktrou υ k k [ k ] k k k υ. 7.7 Rówa ruchu zury jst tak sao, jak rówa ruchu cząstk o łauku oat +. Istot, rówa ruchu zury w olu lktryczy o atężu k k t t +. 7.8 Masa fktywa zury a zak rzcwy zakow asy fktywj usuętgo lktrou. Istot, borąc o uwagę 7. 7.6, otrzyujy Rys.7.. Paso zur lktroów z wzoru 7.8 k k k k / k k. 7.9 Półrzwok saost oszkow Właścwośc ółrzwokow wykazuj wl atrałów. Półrzwok czyst chcz azyway saosty. W ółrzwokach saostych wzbuza trcz albo aśwtla t. owoują rzjśca lktroów z asa walcyjgo o asa rzwoctwa. Powstał w tak sosób lktroy swobo w aś rzwoctwa zury w aś walcyjy, lczba których oczywśc rówa sę lczb lktroów swoboych, są w sta rzwozć rą lktryczy. Węc w ółrzwokach zawsz 89
stj wa rozaj rąów: rą zur w aś walcyjy rą lktroów w aś rzwoctwa. Półrzwok zawrając oszk azyway oszkowy. a rys. 7.a okazay schat lustrujący zała oszk atoów boru arsu, wrowazoych o grau. W chcz czysty grau każy ato grau jst zwązay wązaa kowalcyjy z cztra sąs atoa, zajujących sę w wrzchołkach czworoścau forgo ttraru. to boru B s s a a - owłoc lktroowj o j lktro j ż ato grau G r4s 4, a zat jżl j z atoów grau zosta zaszczoy rzz ato boru, to jo z wązań ozosta wysyco. wysyco wąza oż być uzuło owoly lktro z asa walcyjgo grau. Wyaga to rg około 0.04, a to ozacza, ż oszkowy ato boru kruj oatkowy ozo oszkowy, lżący blsko wrzchołka asa walcyjgo rys.7.a. Rys.7.a. Gra z atoa oszkowy boru B. Obok okazaa struktura asowa ółrzwoka z oszka akctorowy ukcja falowa, oowaająca tu ozoow szybko zka z olgłoścą o atou boru. lktro, który rzósł sę a ozo oszkowy, zostawł w aś walcyjy zurę. oszk, któr "zabrają" lktroy z asa walcyjgo azywają akctora. Pozoy tych atoów azyway ozoa akctorowy. Bęzy ozaczal olgłość ozou akctorowgo o wrzchołka asa walcyjgo rzz a rys.7.a. 90
Rys.7.b. Gra z atoa oszkowy arsu s. Obok okazaa struktura asowa ółrzwoka z oszka oorowy. 3 to arsu s r4s 4 a o j lktro za użo w orówau z ato grau r 4s 4, a zat jżl j z atoów grau zosta zaszczoy rzz ato arsu, to j z lktroów ozosta swoboy. zęk tu t saroway lktro oż łatwo rzjść o asa rzwoctwa. Wyaga to rg około 0.05, a to ozacza, ż oszkowy ato arsu kruj oatkowy ozo oszkowy, lżący blsko a asa rzwoctwa rys.7.b. ukcja falowa, oowaająca tu ozoow tż szybko zka z olgłoścą o atou arsu. oszk, któr "ostarczają" lktroy o asa rzwoctwa azywają oora. Pozoy tych atoów azyway ozoa oorowy. Bęzy ozaczal olgłość ozou oorowgo o a asa rzwoctwa rzz rys.7.b. Półrzwok, w których ouj zurowy chaz rzwoctwa azyway ółrzwok tyu o agl. słowa "ostv". Półrzwok, w których ouj lktroowy chaz rzwoctwa azyway ółrzwok tyu o agl. słowa "gatv". Pozo rgo koctracja ośków w ółrzwokach W oróżu o rzwoctwa tyu talczgo, rzwoctwo ółrzwoków sl zalży o tratury oszk. Koctracj lktroów zajujących sę w aś rzwoctwa, oraz zur w aś walcyjy zajzy w 9
sosób staarowy, korzystając z fukcj rozkłau rgo f, oożoj rzz fukcję gęstośc staów g : g f, 7.0 g f ] [. 7. Gęstość staów w aś rzwoctwa aś walcyjy wyos g > 3/. 7. g <. 7.3 W wzorach 7.0-7.3 ozacza rgę a asa rzwoctwa, a - rgę wrzchołka asa walcyjgo. Poważ w zwykłych traturach "szrokość" fukcj rgo ~ jst w zwykłych traturach ała w orówau z rzrwą ęzy asa ~, fukcję rgo wwątrz as < > oży zać rozkła Boltzaa x << + f β, 7.4a x + + + f f β β β β. 7.4b Półrzwok, la których są słusz wzory 7.4 oraz wykając stą wzory 7.7 7.8 azyway zgroway. 9
