Wykład I. Wiązania chemiczne.

Transkrypt

1 Wyła I. Wązaa chcz. Postawow pyta, tó wyaga opowz gy zauy sę ata w stały sta supa st pyta o atuę sł, tó utzyuą atoy cząstcz w ośloy obszaz pzstz aaąc cału opow ształt a taż oślaą właścwośc chacz. Oazu sę, ż o atuy tych sł zalzą taż pzwoctwo ltycz, poatośc ltycz agtycz, zolośc pochłaaa s śwatła a taż szg ych właścwośc at. W zasaz ay wątplwośc, ż sły aaąc cału ośloy ształt w węszośc pzypaów aą atuę ltoagtyczą zwąza są z spcyfczy ozła łauów w atoach cząstczach twozących cało stał. Sao zaś ozaływa powouąc utzya sę substac w całośc azyway wąza chczy. ozóża szg ozaływań w tac wyłau oówoych zosta pęć z ch, tó są opowzal za twoz sę wązań. Dfuy gę ohz spóośc ao gę, tóą tzba ostaczyć aby ozłożyc yształ a zbó swoboych atoów o t sa ofguac ltoow, zauących sę w spoczyu sończ alo o sb. gę sc fu sę la yształów oowych ao gę, tóa st potzba aby ozłożyć yształ a opow zbó oów. stał. Typ wązań chczych zalży a ogół z właścwośca atoów twozących cała W pzypau gy ay o czya z atoa zaęto powłoowy zwętza walcya powłoa ltoowa st całowc zapłoa, bazo tuo st ować ltoy o atoów. Atoy posaaą wypaowgo łauu ltyczgo. Możlwa st a polayzaca poszczgólych atoów yształ utzyu sę w całośc w sut sta pzycągaa poęzy ota polowy. Z wąza tgo typu, azyway wąza va Waalsa Looa ay o czya w pzypau yształów pwastów szlachtych, tach a N, A, K, X. Jśl substaca zbuowaa st z atoów, tó posaaą lub co awyż wa ltoy walcy wówczas ltoy t, bęąc słabo zwąza z poszczgóly

2 atoa twozą chuę łauu ugo woół oato ałaowaych oów. Ta ozzlo łau pzycągaą sę, utzyuąc cało stał w całośc Wąza to os azwę wązaa talczgo. Typowy pzyłaa są yształy z, sba złota, a taż ych tal. Wysoa pzwoość ltycza tal zwązaa st właś z st swoboych, lub paw swoboych ltoów. Iy pzyła są yształy zwązów chczych, w tóych u z słaów bau poyczgo ltou o zapła powło walcy, ug zaś posaa tylo walcyy lto. Pzyła oż tu być yształ NaCl. Só a chlo zaś s ltoów walcyych. W ysztal NaCl lto pzchoz o Na o Cl, twoząc sę paę pzycągaących sę wza oów Na Cl -. Wąza to os azwę wązaa oowgo. Oęby typ ozaływań poawa sę gy yształ twozoy st pzz atoy posaaąc w połow zapło powło walcy. Pzyłaa ogą być yształ atu, zu lub gau. Atoy t posaaą po czty ltoy walcy. Twoząc yształ aży ato łączy sę z czta ablższy sąsaa ostaczaąc o ażgo z ta powstałych wązań po y lto. W t sposób a aż poycz wąza poęzy woa oa pzypaa po wa ltoy. Twozo w t sposób wąza azywa sę wąza owalcyy. Natua sł utzyuących yształ w całośc tylo częścowo a tu chaat ltostatyczy. Główy czy zwązay st z watowy ft twoza sę obtal wążący atywążących oaz fat ch połowczgo zapła pzz ltoy walcy. Poob watowy chaat a wąza wooow, występuąc a ogół w cząstczach zwązów ogaczych. Ato woou poob a tal oż oać swó yy lto walcyy. Poważ to co pozosta to tylo poyczy poto o zoo ał obętośc oż poawać sę w patycz w aży scu powouąc poaw sę sły pzycągaących u oy lub gupy oów. W zczywstośc a ogół ay o czya z ścśl ośloy y typ wązaa. Dotyczy to w zasaz wszystch typów wązań, a w awęszy stopu wysza są wąza owalcy oow.

3 Aby lp zozuć atuę poszczgólych wązań wato pzaalzować pocs powstawaa yształu w sposób loścowy, czyl pzstawaąc gę potcalą ułau w fuc olgłośc poęzy atoa. Gwałtowy ozwó tch oblczowych ch watow oaz ocy oblczow oputów pozwalaą pzpowazć la wlu zwązów chczych bazo pcyzy oblcza toą z pwszych zasa, aal a pożytcza st aalza postych ol foologczych, la tóych watośc paatów opsuących g potcalą ułau bz sę z ośwacza. ozważaąc pocsy powaząc o utwoza cał stałych alży bać po uwagę wa oza sł. Pwszy oza ozaływaa to ozaływa pzycągaąc, tó powou, ż atoy twoząc yształ pozostaą blso sb poo gań tczych. Dug ozaływa to ozaływa opychaąc, tó aa cału spężystość. O l ozaływa pzycągaąc powouąc poaw sę sł spóośc oża oblczyć a guc lasycz ltoya ozważaąc łau w ysztal o tyl atua ozaływaa powazącgo o poawa sę sł opychaących st ta ozacza. W uży stopu ozaływa to wya z watow atuy atoów ltoów a taż st oswcą zasay ozaczoośc. Zblżaąc o sb atoy zszay ozay ułau. To z ol powou wzost ozaczoośc pęu. Węsza ozaczoość pęu to węsza ga tycza. W oswc, zupł zalż o ozaływań ltostatyczych, gy zblżay o sb wa atoy usy powyższyć ch gę. Z ol fat, ż aży uła ąży o osągęca a asz g powou w ty pzypau poaw sę sły opychaąc. Kwatowa atua ozaływaa opychaącgo powou, ż st oo w pzyblżu ta sa, zalż o ozau sł spóośc. Potcał powouący poaw sę sły opychaąc wyaża sę pzy poocy wzoów pyczych. Naczęśc stosu sę wyaża typu: U ρ λ I. lub U σ 4ε I. 3

4 Za poawa sę latgo, ż st to potcał oat. W obu pzypaach st olgłoścą poęzy atoa oa, zaś pozostał wlośc są paata pyczy, tóych watośc bz sę z ośwacza σ ρ są pwy chaatystyczy olgłośca, zaś ε λ są stały oślaący wlość potcału. ozważaąc wyaża I. I. zauważay, ż są o sob ówoważ. W szczgólośc wzy, ż la olgłośc poęzy ablższy sąsaa ążąc o za ga aa pzz zalżość I. ąży o sończoośc poczas gy ga aa pzz wyaż I. pozosta sończoa. Wya sę, ż baz al st wyaż I. a ogół ua sę to, tó powazą o sończoych watośc wlośc fzyczych, a w zas watośc, tó opowaaą olgłośco ęzyatoowy w yształach ob zalżośc są bazo poob obz opsuą zczywstość. Na pzyłaz wzoów I- I- wać, ż ol to fzycz aą a ogół ogaczoy zas stosowaa, w tóy są pawzw. Wąza oow: Waży pzyła wązaa ystalczgo st wąza oow. Wąza to st chaatystycz la szgu zwązów chczych. Twozy sę oo wówczas gy po zblżu o sb atoy go pwasta oaą ltoy, uggo zaś pzyuą. Są to zwąz tal alalczych tach a L, Na, K, b waz z F, Cl,, I. Pzyła oż być yształ sol uch NaCl. Joy talu oaą swó yy lto walcyy s to główa lczba watowa, s opowaa obtalow atoowu typu s atoow fluou, chlou bou lub ou, gz uzupła powloę s p 5. W t sposób powstaą oy oat u poęzy tóy zała sła pzycągaa ltostatyczgo. ga potcala wóch oów, ozaczoych sa st ówa U q I.3 gz st olgłość poęzy oa, zaś q łau oów. Całowta ga potcala -tgo ou, wyaąca z sta wszystch pozostałych oów w ysztal, U, st ówa su tych g po wszystch oach. 4

5 U ± U q p q α I.4 W wzoz I.4 wyozystao fat, ż olgłość poęzy woa owoly oa oża wyazć pzy poocy olgłośc poęzy ablższy sąsaa, I.5 p Współczy p są zawsz węsz o ośc, w t sposób sua szgu ± α I.6 p a zawsz watość sończoą. Stałą tą azyway stałą Maluga. Doaąc oata ua gę ułau aą pzz wzoy I. I.4 otzyu sę wyaż a zalżość całowt g pzypaaąc a paę oów o olgłośc poęzy oa w ysztal. U U U Z λ ρ q α I.7 Z st łau oów. Z wzglęu a to, ż ga owol pay st taa saa w wzoz I.7 poęto s. Całowtą g spóośc yształu otzyu sę ożąc gę I.7 pzz lość pa oów N. Watośc stał Maluga oaz stałych λ ρ la poszczgólych yształów oża zalźć w poęczach {} C. Kttl, Wstęp o Fzy Cała Stałgo, PWN W-wa 974, st Wąza va Waalsa Looa Atoy gazów szlachtych N, A,K, X aą całowc zapłoa powłoę ltoów walcyych s p 6. Z go powou wchozą o w ac chcz z y substaca. W sch tpatuach gazy t ulgaą soplu a w szcz ższych pzchozą w stały sta supa twoząc yształy. Atoy gazu szlachtgo pozostaą ltycz oboęt twoząc cało stał. Soo sły spóośc tago yształy ogą pochozć o całowtych łauów oów a o wązaa owalcygo alży ozważyć ozaływaa. Naważsz to polayzaca, tóa pzsuwa łau u chuy ltoów oat ą atoowych, zaąc pzy ty całowtgo 5

6 łauu atou. Pzypaow gaa tcz atoów ogą powoować ch spotaczą polayzacę. Dzę ozsuęcu łauów ato uzysu ltyczy ot polowy. Poczas tgo wyłau posłużyy sę ot polowy pzypaaący a obętość atou, V. Wlość ta zfowaa st astępuąco: q p I.8 V gz q st łau a st pzsuęc łauu. Pol ltycz w olgłośc o tgo pola bęz w pzyblżu a pzz lacę: I.9 p3 Pol to z ol bęz polayzowało ol atoy uca ltycza. Ta węc w olgłośc o pola p uoway bęz ltyczy ot polowy p. p p ' α α I. 3 Nalży zwócć uwagę, ż stała α występuąca w wzoach I. st stałą Maluga lcz polayzowaloścą yształu polayzowalość fuy ao współczy popocoalośc poęzy uoway ltyczy ot polowy a atęż wywołuącgo go pola ltyczgo st olgłoścą poęzy atoa. Moża oblczyć gę otu polowgo p w polu ltyczy pochozący o otu polowgo p. ga ta st ua wyos: U p ' p 4 p ' 3 αp 6 I. 6 Często zaast wlość 4αp zastępu sę ą stała C lub 4 εσ / wówczas U C 6 σ 4ε 6 I. 6

7 Wato w ty scu zwócć uwagę a szczgóly pzyła ozaływaa wóch oboętych atoów. oąc po uwagę gę oatą aą wzo I. uą gę aą wzo I. otzyay gę ozaływaa wóch atoów w postac : U U U σ 4ε[ σ 6 ] I.3 zaą ao potcał Laa Josa. Wzó a zacz hstoycz był używay zaówo o opsu cała stałgo a zzń atoów w gaz. Aby otzyać gę pzypaaącą a wa atoy w ysztal alży oać wszyst pzyczy laca I.9. Postępuąc poob a w pzypau wązań oowych otzyay σ σ 6 U 4ε[ A ] I.4 Gz A 6. p p Nalży poślć, ż w pzypau wązaa va Waalsa- Looa ta a w pzypau wązaa oowgo potcał oat opowzaly za opycha oów oż być wyażoy pzz ówa I. W patyc potcały I. I. ogą być stosowa za. Wówczas wyaż I.4 oż być zastąpo pzz U Z[ λ ρ σ b 6 ] I.5 W wzoz I.5 współczy b oż być łatwo oblczoy b 4ε / Z. Wąza owalcy. Ta a wspoao wąza owalcy a chaat watowy oż być opsa pzy poocy lasyczych sł pzycągaa ltostatyczgo. ozważy apostszy pzypa cząstcz wuatoow słaaąc sę z wóch tyczych atoów: atou A atou p cząstcza woou. Schatycz 7

8 cząstcza st pzstawoa a ysuu I. Załóży al, ż aży ato wos lto o wązaa st to oczywst w pzypau cząstcz woou. Jśl atoy zauą sę alo o sb wówczas oba ltoy aą taą saą gę A I.6 ys. I. schat twoza sę wązaa owalcygo cząstcz wuatoow. lto A A ga obtala atywążącgo W chac watow g t oblcza sę ao watośc oczwa haltoaów opatoów Haltoa H A H A H H AA H A A H A I.7 gz opow haltoay wyażo są astępuąco H H a A U U A I.8 A są fuca falowy ltoów w atoach A. Zblżaąc atoy o sb usy uwzglęć, ż ltoy pzstaą być pzypoząowa poszczgóly atoo. Iacz ówąc aży z ltoów pousza sę w polu obu atoów. Dla uposzcza achuów uwzglęy al g opychaa obu ltoów g opychaa ą. W ęzyu cha watow fat,ż ltoy są wspól la obu atoów uwzglęa sę wpowazaąc całowty haltoa poyczgo ltou ao suę g tycz oaz g potcal pochoząc o ozaływaa z atoa A. Haltoa ta a astępuącą postać: 8

9 A U U H I.4 Obc ow stay ozwolo ułau wu atoów bęą opsywa pzz fuc falow w postac obac lowych suy lub óżcy fuc falowych poyczych atoów A A φ φ I. Powyższ założa pluą astępuąc ówaa Shöga φ φ φ φ H H I. fuąc g staów I.. Watośc lczbow g oża oblczyć ozystaąc z ówań I.7 I.. Otzyu sę astępuąc ówaa: A A A A A A A U H U H φ φ I. Następ po ltaych pzształcach otzyu sę A A A A A A U U I.3 Wać, ż choć g są sob ów to a ogół g óżą sę zy sobą. O l choć a z ch st sza ż lub atoy bęą łączyć sę w cząstcz. Sta o ższ g azywa sę sta wążący a sta o wyższ g sta atywążący. Opow fuc falow oszą azwę obtalu wężącgo atywążącgo. A A Stała sc, ga spóośc. Poówuąc wzó I.7 I.5 oża otzyać uogólo wyaż a gę potcalą atoów oów w sc ystalcz ] [ b Z U σ λ ρ I.4 gz watość wyłaa potęg zalży o ozau wązaa wyos 6 la wązaa va Waalsa oaz la wązaa oowgo. W ogólośc lczba ta oż być owola często st 9

10 paat opasowaa to o spytu. Stał b σ la wązaa oowgo to opowo q α. Fuca aa wzo I.4 a u w puc, tóy opowaa zczywst olgłośc poęzy oa. ga potcala U U ysu I- Kzywy pzyway potcały U U -, zywą cągłą pzstawoo potcał wypaowy U - Na ysuu I- pzstawoo zalżość g potcal o wza olgłośc poęzy oa. Aby oblczy alży wyozystać wau a u fuc U I.5 z wauu tgo otzyu sę λ ρ bρ σ σ I.6 Stą watość g w u potcału wyos σ ρ U Zb [ ] I.7

11 Wacaąc o wczś zfowaych wlośc opsuących wąza oow va Waalsa otzyay opowo q α ρ U Z [ ] la wązaa oowgo U I.8 σ 6 6ρ 4ε [ ] I.9 la wązaa va Waalsa Looa. Watość stał chaatyzuąc potcał opychaący, ρ, zalży o tgo a st typ wązaa wyos o. watośc. Stą z wzoów I.5 I.6 wya, ż ga spóośc wązaa oowgo st zacz węsza ż wązaa va Waalsa. Następy czy cyuący o ty, ż wąza va Waalsa st słabsz st watośc stałych opsuących potcały, ε, σ oaz Z q α. W zczywstośc ga pzypaaąca a paę oów w ysztal oowy wyos ooło 5V poczas gy w ysztal va Waalsa tylo o ooło. V. Koswcą ał g spóośc w yształach va Waalsa st ch sa tpatua topa. Kyształy gazów szlachtych stą tylo w bazo sch tpatuach, wyższych ż lazsąt lwów. Kyształy oow, w tóych ga spóośc st o wa zęy węsza aą bazo wyso tpatuy topa zęu K. Wyła II. Sć ystalcza. Postawow fc Wl z pośó cał stałych a buowę ystalczą. To zaczy, ż atoy z tóych sę słaaą ułożo są w ośloy poząu. Pozą t a sę stosuowo posto opsać pzz poa własośc syt. Sytę yształu fu sę popzz poa opac syt pzształcaących yształ sa w sb. Pzształca syt są taslac, oboty, wsa, oboty wsy płaszczyzy obca. Postawową cchą yształu st go zczość z wzglęu a pzształc taslac. Dla a sc ystalcz fuy 3 postawow pytyw wtoy taslac a, b c. Kyształ za sę wygląa ta sao śl pzsuy go lub pzsuy uła współzęych o owoly wto bęący obacą lowa wtoów taslac a, b c. Ta węc w ysztal c ulga za zalż o tgo czy zauy sę w położu czy tz a b l c II.

12 gz,,l są owoly lczba całowty. Wto a b l c azyway wto taslac. Mówy, ż yształ st zczy z wzglęu a taslac. Opacę taslac T l oży oślć ao pzształc załaąc a wto w pzstz zczywst, w t sposób, ż T l II. Wzó II. st węc sótowy zaps wzou II.. Zbó wszystch putów ośloych pzz lczby,,l ośla sę a sc ystalcz. Każy put z osoba oślay st ao węzł sc. W patyc węzła sc ogą być poycz atoy lub gupy atoów. Stutua zwązaa z poyczy węzł os azwę bazy. Pzz poęc stutuy ystalcz ozu sę sc waz z bazą. aza oż słaać sę z go, lub węc atoów st tycza w aży węźl sc w cały ysztal. Pzyła sc z bazą wuatoowa zau sę a ysuu II-. Nzczość z wzglęu a taslac st cchą, tóa wyóża cała ystalcz spośó ych cał stałych. Wybó wtoów pytywych w a sc ystalcz st ozaczy. Dla a sc fu sę ao ta zspół wtoów, pzy poocy tóych oża otzyać wszyst węzły a sc. Łatwo sob uzysłowć, ż st wl a ogół sończ wl sposobów wybou wtoów postawowych. Patz ys III-. ys. II- a sć pzstza b baza c stutua ystalcza

13 ys II-. Pzyła sc wuwy aow. Wtoy a b, a b a 3 b 3 są posty postawowy wtoa taslac. Wtoy a 4 b 4 są postawowy wtoa taslac poważ oża pzy ch poocy otzyać taslac T pzstawo a ysuu. Dfu sę poęc oó post lub oó lta. Jst to ówolgłośca opsay pzz wtoy taslac a, b, c. Obętość oó lta wyaża sę wzo. V c abc II.3 Z wzglęu a ozaczą fcę wtoów a, b, c, ówż oóa ltaa st zfowaa w sposób ozaczy. Moża a oślć oóę ltaą posaaącą asza obętość. Koóa ta os azwę oó Wga Stza, a sposób wybou pzstawoy st a ys. II- 3. ys. II-3 Koóa Wga Stza. Wybay owoly węzł sc łączyy go ocaa z ablższy węzła. Koóa Wga- Stza st to obętość wwątz płaszczyz oalych wystawoych w putach śoowych oców łączących poszczgól węzły sc. 3

14 Opócz taslac lta syt, czyl pzształc, tó zaą yształu są oboty woół os syt, obca wzglę płaszczyz, śo ws oboty wsy. Syta stutuy ystalcz, a ty say stutua saa w sob, ośloa st w sposób zupły pzz poa wszystch pzształcń ltów syt, po zastosowau tóych yształ pzchoz sa w sb. Dfc opac syt ych ż taslac są astępuąc:. Pzształc obotu polga a obócu ułau woół wyba os o ośloy ąt a ogół pzcw o uchu wsazów zgaa. W ysztal posaaący sytę taslacyą ogą stć oboty o ąty π, π/, π/3, π/4 π/6. N st obót o π/5.. Pzształc obca polga a obcu zwcalay wzglę pw płaszczyzy, ta ż po wyoau opac put zauący sę w olgłośc o płaszczyzy zaz sę po pzcw sto w położu. Jśl wybzy płaszczyzę -y ao płaszczyzę obca to pzształc obca zwcalago z współzęych y, a współzęą z za a z. 3. Pzształc ws wzglę agoś putu polga a zaa współzęych,y z a opowo,-y z 4. Obót wsyy to zastosowa olo opac obotu opac ws. Zbó ltów syt ago ułau st gupą. Dfca gupy: Gupą azyway zbó ltów A,,... z ośloy zała ta, ż -Jśl A alżą o gupy to lt A C alży o gupy -W aż gup st lt ostowy,, ta, z A AA -Dla ażgo ltu A st lt pzcwy owoty A -, ta ż AA - A - A -Dzała st łącz, to zaczy, ż ACAC Cchą wspóla opac syt -4 st to, ż wszyst o pozostawaą zoy co a put pzstz. zazwycza w puc ty uszcza sę począt ułau współzęych. Ta ccha powou, ż gupy ta azywa sę gupa putowy. Łatwo wyazać, ż pzształca taslac ówż twozą gupę. N st to a gupa putowa. W osu o yształów ay węc o czya z gupa putowy złożoy z opac syt bz opac taslac oaz gupa pzstzy, tóych lta ogą być zaówo pzształca -4 a taslac Toa gup pozwala w sposób ozaczy lasyfować oza sc ystalcz. May 3 óż putow gupy ystalogafcz, śl o tych pzształcń ołączy sę taslac to otzyay 3 óżych gup pzstzych. Jśl ozważa sę sć ystalczą bz bazy ay 4 óżych sc avas a. Sc avs a pzstawo są a ysuu.ii-4 Paaty oó ltaych poa są w tabl 4

