Zestaw zadań 6: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i)

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zestaw zadań 6: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i)"

Natalia Żurawska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zstaw zaań 6: Wyznaznk 1 (1) Olzyć wyznaznk następująyh arzy: () () () (g) () a a a 1 ε ε2 ε 2 1 ε ε ε 2 1 (f) sn α os α 1 sn β os β 1 sn γ os γ 1 gz ε = (h) os α os β r sn α os β r os α sn β sn α os β r os α os β r sn α sn β sn β 0 r os β () gz α β γ są ara kątów trójkąta ε ε 2 1 ε 2 ε 3 gz ε = os 4π 3 + sn 4π 3 (2) Olzyć następuj wyznaznk (na R): () () () () (f) (g) (h) () (j) (k) Wyznaznk okrył po raz prwszy G W Lnz w 1693 r W 1750 okrył j powtórn Szwajar Garl Crar (n ylć z wspózsny atatyk szwzk Carl Haral Crar) Nazwę wyznaznk ( trnant ) wprowazł w 1815 r A Cauhy Dw ponow krsk jako syol wyznaznka wprowazł w 1841 r A Cayly 1

2 2 (3) Olzyć: na Z 7 () na Z 11 () (4) Olzyć wyznaznk następująyh arzy stopna n : () () a a a a a a a 1 () () a 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n a a a a a na Z (f) (g) n n n n 1 n a n n n n n a (5) Nh A = [a j ] a j Z ęz arzą kwaratową stopna n Pokazać ż t A jst lzą akowtą Załóży oatkowo ż a j = ±k gz k jst ustaloną lzą akowtą Pokazać ż 2 n 1 k n zl t A (6) Pokazać ż jśl A jst arzą antysytryzn (tzn A T = A) stopna nparzystgo na R to jst ona osolwa zyl t A = 0 (7) Lzy zlą sę przz 17 Pokazać (z olzana) ż wyznaznk równż zl sę przz 17 (8) Nh A = [a j ] ęz arzą kwaratową stopna n Jak zn sę wyznaznk arzy A jżl: każy lnt a j ponożyy przz j ( ustalon) () oróy arz A o 90 wokół jj śroka (zgon z ruh wskazówk zgara) () zapszy wrsz (koluny) arzy A w owrotnj koljnoś () o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay poprzną kolunę (poprzn wrsz)

3 3 () o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay poprzną kolunę (poprzn wrsz) a prwszj koluny (o prwszgo wrsza) oay starą ostatną kolunę (stary ostatn wrsz) (f) o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay wszystk porzn koluny (poprzn wrsz) (9) Znalźć najwększą wartość wyznaznka arzy kwaratowj stopna 3 którj lnty są lza ałkowty równy 0 lu 1 () 1 lu 1 (10) Przanalzować Przykła 67 z stron z ksążk ABałynkgo-Brul (owó wzoru na wyznaznk arzy klatkowo-trójkątnj t [ A 0 D B ] = t A t B przz nukję wzglę stopna klatk B) (11) Sprawzć tożsaoś: a f g j k = 1 a a f a g a j a k () a f g h j k l n o p = 1 a 2 a f a g a h a j a k a l a n a o a p () Sforułować uowonć ogóln twrzn (12) Sprawzć ż nastpująa równość jst tożsaośą: a f g h j k l n o p = 1 a 2 a f a g a h a f a k a l a n a o a p + (f j) a g h o p (13) Zaać rozwązalność ukłau równań x + y + z = 9 3x y + 2z = 10 2x + 7y 3z = 8 ax y + z = 20 ax + y + z = 44 10ax + 3y z = 26 w zalżnoś o paratrów a (14) Olzyć wyznaznk arzy A = [ ] T [ ]