Borąc o uwagę wzory 7.0-7.4 la koctracj lktroów zur otrzyujy / /, 7.5 / /. 7.6 Postawając x / o wzoru 7.5 oraz y / o wzoru 7.6 otrzyujy 0 / x x x h f x x, 7.7 y y y 0 / h f x x. 7.8 Tu uwzglęlśy, ż 3/ 0 / Γ x x x W wzorach 7.7 7.8 h f, 7.9 93
f h. 7.0 Z wzorów 7.7 7.8 wyka, ż koctracj lktroów zur olgają statystyc Boltzaa. Wrowaz tak zwaych "fktywych gęstośc staów" f f aję ożlwość foral rozważać zaast całgo asa rzwoctwa albo asa walcyjgo tylko j ozo albo z gęstoścą staów f albo f zalżą o tratury. W ółrzwokach saostych koctracja swoboych lktroów rówa sę koctracj zur, a zat z wzorów 7.7 7.8 otrzyujy astęując rówa a ozo rgo Rys.7.3. Rozkła lktroów zur w asach. 7. / f + / f Ską 3 + l 4 +. 7. 94
Z wzoru 7. wać, ż ozo rgo w ółrzwokach a y ss fzyczy ż w talach. Jżl T 0, to ozo rgo lży okła w śroku rzrwy rgtyczj. Paso lżąc ożj są zało, al ozo rgo styka sę z. Węc w ółrzwokach w oróżu o tal ozo rgo a c wsólgo z aksyalą rgą lktroów rzwoctwa, a zat usy traktować jgo jako otcjał chczy, okrślający waruk rówowag ółrzwoka. Z rówań 7.7 7.8 wyka, ż f f / 4 3 g /. 7.3 Rówa 7.3 za jako rawo załaa as jst słusz la owolgo tylko saostgo! ółrzwoka. Z tgo rawa wyka, ż wystarczy wzć tylko koctrację jgo z ośków lktroów albo zur. la ółrzwoków saostych 4 g /. 7.4 Z wzoru 7.4 wyka, ż rzy 0 c -3. T 300K g koctracja ośków jst rzęu Koctracja ośków ozo rgo w ółrzwokach oszkowaych ajrw zauważy, ż z wzoru 7. wyka 3 c l. 7.5 Ską 4 x. 7.6 Przyoy, ż tu bz oszk. jst ozo rgo w rzyaku ółrzwoka saostgo 95
Korzystając z wzorów 7.7 7.6 otrzyujy h x 4 x g x W ooby sosób z wzorów 7.8 7.6 otrzyujy 4 x. 7.7 + + x x. 7.8 Rówaa 7.7 7.8 okrślają koctrację ośków w owoly zgroway ółrzwoku. Z wzoru 7.7 wyka, ż oszk oorow, zwększając koctrację lktroów w aś rzwoctwa >, rzsuwają ozo rgo w stroę a asa rzwoctwa. atoast oszk akctorow, jak wyka z wzoru 7.8, zwększając koctrację zur asa walcyjgo. >, owoują rzsuęc ozou rgo w stroę Rozważy ółrzwok, który zawra oorowych akctorowych oszk w jostc objętośc. Ozaczy rzz koctrację lktroów w aś rzwoctwa; rzz 0 - koctrację lktroów a ozoach oorowych koctracja zjozowaych oorów; rzz - koctrację zur w aś walcyjy rzz 0 - koctrację zur a ozoach akctorowych zakłaay, ż wszystk atoy akctorow "otrzyały" lktroy z asa walcyjgo. W traturz 0 0 okojowj wszystk atoy oszk są zjozowa a zat 0. Z waruku utralośc lktryczj kryształu, który ozacza, ż łącza lczba koctracja lktroów w aś rzwoctwa oraz a ozoach akctorowych us być rówa łączj lczb zur w aś walcyjy a ozoach oorowych, wyka, ż + +. 7.9 96
Po ostawu o tgo rówaa wyraża /, któr wyka z rawa załaa as, otrzyujy astęując rówa a koctrację lktroów w ółrzwokach tyu > Rozwąza rówaa 7.30 a ostać 0. 7.30 4 + +. 7.3 W wększośc stosowaych w raktyc ółrzwoków lktroowych >>, a zat z wzoru 7.3 otrzyujy. 7.3 Wty, z rawa załaa as 7.3, la koctracj zur w ółrzwoku tyu ay. 7.33 la ółrzwoków tyu, o ostawu o rówaa 7.9 wyraża /, otrzyujy astęując rówa a koctrację zur w ółrzwokach tyu > 0. 7.34 Rozwąza rówaa 7.34 a ostać 4 + +. 7.35 W wększośc stosowaych w raktyc ółrzwoków lktroowych >>, a zat z wzoru 7.35 otrzyujy. 7.36 97