15 Tabla II- Paaty oó ltaych 4 sc pzstzych 5

16 ysu I-4 4 tówyaowych sc avas a 6

17 Pzyłay stutu ystalczych : Jśl baza w a sc a węc ż ato wówczas poawa sę oczość ozaczgo ośla położa poszczgólych atoów w oóc lta. W ty clu wybay uła współzęych ta, ż go os są ówolgł o wtoów taslac pytywych a, b c. Położa poszczgólych atoów bęą oślo pzz poa ch współzęych. ęą to zawsz lczby sz o. Pzyłay :ys II-5 Stutua NaCl to sc gulaa płaso ctowaa. Jo Na st w położu, o Cl - st w położu a ys II-6 Stutua CsCl sć gulaa pzstz ctowaa. Jo Cs st w położu, o Cl - st w położu. Kttl ys.6 ys. II-7 Stutua hsagoala o awęszy upaowau wucyt wa oy w położu ug w położu 3 3 7

18 ys II 7 Stutua atu gulaa powzchowo ctowaa, al a ż NaCl Atoy węgla aą położa, ; ; ; a Płaszczyzy scow, wsaź Mlla W ystalogaf, zalż o ozau sc, bazo waż y poęc st poęc płaszczyzy scow. Płaszczyzą scową azyway ażą płaszczyzę w ysztal, a tó lżą co a 3 węzły sc lżąc a post. Patycz a ta zfowa płaszczyź, w sończoy ysztal, lży zawsz sończoa lość węzłów sc. Płaszczyzę fuy pzz poa paatów opowgo ówaa płaszczyzy. Z lta got otzyuy astępuącą lacę oślaącą położa putów a płaszczyź. y z II-4 f f f f 3 gz, y, z są współzęy a f, f f 3 opow współczya. W pzypau yształu opow ówa us zawać wau otyczący węzłów sc. Aby to osągąć wystaczy wybać ta uła współzęych aby go os poywały sę z ua wtoów taslac pytywych a, b c oaz założyć,ż f oaz f, f, f 3 są lczba całowty. Jżl ówa II-4 poożyy pzz aszą wspólą wlootość lczb f, f, f 3 M otzyay: M h y l II-5 8

19 w wzoz II-5 lczby h,,, l są lczba atualy. Zauważay, ż ta wybaa płaszczyza pzca os w putach f a, y f, b, z f 3 c patz ysu II-8 ys II-8 Płaszczyza scowa 3 3, Nasza wspóla wlootość lczb 3 st 6 Lczby h,, l oszą azwę wsaźów Mlla ogą pzybać lczby całowt oaz zo zo poawa sę w sytuac gy aa płaszczyza st ówolgła o opow os współzęych wtoa pytywgo. Wszyst płaszczyzy ówolgł o a płaszczyzy są sob ówoważ. Często zapsu sę ówa płaszczyzy w postac : h y lz II-6 Jst to ówa płaszczyzy ablższ płaszczyź pzchoząc pzz począt ułau współzęych. Wsaź Mlla oślaą ozę płaszczyz ówoważych wzglę sb. Sótowy zaps wygląa astępuąco h l. Łatwo zauważyć, ż poważ opow płaszczyzy są ówolgł wsaź Mlla 4 4 są sob ówoważ. W ta sytuac zawsz poay tylo zspół wsaźów o szych watoścach, w ty pzypau. Sć owota W ystalogaf wpowaza sę poęc sc owot. Sc owota, a właścw syta wpływa a wl własośc yształów, tach a stutua pas gtyczych, yfaca poowaa tgowsgo, oza gań sc tp. Pobl z scą owotą polga a ty, ż st oa ośloa w pzstz zczywst, to zaczy w pzstz, w tó oży zobaczyć yształ. N oża węc wązać z scą owota, żaych obtów atalych w tach a atoy. Po za ty a oa a wszyst cchy sc ystalcz, tz oży wyóżć w węzły sc pw oślo puty aalzować sytę tycz a to sę ob w pzypau zwył sc sc post. Sć owota ośloa st w pzstz pęów, ścśl ówąc w pzstz wtoów falowych. Poważ zgo z zasaa cha watow pę wąż sę z wto falowy pzy poocy lac p ħ II-7 9

20 ob t pzstz, pzstzń pęów pzstzń wtoa falowgo, są sob całowc ówoważ. Z ażą fucą ośloą w pzstz zczywst, o l tylo st zbża gy ąży o sończoośc, zwązaa st ozacz opowa fuca ośloa w pzstz wtoa falowgo. laca poęzy ty fuca azywaa st tasfoacą Foua. Dfca : Tasfoata Foua fuc f, fuca g st aa pzz lacę: g π 3 / p[- ] f II-8 Ist oczywśc tasfoaca owota, ta, ż f π 3 / p[ ] g II-9 Jśl f st fucą poyczą z os sc ystalcz post, tz zczą wzglę opowch opac syt zaących a sc, to g aa wzo II-8 st opowaaącą fuca ośloą w pzstz pęów pzstz wtoa falowgo, zczą wzglę opac syt opow sc owot. W szczgólośc śl w pzstz zczywst sć ystalcza st zcza za wzglęu a pzształca taslac oślo pzz wtoy taslac pytywych a.a, a 3 : a a p a 3 II- To opowaaąca sć owota st zcza z wzglęu a pzształca taslac o wto G zfoway astępuąco G hg g lg 3 II- gz g g g 3 są wtoa pytywy sc owot. Wtoy pytyw sc owot sc post powąza są astępuący laca: g π g V π g 3 V π a a 3 II- V a 3 a II-3 a a II-4 V a.a a 3 st obętoścą oó lta sc post. Wtoy g g g 3, aą to sao zacz w sc owot a ały wtoy a.a a 3 w sc post. h,, l są lczba całowty. Współczy t

21 pzypaowo zostały azwa ty say lta co wsaź Mlla. Łatwo bow uowoć, ż wto G zfoway ówa II- st postopały o płaszczyzy sc post oślo właś pzz wsaź Mlla h,, l. Wobc powyższgo ażu wtoow taslac w sc owot opowaa ośloa płaszczyza w sc post. Jśl choz o lasyfacę sc owotych to z wzglęu a owacalość tasfoaty Foua us być oa taa saa a w pzypau sc post. May wc tu ówż 4 sc avas a, 3 gupy putow 3 gup pzstzych. Poob a w sc post, w sc owot fu sę oóę ltaą. Wato w ty scu zwócć uwagę, ż oóę ltaą sc owot aącą aszą ożlwą obętość azyway pwszą stfą lloua. Mtoa ostuowaa pwsz stfy lloua w sc owot st tycza z ostucą oó Wga -Stza w sc post. Wyła III. Dyfaca po tga Ozaływa fal ltoagtycz z yształ zalży o ługośc fal. Olgłośc poęzy atoa w sc ystalcz wyoszą o. - 3 Ǻ. Tgo sago zęu są tż olgłośc poęzy płaszczyza scowy. Jst to zacz ż wyos ługość fal śwatła wzalgo 4-8 Ǻ. Powou to, ż ozaływa śwatła z yształ powo zalżć bzpośo o stutuy ystalcz. Mówąc acz, poważ ługość fal śwatła st użo węsza ż olgłośc ęzyatoow węszość ftów, tó obswuy pzy pzścu śwatła pzz yształ st zwązaa bzpośo z go stutuą p załaa śwatła czy obc w ośoach zotopowych, zaś wlośc fzycz, tó opsuą ta pocs są wlośca aosopowy. Iacz st gy ay o czya z bazo ót fala ltoagtyczy. Wówczas poyczość yształu powou, ż w stosuu o fal ltoagtycz o ługośc ótsz ż olgłośc poęzy płaszczyza scowy, zała o poob a sata yfacya la śwatła wzalgo. Gy ośwtly yształ poa tga, tóych ługość fal st o. o Ǻ, po t bęą tfować poęzy sobą twoząc po pzścu pzz yształ obaz yfacyy. Zawso to zostało szoo wyozysta w ystalogaf o oślaa własośc gotyczych sc ystalczych. ozważy stutuę gulaą pytywą, gz w y węźl sc zau sę ato. Paaąca a yształ wąza po tga bęz zachowywać sę zgo z zasaą Huygsa, czyl aży węzł sc bęz źół ow fal ulst. Poyczość sc poob a poyczość sat yfacy powou, ż ozposzoa fala ltoagtycza w pwych uach ulg wzocu wygaszu a w pwych osłabu. Ku, w tóy wąza obta zosta wzocoa ośloy st pzz pawo agga. Sytuaca pzstawoa st a ysuu III-.

22 a b α - ys. III- sα sα Po tga paaąc a yształ po ąt α ulgaą obcu o poszczgólych płaszczyz scowych olgłych o sb o. Jśl óżca óg optyczych bęz ówa całowt wlootośc ługośc fal astąp wzoc. Wau t oża opsać wzo, tóy os azwę pawa agga: sα λ III- st olgłoścą poęzy płaszczyza a λ ługoścą fal. ys III- óż płaszczyzy scow

23 Z wzglęów hstoyczych ąt ugęca st lczoy wzglę oal a wzglę powzch płaszczyzy scow. Poważ w ysztal st wl płaszczyz scowych ozpaszaących poowa ltoagtycz wąza paaąca ugać sę bęz po óży ąta. Każ wązc ugęt opowaać bęz a oza płaszczyz. Poważ poszczgól wąz są ozacz pzypoząowa płaszczyzo scowy oża tyfować pzy poocy wsaźów Mlla. Pawo agga oża pzstawć ówż w postac. ysu III- b w sposób gafczy pzstawa pawo zachowaa pęu pzy zawsu obca poowaa tgowsgo o yształu. Kozystaąc z fatu, ż wto falowy,, st zwązay z ługoścą fal λ astępuącą lacą π III- λ oaz z lac III- zauważay : - sα π sα λ III-3 Wobc powyższgo us być spłoy wau π III-4 π/ st ługoścą wtoa sc owot, G. lac III-3 III-4 powazą bzpośo o astępuącgo ówaa: - G III-5 gz G st wto sc owot, postopały o ozy płaszczyz o tó oba sę wąza po tga. ówa III-5 st całowc ówoważ ówau III-. Wau agga wyażoy pzy poocy lac III- lub III-5 pozwala wyłącz a aoścową aalzę yfac po tga a yształach, czyl la a stutuy pozwala a ośl ożlwych ątów ugęca. W ystalogaf o oślaa stutuy ystalcz waż st taż pzwywa atężń poszczgólych wąz. W clu aalzy atęża wąz obt ozważy ysu. III-3. ysu III-3 ρ 3

24 Na ysuu aży put opowaa węzłow sc ystalcz. L pzywa to czoło fal poowaa tgowsgo. Zgo z zasaą Huygsa aży węzł sc sta sę źół ow fal ulst. Zgo z zasaa ltoya lasycz apltua poowaa ozposzogo a węźl ρ, zoa w olgłośc o węzła st ówa: p ' Fρ F p-ρ III-6 W spoc, w aowu loczy salay poważ fala ugęta st fala ulstą. F st apltuą fal paaąc. lta pzształca gotycz patz ysu III-3 pozwalaą a użyc pzyblża: -ρ ρ ρ cos ρ cos III-7 Postawaąc III-7 o III-6 FρF p- p{- [ρ-ρ cos]} III-8 Uwzglęaąc, ż la ałych yształów, gy put obswac zau sę alo o yształu, aży wto st w pzyblżu ówolgły o, fu sę wto, tóy st wto falowy fal ozposzo patz ys III-3 ta ż oaz ρ cos ρ III-9 F ρf p- p{- ρ[- ]} F p- p{- ρ[ ]} III- Ta st w pzypau sc z bazą oatoową. Jśl baza słaa sę z węc ż go atou usy bać po uwagę suę apltu o wszystch atoów w oóc lta. Opowa suaycza apltua w położu, fal wytowaych w oóc, w położu ρ, bęz ówa; F ρ F p- f p{- [ρ ] } F p- p{- ρ[ ]} f p{- } III- gz st położ -tgo atou w oóc lta. Ostata sua w wzoz III- os azwę czya stutuy. Dla ażgo obtgo poa czy stutualy oża oblczyć astępuąco. 4

25 Załóży, ż obc astępu o płaszczyzy ozaczo wsaźa Mlla hl. Wówczas G hl hg g lg 3. Położ -tgo atou w oóc st oślo pzz wto u a v a w a 3, gz u,v, w są za lub lczba ułaowy. Łatwo oblczyć, ż G hl πu hv w l III- Kozystaąc z lac III- otzyu sę astępuąc wyaż a czy stutuy Λ hl f p{ π u h v w l} III-3 W wzoach III- III-3 f st czy atoowy, tóy zalży o zolośc ozpaszaa po tga pzz ay ato. Załaaąc, ż to ltoy są opowzal za ozpasza po tga st o ówy lośc ltoów w ato. Istota st ówż gęstość atoów w a płaszczyź scow. Czy atoowy pow być popocoaly o t wlośc. Aby otzyać całowtą apltuę w puc alży posuować apltuy III- po wszystch oóach ltaych. Poważ czy stutuy st tyczy la aż oó lta oży wyłączyć go z suowaa. To sao otyczy stałgo czya zalżgo o. Kozystaąc z fatu, ż ρ st wto taslac sc post ρ a a pa 3 III-4 suowa po oóach ltaych zastępuy suowa po,, p ρ F F ρ p- { p [-a ]} { p [-a ]} { p [-pa 3 ]} IIIp 5 ówa Dla sończoych yształów zawaących p. M oó ltaych, aża z powyższych su st M p [-a ] p[ M a ] p[ a ] III-6 Do t poy oblczylśy wypaow apltuy poowaa tgowsgo ozposzogo a ysztal. Paętać a alży, ż to co a pawę oży zastować to atęż poowaa, I. Zgo z lasyczą fcą I F F III-7 gz F st apltuą spzężoą o F. Kozystaąc z ówośc 5

26 p[ M a ] p[ M a ] p[ a ] p[ a ] s [ M a ] s a III-8 otzyay astępuąc wyaż a atęż poa obtgo o a płaszczyzy I Λ hl s [ M a ] s [ M a ] s [ M a ] 3. s a s s a a3 III-9 gz Λ hl st czy stutuy. Łatwo zauważyć, ż popz założ ż st ów wtoow sc owot, G hl, pocągaąc za sobą : a G hl π III- 8 s la,,3 a asu fuc III-9. Wys III-4 pzstawa fucę. s Łatwo zaważyć,ż głów aa poawaą sę gy wto falowy st wlootoścą lczby π. Wlość boczych asów zsza sę bazo gy ay o czya z węszą lczbą węzłów. W patyc są o wocz la M węszych o. W wauach oalych ay o czya z yształa słaaący sę z atoów. 6

27 ys III-4. Obaz yfacyy otzyay la sc słaaąc sę z 8 węzłów Pzyłay yfac. Poowa tgows st poowa ltoagtyczy o ługośc fal o. o lu Å. Do wytwazaa po tga służą spcal lapy ltoow, w tóych ozpęzo w polu ltostatyczy ltoy uzaą w talową atyatoę. Poczas tych zzń lto tac gę w sut wóch zalżych pocsów. Pwszy z ch to haowa w polu ltyczy atoów atyatoy. Dug to wzbuz ltoów z atoowych atoów atyatoy. Oba pocsy powouą poaw sę wysoogtyczych fotoów. Pwszy to oza poowaa Czowa aący cągł wo poowaa poowa haowaa. W ug pocs pobuzo atoy wacaąc o stau postawowgo wysyłaą waty poowaa tgowsgo. Wowy ozła tych fotoów a chaat ysty zalży o atału atyatoy. Poowa to os azwę poowaa chaatystyczgo. óż toy wyozystuą óż zasy wa poowaa tgowsgo.. Mtoa Laugo Wąza poowaa cągłgo paa a ooyształ. Poważ wąza zawa óż ługośc fal otzyay wl wąz obtych. Moża założyć, ż aża płaszczyza zaz opowaaącą ługość fal, tóa ulg wzocu la ago ąta paaa. ysu III. 5 a III-5 b 7

28 ys III.5 a Każu obcu opowaa wo cągł b a ługość fal wo cągł λ λ λ W t sposób flsy otzya a a bęą opowaały wszyst płaszczyzo scowy. Pzyłaowy obaz yfac Laugo pzstawoy st a ysuu. III-6 ysu III-6. Lauoga yształu zu. Obaz st w pzyblżu zoy pzy oboc o ąt π/4. Wya to z st os obotu o ąt π/4 yształu zu. oś []. Uwaga : os ystalogafcz ozaczy wsaźa Mlla w awasach waatowych 8

29 . Mtoa obacago yształu W toz Laugo uzyswalśy obca o węc ż płaszczyzy ystalogafcz poważ ośwtlalśy yształu wązą o w cągły. W toz obacago yształu ośwtlay yształ wązą oochoatyczą. W ułaz ta obc otzyu sę tylo o oślo płaszczyzy h l la tó spłoy st wau agga, sα λ. III- hl hl Dlatgo tż, aby otzyać węc obć, ośwtlaa póba wpawaa st w uch obotowy woół os postopał o wąz. W t sposób zaąc ąt achyla płaszczyzy α oży la t sa ługośc fal spłć wau III- la lu óżych płaszczyz otzyać la wąz obtych po óży ota. Apaatua o baaa yształów toą obacago yształu pzstawoa st a ysuu III -7. ys III-7 ooa o yfac toą obacago yształu W toz t poob a w toz Laugo aż płaszczyź opowaa fls putowy. 3. Mtoa poszowa. az uwsala st toa poszowa. I w ty pzypau używay wąz oochoatycz. Zaast ooyształu stosu sę a posz ystalczy, tóy uszcza sę w uc apla. Zaa poszu ustawo są zupł pzypaowo. Paaąca wąza oba sę tylo o tych za, tóych płaszczyzy scow ustawo osą po opow ąt. Z wzglęu a całowc pzypaow ustaw yształów w poszu w oóżu o toy obacago yształu uła a syt 9

30 osow, zwąza z yształ wąz obt aą ształt stożów. Dla sc gula ąty tych stożów zalżą o stał sc a, watośc wsaźów Mlla hl oaz ługośc fal, λ, w astępuący sposób h l s Θ λ III- a Kooa o baaa yształów toą poszową pzstawoa st a ysuu III 8 ys. III-8 a Kooa poszowa., b ysu schatyczy 3

31 W wszystch wyż wspoaych pzypaach tca poowaa obtgo oż obywać sę popzz zacz lszy fotogafcz. az owoczsa toa polga a bzpoś tc poowaa tgowsgo. Z wzglęu a użą pzlwość poowaa tgowsgo, go bzpośa tca st wcal spawą postą Na ogół używa sę o tgo clu spcalych ttoów, załaących w opacu o zawso scytylac. Pzyła tto pzstawoy st a ysuu III-9 ysu III-9 Uła ttoa poowaa tgowsgo Poowa tgows scytyl ato fotopowlac z Poowa tga pochłaa st pzz yształ- scytylato, tóy z ol po wpływ tago wzbuza tu waty śwatła wzalgo pocs t azyway scytylacą. Kwaty śwatła stowa są pzz fotopowlacz lub uząz p. fotooę. I toy aalzy stutuy ystalogafcz Ja pzstawoo powyż o baań stutuy ystalogafcz oża użyć poowaa ltoagtyczgo poowaa tga. W ostatch zsęcolcach ozwęły sę ówż toy baań opat a yfac ltoów, utoów lch atoów. Zawso yfac cząst atalych a yształach zwąza st z falowa atuą at. Zgo z zasaą pwsz watyzac aż cząstc pzypoząowu sę falę o ługośc: π λ III.3 p gz p st pę cząst a stałą Placa pozloą pzz π. Opowaa to fuc falow cząst swobo bęąc falą płasą aą wzo: φ III.4 gz wto falowy zwązay st z pę cząst astępuącą lacą: p. Poob a w pzypau yfac po tga, aby zaszła yfaca ltoów, utoów lub atoów, fala at us spłać wau agga III. lub III.5. Stosowa toy spytal są bazo poob lub aalogcz o to używaych w yfac po tga. Zalżość ługośc fal o g la poszczgólych cząst pzstawa ysu III.9 3