4 4 () B = a a a a Wskazówka Olzyć wyznaznk arzy A 2 oraz BB T (15) Nh x 1 x 2 x n ęą wszystk prwastka wloanu f(x) = a 0 X n + a 1 X n a n 1 X + a n Suy k-tyh potęg prwastków s k = x k 1 + x k x k n są funkja sytryzny wę wyrażają sę przz współzynnk wloanu (np s 0 = n; z wzorów Vèt 2 wynkają równoś s 1 = a 1 s 2 = s x x j = a2 1 2 a 2 t) a 0 a 2 <j 0 a 0 Olzyć wyznaznk D arzy s 0 s 1 s 2 s n 1 s 1 s 2 s 3 s n s 2 s 3 s 4 s n+1 s n 1 s n s n+1 s 2n 2 (Wskazówka: olzyć najprw V T V gz V = V (x 1 x 2 x n ) jst arzą Vanron a prwastków) Wyrazć wynk przz współzynnk wloanu f(x) gy n = 2 f(x) = ax 2 + X + gy n = 3 a f(x) = X 3 + px + q Wartość = a 2n 2 0 D nazyway wyróżnk wloanu f(x) 3 (16) Sprawzć zy następują arz są owraaln oraz w przypaku pozytywnj opowz olzyć arz owrotną: [ ] 1 2 () () () () (17) Jśl A Kn n B[ K C K] n [ D K n ] t A 0 to I olzyć n 0 A D CA 1 ; [ I ] C B A D () wykazać ż t = t A t(b CA C B 1 D); () pozlć na klatk 2 2 arz z przykłau () z poprzngo zaana; porównać jj wyznaznk z wartośą wyrażna t A t B t C t D 2 Franços Vèt ( ) - atatyk franusk zwany oj algry Usystatyzował osągnęa algrazn Orozna Wprowazł oznazna ltrow n tylko la nwaoyh al la anyh np współzynnków równań zęk zu pojawły s wzory atatyzn 3 Nazwa wyróżnk ( srnant o łańskgo srnans o srnants - rozzlająy oróżnająy) pohoz o J Sylvstra

5 (18) Rozwązać [ następują ] [ równana ] arzow: X = [ ] [ ] () X = () X = [ ] [ ] [ ] () X = (19) Rozwązać ukłay [ równań ] arzowyh: [ ] [ ] X + Y = [ ] [ ] [ ] X + Y = [ ] [ ] [ ] X + Y = () [ ] [ ] [ ] X + Y = (20) Olzyć (I + ae r ) 1 r (21) Waoo ż arz owraalną ożna sprowazć o arzy jnostkowj za pooą przkształń lntarnyh na wrszah Pokazać ż wykonują t sa przkształna (w tj saj koljnoś!) na arzy jnostkowj otrzyay arz owrotn ą o wyjśowj arzy Stosują tę toę olzyć jszz raz arz owrotn o arzy z poprznh zaań oraz następująyh arzy: () () (22) Pokazać ż jżl A 2 = 0 to arz I n + A jst owraalna (I n + A) 1 = I n A () Pokazać ż jżl A = 0 to arz I n + A jst owraalna znalźć (I n + A) 1 5

6 (23) Znalźć koljn potęg arzy 0 wykorzystać j o olzna arzy owrotnj o arzy (24) Pokazać ż la A B Kn n jżl arz I n + AB jst owraalna to równż arz I n + BA jst owraalna (lat Vassrstna 4 ) Wskazówka: Olzyć [ (I n ] + [ BA)(I n ] B(I n + AB) 1 A) A D A 0 (25) Olzyć arz owrotn o arzy klatkowyh: Olzyć arz 0 B C B owrotn o następująyh arzy: (26) Koutator [A B] arzy nosolwyh A B GLn(K) nazyway arz [A B] = ABA 1 B 1 Wykazać ż I la j k l [I + ae j I + E kl ] = I + ae l la j = k l I ae kj la j k = l (27) Olzyć wyznaznk na ał Q lz wyrnyh: a) ) ) ) (28) Wyznazyć lzy rzzywst a spłnają równość: a) 1 3 a 1 a = 0; ) 2 6 a 6 3a 1 1 a 4 2a 0 6 3a 19 10a = 0; ) 1 3 a 3 2a = 0; ) 3 11 a 4 2a 1 3 2a 5 2a 0 4 2a 1 a = 0 (29) Olzyć wyznaznk: 4 L N Vassrstn współzsny atatyk razk (o lat szsątyh) arykańsk (o lat oszsątyh)