Wty, z rawa załaa as 7.3, la koctracj zur w ółrzwoku tyu ay. 7.37 Korzystając z rzyblżoych wzorów 7.3 7.36, z 7.7 7.8 otrzyujy astęując wzory a ozo rgo w ółrzwoku tyu f l, 7.38 oraz w ółrzwoku tyu f + l. 7.39 Przwoctwo ółrzwoków W oróżu o tal rzwoctwo ółrzwoków jst okrślo rzz ruch lktroów oraz zur. Korzystając z wzoru 5.0, okrślający rzwoctwo tal, zaszy rzwoctwo ółrzwoka w ostac τ σ + τ. 7.40 Tu τ, - czas rlaksacj oowo lktroów zur. Z ścsłych rozwązań roblu oblcza czasów rlaksacj τ τ wyka, ż ch traturowa zalżość wskutk rozraszaa a fooach jst wrost roorcjoala o T τ, α, T, 7.4 gz a zat α, są wsółczyka roorcjoalośc. W ółrzwokach saostych koctracj lktroów zur okrśla wzór 7.4, 98
0 g / σ σ, 7.4 gz σ k 4 α 0 + α. 7.43 Z wzoru 7.4 wyka ość rost rówa a zalz rzrwy rgtyczj z aych ośwaczalych σ T g l σ T l σ 0. 7.44 W rzyaku ółrzwoków oszkowych rzwoctwo lktrycz rzy skch traturach T < / g k a głow charaktr oszkowy, oważ la oszk rga otrzba o orwaa lktrou lub zała zury jst zwykl klkazsąt razy jsza ż g. W traturz okojowj raw wszystk oszk są zjozowa traturowa zalżość rzwoctwa bęz ooba o rzwoctwa w ółrzwokach saostych. Warto zwrócć uwagę a to, ż w ółrzwokach oór ółrzwoka alj wraz z traturą, oczas gy w talach oór roś rzy ozębau róbk. Właścwośc otycz ółrzwoków Wyróżają trzy ostawow chazy ozaływaa śwatła z strukturą ółrzwoka. J z ch zwązay jst z fkt otoa, czyl z rzyssz swoboych ośków rąu rzz fal lktroagtyczą. rug jst zwązay z absorcją ęzyasową, czyl z rzjśca lktroów ęzy as walcyjy as rzwoctwa rys.7.4. Ist asa wzbroogo owouj, ż ęzyasowa absorcja zachoz, gy częstotlwość fal sła waruk g ω ω g. 7.45 Tu ω g jst rogową częstoścą absorcj okrśla ją wartość rzrwy rgtyczj g. 99
a b Rys.7.4. a Przjśca ęzyasow. b Wo absorcyj ółrzwoka Orócz rostych rzjść ęzyasowych, w których cała rga fotou z a rzjśc lktrou o asa rzwoctwa, ożlw są rzjśca skoś rys.7.4. W rzyaku tych rzjść czść rg ęu fotou z a wzbuza foou w sc krystalczj ω foto + ω. c foo, k foto kc + q foo oatkow ośk rąu, owstał wskutk aśwtlaa róbk, są oowzal za rzwoctwo któr os azwę fotorzwoctwa. Zaaa la Wykłau 7 7.. Uowoć, ż la asa obsazogo całkowc k 0. 7.. Wykazać, ż asa fktywa zury a wrzchołku asa jst oata. 7.3. la rzwoka saostgo asa fktywa lktrou rzy olj krawęz asa rzwoctwa jst w wa razy wększa o asy fktywj zury rzy górj krawęz asa walcyjgo. Jak alko o śroka rzrwy zajuj sę rga rgo w traturz okojowj? 7.4. W czysty grau rzrwa rgtycza wyos 0,74, a asy fktyw lktroów zur są rów oowo 0, 0,37 asy lktrou swobogo. a 00
Oszacować koctrację lktroów w aś rzwoctwa rzy ołoż ozou rgo rzy T 300K. T 300K. Okrślć 7.5. Zalźć koctrację lktroów rzwoctwa w G, zawrający oszk oorow o koctracj 3 0. Waoo, ż ozo oorowy zajuj sę w olgłośc 0, 03 o a asa rzwoctwa T 00K. 7.6. a Wykazać, ż koctracja oorów obsazoych rzz lktroy bz uwzglęa su lktrou 0 jst rówa +, 0 / gz jst koctracja atoów oszkowych, a b Wykazać, ż koctracja zjozowaych oorów +. + / - rga jozacj ooru. + wyos Wskazówka: skorzystać z faktu, ż + + 0. 7.7. Półrzwok o rzrw rgtyczj g jst asa lktrou swobogo został oszkoway atoa akctorowy o koctracj 8 3 0 c. Pozo akctorowy zajuj sę o,5 0 wyżj asa walcyjgo. Wykazać, ż rzwoctwo saost w ty ółrzwoku w traturz okojowj jst zbyt ał. 7.8. Półrzwok o rzrw rgtyczj g jst asa lktrou swobogo został oszkoway atoa akctorowy o koctracj 8 3 0 c. Pozo akctorowy zajuj sę o, 0 wyżj asa walcyjgo. Zakłaając, ż ruchlwość zur w traturz rzwoctwo σ w ty ółrzwoku. 300 K jst rówa 00 c / s, oblczyć 0