32 ys III.9 Długość fal ogl a fotoów, ltoów, utoów atoów hlu w fuc g. Stzała wsazu gę tczą cząst ga V. Dyfaca ltoów. Tcha ośwaczala yfac ltoów os sótową azwę LD, o aglsgo tu Low gy lcto Dfacto. Do baaa stutuy ystalcz używa sę wąz ltoów o g o o V. Wąza ltoów st bazo sl ozpaszaa pzz cało stał, stą głęboość ptac pzacza lu lub luastu stałych sc. Ogacza to stosowa toy LD tylo o baaa wąz obt, zaś foac uzysa otyczą tylo stutuy wastwy powzchow atału. Duża tuość ośwaczalą staow oczość uzysaa ulta wyso póż, zęu -9 T, zbę o zachowaa opowo ług og swobo ltoów w cały ułaz poaowy. Schat ułau ośwaczalgo pzstawoy st a ysuu III.. Uzyswa obazy yfacy są bazo poob o tych otzyaych w toz Laugo. ys.iii Schat ułau o baaa yfac ltoów o s g LD. 3

33 . Wąz utoów Sostuowa atoów ąowych wytwazaących wąz utoów o uży atężu pozwolło a ch wyozysta o baań stutuy ystalcz. Węszość wytwazaych w atoach utoów to tzw. utoy tcz, o g tycz opowaaąc tpatuz T4K Opowaaąca ługość fal wyos la Å patz ysu III.9. Pcyzy wyslcoowa utoów o obz oślo g obywa sę za poocą oochoatoa ystalczgo, tógo zała ta st aalogcz o załaa sat yfacy wobc poowaa wzalgo. Otzya w t sposób oochoatycz utoy wyozystu sę w utoow toz Dby a -Sha lub w toz obacago yształu. Wązę utoów stosu sę pz wszyst o baaa upoząowaa agtyczgo, baaa pzść fazowych pozą- pozą oaz położń atoów woou w całach stałych, cząstczach ułaach bologczych. 3. Wąz atoów. Powazoo ówż baaa yfac atoów hlu cząstcz woou a yształach. Obty ta patycz wchozą o wętza atału, latgo tż obazy yfacy otzyywa toą wąz atoowych owzoowuą stutuę powzch zwązaą z położa poszczgólych atoów tylo z lub baz gulay usoa o wysoośc wastwy atoow. 33

34 Wyła IV. Dgaa sc ystalcz. Dgaa yształu oży ozważać z wóch putów wza. Pwszy to aosopowy, gy ługość fal st zacz węsza ż stała sc. Wówczas stutua yształu st stota a ga opsywa st pzz własośc aosopow ta a ouł spężystośc postacow gęstość atału. Dug to osopowy, gy ługość fal zwązaa z gaa st poówywala z stałą sc. W ug pzypau, chaatystya gań zalży o stutuy ystalcz. Każ cało, o l a oślo własośc spężyst oż być wpowazo w gaa chacz. Często towazyszy tu sa fal źwęowych. Już awo zauważoo, ż cała o oślo syt ształtu ogą gać tylo z ośloy częstośca częstośca zoasowy. Poob st w ysztal. Każ początowo zalż o sb ga poyczych atoów albo zosta szybo wytłuo albo za sę a oltyw ga cał sc ystalcz. Ta oltyw gaa sc ystalcz azywa są fooa. Zgo z zasaa cha watow fooy ogą być tptowa ao poycz pacz falow o pęz p st wto falowy g ω ω st częstoścą ołową gań. W pzypau ażgo ozau fal waż st ośl ch pęośc fazowych gupowych w ay ośou. Wlośc t łatwo oblczyć gy zaa st zalżość częstośc gań, lub g foou o wtoa falowgo. W apostzy pzypau susoal fal płas ozchoząc sę wcągły zotopowy ośou, la tó wychyl z połóża ówowag opsa st wzo A A ωt V- pęośc fazowa gupowa a są opowo wzoa ω υ f IV- t ω υ g IV-4 Fuc υ υ f ysps, lub po postu yspsą. g opsuąc t zalżośc w otych pzypaach azyway zywy Dgaa sc oatoowych ozważy chaczą falę płasą ozchozącą sę w sc gula post w uu []. Fatycz ozważaa asz słusz bęą la wszystch sc gulaych, la fal ozchozących sę w uach [], ] []. Gy wychyla atoów są postopał o uu ozchoza sę fal ay o czya z falą popzczą, gy zaś u gań atoów st ówolgły o uu ozchoza sę fal ay falę połużą. Oba pzypa pzstawo są a ysuu IV 34

35 a b ys IV- a gaa połuż, b gaa popzcz l opowaaą płaszczyzo scowy, op to węzły sc. Zauważay, ż la fal płasch wychyla atoów alżących o opowch płaszczyz scowych są ta sa. Moży węc pouować płaszczyzy zalż czy ay o czya z falą popzczą czy połużą azwać wychyl atoów s-t płaszczyzy z położa ówowag sybol u s. Dal załaay, ż sła załaąca a aą płaszczyzę pochoz o spężyst ac pozostałych płaszczyz, st węc popocoala o óżcy opowch wychylń. Dla wóch płaszczyz otzyay : F C u u IV-4 35

36 W wzoz powyższy C st osopowywspółczy spężystośc yształu. Współczy t oż pzybać óż watośc la fal połużych popzczych. Kozystaąc z lac IV-4 oża oblczyć całowtą słę załaącą a aą płaszczyzę. Zastępuąc p otzyay: F C p u p u p IV-5 p Kozystaąc z II pawa Nwtoa otzyay ówa uchu -t płaszczyzy: u M C p u p u t p IV-6 Zaówo ówa IV- a IV-5 opsu uch całych płaszczyz. Zaast płaszczyz oża ozważać poszczgól atoy. Zalż o tgo co bzy po uwagę wybay opową asę M asa cał płaszczyzy lub asa atou opow współczy spężystośc C, tóy bęz aosopowy współczy spężystośc atału, w pzypau całych płaszczyz, lub osopową stałą spężystośc, w pzypau poyczgo atou. ówa IV-6 oża zacz upoścć śl wź sę po uwagę ozaływa tylo poęzy ablższy sąsaa, czyl poęzy ato ty - oaz ty. Wówczas u M t C[ u u u u] IV-7 Szuay ozwązaa ówaa IV-7 w postac fal płas : u a ωt u IV-8 gz st wto falowy fal, π / λ a ω st częstoścą gań. Oc a st olgłoścą poęzy płaszczyza scowy. W sc oatoow bęz to oczś stała sc. Po postawu IV-8 o IV-7 otzyay: a a Mω C[ ] C[cos a ] 4C s [ a] IV-9 Z ówaa IV-9 wya spcyfcza zalżość częstośc fal foou o wtoa falowgo, tóa os azwę ysps. 36

37 ysu IV- Kzyw ysps fooów. Sybol opowaa fooo połuży π a 3π a C ω s[ a] IV- M Wys t zalżośc pzstawoy st a ysuu IV-. Pzstawoo tu w zyw ysps oblczo pzy założu, ż stała spężystośc la fotou połużgo C st wa azy węsza ż stała spężystośc la gań popzczych, C. Da sę zauważyć, ż zywa ysps st fucą poyczą z os π. W ogóly pzypau a fuca ysps st poycza z os sc owot. Powacaąc o fc pwsz stfy lloua, w pzypau aszych gań opowaa oa ocow π π,. Ja wać, z wzglęu a a a poyczość wszyst foac o własoścach fooów zauą sę w obszaz pwsz stfy lloua. Powyższy wos pozosta słuszy ówż la baz soplowaych stutu. Wato zastaowć sę a ss fzyczy powyższych pawłowośc. Zastaówy sę co wya z zalżośc wtoa falowgo o ługośc fal, lloua, π. Jśl byłoby poza zas pwsz stfy λ π π to opowaaąca u ługość fal byłaby sza ż stał sc. Patycz w a a ysztal fal ta ogą stć, a śl o wszysto założyy, ż stą to uch atoów, czyl to co obswuy byłby ta a la fal o węsz ługośc. N.p. fala, pouszaąca sę w uu, o wtoz π 3 4 falowy, λ a obswowaa byłaby ao fala o wtoz falowy, patz ysu IV- a 3 a ługośc fal λ 4a. W oatu, z u watośc wtoa falowgo wya, ż obswoway uch opowaałby fal pouszaąc sę w uu pzcwy -. Sytuaca gy wto falowy ± a π π 37

38 opowaa fal stoąc w ysztal. Zauważay, ż zas ożlwych g fooów st ogaczoy. Z ysuu IV- wya,ż za sę o o o ao wo fooów. ω a. Zas ozwoloych g oślay st często Opócz foac o ozwoloych gach zywa ysps pozwala a oblcza pęośc fazow, v f pęośc gupow, v g. Poższ wzoy pzstawaą opow zalżośc : s[ a] C υ f ω IV- M C υ g ω a cos[ a] IV- M ± π Z wzoów IV- IV 9 wya, ż w pzypau fal stoąc, pęość gupowa st ówa a zu. Wato ozpatzyć pzypa fal ługch, la tóych st bls zu. Pęość gupowa fazowa wyoszą opowo ω C l ± υ f l ± ± a I-3 M ω C l ± υ g l ± ± a IV-4 M Za opowaaą uo ozchoza sę fal wzglę aszgo ułau współzęych. Zauważay, ż pęość gupowa st ówa pęośc fazow, co węc pęośc t ogą być oślo pzz aosopow własośc yształu. Pzyuąc, ż M/a 3 ρ st gęstoścą,a C/a, st ouł spężystośc obętoścow, otzyay zaą zalżość a pęość fal austyczych w atal υ ρ IV-5 Sć ystalcza zawaąca óż atoy w oóc lta. Jśl z ay węzł sc zwąza są wa atoy oży wyobazć sob wa oza gań. W pwszy pzypau atoy w węźl pouszaą sę w ty say uu są w faz, w ug pzypau pouszaą sę w uach pzcwych. Pwsz ga os azwę gań austyczych fooy austycz o pwgo stopa st oo tożsa z popzo oówoy pzyła gań sc z y ato w węźl. Dug ga,gy atoy pouszaą sę w uach pzcwych os azwę gaa optyczgo 38

39 fooy optycz. W zalżośc o tgo czy atoy gaą w uu ozchoza sę fal, czy tż postopal o tgo uu ay o czya z gaa połuży lub popzczy. W su ay węc 4 oza gań, wa austycz TA- tasvs acoustcal LA-logtual acoustcal oaz wa optycz LO logtual optcal TO tasvs optcal. W zasaz aż z baz złożoych gań oż być ozpatywa ao suppozyca powyższych oów. W alszy cągu supy sę a oach połużych, a wszyst otzya zalżośc, co za ty z wos bęą słusz ówż la fal popzczych. ozważy uła wóch atoów o asach M M, zauących sę w oóc lta ys IV-6. A a ys. IV-3. Dgaa połuż sc z oóa wuatoową zawaącą ato A ato. Płaszczyzy pazyst opowaaą atoo A, pazyst atoo. Często zaast atoów ay o czya z oa p A oy oat, - u s- u s- u s u s u s u s3 oy u M M M M M M Poważ atoy oy typu A ogą óżć sę asą łau uch ażgo z ch pow być opsay y ówa uchu. Dla wyba pay A otzyay astępuący uła ówań: M us M C u s u s u s IV-6 t s C u s s t u u s u IV-7 Poob a la sc z y ato w oóc szuay ozwązań ówań uchu w postac fal płasch. Szuay ozwązań la atoów A, tach ż u s t ξ p{ [s a ω ]} IV-8 u s t 9 p{ [sa ω ]} IV- gz ξ są apltua wychylń atoów oów A. Wstawaąc IV-8 IV-9 o IV-6 IV- 7 otzyu sę astępuący uła ówań 39

40 C ω M ] ξ C{p[ a] p[ a]} IV- [ C ξ{p[ a] p[ a]} [C ω M ] IV- tóy posaa tywal ozwązaa gy za go wyzacz utwozoy z współczyów pzy ξ. Za wyzacza powaz o astępuącgo wyaża a częstość fooów: 4 s a ω ± C ± C [ ] IV-. M M M M M M Powyższ ówa otzyao wyozystuąc ówość p[ a] p[ a] cos a. ω ω _ opowaaą opowo gałęz fooów optyczych austyczych. Kzyw ysps la tych gałęz pzstawo są a ysuu IV-7 C M C M ysu IV-4 Dyspsa fooów. Na ysuu pzstawoo gałąź fooów optyczych austyczych Łatwo st zauważyć,ż zywa ysps st poycza z os a π, poęzy π π, co a a opowaa stał sc ów a. Koóa ltaa słaa sę z wóch atoów A Patz ys. IV-3. Moża oblczyć g fooów w poblżu śoa stfy lloua opowaa to ług falo. Załaaąc, ż st bls zu otzyay: 4

41 ω C IV-3 M M C ω _ a IV-4 M M Zauważyć oża, ż zywa ysps fooów austyczych IV-4 opowaa zyw IV- gy założy sę, ż atoy A aą ta sa asy. Moża oblczyć watość częstośc fooów a gacy stfy lloua. Jśl M > M π C ω a IV-5 M π C ω a IV-56 M Z pzbgu zywych ysps łatwo zauważyć, ż w ysztal z wuatoową oóą ltaą ogą stć gaa o częstoścach poęzy C. MC M Zasaa zachowaa pęu w ysztal. Kwatowa atua fooów powou, ż ogą być o tatowa ta a cząst atal. To sao otyczy fotoów. W szczgólośc pocsy tó zachozą ęzy fooa, fooa fotoa oaz fooa ltoa, ta a zza spężyst spężyst, pocsy ac ahlac cząst polgać uszą zasao zachowaa. Naważsz to zasaa zachowaa g, zasaa zachowaa pęu otu pęu. Supy sę a zasaz zachowaa pęu, tóa w poyczy ysztal bęz ała ą postać ż la cząst zupł swoboych. W y z popzch paagafów poazao, ż w ysztal ogą stć fooy o pęz węszy ż wto pytywy sc owot. Opowaa to ogaczu a ługość fal,tóa oż być ótsza ż powóa stała sc. Poazao ówż, ż poyczość sc owot pozwala zobazować uch fal o owoly wtoz falowy pzz os o pwsz stfy lloua. Ta zobazowa st y wya uogólo zasay zachowaa pęu la yształu. 4

42 Wyobaźy sob wa fooy o pęach, oba z pwsz stfy lloua, tóych sua st a węsza ż wto sc owot. Foo o wtoz falowy wypaowy, tóy powstałby po spężysty zzu tach wóch fooów ałby wto falowy 3 > G. Zgo z ty co powzao popzo wto 3, osoy o pwsz stfy lloua bęz ał watość 3 G IV-7 laca IV 4 st zasaą zachowaa pęu w ysztal. Zasaa ta zobazowaa st a ysuu IV-8 Z wzglęu a fat, ż zasaa zachowaa pęu w ysztal st ośloa z ołaoścą o owolgo wtoa sc owot, aby oóżć go o pęu lasycz cząst, ośla sę pę w ysztal, a psuopęu. ys IV-5 Zasaa zachowaa psuopęu, la pzyway zazaczoo pwszą y stfę lloua Wyła V. Wyba właścwośc ltyów Wyła otyczy zolatoów, czyl atałów, tó aą swoboych ośów pąu. Własośc, tó tu zostaą oówo wyaą z sta fooów. I. Właścwośc optycz ozważy wpływ fal ltoagtycz śwatła wzalgo bls poczw a yształ zolatoa. W atal ta a swoboych ośów pąu, bz sę węc po uwagę tylo ozaływa pola ltoagtyczgo z łaua oów sc ystalcz. Dla uposzcza załóży, poob a w popz wyłaz, ż ay o czya z yształ, w tóy oóę ltaą twozą wa oy A o łauach ± q. Falę ltoagtyczą oża opsać fucą:, ω p[ ωt ] V. 4

43 gz st atęż pola ltyczgo a ω częstoścą ołową fal. st wto falowy. st położ w ysztal. ys V. oy A są wychyla w pzcwych uach poważ aą pzcw łau A A a u s- u s- u s u s u s u s3 M M M M M M Poważ oy óżą sę łau pol ltycz bęz wychylać w pzcwych uach. May tu o czya z popzczy foo optyczy TO. Dla atoów A otzyay astępuąc ówaa uchu: us M C us us u s q t V- us M C us us u s q t V-3 Poob a la sc ystalcz bz pola ltyczgo szuay ozwązań ówań uchu oów w postac fal płasch ξ p{ [s a ω ]} V-4 u s t p{ [sa ω ]} V-5 u s t gz ξ są apltua wychylń oów A. Wstawaąc V-4 V-4 o V- V-3 otzyu sę astępuący uła ówań ω ξ V-6 [ C M ] C cos a q ξ ω V-7 C cos a [C M ] q 43

44 W ówaach tych wyozystao zalżość, ż a la tgo ou. ówaa V-6 V-7 aą astępuąc ozwązaa: q{c[ cos a] ω M } {C ω M C ω M 4C cos a} V-8 q{c[ cos a] ω M } ξ {C ω M C ω M 4C cos a} V-9 q {C[ cos a] ω M } M M M M ω ω ω ω TO TO ω ω ω ω TA q {C[ cos a] ω M } TA gz ω TO ω ω TA ω są częstośca popzczych foów optyczych zfoway pzz lacę IV-3. Poważ ługość fal śwatła la tysęcy Å st uża w poówau z poyczą oóą ltaą oży założyć, ż chaatyzuący ą wto falowy π st λ πa ały. Wówczas cosa bo << oaz ω. Po spłu tych wauów λ ówaa V-8 V-9 bęą ały postać q V- M ω ω TO q ξ V- M ω ω TO Moża wpowazć poęc polayzac, P, zfowa ao ot polowy pzypaaący a oóę ltaą. Dla asz oó bęz to: q P q ξ V- µ ω ω TO gz asa ftywa oów, µ, zfowaa st astępuąco: µ M M 44

45 q W aszych uposzczoych achuach oża pzyąć, ż wlość χ µ ω ω zalżą o częstotlwośc poatoścą ltyczą. Wpowaza sę poęc uc ltycz D TO st D π P P V-3 4 tó opowaa atężu pola ltyczgo wwątz yształu. W wzoz V-3 P st polayzacą oową aą wzo V-, P st polayzacą ltoową, wyaącą z pzsuęć łauów chuy ltoow ąa w poyczych atoach. ówaa V- V-3 pozwalaą a aalzę zalżośc stał ltycz ta a pawę to st fuca ltycza a co za ty z współczya załaaa o częstośc paaącgo poowaa. Dfuąc stałą fucę ltyczą ε ao D stosu uc o atęża pola ltyczgo, ε otzyay ε ε l 4πχ, gz ε l st stałą ltyczą wyaącą z polayzac poyczych oów, fc poatośc otzyay: 4πq ε ω ε l. v-4 µ ω ω TO P. Kozystaąc z Z ówaa V- 4 wać,ż gy częstość fal ltoagtycz oś to fuca ltycza ąży o ε ε l. ε l często azywa sę ą ltoową stałą ltyczą. Z ug stoy, gy ay o czya z stały pol ltyczy fuca 4πq ltycza osąga watość ε ε. ε azywa sę często całowtą stałą µω ltyczą. Zalżość V-4 pzstawoo a ysuu V- TO 45

46 ys V-. Fuca ltycza Łatwo zauważyć, ż fuca ltycza a watość uą la częstośc w pzzal ω < ω < TO ω, gz 4πq ω ωto / { } ω LO V-5 ε µ st częstoścą, pzy tó stała ltycza osąga watość zową. Moża owść, ż st to częstość połużych fooów optyczych. Z zalżośc V- 5 wya astępuąca laca poęzy stały ltyczy a częstośca opowch fooów: ε ε ω ω LO TO V-6 Moża apsać ówa óżczow opsuąc ozchoz sę fal ltoagtycz w ysztal ówa falow w postac: c D t, t t, ] [ V-6 gz c st pęoścą śwatła w póż. Postawaąc o ówaa V-6 za ucę ltyczą D D p{ [ ω t ]} za atęż pola ltyczgo 46