7 a a a 0 0 a) ; 0 0 a a a ) A B B A gz A = B = ; a a a ) a a 7

8 8 x 1 y 1 x 2 y 1 x 3 y 1 x n 1 y 1 x n y 1 1 x 1 y 2 x 2 y 2 x 3 y 2 x n 1 y 2 x n y 2 1 x 1 y 3 x 2 y 3 x 3 y 3 x n 1 y 3 x n y 3 1 ) x 1 y n 1 x 2 y n 1 x 3 y n 1 x n 1 y n n x n y n 1 1 x 1 y n x 2 y n x 3 y n x n 1 y n x n y n x 1 y 1 x 2 y 1 x 3 y 1 x n 1 y 1 x n y 1 x 1 y 2 x 2 y 2 x 3 y 2 x n 1 y 2 x n y 2 x n y 3 x 2 y 3 x 3 y 3 x n 1 y 3 x n y 3 x n y n 1 x 2 y n 1 x 3 y n 1 x n 1 y n 1 x n y n 1 x n y n x 2 y n x 3 y n x n 1 y n x n y n (30) Rozwązać za pooą wzorów Crara następują ukłay równań: 2x y z = 4 x + y + 2z = 1 x + y + 4z = 31 a) 3x + 4y 2z = 11 ) 2x y + 2z = 4 ) 5x + y + 2z = 29 3x 2y + 4z = 11 4x + y + 4z = 2 3x y + z = 10 x + y + 2z + 3t = 1 y 3z + 4t = 5 3x y z 2t = 4 x 2z + 3t = 4 ) ) 2x + 3y z t = 6 3x + 2y 5z = 12 x + 2y + 3z t = 4 4x + 3y 5z = 5 (31) Rozwązać ukłay równań z zstawu Ukłay równań lnowyh przy użyu wyznaznków (32) Wyznaznk Vanron a 5 (stopna n na ał K) nazyway wyznaznk posta V n (x 1 x n ) = 1 x 1 x 2 1 x1 n 1 1 x 2 x 2 2 x n 1 1 x n x 2 n xn n 1 a) Olzyć wartość wyznaznka Vanron a (Rozwązan: Wyprowazy najprw wzór rkurnyjny Postępujy następująo: o n-tj koluny ojujy (n 1)-szą ponożoną przz x n o (n 1)-szj koluny ojujy (n 2)-gą ponożoną przz x n o rugj koluny ojujy prwszą ponożoną przz x n Jako wynk otrzyujy równość 1 x 1 x n x 1 (x 1 x n ) x n 2 1 (x 1 x n ) 1 x 2 x n x 2 (x 2 x n ) x n 2 2 (x 2 x n ) V n (x 1 x n ) = 1 x n 1 x n x n 1 (x n 1 x n ) x n 2 n 1(x n 1 x n ) Vanron Alxanr Thèophll (28 II 1735 Paryż - 1 I 1796 Paryż) - atatyk franusk Zajował sę torą funkj sytryznyh; uporząkował torę wyznaznków

9 Po rozwnęu wzglę ostatngo wrsza oraz wyłąznu z każgo wrsza opowngo zynnka prz wyznaznk otrzyujy w wynku V n (x 1 x n ) = ( 1) n+1 (x 1 x n ) (x n 1 x n )V n 1 (x 1 x n 1 ) = (x n x 1 ) (x n x n 1 )V n 1 (x 1 x n 1 ) Prosty owó nukyjny aj w rzulta wzór V n (x 1 x n ) = k>l(x k x l ) ) Wykazać ż V n (x 1 x n ) 0 wty tylko wty gy wszystk x 1 x n są para różn ) Nh x 1 x n y 1 y n K oraz nh x 1 x n ęą para różn Pokazać ż stnj okłan jn wloan w(x) K[X] o wspózynnkah z ała K stopna < n tak ż w(x ) = y la = 1 n Wskazówka Wykorzystać twrzn Crara ) Znalźć wloan w(x) R[X] stopna < 3 tak ż w(1) = 2 w( 1) = 3 w(2) = 1 9

Podobne dokumenty

Zestaw zadań 7: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i)

Zestaw zadań 7: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i) Zstaw zaań 7: Wyznaznk 1 (1) Olzyć wyznaznk następująyh arzy: 1 2 3 5 1 4 () 1 5 4 3 2 0 () 0 2 2 2 0 2 3 2 5 1 3 6 2 2 0 () (g) () a a a 1 ε ε2 ε 2 1 ε ε ε 2 1 () sn α os α 1 sn β os β 1 sn γ os γ 1 gz