47 p{ [ ωt ]} oaz wyouąc óżczowa otzyay astępuącą zalżość yspsyą cz yl zalżość częstośc fal ltoagtycz o wtoa falowgo: c ω V-7 ε ω gz ε st fucą ltyczą aą wzo V-4. Wlość υ c c ε ω ω V-8 st pęoścą ozchoza sę fal ltoagtycz w ay ośou, zaś ω ε ω st fucą współczya załaaa śwatła ago ośoa. Zalżość współczya załaaa śwatła o częstośc fal ltoagtycz st opowzala za ozszczp śwatła w pyzac. Kozystaąc z lac V-8 oża wyazać, ż po pzścu og w ay ośou faza fal ulg pzsuęcu o ąt ω. W wyu czgo atęż fal c ltoagtycz po pzścu pz ośo bęz a pzz: p{ ω } p{ [ ωt ]} c V-9 Współczy załaaa st pwast z stał ltycz. Jśl fuca ltycza pzyowałaby watośc u współczy załaaa byłby uooy. W z czywstośc fuca ltycza st fucą cągła. Wać to y uwzglę sę ft tłua fal ltoagtycz pzz gaa sc ystalcz. Po uwzglęu tłua ówa V-4 pzyu postać fuc zspolo : 4πq ε ω ε l V-. µ ω ω γω TO w tóy γ st stałą tłua. Zspoloa fuca ltycza powou poaw sę uoo słaow fuc współczya załaaa. Załaaąc, ż otzyuy astępuąca postać ówaa V-9 p '' ω p{ ω ' } p{ [ ωt ]} V- c c 47

48 Pwszy czy w ówośc V- st opowzaly za tłu fal '' ω ltoagtycz absopcę fotoów. Wlość β często azywa sę c współczy absopc. fty t powou,ż fal ltoagtycz częstoścach poęzy ω TO ω LO ogą ozchozć sę w ysztal. W óżych yształach bęz to óży zas g. W patyc g fooów optyczych szczą sę a ogół w gacach o c -. Dla fal ltoagtyczych opowaa to falo o ługoścach 5 o 5. Jst to węc ala poczwń. Poęc polatou. Pobl ozchoza sę fal ltoagtycz w ysztal oża owócć. Zaast pytać a wpływa fala ltoagtycza a yształ oża zapytać a yształ wpływa a falę ltoagtyczą. Z ozważań popzgo paagafu wya, ż fala ltoagtycza śwatła wzalgo pobuza o gań oy yształu. Ozaływa tgo typu powaz o powstawaa w ysztal oów szaych bęących obacą gań chaczych ltoagtyczych. Sytuacę oża pzstawć posługuąc sę zalżośca yspsyy. Dla fotoów fal ltoagtyczych ozchozących sę w ysztal, w zalżośc o częstośc otzyu sę la wysoch częstośc : ω c V- ε la sch częstośc ω c ε V-3 gz ε ε są opow stały ltyczy a c st pęoścą śwatła w póż. Z ol zyw ysps la poszczgólych fooów a są pzz lacę IV-9. ozpatuąc tylo fooy optycz o ałych wtoach falowych z początu stfy lloua otzyay la połużych popzczych fooów stał, zalż o wtoa falowgo częstośc ω LO ω TO. Kzyw ysps la oów spężoych, fotoowo- fooowych pzstawo są a ysuu V-3. Moy ta azyway polatoa 48

49 ω ε c ω c ε ys. V-3 Zalżośc yspsy polatoów. Dla ałych watośc wtoa falowgo c / ωto << w ysztal z pęoścą v c / ε ola gałąź połuż fooy optycz góa gałąź. Dla c / ω > 6 obswuy popzcz fooy optycz fotoy pouszaąc sę z TO pęoścą v c / ε. Wać, ż a wspoao w popz paagaf, fotoy o częstoścach poęzy ω LO ω TO ogą stć. obswuy fotoy ozchoząc sę ft aaa : Iy pzyła ozaływaa fal ltoagtycz z fooa sc ystalcz st ft aa. ft t poawa sę gy foto ozaływuąc z fooa w sc ystalcz oa część swo g uąc foo lub pochłaa gę stącgo w ysztal foou. W zultac tach pocsów w w śwatła ozposzogo poawaą sę opócz fotoów o zo g fotoy o g sz węsz o gę ozaływuących z fooów. Istą wa ol wyaśaąc zawso 49

50 aaa ol lasyczy ol watowy. Obc pzstawy zosta ol lasyczy. Ja to ysutowao w popz paagaf paaąca fala ltoagtycza opsaa lacą V- powoować bęz polayzacę ośoa. Polayzaca oowa, P, opsaa st lacą V-. Dla bżących potzb pzstawy tę lacę astępuąco: P χ V-4 g z χ poatoścą ltyczą. W popz paagaf załaao, ż to właś fala ltoagtycza oż pobuzać gaa sc. Pzy ta założu, a to wyazao popzo poatość zlży o wychylń oów. ozważy a co sta sę, śl opócz fal ltoagtycz stą w ysztal zalż oscylac sc. Oscylac t popzz gaa oów wytwozą oatową polayzacę. ft t oża opsać załaaąc, ż poatość ltycza słaa sę z wóch częśc : słaow stał słaow uowa pzz stąc w ysztal gaa sc. Da to astępuącą lac: χ χ χ χ u cos ω fot χ u {p[ ω fot] p[ ω fot]} V-5 u u Załaaąc, ż atęż pola ltyczgo fal ltoagtycz st a pzz lacę p[ ω t] 6 otzyay astępuącą lacę a polayzacę P P χ -7 χ χ p[ ω t] u p[ ω ω fo t] u p[ ω ω u u fo t ]} Z lac V-7 wać,ż opócz fal o częstośc ω poawaą sę fal ltoagtycz ltycz o częstoścach ω ω ω ω, tóych atęża są wpost fo fo χ popocoal o pocho poatośc ltycz. u Mol watowy oż być zlustoway pzy poocy ysuu V-4 5

51 ys V-4 ft aaa ω fo - ω fo g Załaa sę,ż ozposz śwatła polga a go absopc o wtualgo stau wzbuzogo, ozaczogo ao astęp atychastow s o stau postawowgo. Poważ sa st atychastowa, zgo z zasaą ozaczoośc Hsbga ga stau oż być owola. Istąc w ysztal pol fooów oż powoować,ż uła bęąc w sta wzbuzoy zaabsobu lub wytu foo o g ω fo. Na sut tych pocsów zaz sę w sta ω fo lub - ω fo. Ostatcz powacaąc o stau postawowgo uła oż tować 3 óż fotoy o gach opowo ω fot, ω fot ω fo lub ω fot - ω fo. Pwsza ga st gą zoasową tzw. la aylgh a.foto o g sz a lę Stos a. Foto o g węsz ż a lę atystosowsą. ształu. 5

52 Wyła VI. Wyba właścwośc ltyów Własośc cpl Już a zupł ltay pozo wspoa sę, ż własośc tcz atału, ta a cpło właścw, pzwoctwo cpl czy ozszzalość tcza oślo są pzz gaa atoów ago cała. W szy paagaf zay sę baz szczgółową aalzą tych wlośc, a w szczgólośc cpła właścwgo w stał obętośc. Napawę to co oży zzyć w pzypau cała stałgo to cpło właścw w stały cśu C p. Nstty oży oblczyć bzpośo watośc cpła właścwgo pzy stały cśu. To co oża oszacować totycz to cpło właścw w stał obętośc. Wy a, ż cpło właś cw w stał obętośc cpło właścw w stały cśu powąza są lacą: V T pv C p Cv T VI- gz p st cś a V zaą obętośc po wpływ tpatuy. Zaąc watość cpła właścwgo w stał obętośc łatwo oblczyć watość cpła właścwgo w stały cśu. Jśl zauważy sę, ż p V / V, gz st ouł oształca obętoścowgo a V obętoścą pób, V V oaz V T 3V αt, gz α st współczy ozszzalośc low, otzyu sę astępuący wzó C C 9α V T p v VI- 5

53 Cpło właścw w stał obętośc fuy ao pochoą g wwętz cała w stał obętośc C v { } V VI-3 T W wzoz użyto pocho cząstow aby poślć, ż óżczuy tylo wzglę aw poawaąc sę tpatuy. Ja wać z wzou VI-3 pobl oblcza cpła właścwgo spowaza sę o oblcza g wwętz ułau. Ta z ol zalży o tgo z czgo zbuoway st ay atał. W ysztal ga cpla absobowaa st pzz gaa sc ystalcz oaz uch swoboych ośów pąu powzy ltoów. Jśl ay o czya z zolato yy cząsta absobuący gę tczą są fooy. Aby oblczyć gę całowtą ułau wystaczy węc oać gę wszystch stących w ysztal fooów. Poważ fooy aą cągł wo g suowa zastępu sę a ogół całowa Moża stosuowa łatwo uzasać, ż całowta ga aa st wzo: ω ω D ω ω, T ω ω VI-4 gz ω,ω alą asyala częstoścą fooów, ω, T st pawopoobństw, ż zosta wzbuzoy foo o częstośc ω, zaś Dω st gęstoś cą staów. W t sposób wlość D ω ω, T st lczbą fooów o częstośc ω g ω stących w ysztal. Z wzglęu a to, ż fo oy są bozoa pawopoobństwo, ż zosta wzbuzoy foo o g ω st zawsz a pzz ozła osgo sta ω, T ω, T VI-5 p ω / T gz st stałą oltzaa. Cały pobl oblcza g wwętz a węc cpła właścwgo spowaza sę węc o oblcza gęstośc staów a astęp wyoau całowaa. Z uwag a fat, ż ay a ogół o czya z wloa óży oa oa fooowy choćby LO, TO, TA, LA, z tóych aży wos osoby wła o 53

54 gęstośc staów, oblcza ta są post. Z tgo powou często ozważa sę sytuac olow, w tóych oou sę szgu stotych pzyblżń. Dwoa postawowy ola są ol sta ol Dby a Mol sta Załaa sę tu, ż ay o czya z ywualy, zalży oscylatoa haoczy, aży o ta sa g, ω. Mol t opowaa sytuac w tó aży ato w ysztal ga zalż. Mol t opsu ówż bazo obz fooy optycz, zaówo popzcz a połuż. Poważ wszyst oscylatoy aą taą saą gę gęstość staów bęz ówa zo poza tą gą 3N la t g, gz N st loścą atoów. Moża to zapsać astępuąco: D ω 3N δ ω ω VI-6 g z δ ω ω fucą lta Daca. Lczba 3 poawła sę z wzglęu a to, ż aży ato a 3 stop swoboy, wążą sę z węc 3 zalż oy gań. Wstawaąc VI-6 VI-5 o wzou VI-4 otzyuy 3Nω VI-7 p βω zaś cpło właścw wyos: βω p βω CV 3 [p βω ] N VI-8 W wzoach VI-7 VI-8 wyozystao zalżość β. T Aalza wzou VI-8 powaz o wosu, ż la wysoch tpatu, T >> ω, cpło właścw st stał wyos : 3N. Dla sch tpatu, T << ω, cpło właścw al o za zgo z zalżoścą C βω V N β VI-9 3 ω 54

55 Mol Dby a W olu ty załaa sę, ż wo gtycz fooów st w cągły, czyl ż w pwy zas g aża ga foou st ożlwa. ozważy a pzyła fooy austycz. Dla foów o ałych wtoach falowych ch pęość st stała ówa sę pęośc fal źwęow, υ, a wzo IV-. Powou astępuącą zalżość lową zalżość yspsyą : ω υ VI- W pzypau, gy ozważay al fooy laca yspsya st baz soplowaa ω ω a s a VI- [ patz tz laca IV-7], g z ω a st asyalą częstoścą a a st stałą sc. Aby oblczyć gęstość staów ozważy owyaową sć ystalczą. Fooy aą postać fal płasch. Wychyla poszczgólych węzłów sc a są pzz ówa IV-5. Tuta aalzować bęzy tylo zalżość o położa w ysztal. u u VI- ozważy al yształ o sończo ługośc. Jśl w ysztal stą stabl gaa sc to ługość fal tago gaa us ścć sę całowtą lość azy w ysztal. Jśl to fal ulgą bazo szybo wygaszu wsut tfc poęzy falą paaącą a falą obtą o awęz yształu. Kozystaąc z lac poęzy ługoścą fal a wto falowy π λ ozwolo są tylo ta watośc wtoa falowgo, ż oży powyższy wau zapsać astępuąco: π ±,,,..., VI-3 L gz L st oza yształu, st lczbą całowtą, w ty ówż z. Paętać pzy ty alży,ż bzwzglęa watość wtoa falowgo oż być węsza ż π / a gaca pwsz stfy lloua. Z wzou VI-3 wać,ż zalż o wlośc wto falowy pzyu tylo yst watośc, tó óżą sę ęzy sobą 55

56 π π ż o. Moża powzć, a sta wtoa pzypaa sca w pzstz a L owot. Dfu sę wlość, tóa st pęową gęstoścą staów ρ ao lość staów pzypaaących a pwą ostową obętość w pzstz pęów w owyaow pzstz bęz to ostowa ługość. W aszy pzypau L ρ π π L VI-4 gtyczą gęstość staów, czyl lość staów pzypaaącą a ostę g otzyay z lac: D ω ρ ω VI-5 Dwóa poawła sę poważ ay wa wtoy falow o t sa ługośc óżych zwotach, ±, tóy opowaa ta saa watość g częstośc fooów. Pochoą otzyuy z zalżośc yspsyych VI- lub VI-. ω Wyozystay tę postszą zalżość tz VI-. Otzyay wówczas ω oaz υ gtyczą gęstość staów D ω L πυ VI-6 Nalży w ty scu zauważyć, ż wszyst powyższ ozważaa aą ss tylo gy ay o czya z wtoa falowy z pwsz stfy lloua, czyl la szgo ż π / a a st stałą sc. Watość zwa częstoścą Dby'a ω ω a D. π opowaa gacz częstośc a Powóćy o oblcza całowt g fooów w ułaz. Wstawaąc zalżość VI-6 VI-5 o VI-4 otzyay ω D D L ω ω L ω ω πυ p βω πυ p βω ω VI-7 56

57 Doouąc postawń ω βω T D D ω T Θ T VI-8 gz ω D Θ st tpatuą Dby a, otzyu sę D D L T L ω D T T πυ p πυ Θ p VI-9 ostatą całę w ówau VI-9 alży lczyć uycz. Poważ zalży o tpatuy ówż watość cał st zalża o tpatuy. Stosuowo łatwo oża oszacować watość w pzypaach gaczych, bazo sch bazo wysoch tpatu. Tpatuy poówywać bęzy z tpatuą Dby a. Zauważy, ż ga foou o częstośc ów częstośc Dby a wyos a ogół ooło 5 - J a stałą oltzaa.38-3 J g - Tpatua Dby a st węc acz są tpatua wyoszącą węc ż 5 K. Ta węc gaca sch tpatu to tpatuy poyczych lwów, zaś tpatua pooowa alży z pwoścą o tpatu wysoch Aby otzyać ot wy załaay la wysoch tpatu T >> Θ, ż, cała D D Θ D D VI- p T Zaś ga aa bęz wzo : L ω D πυ T L T a N T VI- W wzoz ty wyozystao fcę częstośc Dby a oaz fat, ż lość oów w ysztal N st popocoala o L/a. Wzó VI- poazu, ż w owyaowy 57

58 ysztal la wysoch tpatuach ga ułau st popocoala o tpatuy. Ozacza to, ż cpło właścw w wysoch tpatuach st stał : C v N VI- Ja paętay ta sa wos otzyao w pzypau olu sta. Tuta poawł sę czy 3 poważ w owyaowy ysztal ożlwy st tylo oza gań. Dla sch tpatu Θ >> T watość D ąży o sończoośc. Wówczas ówość VI-9 pzyu postać. T N T VI-3 Θ p Cała w wzoz VI-3 st sończoa a sę polczyć wyos. π 6 Z wzou VI-3 wya, ż cpło właścw st la sch tpatu popocoal o tpatuy. C 3 N T π v VI-4 Θ Aby oblczyć cpło właścw w owol tpatuz wygo st powócć o wzou VI-6. Wówczas C v st pzz lacę ω ω D D L ω ω L ω p βω ω C v T πυ β ω πυ T VI-4a p [p βω ] Kozystaąc poow z lac VI-8 fc częstośc Dby a otzyay D Θ T C v N VI-4b Wy t, w szczgólośc zalżość cpła właścwgo o tpatuy la sch tpatu st zgoy z ośwacz. W alych tówyaowych yształach cpło właścw w sch tpatuach st wpost popocoal o tzc potęg 58

59 tpatuy. Otzyaa tu zalżość wya z uposzczogo olu owyaowgo yształu. Wyła VI. cąg alszy Tówyaowy ol Dby a ozważy szśca o bou L, w tóy powstaą fooy opsa pzz falę płasą : u p{ } VI-5 Zauważy, ż w oóżu o wzou VI- ay tu o czya z loczy salay wtoów. y y z z VI-6 ys VI- z L Wau a to aby fooy ulgały wygaszu, czyl wau wzoca fal paaąc obt pow być spłoy ówoczś w uu, y z. Zgo z ty ożlw są astępuąc watośc poszczgólych słaowych wtoa falowgo. π L π y y VI-7 L π z z L gz, y z są lczba całowty. Z zalżośc VI-6 wya, ż obętość w pzstz pęów pzypaaąca a sta ośloy pzz tóę lczb,, wyos zawsz 3 π L. Stą gęstość staów w pzstz pęów st ówa y z 3 L ρ VI-8 π 59

60 gtycza gęstość staów w olu tówyaowy aa st pzz wzó bazo pooby o VI-5. V D ω ρ VI-9 ω W wzoz VI-9 zaast ay wlość V, tóa opowaa ał obętośc w pzstz pęów, wwątz tó watość wtoa falowgo st stała. Jżl założyy, ż częstość fooów zalży o bzwzglę watośc obętość V st obętoścą powło ulst o poach wwętzy - zwętzy. Schatycz sytuaca pzstawoa st as ysuu VI- ys VI- pzó powło ulst w pzstz V 4π Wwątz powło watość bzwzglęa wtoa falowgo za sę w zas o o. Zauważaąc, ż V 4 π oaz ż ω ω ω ω υ z ówaa VI-9 otzyay a astępuąc wyaż gtyczą gęstość staów fooowych. 4 L D ω π υ π 3 L π 3 ω υ π 4 3 VI-3 Postawaąc o wzou VI-4 za D ω watość aą wzo VI-3 otzyay 3 ω D 4 L ω ω ω π 3 π pω / T υ VI-3 Kozystaąc ta a popzo z postawa VI-8 otzyu sę : 6

61 3 3 p π υ D T L π VI-3 Moża oblczyć całowtą lczbę staów la ago ou gań, N. Wyos oa υ π ω ω π π υ ω ω D N D s VI-33 Spozwać sę alży,ż lczba staów powa być ówa potoo lczb atoów w ysztal N N 3. ówość VI-33 pozwala 4 ω ω ω L L D D a wyaż całowt g ułau w posób astępuący : s s Θ D T T N VI-34 oża oblczy ło właścw Aalogcz a w pzypau owyaowy ć cp D D T T L T T L T C v ω ω ω ω ω ω ω π υ π ω ω ω ω π π υ ] / [p / p 4 / p 4 VI-35 lub po wyozyst 8 VI-3 D 4 3 au lac VI- 4 Θ v T N 9 C VI-36 Poob a la owyaowgo olu Dby a oży aalzować pzypa acz wyso s tpatuy. uąco g Dla tpatu wysoch Θ >> T laca VI-36 a sę zapsać astęp v N T N T N C D Θ Θ D 3 VI-37 Wać, ż w poówau z owyaowy ol tzyot wzosło cpło właścw. Jst to zwąza z fat, z w tówyaow pzstz aży ato a 3 6

62 stop swoboy. Watość ta st całowc zgoa z otzyaą pzy aalogczych założach watoścą cpła właścwgo w olu sta. W pzypau sch tpatu, T << Θ. Pzy oblczau cpła właścwgo wygo st wówczas posłużyć sę lacą VI-34, tóa pzyu postać: D 3 3 T 9N T VI-38 Θ Cała w ówau VI-38 a sę polczyć wyos 4 π 5 óżczuąc wzglę tpatuy ówa VI-38 otzyu sę, wobc powyższgo C v 4 π 5 3 T N T Θ VI-39 Zalżość, w tó cpło właścw w sch tpatuach st popocoal o tzc potęg tpatuy st zgoa a ośwacz la wszystch cał stałych, tó są zolatoa. Wysy pzstawaąc zalżość cpła właścwgo o tpatuy oblczo pzy poocy tzch wyż wspoaych ol pzstawo są a ysuu V-5 C v 6

63 ys VI-3 Cpło właścw w fuc az zaawasowa ol tpatuy. Dla Nalży uwzglęć wszyst gałęz fooów optyczych olu austyczych sta stąc w zywa cągła, ysztal oaz fat,ż yspsa w poszczgólych gałęzach zalży o uu wtoa olu Dby a pęu. W ta sytuac ówość VI-9 bęz ała w azyw ż gałęz pzywa; ą postać. Ogóla yształ postać zalżośc poęzy opow gęstośca staów w aż gałęz bęz owyaowy astępuąca: ót pzwy yształ S D ω ρ VI-4 ga ω gz S st lt powzch postopały o wtoa Nalży tu zauważyć, ż gęsto ść staów w pzstz pęów wtoa falowgo bęz zawsz taa saa wyos L π w pzstz wyaow. 63

64 Fooow pzwoctwo cpl W całach stałych ga cpla pzoszoa st głów pzz swobo ltoy. W wyu tgo ob pzwo ltyczośc są a ogół oby pzwoa cpła. N zaczy to a, ż zolatoy pzwozą cpła w ogól. Ny yształy pzwoząc ltyczośc bywaą oby, a awt bazo oby pzwoa cpła. Ta oby pzwo cpła a oczś bazo słabo pzwozący ltyczość atał st yształ atu. To sao otyczy yształów wacu szafu. W wszystch tych pzypaach pzwoctwo cpl w sch tpatuach st lpsz ż pzwoctwo cpl z. Cząsta, tó są opowzal z pzosz g cpl w zolatoach są fooy. Zawso pzwoza cpła st zaws ówowagowy, to zaczy ż obywać sę oż tylo pzy zastu gatu tpatuy w póbc. Zawso taspotu g cpl opsu sę ówa: Q gat VI-4 t Q gz st gęstoścą stua g cpl ga pzchoząca pzz ostę t powzch w ostc czasu, st współczy pzwoctwa cplgo lub po postu pzwoctw cply. Dla uposzcza oży ozważyć yształ o stały pzou, w tóy tpatua za sę wzłuż os. Wzó VI-4 pzy wówczas postać: T Q / t VI-4 ozważy obszay A olgł o olgłość υ τ, gz υ st śą pęoścą pęoścą gupową fooów w uu a τ st ś czas życa foou, czyl os poęzy zza ago foou z y foo lub ft sc ystalcz. υ τ st węc śą ogą swoboą foou. ozważy taz tylo tę część g, tóa st pzoszoa pzz fooy o częstośc ω, tz q. Wlość q st t 64

65 óżcą g fooów, tó pzszły w ostc czasu A o o o A pzz powzchę S ozgaczaącą t obszay. Patz ysu VI-4 ys. VI-4 A T T T N- N--N S N υ τ τ υ gę tą oża oblc zyć z astępuącgo wzou q / t υ τ ω t { [ N N ]} VI-43 gz N N- są gęstośca fooów lość fooów w ostc obętośc w obszaach A. zy po uwagę tylo fooy z obszaów blższych powzch S ż śa oga swoboa, czyl tylo t, tó po powstau ac ulgły zzo. Fooy, tó powstały w alsz olgłośc o powzch S ż śa oga swoboa ogą bać uzału w taspoc g cpl poważ ocaą o powzch S. Wyozystuąc astępuąc zalżośc N N N T [ N N ],, υ T t otzyay q t N T N ω υ τ ω υ τ gat VI-44 T T Lczba fooów o częstośc ω aa st pzz lacę N N ω D ω ω, T gz D st gęstoścą staów a st pawopoobństw obsaza stau lczoy z ozłau osgo -sta, ay pzz wzó V-3. ω, T VI-45 p ω / T 65

66 W clu oblcza całowt g alży posuować g wszystch stących fooów. Zaast suowaa oży wyoać całowa po częstośc fooów, wówczas Q t ω D ω q D ω, T ω υ ω τ ω ω D ω ω gat VI-46 t T gz całowa obywa sę o za o częstośc Dby a, śl użyy tgo olu o opsu fooów. Aby otzyać wzó VI-46 założoo, ż gęstość staów fooowych zalży o tpatuy. Założ to st słusz zaówo la olu Dby a a sta. Jśl wyoay óżczowa po tpatuz wó VI-46 pzy postać: Q t ω D ω p ω / T T [pω / T ] D υ τ ω ω pω / T T [pω / T ] υ ω τ ω D ω ω gat D ω ω gat VI-47 Ostatą ówość otzyao załaaąc,ż pęość fooów ch śa oga swoboa zalży o ch częstośc. Z wzou VI-47 wać, ż pzwoość cpla oż być wyażoa wzo ω D υ τ ω pω / T D ω T 3 [p ω / T ] cząst, υ, zut a ay u, ω υ 3 υ y υ z υ. VI-48 Aby otzyać powyższy wzó wyozystao zaą z statysty zalżość poęzy śą pęoścą Pzypoy sob wyaż a cpło właścw C T v T ω D ω D D ω ω, T ω, ω p βω ω D ω [p βω ] ω D D ω T ω, T ω VI-49 Poówuąc lac VI-48 VI-49 otzyay astępuącą lacę wążącą cpło właścw z pzwoctw cply. C υ τ 3 v VI-5 66

67 . Wzó VI-5 st pawzwy, gy oży założyć ż pęość gupowa fooów oaz ch śa oga swoboa zalży o tpatuy. W tach wauach wszyst wos otycząc zalżośc pzwoctwa cplgo o tpatuy cpła właścwgo o tpatuy są ta sa Istot ożbżośc poawą sę w wysoch tpatuach z wzglęu a tpatuową zalżość pocsów opowzalych za ozpa fooów pocsy zzow. O to właś oślaą watość śgo czasu życa ś og swobo foou w ysztal. Pośó ch bazo tsuąc są tzw. pocsy ulapp azwa pochoz o cgo tu zawać woół. Pocsy t otyczą zzń poęzy fooa o watoścach pęów w poblżu gacy pwsz stfy lloua. Zasaa zachowaa pęu aa st wówczas wzo IV-7 : 3 G. Z pzstawogo poż ysuu wać, ż wypaowy pę foou, tóy powstał pzz zz wóch fooów pwotych st soway pzcw ż pęy słaow. Gy ozważa sę taspot cpła w ysztal pocsy ulapp powouą poaw sę pw słaow powotgo taspotu g zachozącgo o ższ o wyższ tpatuy. Poważ w wyższych tpatuach fooy austycz aą węszy pę ft t w bazo stoty sposób zsza watość pzwoctwa cplgo w wysoch tpatuach. ys VI-5 Zasaa zachowaa psuopęu, w pocsach ulapp. La pzyway zazaczoo pwszą stfę lloua 3 Wyła VII. Gaz ltoów Fgo. 67

68 W ozzal ty zaować sę bęzy swoboy ltoa stący w całach stałych. ęą to a ogół tal. Do opsu własośc ltoów w talu posłużyy sę posty ol w tóy załaa sę co astępu:. ltoy ogą sę swobo pouszać wwątz pób. ltoy ogą opuścć talu. 3. ltoy ozaływaą poęzy sobą W t sytuac uch ażgo ltou oża ozpatywać zalż o pozostałych. Zaga aalzować bęzy używaąc cha watow. W ty foalz ozwolo g poyczgo ltou oaz opowaaąc fuc falow oża otzyać ozwązuąc zalż o czasu ówa Schöga [ V ] VII- gz st fucą falową, V gą potcalą ltou, opa to g tycz ltou, st watoścą własą g. Zgo z aszy początowy założ a oży pzyąć,ż potcał V st ówy zo wwątz talu oaz sończoo ść a zwątz. Dla uposza ozważań oża pzyąć, ż ay o czya z szśca o bou L. Wówczas st, V la, y, z L, poza ty VII- Poważ ltoy ogą stć a zwątz talu ówa VII- a ss tylo wwątz talu gz pzyu astępuącą postać: VII-3 68

69 Opato y z. Wać, ż ówa VII-3 a ozwąza w postac fal płas 3 / p[ ] L VII-4 gz stały czy pz spot wya z wauu oalzac fuc falow : 3 VII-5 Po postawu fuc VII-4 o ówaa VII-3 wyoau óżczowaa otzyuy astępuącą zalżość g o wtoa falowgo: y y z z VII-6 gz,, są opow słaowy wtoa falowgo. Wato pzypoć w y z ty scu zwąz poęzy wto falowy a pę cząst p VII-7 Wstawaąc go o wzou VII-6 otzyuy lasyczą zaą z lasycz cha zalżość g tycz cząst swobo o pęu. p VII-8 Pzstaw g tycz cząst w postac zalżośc o wtoa falowgo laca VII-6 lub o pęu laca VII-8 st zacz baz uwsal ż pzstaw w fuc pęośc υ. Po pwsz ay tu o czya z woa wlośca fzyczy, wobc tóych obowązuą zasay zachowaa a zaś zasay zachowaa pęośc. Po ug pzstaw w fuc wtoa falowgo oż być użyt w olt fo zaówo la cząst posaaących asę a la cząst o zow lub blż oślo as fotoy, fooy. W astępych wyłaach zosta poaza, ż oś pąu w ysztal ogą ć stał asy. Powóćy o ozwązań ówaa VII-3. Z fatu, ż ltoy ogą stć poza yształ wya, ż fuca falowa us zać a bzgu yształu poza yształ. Spowaza sę to o wauu, y, z la,y z ówych L. Fuca w postac VII-4 spła t wau śl 69

70 π L π y y L π z z L gz, y, z VII-9 lczba całowty a L st bo aszgo szścau. W pzypau o wyaowy fuc falow lu aższych staów pzstawo są a ysuu VII- ys VI-.Fuc falow tzch staów o aższ g L May tu o pwgo stopa sytuacę aalogczą a w pzypau fooów. Wya to z tach saych wauów watyzac ałożoych a ltoową fucę falową a w pzypau fooów zostały ałożo a falę chaczą. Duga aaloga otyczy ształtu potcału. Łatwo zauważyć, ż la gazu ltoów swoboych w talu otzyuy yst watośc g, tó są tycz a t otzya la cząst zauąc sę w tówyaow stu potcału o sończ wysoch ścaach. óżca polga a ty, ż stua potcału ała zazwycza ał ozay, co powoowało ż óżc g poęzy poszczgóly staa były stosuowo uż. Obc zaś ay o czya z uży ozaa yształu co powou, ż stay gtycz lżą bazo blso sb. Stay a ta potcal aalzu sę co acz ż stay cząst w stu potcału. Zaast oblczać poszczgól g wygo sę zapytać l staów gtyczych zau sę w pzzal g poęzy gą. Wlość tą azyway gtyczą gęstoścą staów. Spotalśy sę uż z ą pzy oaz aalzy cpła właścwgo fooów. 7

71 Wacaąc o aalog z fooa. Poob a w taty pzypau zaast ozważać sończoy yształ oża oślć stay włas ułau załaaąc poyczość fuc falow z os L. Wówczas wau poyczośc : L, y L, z L, y, z VII- powaz o astępuących wauów oślaących ozwolo watośc wtoa falowgo : y z π L π L π L y z VII- Itsuąc st to, ż wau VII-9 VII- są sob ówoważ. Wya to z fatu,ż zawsz oży wybać owolą watość bou L aszgo postawowgo szścau. W alszy cągu bęzy sę posługwal wau VII-. Wać, ż zalż o π watośc wtoa falowgo sta pzypaa a obętość w pzstz pęów. L Wobc powyższgo gęstość staów w pzstz pęów st ówa V L ρ π 3 3 VII- Aby oblczyć gtyczą gęstość staów postępuy poob a w pzypau gęstośc staów fooowych. Opow ówa bęz ało taz postać: V V D ρ V Itycz a w pzypau fooów V st obętoścą w pzstz pęów, w tó ga ty az ltou a stałą watość. Zauważay, ż poważ zalżość g o wtoa falowgo ośloa st wzo VII-6 ga bęz stałą a powzch ul. Itycz a w pzypau fooów V 4π. VII-4 Postawaąc VII-4 o VII-3 otzyuy D ρ 4π VII-5 Z lac yspsy VII-6 otzyuy stą VII-3 7

72 L 4π D π 3 VII-6 Kozystaąc al z zalżośc VII-6 otzyay ostatcz: 3 5 / 3 / L D π 3 π / VII-7. W oóżu o fooów ltoy, ao cząst posaaąc sp połówowy są foa. Ozacza to, ż stosu sę o ch zaaz Paulgo oaz polgaą statystyc Fgo Daca. Z zaazu Paulgo wya, ż w y sta ogą zaować sę co awyż wa ltoy óżąc sę sp a sp ówy a ug. Ozacza to, ż śl w talu zau sę wl ltoów to zaować o bęą ol stay gtycz o coaz wyższ g. W tpatuz K awyższy obsazoy sta a gę ówa g Fgo. Statystya Fgo. Pawopoobństwo, ż lto zau sę w sta o g a st wzo: f, T VII-8. p{ µ / T} ga µ zwaa st potcał chczy st zfowaa ao ga stau, tógo pawopoobństwo obsaza st ów.5. ga ta zalży o tp atuy. W tpatuz K ga potcału chczgo st z fc ówa g pozou Fgo. To powou, ż często zaast potcału chczgo używay tu g Fgo F. Ta zfowaa ga Fgo bęz zalżała o tpatuy. Wys fuc Fgo pzstawoy st a ysuu VII- 7

73 f T, F, µ ga a Fg.VI- a fuca ozłau Fgo, La cągła opowaa tpatuz K, zyw pzywa opowaaą F tpatuo.. 5 b fuca obsaza staów tówyaowgo gazu Fgo la F tpatuy K.5. Na ysuu zazaczoo ówż gęstość staów. Wać, ż potcał chczy la tpatuy wyższ ż K a watość szą ż F µ, F W zow tpatuz Fuca VII-8 a postać schoową: la f F VII-9 la > F b Spóbuy oblczyć gę Fgo potcał chczy la talu, w tóy w ostc obętośc zau sę N ltoów. Moża to zobć ozystaąc z ówośc : N F 3 7 / 3 / F D 3 3 L π π 3 π π 3 / 3 3 / 3 3 / F / VII- W wzoz VII- oatowy czy poawł sę z wzglęu a to, ż w y sta zauą sę wa ltoy. Z wzou VII- wya astępuący wzó a gę Fgo 73

74 π VII- / 3 F 3 N K F [ ] / 3 Wlość 3π N os azwę wtoa Fgo. K F Potcał chczy µ oż być oblczoy z ówośc : F D D p{ µ / T} VII- Dla sch tpatu ówa to a pzyblżo ozwąza w postac π µ F T l[ D ] II-a 6 V F Zwóćy az szcz uwagę a oswc fatu, ż ltoy są foa. Wya z tgo,ż awt w tpatuz K gaz ltoów swoboych posaa ośloą gę. Moża zapytać ago ozau st to ga a są oswc fatu, ż st oa ówa g stau postawowgo. Po pwsz zauważy, ż stao o wyższ g opowaa węszy wto falowy. W tpatuz za bzwzglęgo obsazo są wszyst stay lżąc wwątz ul o pou - wtoa Fgo. Czasa azywa sę to ulą Fgo. Wto falowy fuc falow ltou st zwązay z pęoścą fazową fal ltou, υ faz fal ltou, wyosυ K F. Pęość poyczgo ltou st pęoścą gupową g ysztal lczoa wzglę a pasa. Poo, ż ga poyczgo ltou w pzwoctwa st gą tyczą ga ltou w gaz ltoowy, wyaąca z sta zaazu Paulgo, a chaat g potcal. Dlatgo ówy o potcal Fgo potcal chczy. 74

75 Potcał Fgo oż być wyzaczoy śl zaa st paca wyśca ltoów z talu. Sytuaca pzstawoa st a ysuu. VII-3. ys VII- 3 schat pas gtyczych w talu. Stay obsazo pzz ltoy zazaczoo pzz cowa. ga F φ pozo Paso gtycz częścowo zapło paso całowc zapło Matał póża Paca wyśca φ oślaa st ao óżca g poęzy gą ltou a zwątz atału w póż a gą Fgo. Zacz potcału Fgo wać śl zty z sobą wa atały o óż watośc g Fgo. ltoy zauąc sę w atal o wyższy pozo Fgo aą węszą gę potcalą ż ltoy w atal o ższ g Fgo. Ztc obu atałów powou węc uch ltoów, tóy usta opo po wyówau sę pozoów Fgo w obu atałach. Ky to astąp ltycz oboęt pz ztęc atały ulgą po ztęcu polayzac. Matał, z tógo oszły ltoy bęz ał łau oat, a atał o tógo pzęły ltoy bęz ał łau uy. Sytuaca pzstawoa st a ysuu VII-4. Ta pzpływ ltoów ążących o wyówaa potcałów chczych opowzaly st za powsta apęca otatowgo oaz zawsa toltyczgo w talach, a taż lowych ftów w złączach półpzwoowych. 75

76 ys VII-4 Pozo Fgo w złączy wóch tal. Gubą stzałą ozaczoo u pzpływu ltoów. Z ysuu wać, ż waża st ga Fgo lczoa wzglę pozou póż. Pozo póż ga FI FII Pozo Fgo po Ztęcu atałów Matał I Matał II Cpło właścw ltoów ltoow cpło właścw fuy w t sa sposób a cpło właścw zwąza z st fooów. Ta a w pzypau fooów obowązu laca: C v U VII-3 T Gz U st całowtą gą wwętzą ułau, tóą lczy sę suuąc g wszystch ltoów swoboych stących w talu. Poob a la fooów całowtą gę otzyu sę z wzou: U T D f, T VII_4. gz D st gęstoścą staów, f, fucą ozłau Fgo, gą ltou. W clu uposzcza oblczń wyozystu sę astępuącą zalżość : 76

77 C U T D f, T D µ f, T v T T VII-5 T Wzó powyższy st pawzwy poważ lość ltoów zalży o tpatuy. Stą: N D f, T, D f, T D f, T N VII-6 T T T Jżl ay stosuowo są tpatuę to pochoa fuc Fgo st óża o za w wl zas g w poblżu g Fgo. Wówczas całowa w wzoz f VII-5 oża zacz upoścć pzyuąc, ż w obszaz gz ay o T czya z stałą gęstoścą staów. Załaaąc, ż v D F µ D D ostay F C f, T VII-7 T Kozystaąc al z wzou VII-9 otzyuy C v T D F µ p{ µ / T} [p{ µ / T} ] VII-8 Całowa w wzoz VII-8 oż być wyoa po zaa zych. Wpowazaąc ową zą µ / T otzyuy C v T D F p T D F [p ] p ] µ / T [p VII-9 Całę w wzoz VII-9 oża polczyć p [p ] π 3. Stą ostatcz C π v T D F VII-3 3 Jśl sozystay z zalżośc g Fgo o lośc ltoów N otzyay 77

78 C v π N T F π N T T F VII-3 Wpowazoo tu poęc tpatuy Fgo, F T F. Z wzglęu a fat, ż w talu ga Fgo st zacza tpatua Fgo st wyos la tysęcy Klwów. To powou,ż pzyblżoy wzó VII-3 st słuszy ówż w tpatuach zblżoych o tpatuy pooow. Moży obc ooać poówaa watośc ltoowgo fooowgo cpła właścwgo la talu. Pzypoy w ty clu wzó a fooow cpło właścw w wysoch tpatuach V-47 C 3N v a VII-3 gz N a st ów lośc atoów w ostc obętośc. W wzoz VII-3 N było ów gęstośc ltoów swoboych. Poważ w talach ay a ogół lto swoboy pzypaaący a ato sc lczby t są ta sa. Pozostał własośc są stały lczbowy. Wać, ż pooow tpatuz ou fooow cpło właścw. Iacz oż być w tpatuach wysoch, gz ob wlośc aą poówywal watośc. Pzwoctwo ltycz tal Mol Du go Aby otzyać zalżość pąu płyącgo pzz pzwo o pzyłożogo apęca ozważy atał, w tóy ay N swoboych ośów pąu w ostc obętośc. Załóży al,ż ltoy zzaą sę z sobą oaz z fooa fta sc, oaz ż ś czas poęzy woa zza wyos τ. Po wpływ zwętzgo pola ltyczgo o atężu ε ltoy ulgaą pzyspszu w czas poęzy oly zza uzysu ą oatową pęość w uu pola υ, zwaą pęoścą uosza. Opow ówa uchu ltoów pzyu postać u υu ε VII-33 τ 78

79 gz st łau a asą ltou. Zgo z zaą fcą gęstość pąu a sę oblczyć z wzou: Nτ Nυu ε Nµε VII-34 gz wlość τ µ azywaa st uchlwoścą ltoów. Ostatcz otzyu sę astępuący wzó a pzwoctwo ltycz talu : τ σ N Nµ VII-35 ε Jśl wź sę po uwagę watowy ol gazu ltoów swoboych to zauważyy o azu, ż wszyst ltoy ogą bać uzał w pzwoctw. W szczgólośc o pzwoctwa ogą pzyczyać sę ltoy zauąc sę w staach o gach szych ż ga Fgo. Fatycz w pzwoctw boą uzał tylo ltoy o g ów g Fgo, tylo o bow ogą zć swoą gę pzchoząc o wyższych obsazoych staów gtyczych. ltoy o gach szych ż ga Fgo ulgaą pzyspszu po wpływ zwętzgo pola ltyczgo poważ stay o wyższych gach, o tóych powy pzść po uzysau oatow pęośc uosza są uż obsazo. Wyawałoby sę, ż N w wzoach VII-33 VII-35 st całowtą loścą ltoów a tylo loścą ltoów aących gę Fgo. Z ug a stoy, a zosta poaza w astępy paagaf, watowy ol gazu ltoów swoboych Fgo a taą saą zalżość pzwoctwa o gęstośc ltoów w talu a lasyczy ol Du go. Kwatowy ol pzwoctwa ltyczgo Aby otzyać opow wyaż a pzwoctwo ltoow w olu watowy ozważy pzwo o stały pzou S, pzstawoy a ysuu VII-5 ε N- S N- -N N 79

80 υ τ τ υ Gęstość pąu bęz ówa lośc ltoów pzchozących pzz powzch S. Poob a w pzypau taspotu cpła lość ta bęz ówa óżcy poęzy loścą ltoów pzchozących w ostc czasu z lw a pawą paw a lwą. ozważy ltoy aąc pę. Pzyczy o gęstośc pąu pochozący o tych ltoów bęz ówy ; f υ τ [ N N ]/ t υ τ 3 4π t VII-36 w wzoz VII-36 wyozystao fat, ż lczba ltoów o pęz st aa pzz loczy gęstośc staów f w pzstz pęów fuc ozłau Fgo : N ρ f υ 3 3 / st L 8π pęoścą ltou w uu Z zasay zachowaa pęu otzyuy f f otzyuy: f t f υ ε f υ τ VII π ε, zaś zwąz yspsyy la ltoów a a. Wstawaąc obyw t zalżośc o wzou VII-35 Aby otzyać całowtą gęstość pąu alży ooać suowaa po wszystch ltoach aących owol pęy. Spowaza sę to o całowaa po wszystch ożlwych pęach: ε 3 3 υ 3 τ VII-38 4π f Całowa obywa sę po obętośc w pzstz pęów. Moży wybać wygoą la as obętość, w tó ga ltoów a watość stał 3 V falowych całowa po g oaz ozystaąc z fatu, ż bzwzglęą watoścą pęośc ltou ot zy uy 4π. Zastępuąc al całowa po wtoach, gz υ / υ, gz st ε π υ 3 f τ υ VII-39 8

81 Dla sch tpatu, gy >> F T oża sozystać z pzyblżogo wzou f δ F, VII-4 gz δ st fucą lta Daca. Otzyuy wówczas ε π 3 υ F F τ F υ F VII-4 Kozystaąc al z astępuących zalżośc 3 F 3π N, otzyuy ε τ F N VII-4 F F υ υ 3 Ostatcz otzyuy astępuący wzó oślaący pzwoctwo tal τ F σ N VII-43 ε oaz uchlwość ltoów τ F µ VII-44 Gac zastosowaa olu gazu ltoów swoboych. Poówuąc ol gazu Fgo z aly ltoa w talu zauważay, ż głów uposzcz to polga a zabau potcału ystalczgo. Ja waoo oswcą sta poyczgo potcału ystalczgo st st w pzstz p ęów stutuy poycz zwa scą owotą. Jśl ozważa sę yaę cząst poawa sę oczość uwzglęa sta pwsz stfy lloua fatu, ż oż stć cząsta, tó fala at a wto falowy węszy ż poń t stfy. Koctuąc sę a ltoach w talu, wzy ż śl wto Fgo st ały w poówau ozaa stfy lloua to st gacy stfy wpływa w ża sposób a yaę ltoów, śl zaś wto Fgo st poów ywaly lub węszy o poa stfy wówczas toa gazu ltoów Fgo oż być pawzwa. Nalży wówczas uwzglęć st stutuy poycz yształu Pzypoy, wto Fgo st ay pzz: / 3 K F [3π ] VII-45 V gz st loścą ltoów walcyych w talu a V go obętoścą. Załaaąc, ż ay lto a ato ato a ą oóę 8

82 ltaą, oaz ż stała sc ówa sę a otzyay: K / 3 F [3π ] V a. Poń pwsz stfy lloua st w ty pzypa u ówy G π. Ja wać ob t wlośc a są poówywal. 3 a Wyła VIII. Pasa gtycz. Aby otzyać stutuę ltoową yształu oży posłużyć sę woa ola: ol ltoów sl zloalzowaych ol casgo wązaa ol ltoów paw swoboych. W olu casgo wązaa w tzw. zowy pzyblżu załaay, ż ay ltoy zauąc sę w staach atoowych, ośloych pzz potcał poyczgo ou atou zaś ft yształu poawa sę ao zabuz pochoząc o pozostałych oów atoów sc ystalcz. lto st węc pz wszyst lto zwązay z oty ato, a go uch st oatowo zabuzoy pzz pozostał atoy sc. W olu paw swoboych ltoów w zowy pzyblżu załaa sę, ż ltoy w ysztal są ltoa swoboy, zwązay z żay oty ato, zaś poyczy potcał oów wszystch oż być tatoway ao zabuz. lto st węc pz wszyst lto swoboy, tógo uch st zabuzoy pzz atoy sc. Jśl ozważa sę baz zaawasowa ws obu ol pzpowaza w ch aach oblcza to otzyu sę lpsz wy gy używa sę olu casgo wązaa o opsu ltoów w zach atoowych atoów sc. Ja, śl tsuy sę ltoa walcyy, opowzaly za wązaa ystalcz własośc ltycz yształów to co lpsz wy otzyu sę stosuąc ol słabgo wązaa. Ogól tuo st a pzstawć ozacz y a ol bęz popaw opsywał zczywstość. Fat, ż otzyu sę ta sa lub paw ta sa wy stosuąc óż ol, ż w obu pzypaach całowc popaw opsuy zczywstość st y z baz tsuących pzyłaów zastosowaa to pzyblżoych o opsu zaws fzyczych. W aszy pzypau ta pozoa spzczość a stosuowo post wyaś. Kyształ staow la ltoów walcyych śoowso, tó st czyś poś poęzy ato a póżą z wzglęu a osłab 8

83 ozaływaa atou aczystgo pzz pozostał atoy sc. N zaąc ścsłych ozwązań usy posługwać sę toa pzyblżoy, boąc za put wyśca za a ułay ato lub go ba. W guc zczy st oboęt czy o wyu, tóy st stutua pasowa ochozy o stoy sl zloalzowaych ltoów, zszaąc potcał atou aczystgo a ozyść pozostałych atoów, czy o stoy swoboych ltoów wpowazaąc zwęszaąc stopowo potcał sc. W obu pzypaach wy pow być w pzyblżu ta sa. W tac tgo wyłau zosta pzstawoy ol paw swoboych ltoów. Wpowaźy potcał ystalczy, tóy st ay pzz fucę V, poyczą z os sc, tz. spłaącą w au V V, gz st owoly wto taslac. gę ltou otzyuy ozwązuąc astępuąc, zalż o czasu ówa Schoga: { V }, VIII- W pzypau tgo ówaa sozystalśy z wyu otzyago uż la ltoów swoboych a aowc z fatu, ż ga ltou st fucą wtoa falowgo. Jśl potcał ystalczy st zbyt sly ga ltou w ysztal ówż powa zalżć o wtoa falowgo. Ta a to sę a ogół zaza w ty pzypau potafy zalźć ścsłych ozwązań ówaa VIII-. Ist co a laaśc pzyblżoych to ozwązywaa ówaa VIII-. W wszystch pzypaach postawowy zaga st właścwy wybó ogól postac fuc falow, bęąc go ozwąza. Wya sę oczywst,ż poważ potcał yształu st zczy wzglę taslac sc post, tę saą cchą powa sę chaatyzować aża a wlość fzycza, w szczgólośc gęstość ltoów, lub acz gęstość pawopoobństwa zalza ltou wwątz yształu, aa pzz. Powyższ stwz st y z ożlwych sfoułowań tzw. twza locha. I sfoułowa tgo twza ów, ż ozwązaa ówaa Schőga z potcał poyczy aą postać fal płasch oulowaych pzz fuc poycz z os sc ystalcz. Zgo z ty pzyu sę astępuącą postać ozwązań ówaa VIII-: h p[ ] VIII- 83

84 gz h st fucą poyczą z os sc post, czyl spłaącą wau zczośc wzglę taslac sc; : h h. Fuca VIII- azywaa st często fuca locha. Pzyła fuc locha zau sę a ysuu VIII-. położa atoów ys.viii- Kostuca fuc locha. Olgłość st w ostach stałych sc Fuca poycza h Obwa p Fuca locha 84

85 Łatwo zauważyć, ż fuca taa bęz ówż zcza z wzglęu a pzształca taslac w sc owot pzsuęc o wto G G h p[ G ] h p[ ] p[ G] h p[ ] VIII-3 Sozystao tu z fatu, ż G π, gz st owolą lczbą całowtą. Jśl wto zosta pzstawoy pzy poocy su y ρ, gz ρ st położ wwątz oó lta patz ys VIII- to fucę locha VIII- a sę pzstawć astępuąco: hρ p[ ρ] p[ ρ] p[ ] u p[ ] VIII-4 gz fuca, u u ρ hρ p[ ρ], poważ zalży tylo o ρ, st z fc zcza z wzglęu a opacę taslac. Wzó VIII-4 st aczęstszy pzstaw fuc locha. ysu VIII- Pzstaw położa sc ystalcz, waata zazaczoo poszczgól oó lta ρ azo pouczaąc st ozpoczęc aalzy ltoow stutuy pasow o gaczgo pzypau gy potcał ystalczy st ówy lub bls zu. Dla zowgo potcału sc zalżość g ltoów swoboych o pęu lub o wtoa falowgo aa st pzz zalżość, VIII-5 Dołącz bazo ałgo poyczgo potcału sc, powo w stoty sposób zć watośc g, za a w sposób aoścowy typ ozwązań. Pz wszyst poaw sę potcału zczgo z wzglęu a taslacę sc post 85

86 powou oczość zczośc ozwązań ówaa Schőga, z wzglęu a taslac sc owot. ozważy pzyła owyaow sc o stał a. Potcał ystalczy V π us spłać wau V V a. Stała sc owot st ówa g. Nawt w a gacy V wszyst wlośc fzycz zalż o wtoa falowgo uszą spłać wau θ θ g. Dotyczy to ówż g. Ta węc g patz ys. VIII-3. 86

87 ys. VII-3. Zalżość g o wtoa falowgo la pzypau V. Wto falowy wyażoy st w π ostach g a ówa Schőga la aszgo owyaowgo yształu bęz ało postać: [ V ] VIII-6 Łatwo zauważyć, ż aża fuca w postac p[ g ], gz st owolą lczbą całowtą st ozwąza tgo ówaa. Opowaaąca watość własa g st aa pzz wzó: g g VIII-7 Opow wys pzstawaący zalżość g o wtoa falowgo zau sę a ysuu VIII-3. Na ysuu ty pzstawoo watośc włas g la ±, ±. Łatwo zauważyć, ż fuca typu VIII-7 pztu watośc włas ówaa VIII-6 la V la owolych g. Jst to oczywst bow stały potcał V st zczy wzglę owol tasfoac. Powóćy o zywych ysps czyl zalżośc g o wtoa falowgo,. Moży ozważać gę ltou w ułaz stfy ozwęt co opowaa cągł l a ysuu VIII-3. Tę saą foacę o g uzysay gy aalzuy yspsę w 87

88 ułaz stfy zuowa. Opowaa to aalz zywych ysps zauących w pwsz stf lloua. Wzy, ż w pwsz stf st oślo ozacz, watośc wtoa falowgo opowaaą w watośc g. Poawły sę pasa gtycz. Zalżość yspsya w aższy paś st aa pzz fucę, gz wto falowy spła wau g < < g. ga ltoów w wyższych pasa aa st pzz ± g la wtoa spłaącgo wau g < < g. Powyższ ozważaa otyczyły szczgólgo pzypau tzw. pust sc ały a clu poaza a twozą sę pasa gtycz. Obc zay sę pzypa baz aly, gz potcał ystalczy st óży o za. Pozostańy aal pzy owyaowy ysztal. Jśl potcał V st poyczy z os sc post to w go ozwęcu w szg Foua występować bęą tylo fal o wtoach falowych G ówych wlootośc stał sc owot G ±g V U G G G VIII-8 gz U G są współczya ozwęca. W apostsz postac wystaczy wząć tylo π wto G g. Potcał bęz ał wówczas postać osusoy a g V U cos g U { g g g } VIII-9 Wać,ż część zczywsta a postać osusoy o os stał sc post. W alszy cągu ozystać bęzy z potcału wyażogo pzz fucę zspoloą g V U [ g g ] ówa Schőga bęz ało postać g U [ g g ] VIII- Fuca locha bęąca ozwąza powyższgo ówaa aa st pzz lacę u. Poycza fuca a sę ozwąć w szg Foua. Co u węc, śl potcał ystalczy st ay pzz VIII-9 to pzy ozwęcu fuc 88

89 u oży uwzglęć tylo w słaow opowaaąc wtoo sc owot g Ostatcz węc ay astępuącą postać fuc locha : g g C C u VIII- Postaway fucę VIII- o ówaa VIII- wyouy óżczowa ; } ]{ [ g g g g C U g C C Aby oblczyć watośc w o. } { g g g C C g C g o { U U po { VIII-4 Otzyuy wa ozwązaa -. Wysy zalżośc g o wtoa falowgo w obu pzypaach pzstawo są a ysuu VIII-4. VIII- łas g żyy lwosto powyższ ówa pzz az p g zz wyouy całowa po. Kozystaąc z astępuąc ówośc ' ' δ tzyu sę astępuący uła ówań: } { g C g C } g C U C g g VIII-3 ła t a tywal ozwązaa śl za go wyzacz. Ostat wau zwal a oblcz wato a śc własych g: } }{ U g g plu 4 ]} [ { ] [ U g g g ± ± 89

90 ys VII-4 Stutua pasowa. Wto falowy pzstawoy st w ostach g g U g Łatwo zauważyć,ż gy zblża sę o g U g g ga pzyu opowo watośc g U g. Poawa sę węc pzwa gtycza, lub acz ówąc paso g wzboo o szoośc U g. W zczywstych yształach potcał ystalczy oż być pzyblżoy pzz poyczą susoę, aal a oży ozwąć go w szg Foua: G V U G VIII-5 użyć fuc locha w postac aalogczgo ozwęca : G G G G C VIII-6 W zultac aby otzyać watośc włas g usy agoalzować uła ówań, 9 ys.vii-5. Stutua pasowa S G. Na ysuu ay pasa o aższ g. Nalży zwócć uwagę, ż oata ua oś ocętych

91 tóy a wya ówy lośc wzętych po uwagę w ozwęcu VIII-5 VIII-6 wtoów sc owot. Kształt pas gtyczych bęz baz soploway ż popzo. Wy oblczń stutuy pasow la yształów zu gau pzstawo są a ysuu VIII-5. Pzstawoo tu aższ pasa gtycz. Poo zaczych uposzczń wl spośó własośc cała stałgo oża wytłuaczyć posługuąc sę olową stutuą pzstawoą a ysuu VIII-4. May tu o czya z woa pasa gtyczy. To o ższ g zwa st pas walcyy, to o wyższ g pas pzwoctwa. Ist poęzy obszau g wzboo pzwy gtycz cyu w zasaczy sposób o wlu właścwoścach, w szczgólośc o pzwoctw atału. ltoy ao foy zauą olo stay gtycz, o stau o aższ g o stau o g Fgo. Jśl ltoów walcyych st tyl sao l st staów w paś walcyy, wówczas paso walcy zosta całowc zapło a paso pzwoctwa st pust. Co sta sę, śl o tago atału pzyłożyy zwętz apęc. ozpatzy ltoy z pasa walcygo. Doatowy uch tych ltoów w uu pola powoowałby wzost ch pęośc, a co za ty z wzost g. N st to a ożlw bow poa pas walcyy ba st wolych staów gtyczych. Z ol paso pzwoctwa st całowc pust. W zultac pzyłożo pol wywoła uchu ltoów. Matał ta bęz pzwozł pąu. Ta z sę w bazo sch tpatuach. W wyższych tpatuach ltoy z pasa walcygo ogą być wzbuza o pasa pzwoctwa gz zachowywać sę bęą a ltoy swobo bęą ogły pzyczyać sę o pzwoctwa. 9

92 Zalż o watośc pzwy gtycz ay o czya z zolato lub półpzwo. Jśl g >> T, w tpatuz pooow, wówczas awt w wysoch tpatuach wzbuzaa bęz zoa lość ltoów atał bęz zolato. Jśl T wówczas ay o czya z półpzwo. W g patyc własośc półpzwoow aą atały o pzw gtycz sz ż 3 V. Cchą chaatystyczą półpzwoów st to,ż ch opó ltyczy al pocal z tpatuą. Pzwoctwo typu talczgo poawa sę gy paso walcy st lub paso pzwoctwa st częścowo zapło pzz ltoy. Sytuaca obazowaa st a ysuu VIII-6. ys VIII-6 Pzyłay stutu pasow. Stay obsazo są zacowa. a zolato półpzwo, b tal powstały w wyu ałaaa sę pas, c tal. 9

93 93 [ { ] [ g ± ± 4 ]} U g g VIII-4 93 ys VII-4 Stutua pasowa. Wto falowy pzstawoy st w ostach g

94 yształów zu gau pzstawo są a ysuu VIII-5. Pzstawoo tu aższ pasa gtycz. Poo zaczych uposzczń wl spośó własośc cała stałgo oża g Ug ys.vii-5. Stutua pasowa S G. Na ysuu ay pasa o aższ g. Nalży zwócć uwagę, ż oata ua oś ocętych pztuą óż u ystalogafcz Każa zywa opowaa pasu gtyczu. Oba półpzwo są półpzwoa o pzw soś, tz. u pasa pzwoctwa zau sę w wytłuaczyć posługuąc sę częścowo zapło pzz ltoy. y puc Sytuaca pwsz obazowaa stfy lloua ż asu st a ysuu VIII-6. pasa walcygo. 94

95 Wyła IX. Półpzwo saost Ja uż wspoao półpzwoa azyway atały yształy, tóych paso walcy st całowc zapło pzz ltoy a paso pzwoctwa zupł pust. Matały ta pzwozą pą tylo po wau, ż upzo wpowazo zostały o ch ltoy lub zuy. Półpzwo saosty azyway atał półpzwoowy zawaący ftów sc ystalcz a osz ych pwastów ogących wpływać a własośc ltycz atału. W zasaz półpzwo saosty pow być aly yształ. Z wzglęu a a st wlch lośc osz ych pwastów, tóych stęża oża otolować w pocs otzyywaa półpzwoów oaz st atualych ftów sc ystalcz patycz gy ay o czya z al czysty atał półpzwoowy. N a w wlu pzypaach, śl ozważa sę własośc ltycz atału st ślaowych osz oaz atualych ftów sc st o zabaa. Dlatgo pzyęto uważać,ż ay o czya z półpzwo saosty o l by ł o tcoal oszoway. Poęc asy ftyw ozważy oła ształt pas gtyczych otzyaych w pzyblżu paw swoboych ltoów ys. IX-. ys. IX-. Pasa gtycz. La pzyway zazaczoo pzyblżoą paabolczą zalżość g o wtoa falowgo. 95

96 Pzypoy, ż zalżość g o wtoa falowgo aa st pzz wzó VIII-4. W półpzwou ol paso paso walcy st całowc zapło pzz lto y a gó paso pzwoctwa zupł pust. ozważy poyczy lto wzbuzoy z pasa walcygo o pasa pzwoctwa. Aby aalzować pzwoctwo ltycz atału alży oła opsać tyę ltou w pas pzwoctwa tyę pozostałych ltoów w pas walcyy. Soctuy sę a początu a lto w pas pzwoctwa pozostawaąc a uboczu spawę pustgo sca w pas walcyy. Do t poy twzlśy ość gatycz, ż poyczy lto w pas bęz lto swoboy. az pcyzyy ops otzyay aalzuąc go yspsę czyl zalżość g o wtoa falowgo. W sch oalych tpatuach lto bęz zaował sę w staach w poblżu u pasa. Zauważay, ż w aszy pzyłaz st to ogólą gułą u g pasa pzwoctwa opowaa wtoow falowu ówu g/, czyl zau sę a gacy pwsz stfy lloua. W ty say scu zau sę wzchoł pasa walcygo. Na ags tzba tu oać, ż sposób wybou pwsz stfy lloua st ozaczy. Na ogół wyba sę ą ao oóę Wga Stza. W aszy pzypau us oa a ozcągać sę poęzy g g owot poęzy g, lub g bęz ow ą ówoważą, pwszą stfą lloua. Obsza poęzy g pzstawoy st a ysuu IX-. Obsza t bęz spłał wszyst wau syt wyaga o pwsz stfy lloua. Wpowaźy wto falowy. Jśl wybzy obsza pzsuęty w pawo lub lwo o połowę wtoa sc owot g, to owy obsza w pzstz g q. Po opow postawu ówość VIII-4 a sę pzstawć ao zalżość g o wtoa falowgo q. Dla pasa pzwoctwa otzyuy: q g g U g q 4 q U g g g q 4U g IX- 96

97 gz st asą swobogo ltou. Pooba zalżość obowązu w oly pas pas walcyy q g g U g q 4 q U g g g q 4U g IX- Zauważy, ż zaówo w pas pzwoctwa, w poblżu a pasa, a w pas walcyy, w poblżu wzchoła pasa, ga st w pzyblżu waatową fuca wtoa falowgo q. Z ug stoy w pzypau cząst swobo zalżość g o wtoa falowgo a sę pzstawć w postac : q q. Kozystaąc z t zalżośc z lac IX- IX- oża wpowazć wlość, tóą azyway asą ftywą ośów w paś, zfowaą ao stosu asy ośa pąu w pas o asy swobogo ltou. W aszy pzypau bęz to ± U ± g g IX-3 Za opowaa opowo pasu pzwoctwa walcyu. W alych tówyaowych yształach yspsa ltoów oż być óża w óżych uach ystalogafczych w ogólośc ay,czyl ga st fucą wtoa falowgo a go bzwzglę watośc. Opowaa to sytuac, w tó watość asy ftyw asy ltou w pas zalżć bęz o uu, w tóy pousza sę lto. ft t opsyway st pzz tso owotośc asy ftyw. Słaow tgo tsoa lczy sę z wzou: q IX-4 q q g z wsaź opowaaą uo, y, z. Zalżość yspsya w ta pas aa st pzz lacę : 97

98 q q q IX-5 gz wto q zfoway st ao qk-, a K st wto położa u pasa pzwoctwa w pwsz stf lloua. W pzypau tówyaowych yształów potafy zobazować zalżośc IX- 5. Pw pzyblż ogól sytuac otzyu sę, gy aalzu sę pzypa wuwyaowy. Załóży, ż ay tso owotośc asy ftyw o astępuących słaowych oaz. y y yy Opow wys zalżośc yspsy la tgo pzypau, IX-. q q y q pzstawoy st a ysuu yy 98

99 ys IX- Z wzou IX-3 wya, ż w aszy owyaowy pzyłaz asa ftywa ltou st sza o asy ltou swobogo. W alych yształach z, ga, GaAs asy ftyw wyoszą o.. asy swobogo ltou. Poęc zuy. ozważy az szcz sytuacę aa powsta po wzbuzu ltou z pasa walcygo o pasa pzwoctwa. W paś walcyy pozosta pusty obsazoy pzz lto sta, tógo ga zalży o wtoa falowgo wzbuzogo ltou tgo, tógo uż ta a. Zalżość ta opsywaa st wzo IX-. Ta paso z poyczy pusty sta azyway zuą. Pzz zuę ozu sę wc pust sc po lto w całowc zapłoy pas gtyczy. Ist pła aaloga poęzy yaą ltoów w paś pzwoctwa a yaą zu w paś walcyy. Wystaczy tatować ba ltou, czyl zuę a cząstę o łauu oat u as ów 99

100 U g g IX-6 Wato a paętać, ż zua st alą cząstą tylo pwy użytczy sposob opsu paw całowc zapłogo pasa gtyczgo ta apawę w paś walcyy obywa sę uch ltoów. Aby sob to uzysłowć ozważy sytuacę a wa sposoby. Pwszy otyczy al pzstz. Wygo st posłużyć sę tu ol casgo wązaa, w tóy ltoy są pzypoząowa poszczgóly atoo. a ltou w paś walcyy opowaać bęz zawsz baow ltou w poblżu tógoś z atoów. Zwętz pol ltycz powou,ż a aży lto bęz załała sła F ε. W zultac tgo lto z atou sąsauącgo z zuą oż sę pzsuąć zauąc sc. Oczywst, ż pozostaw po sob zuę, tóa astęp oż być zaęta pzz oly lto. Cał to zaz wygląa ta aby to zua pouszała sę po wpływ sły F ε Patz ysu IX-3 ε ys IX-3 uchu zuy w pzyblżu casgo wązaa. Dzuę ba ltou Pzstaw ozważy taz uch zuy w pzstz pęów. Z wzou IX-6 wać, ż asa ftywa zuy st ua. Stą zuy aąc węszy pę pzsuwaą sę w głąb pasa walcygo. Wya sę, ż st to ówoważ sytuac y ga tycza zuy bęz ua. T ostat wos z ol st spzczy z ogólą zasaą, ż ga tycza alych ułaów powa być zawsz oata. Na ysuu IX-4. pzstawoa st zalżość g o wtoa falowgo w poblżu wzchoła pasa walcygo. Lta A-K zazaczoo stay gtycz, tó ogą być obsaza pzz ltoy. Jśl ba st go ltou w paś to bz pzyłożogo zwętzgo pola ltyczgo obsazoy pozosta tylo sta o awyższ g. sta ozaczoy ltą F, patz ysu IX-4 a. Po włączu pola ltyczgo o atężu ε a wszyst ltoy, zauąc sę w staach A,,C,D,

101 H,I,J,K zacz załać sła F ε. Wsut załaa t sły po czas t aży lto uzysa oatowy p ę p gz zaa wtoa falowgo aa st wzo ε t. W zultac tych za obsaz staów w pas zosta zo. lto z stau K pzz o stau J, lto z stau J pzz o stau I,t. Wać, ż taz obsazoy pozosta sta. Sytuaca pzstawoa st a ysuu IX-4 b. Suuąc zay g wszystch ltoów zauważyy, ż wsut załaa pola ltyczgo cały uła uzysał oatową g ówą [ ], gz h h h asą zuy ga ta st oczywśc oata. Jśl pol bęz załało pzz oly os czasu ówy t astąp ola zaa obsazń staów sta obsazoy bęz sta D ysu IX-4 c. Nastąp oly wzost g ułau ltoów, tóa taz bęz ała watość wzglę ty ta oltywy uch ltoów, w uu pzcwy o pola ltyczgo oż być osoal opsay pzz uch poycz zuy w uu pola, o tyl ua ga zuy st w zczywstośc o atą gą tyczą całgo ułau., h [ ]. Wać, ż o l po

102 ys. IX-4 Ktya zuy w pas walcyy ε ε Dzuy ft Halla Itsuący pzyczy o ysus a tat czy właścw st zua st aalza ftu Halla. Zaa zau apęca Halla w zalżośc o tgo czy ośa pąu są ltoy czy zuy owoz o sta oatch ośów pąu. Pzypoy poótc apostszą toę zawsa Halla. ozważay atał w tóy pły pą ltyczy. Załaay, la uposzcza, ż pły o w uu. Jśl postopal o uu pzpływu pąu powzy w uu y załać bęz pol agtycz o atężu H y patz ys. IX-5 to pouszaąc sę w ysztal łau, zalż o ch zau, ochyla bęą w uu z. Sła, tóa st opowzala za uch łauów w uu z st słą Lotza aą wzo F z q υ H c y IX-7 gz c st pęoścą śwatła w póżε. Doatow pzsuęc pouszaących sę ośów pąu po wpływ zwętzgo pola agtyczgo powou goaz

103 sę łauów z stoy atału. Poawa sę pol ltycz, ε z, tógo ozaływa bęz ówoważyło słę Lotza IX-7. W wauach ówowag sła ltycza st ówa sl agtycz, stą otzyuy: ε F q c z z q υ H y IX-8 Pęość w uu st pęoścą uosza ośów. Wyozystuąc ol Du go VII-33 oży uzalżć ą o zwętzgo pola ltyczgo wywołuącgo pzpływ pąu, ε qτε υ IX-9 W wzoz IX-9 τ ś czas poęzy woa zza ośów. Postawaąc IX-9 o IX-8 otzyuy : qτε ε z H y IX- c Kozystaąc astęp z fatu, ż ε, gz st gęstoścą pąu a uchlwość qµ qτ ośów aa st wzo µ, otzyu sę astępuącą zalżość poęzy atęż pola Halla, ε z, a pol agtyczy H z, τ ε z µc H y qc H y IX- W powyższych wzoach st gęstoścą ośów pąu. Stała występuąca w wzoz IX-, H st oa τ os azwę stał Halla. Poważ zalży oa o łauu ośów qc µ c oata la zu ua la ltoów. Opowaa to pzcwy polayzaco atału zalż o tgo czy ośa pąu są zuy czy ltoy. _ F z F z H z ε Fg IX-5. Po wpływ pola ltyczgo ε ltoy zuy pouszaą sę w pzcwych uach. To powou, ż pol agtycz H ochylać bęz y w tę saą stoę. Dlatgo polayzaca atału pol ltycz Halla, ε z bęz ało w p ypau u ltoów 3

104 υ lto υ zua 4

105 Wzbuz ośów pąu. Cchą chaatystyczą wszystch atałów półpzwoowych st to, ż śl są oszowa to w tpatuz K wszyst stay w pas walcyy są zaęt pzz ltoy, zaś wszyst stay w pas pzwoctwa są pust. Wya stą, ż w pzypau bau wzbuza ltoów półpzwo są a ogół oby zolatoa. Z ug stoy awt wl wzbuz, polgaąc a ac swoboych ltoów w pas pzwoctwa zu w pas walcyy powou wzost ch pzwoctwa o la zęów wlośc. Właścwość ta st wyozystywaa w szgu uzązach półpzwoowych. Wspoć alży o wóch postawowych czyach wpływaących a obsaz staów w półpzwoach. Pwszy z ch st tpatua, ug poowa ltoagtycz. W wauach ówowag toyacz tcza gaca ośów pąu st wy zalżośc fuc ozłau Fgo o tpatuy. Pocs t zosta oówoy baz szczgółowo w astępy paagaf. Obc soctuy sę a aalz pocsu optyczgo wzbuza pa ltozua. W wyu absopc fotou lto pzchoz o wyższgo stau gtyczgo, w patyc a ogół pzsoy zosta o pasa pzwoctwa, pozostawaąc po sob zuę w paś walcyy. Zawso to os azwę zawsa fotoltyczgo wwętzgo opsywa st pzz uła ówań wyaących z zasa zachowaa g pęu. q qh Ω g IX- h q q f h IX-3 W wzoach IX- IX-3 Ω st częstoścą fotou a f go wto falowy. Zasaa zachowaa pęu ówa IX-3 zasługu a szczgólą uwagę. Wto falowy fotou tógo watość bzwzglęa ówa f Ω la śwatła wzalgo lub bls c poczw st bazo ały w poówau z wto sc owot. Wobc powyższgo wau IX-3 powou, ż wtoy q q óżą sę bazo wl. Z h 5

106 ug stoy a powy lżć w poblżu putów w pzstz owot q q h opowaaący u pasa walcygo wzchołow pasa pzwoctwa. Wau t st łatwo spłoy gy u pasa pzwoctwa zau sę w ty say scu w pwsz stf lloua co wzchoł pasa walcygo patz ysu IX-6a. Półpzwo ta azyway półpzwo o pzw post. Postą pzwę gtyczą posaa wl atałów półpzwoowych. Męzy y postą pzwę a as galu GaAs oaz sacz p. ZS, tllu p. CT sl p. ZS. Wl atałów posaa a baz soplowaą stutuę gtyczą, gz u pasa pzwoctwa wzchoł pasa walcygo poywaą sę. Ta atały to ęzy y z ga, tóych pasa gtycz pzstawo s ą a ysuu VIII-5. Do spła zasay zachowaa pęu oczy st uzał foou optyczgo, tóy posaaąc stosuowo wlą gę oż być schaatyzoway pzz użą watość pęu. Zasay zachowaa opsywa bęą taz pzz ówaa q q ω IX-4 h Ω g h q q K IX-5 f h fo Gz ω st częstoścą foou a K fo go wto falowy. Mówy,ż półpzwo tgo typu aą pzwę sośą. Zasaa w pocs absopc fotou st pzstawoa a ysuu IX-6b. a ys IX. 6 Absopca w półpzwoua o pzw post, b o pzw soś. Watośc wtoa falowgo fotou oaz wtoów falowych ltou zuy są zo w poówau z wto K oaz wto falowy foou latgo oża poąć. 6

107 Paso pzwoctwa ω Ω q q h g Ω ω K fot K g Ω Paso walcy b Fat, ż w atałach o pzw soś absopca sa fotou wyaga oatowo uzału foou optyczgo powou, ż pocsy t są zacz pawopoob ż absopca sa w atałach o pzw post. Zawso gac pa lto -zua pzz fotoy zawso fotoltycz wwętz wyozystywa st w fotoopoach. az zaawasowa uząza wyozystuąc wwętzy ft fotoltyczy to fotooy fototazystoy. Półpzwo saosty w ówowaz toyacz pawo załaa as. Ta a w pzypau talu w półpzwou pawopoobństwo,ż ay sta st obsazoy pzz lto opsywa st pzz fucę ozłau Fgo. 7

108 f p µ T IX-6 gz µ st potcał chczy, tóy w fzyc półpzwoów azyway st pozo Fgo. Ntuo pzwzć,ż poważ w zow tpatuz paso walcy st całowc zapło a paso pzwoctwa zupł pust, pozo Fgo pow zaować sę w pzw gtycz. Pozo Fgo Fg IX-7 ozła gęstośc staów D -zyw pzywa gęstośc obsaza, Df- zyw cągł, w półpzwou saosty. Powyż pzstawoa st Fuca Fgo Zaąc gęstośc staów w pas walcyy pas pzwoctwa oża oblczyć lość ltoów zu w atal. h g D f D f h g h IX_7 IX-8 Pawopoobństwo poawa sę zuy w pas walcyy, f h, st ów pawopoobństwu, ż ay sta st pusty wyos 8

109 p p T T f f h µ µ IX-9 Dla typowych półpzwoów pzwa gtycza wyos la V. Wobc tgo Fgo lży wystaczaąco głęboo w pzw gtycz aby, la tpatu o watoścach w gacach tpatuy pooow ższych, spłoa była laca T >> ga µ. Powaz to astępuących pzyblżoych ówośc: T f µ p IX- T f h µ p IX- Postawaąc IX- IX- opowo o wzoów IX-7 IX-8 otzyuy D D T T T g T g g µ µ IX- D T h T h µ IX-3 Możąc stoa ówaa IX- IX-3 otzyay D D T h T T h g IX-4 auważay, ż loczy gęstośc ltoów zu zalży o szoośc pzwy W półpzwou saosty lość ltoów w pas pzwoctwa us być ówa lośc ltoów w p lżośc wzoy IX- IX-3 pozwala a oblcz g Fgo. laca Z gtycz, tpatuy gęstośc staów w pasach, zalży zaś o położa pozou Fgo. h as walcyy. Wyozysta za D T T h g µ D T T IX -5 powaz o astępuąc zalżośc : 9

110 µ g Dh T l D T T IX-6 Wzy, ż w sch tpatuach, w półpzwoach saostych pozo Fgo zau sę w pzyblżu w połow pzwy gtycz. Oblcza cał z gęstośc staów w pzypau zczywstych półpzwoów st spawą ość soplowaą. Na ogół ay bow o czya z loa pasa pzwoctwa loa pasa walcyy. Patz ys. VIII-5. Jaowosz w wlu pzypaach, szczgól w sch tpatuach oży uwzglęć tylo o aższ paso pzwoctwa o awyższ paso walcy. W pzyblża asy ftyw oża pzyąć,ż w pasach ay o czya z gaz Fgo ltoów zu, gz poszczgól oś pąu aą opow asy h Pzy ta założu gęstośc staów w pasach ówaą sę opowo aby wypowazć poższ wzoy patz wypowaz lac VII-7 h. 3 / D π / IX-7 3 / h / Dh IX-8 π W pzypau ltoów g lczy sę o a pasa pzwoctwa w uu oatch g, w pzypau zu o wzchoła pasa walcygo w uu uych g. Dlatgo tż la zu bzy bzwzglęą watość g. Po postawu lac IX-7 IX-8 o ówośc IX- IX-3 otzyuy. h T π T π h 3 / µ T 3 / µ T g IX-9 IX-3 Jśl ozysta sę z pzyblża asy ftyw ówż lac IX-4 IX-6 ulgą zaczu uposzczu bęą ały postać:

111 h 4 π 3 T 3 / h g T IX-3 h µ g T l IX-3 ówa IX- 3 os azwę pawa załaa as. Pozwala oo a otzya zalżośc octac ośów o tpatuy, w półpzwou saosty h π 3 / T 3 / 4 h g T IX-33 Wać,ż octaca ośów w pas za sę spocal z tpatuą. Na oc wato zauważyć, ż pawo załaa as ówa IX-5 lub w pzyblżo postac ówa IX-3 st zupł ogól latgo st słusz ówż w pzypau półpzwoów oszowych. Zalżość pzwoctwa ltyczgo o tpatuy. Kozystaąc z olu Du go oży zalźć polczyć watość pzwoctwa właścwgo półpzwoów. 4 T σ [ qµ qhhµ h ] qµ qhµ h 3 / h IX-34 π W wzoz IX-34 pzz q ozaczoo łau s - la ltou, h- la zuy, 3 / g T µ µ są uchlwośca zu ltoów. uchlwość fu sę ao stosu pęośc h pzsuęca w polu ltyczy o atęża tgo pola. Powa ć węc watość oatą w pzypau zu uą w pzypau ltoów. Zalżość zau uchlwośc ozau ośów uwzglęao pzy wypowazu stał Halla. ówż wzó IX-34 st popawy śl uwzglę sę za uchlwośc łauów ośów. Na ogół a pzy poawau watośc lczbowych zabu sę za pzyu sę ż uchlwość zu ltoów a watośc oat.

112 Z wzou IX-34 wać, ż pzwoctwo saost sl oś z tpatuą. Zalżość pzwoctwa o tpatuy la olowgo półpzwoa o pzw gtycz ów V ówych asach ftywych ltoów zu została pzstawoa a ysuu IX-8. Watośc pzwoctwa zostały zoalzowa o watośc w pzwoctwa w tpatuz 3K. Wać,ż w zas o /T. o 5K /T. watość pzwoctwa typowgo półpzwoa za sę o lazsąt zęów wlośc. Zaę pzwoctwa wywołaą pzz tcz wzbuz pa lto -zua wyozystu sę w tstoach toopoach o ctaca os o w / pzwoctwo /3 K ys. IX-8. Zalżość pzwoctwa półpzwoa saostgo o owotośc tpatuy. Na wys zazaczoo tpatuę pooową /T /K Pocsy obac ośów, scytoy. Wyobaźy sob półpzwo saosty, w tóy zostały wzbuzo pay lto zua. Jśl pay zostały wzbuzo w pocs absopc śwatła uła ta st w

113 ówow az toyacz. ltoy zuy bęą tacły swoą gę tyczą, aż zaą sę opowo a pasa pzwoctwa a wzchołu pasa walcygo. Następ astąp pocs obac pay lto -zua połączoy z są fotou w pzypau półpzwoów o pzw post lub fotou foou w pzypau półpzwoów o pzw soś. Zasaa zachowaa g powaz o ówań Ω IX-35 g la półpzwoów o pzw post Ω ω IX-36 g la półpzwoów o pzw soś. Ω ω są częstotlwośca fotou foou. Ja wać pocs s st owoty o pocsu absopc pzstawogo a ysuu IX-6. W aly półpzwou pawopooba st ówż obaca bzposta, tóa obywa sę a powzch atału lub z uzał atualych ftów sc ystalcz. Pocsa bzposty bęzy sę tu zaować. Obswuąc fotolusccę półpzwoów o pzw post zauważoo, ż często ga towago fotou st co sza ż ga pzwy gtycz. Spowoowa st st staów zwązaych ltoów zu tzw. scytoów. Zawso scytou wya z sta pzycągaa ltostatyczgo poęzy swoboy ltoa z pasa pzwoctwa a swoboy zua z pasa walcygo. ozważy pobl scytou w sposób lasyczy. Potcał ltostatyczy ułau ltou zauącgo sę w położu zuy w położu h ówa sę V h h. ga tycza wyos opowo & &. Dw opl a sybol ozaczaą ugą pochoą po czas. Całowta ga h h ułau st suą g tycz potcal. Moży wpowazć ow z ρ / Patz ys IX-9. h h h h ys IX-9 Uła lto -zua h - śo asy h 3

114 h st współzęą śoa asy ułau zua lto. Otzyay wówczas: h h M& & & µ ρ& IX-37 ρ h gz M st asą całowtą ułau M a µ asą ftywą pay lto zua h h. µ. Poęc asy ftyw s t w ty pzypau użyt zaczu h chaczy ao ftywa asa wóch cząst. Ja wać w ówau IX-37 ooao spaac zych, w zwązu z czy oży ozpatywać ozl g tyczą M & pouszaącgo sę w pzstz scytou ao całośc go gę wwętzą sc µ ρ&. IX- 38 ρ Pzchoząc o opsu watowgo wpowazay astępuący haltoa scytou H sc µ ρ ρ IX-39 Ja wać uła lto zua w półpzwou st foal tyczy z pozytou uła zwązay lto-pozyto. Ta a w pzypau pozytou uła ążących woół wspólgo śoa asy zuy ltou a stay zwąza o gach poższy wzó otzyać oża w opacu o watyzac obtalgo otu pęu aalogcz a to sę ob w olu atou woou oha : sc gz st główą lczbą watową. W ówau IX-4 wyozystao zalżość, ż µ 4 µ µ 4 h h µ. h h IX-4 ftywą ftywą ów a l azy asa ftywa pay lto zua óż sę o asy ftyw pozytou. Wstawaąc typow watośc as ftywych ośów pąu st stałą ybg. h. oaz stał ltycz otzyuy sc V. W µ st asą alych półpzwoach asa ftywa zu st a ogół zacz węsza ż asa ftywa ltou, latgo tż ga wązaa scytou ówż st węsza. Pocs 4

115 obac pay lto zua z uzał scytou st zacz baz pawopooby ż bzpośa obaca swoboych ośów. Pzbg obu pocsów lustoway st a ysuu IX- h Paso pzwoctwa Ω g Ω g sc sc ys.ix- obaca posta swoboych ośów oaz z uzał scytou. g Paso walcy Moży oblczyć poń scytou. W olu oha bęz o ówy poow pwsz obty oha ułau zuy ltou ążących woół wspólgo śoa asy. W aszy pzypau a a µ µ IX-4 Dla typowych watośc stał ltycz as ośów w paś bęz o ówy o. Å. Wyła X. Półpzwo oszo wa. 5

116 Wys VIII-8 z popzgo ozzału poazu a sl oż zać sę octaca ośów a co za ty z pzwoctwo półpzwoów o wauów zwętzych tpatuy. ów sly ft uzysay śl bęzy potafl otolować octacę ośów w pasach w y sposób. Pzyła tago załaa st tcoal oszowa yształów półpzwoowych atoa ych pwastów. Np. pzwoctwo zu wzasta azy po oszowau go bo w stosuu ato bou a atoów zu. Poob st gy oszuy z fosfo. Atoy osz ostaczaą o atału oatowych oś ów pąu. Jśl ośa są ltoy osz t azyway ooa, śl ośa są zuy osz azyway acpto a. W obu pzypaach pzwoctwo, a wówczas występu azyway pzwoctw oszowy. Stay oszow. Wszyst półpzwo ystalcz, tó tu oaway posaaą wązaa owalcy, w tóych 8 ltoów pzypaa a paę wa atoów twozących bazę stutuy ystalcz. ozważy pzyłaowo: S-S, G-G w obu pzypaach ay 4 ltoy walcy o ażgo atou, Ga-As 3 ltoy Ga 5 ltoów As, Z-S ltoy o Z 6 ltoów o S tp. W sta postawowy wszyst 8 ltoów obsaza pozoy w pas walcyy, zapłaąc całowc. Paso pzwoctwa pozosta pust. Wyobaźy sob taz, ż ato pwasta aczystgo został zastąpoy ato posaaący o lto walcyy węc, p. azot lub fosfo zastępuący ato zu, lub sl zastępuący ato asu w GaAs. W wszystch tych pzypaach a uż wolych staów w pas walcyy wobc czgo oatowy lto pow zalźć sę w pas pzwoctwa. Pzwoctwo, z tóy wówczas ay o czya azywa sę pzwoctw ltoowy lub typu a sa półpzwo półpzwo typu. Dosz tgo ostaczaąc ltoy azyway ooa Co sta sę gy ato aczysty zosta zastąpoy pzz ato pwasta, posaaącgo ltoów walcyych, p. bo gl w z, a zastępuący gal w GaAs. a ltou w wązau ystalczy atou osz z pozostały atoa sc powou poaw sę zuy w pas walcyy. Pzwoctwo, z tóy ay tu o czya azyway pzwoctw 6

117 zuowy lub pzwoctw typu p a sa półpzwo półpzwo typu p. Dosz ostaczaąc zu azyway acptoa. ozważy oła tyę oatowych ośów pąu. lto, la tógo a wolgo stau w pas walcyy pow zalźć sę w pas pzwoctwa. W pzstz zczywst oż zaować sę węc w owoly scu w sc. Zauważy a, ż po utac go ltou ato ooa bęz ał sopsoway oat łau ówy. W oswc poaw sę sła pzycągaąca poęzy oo swoboy lto. Do opsu tago ułau oo swoboy lto oży użyć pzyblża asy ftyw, gz lto tatoway st a cząsta swoboa o as łauu -. ga tycza ltou bęz w ówczas ówa lub, potcał ooa st ówy opowo V, gz st stałą ltyczą atału półpzwoa. Zauważay o azu,ż ay tu o czya z pobl aalogczy o poblu atou woou. Moży użyć olu oha lub baz ogólgo olu watowgo. W obu pzypaach otzyuy astępuąc watośc g staów stacoaych ułau. 4 IX- W powyższy wzoz st stałą ybga. Dla wygoy wpowazoo poęc stał ftywgo ybga. Waży paat st poń oha, czyl poń obty ltou w sta postawowy a a IX- Z powyższych ozważań wya,ż wpowaz osz ooowych powou poaw sę oatowych staów w pzw gtycz, tóych g lczo o a pasa pzwoctwa a są wzo IX-. Paat, tóy ośla głęboość tych staów st ybg ftywy. Dla typowych półpzwoów, la tóych asa ftywa st ówa., zaś stała ltycza st ówa o., stała ybga wyos 3.6 V. Kozystaąc z IX- otzyay 3.6V. Jst to ga a tyl wla, ż w tpatuz pooow węszość ooów bęz zozowaa. N 7

118 a w bazo sch tpatuach ltoy są zwąza z poszczgóly ooa, zauąc obsza pzstz o pou ówy a. Dla aych watośc asy ftyw stał ltycz ftywy poń oha wyos a 5.9 Å., czyl obu wl stałych sc ystalcz. Pzypa acptoów st paw całowc sytyczy. W olu paw swoboych ltoów zua zauąca sę w pas walcyy st zwązaa z żay oty ato. Jśl zua zau sę blso acptoa to o acptoa a ftywy łau ówy. W zultac tycz a w pzypau ltou ooa poawa sę sła pzycągaąca poęzy zuą acpto. To ozaływa opowzal st za poaw sę staów acptoowych w pzw gtycz powyż wzchoła pasa walcygo. Ich g lczyy tycz a pzypau ooów. O tzyuy watośc g 4 h h g są oat poważ stay lżą powyż wzchoła pasa walcygo. Poob a popzo wpowaza sę stałą ftywgo ybga h. Waży paat st poń oha, czyl poń obty zuy w sta postawowy IX-3 a a IX-3 h h W obu pzypaach wpowaz osz powou poaw sę oatowych ośów al oatowych staów w pzw gtycz. Schatycz stutua gtycza pzstawoa st a ysuu IX- g Paso pzwoctwa Stay ooow Stay acptoow ys. IX- Stutua pasowa obsazo pzz ltoy st paso walcy a Paso walcy 8

119 Położ pozou Fgo w półpzwoach oszowych. Nzalż o tgo są sę ta wzęły lczba ltoów w pas pzwoctwa,, lczba zu pas walcyy, h a są pzz pzyblżo wzoy VIII-9 VIII-3. lac t są węc ówż pawzw w pzypau półpzwoów oszowaych. ozważy półpzwo, w tóy zauą sę ooy acptoy o octacach opowo N N oaz gach lczoych wzglę a pasa pzwoctwa wzchoła pasa walcygo ówych opowo. Lczbę ltoów w pas pzwoctwa zu w pas walcyy oży polczyć astępuąco: N IX-4 a a N h a h IX-5 W powyższych wzoach są opowo lczba zozowaych ooów acptoów. są lczba ośów szoścowych. Noś t gowa są w pocsach tcz ac pa lto -zua. Nazwa szoścow poawa sę aby oóżć o ośów ostaczaych pzz osz zwaych ośa węszoścowy. Zasaa zachowaa łauu wyaga aby. Powyższa laca p owazą o ówaa N h h N a N N a IX-6 Lczbę zozowaych ooów acptoów oża wyzacz yć boąc po uwagę, ż obsaz staów ooowych acptoowych a st pzz statystyę Fgo. h N N f IX-7 N g µ g T 9

120 T a a a a a N f N N µ IX-8 Postawaąc lac IX-7, X-8 oaz VIII-9 VIII-3 o ówaa IX-6 otzyuy wyaż, z tógo oża oblczyć gę Fgo, µ. W ogóly pzypau a oo ało czytlą postać: T N T N T a T h T a g g µ µ µ µ π π 3 / 3 / IX-9 T Moża pzyzć sę blż wó gaczy pzypao, półpzwoa typu, oszowago ooa półpzwoa typu p oszowago acptoa. W pzypau półpzwoa typu oży założyć, ż lczba acptoów ówa sę zu. ówa IX-9 pzy postać: T T h T g N T T 3 / µ π g 3 / µ µ π IX- ówa to a ozwąza tylo wówczas gy pozo Fgo lży w poblżu a pasa pzwoctwa. Moża poąć ug sła po lw sto ówaa IX-. Otzyu sę wówczas T T g g g g N 3 / 3 / µ µ π T T T T g T N N T lub µ µ µ π IX- Dug ówa otzyao załaaąc, ż la opowo wysoch tpatu oża pzyąć T g µ. Uposzcz to st zbę gy aalzu sę lość ltoów w pas pzwoctwa, wygo st a stosować poważ powaz go postgo aaltyczgo wyaża a gę Fgo.

121 T T g T N / 3 / 4 π µ IX- 3 / 4 l π µ T N T g IX-3 ówaa IX-3 wać, ż w s tpatuz ga Fgo zauę sę w Z węc w połow poęzy pasa pzwoctwa a pozo ooowy. Wyozystuąc ówaa IX- otzyuy astępuący wzó a octacę ltoó w pas pzwoctwa T T N 4 3 / / π IX-4 poob achu oża oblczyć położ pozou Fgo w półpzwou typu p oaz opowo octacę zu. Opow zalżośc bęą a pzz wzoy. Ja wać lość ltoów w pas pzwoctwa st popocoala o pwasta waatowgo z lośc ooów. Pzpowazaąc T h h h a T N 4 3 / / π I oaz X-5 3 / l π µ T N T a a IX-6 4 a Złącz p-.

122 Zaoość położa g Fgo w pas wzbooy w półpzwoach typu p typu pozwala lp zozuć zała złącza półpzwoowgo. Ja poazao pozo Fgo w półpzwou typu lży w poblżu pasa pzwoctwa, a w półpzwou typu p w poblżu pasa walcygo. Jżl połączyy z sobą oba półpzwo gę Fgo powy sę wyówać. Powou to yfuzę ltoów z półpzwoa typu o półpzwoa typu p, zu z półpzwoa typ p o półpzwoa typu. W wyu tgo powsta tzw. potcał zapoowy Półpzwo typu p bęz ał łau uy a półpzwo typu łau oat. Poaw sę potcału zapoowgo zobazowa st pzz opow wygęc pas. patz ys IX- a. Pzy polayzac złącza o a - o p potcał t powęsza sę pą ośów węszoścowych pły patz ys IX- b. Taa polayzaca azywa sę polayzacą zapoową. Łatwo zauważay, ż pzz złącz spolayzowa w uu zapoowy pły pą ośów szoścowych. Jśl spolayzu sę złącz uu pzcwy - o o p wówczas baa potcału ulg obżu zacz płyąć pą ośów węszoścowych patz ys. IX-. c. Fg IX.- a Złącz spolayzowa p obsza pzścowy

123 Fg IX b złącz spolayzowa zapoowo apęc U p U Fg IX. c Złącz spolayzowa w uu pzwoza apęc U p U 3

124 Wyła XI. Napzwoctwo. Postawow fc Zawso zaa opou ltyczgo tęc w tpatuz lu lwów zostało zaobswowa po az pwszy w 9 ou pzz Kalgh a Os a. Póź obswowao to zawso w wlu ych talach oaz ch stopach, a w latach oszsątych w szgu atałach talczych, głów tlach z zach oszowaych tala. Co caw atały t w wauach oalych bazo słabo pzwozły pą ltyczy, zaś za opou ltyczgo występu w ch uż w stosuowo wysoch tpatuach luzsęcu lwów. Oazu sę, ż w sch tpatuach opócz zaa opou ltyczgo poawa sę szg ych cawych właścwośc cał, zaś pzśc o stau oalgo o stau apzwozącgo a wszl cchy pzśca fazowgo. Powaz to bzpośo o wosu, ż ay tu o czya z spcyfczy sta ułau zway sta apzwozący. W sta apzwozący substaca posaa astępuąc cchy:. Opó ltyczy ówy st zu.. Matał sta sę osoały aagty. Ośla sę tpatuę ytyczą ytycz pol agtycz, tó to paaty opowaaą pzścu fazowu poęzy sta oaly a sta apzwozący. Ozacza to,ż oaly pzwo pzchoz o stau apzwozącgo śl obżyy go tpatuę poż tpatuy ytycz, T c, Watość tpatuy ytycz zalży o atęża zwętzgo pola agtyczgo H c st asyala w obcośc pola. Pzyłaowy aga fazowy pzstawoy st a ysuu XI-a. Wać, ż la tpatu wyższych o tpatuy ytycz apzwo pzchoz o stau oalgo. ów waży st fat, ż wzost zwętzgo pola agtyczgo taż powou pzśc o stau oalgo. Watość ytyczgo atęża pola agtyczgo st solowaa z watoścą tpatuy ytycz. I ższ pol agtycz ty wyższa tpatua ytycza a owót wyższa tpatua ytycza ty ższ atęża pola ytyczgo. Pooby wys fazowy otzyuę sę gy zaast pola agtyczgo aalzuy pą płyący w apzwou. Jśl pą 4

125 wzoś powyż watośc ytycz, zalż o tpatuy apzwo pzchoz o stau oalgo patz aga XI-b. Powóćy o własośc agtyczych apzwoa. Dosoały aagtyz stau apzwozącgo zastał oyty pzz Mssa Oshfla. Zawso to os azwę ftu Mssa Oshfla. Zgo z fcą aagsowa osoałgo aagtyu opsu całowc zwętz pol agtycz, st węc ów M H XI- gz H st atęż zwętzgo pola agtyczgo. Opowaa to zow uc agtycz wwątz atału. µ M H XI- W wzoz XI- µ st pzaloścą agtyczą póż. Sły załaąc a aagty uszczoy w polu agtyczy, uą go o obszau o aższy atężu pola. ft t często wyozystyway st w ostacach apzwoctwa wysootpatuowgo, gz poazu sę a po ozębu apzwo lwtu w polu agtyczy. Moża zzyć aagsowa w fuc uc agtycz. Dla atałów, tó są agtycz w sta oaly opow wysy pzstawo są a ysuach XI- a b. ysu XI- a Zalżość atęża ytyczgo pola agtyczgo o tpatuy b zalżość pąu ytyczgo o tpatuy. Na agaach zasowao obsza, tóy opowaa staow apzwoctw a H Gs 5 oaly Sta apzwozący 4 8 oaly T K Sta Sta b a Pą Sta apzwozący 5

126 4 8 T K Matał agtyczy osoały paaagty to ta w tóy, w sta oaly aagsowa st ów zu. ozważy ysu XI-.a. Począwszy o za aż o watośc ytycz aagsowa oś wpost popocoal o watośc uc agtycz. Jśl uca wzoś powyż watośc ytycz atał t pzchoz atychast z stau apzwozącgo o stau oalgo. N st w ty pzypau sta szay. Matał aący taą cchę azyway apzwo I ozau. Na ysuu XI- b pzstawoy st wys zalżośc aagsowaa o uc la go typu apzwoa. Wzy, ż aagsowa początowo oś ta a popzo aż o watośc, astęp zaczya alć osąga watość zową, co opowaa pzścu o stau oalgo, po pzoczu pzz ucę watośc. W zas uc poęzy ay o czya z sta szay, w tóy pwa obętość atału st apzwoząca a pwa zau sę uż w sta oaly. Matał ta azyway apzwo II ozau. 6

127 ys XI- zalżość aagsowaa o pola agtyczgo la apzwoa pwszgo ozau a uggo ozau b. W pzypau apzwoa pwszgo ozau st tylo a watość pola ytyczgo. W pzypau apzwoa uggo ozau stą w watośc pola ytyczgo Naagsowa a sowa b Naag ówaa Looów Spóbuy ozważyć a są oswc zow opoośc ltycz atału a wyagaa uszą być spło aby atał był aly aagty. Do aalzy opoośc oża posłużyć sę ol Du go, w tóy uch ltoów wyuszay pzz zwętz pol ltycz opsu sę ówa: υ υ ε t XI-3 τ u gz υ, υu, τ są opowo pęoścą śą ltoów, pęoścą uosza ś czas poęzy woa ozposza zza z fta sc,fooa, y ltoa, tp poyczgo ltou.pzypoy, ż w pzypau lasyczgo pzwoctwa śa pęość ltou ulga za, stą pwszy czło z lw stoy ówaa XI-3 za, zaś pą ltyczy poawa sę poważ ltoy pouszaą sę z pęoścą uosza. W oswc otzyu sę 7

128 astępuąc wyaż a opoość właścwą pzwoa,, gz st loścą τ ρ ltoów. Zgo z ty wzo w pzwou o zow opoośc ś czas poęzy zza ltoów pow być sończoy. ltoy bęą węc ozpasza. Poaąc ysusę o pzyczyach ta zwyłgo zawsa ogaczyy sę o stwza,ż ba ozpaszaa powazć us o zaa uggo człou ówaa XI-3. ęz ało oo taz postać: υ ε t XI-4 Kozystaąc z fc gęstośc pąu, υ Z ówaa XI-9 wyaą własośc aagtycz apzwoa. Pzyzyy sę ozłaow pola agtyczgo w apzwou co oła. Kobuąc ówaa XI-6, XI-9 oaz ówa Mawlla ot µ XI- otzyuy astępuąc ówoważ ułay ówań XI-5 otzyuy ówa opsuąc pą w apzwou, ε t XI-6 Wać, ż w apzwou st spło pawo Oha. Stał pol ltycz powou pzpływu stałgo pą u. Pą oś w czas w aę a wzasta śa pęość ltoów. ówa XI-6 st y z wóch ówań Looów. Dug ówa Looów opsu ozaływa pąu apzwoctwa z pol agty czy. Postawaą c ówa X I-6 o ówaa Mawlla otε t otzyuy t ot XI-7 XI-8 Szczgól ozwąza tgo ówaa oża otzyać pzy założu, ż ot XI-9 ówa XI-9 st właś ug ówa Looów. 8

129 otot µ otot µ XI- lub µ µ XI- ozwązaa ułau ówań XI- wygo st ysutować la postgo pzypau gy gaca poęzy apzwo póżą pzbga w płaszczyź y oaz gy pol agt ycz sowa st wzłuż os. Patz ysu XI-3. Aby otzyać uła ówań sozystao z fatu, ż la pól bzźółowych ot ot 9

130 póża apzwo z X y ys. XI. 3. półsończoy apzwo ozcągaący sę w uu z> w polu agtyczy Zgo z ówa XI-9 wwętz pol agtycz bęz uowało gęstość pąu płyącgo w uu y. ówa XI- bęą ały postać z z µ µ y y XI-3 ówaa XI-3 aą ozwązaa, tó opsuą za pąu apzwozącgo uc agtycz wwątz apzwoa. z z y p y p µ µ z z XI-4 Wać, ż zaówo uca a pą apzwozący za spocal wwątz apzwoa. Pocs t opsu loścowo chaatystycza głęboość waa Å. µ Λ. Dla apzwoów talczych głęboość waa st ówa last Nalży zwócć uwagę, ż zowa opoość ltycza st wau ostatczy a to aby atał był aly aagty. Z ówań Mawlla wya tylo ówa XI-8, tó ów, ż śl opó ltyczy st ówy zu to pąy ltycz uca agtycza zaą sę w czas. W szczgólośc sua w awas w ówau XI-8 us być ówa zu. W ta atal pol agtycz 3

131 uoway pzz pą apzwozący są zow w cał obętośc pób. Ma to stot oswc w pzypau, gy ozębay atał o tpatuy ższ ż tpatua ytycza w obcośc pola agtyczgo. Jśl po ta ozębu algo pzwoa wyłączylbyśy zwętz pol agtycz to za pola zwętzgo usały spowoować poaw sę agtyzac atału. Zawsa tgo obswu sę w alych apzwoach. Zachowa sę pzwoa o zow tpatuz apzwoa w polu agtyczy pzstawo st a ysuu XI-4 Fg XI- Ops zawsa apzwoctwa pzstawoy w ty paagaf a chaat foologczy wyaśa laczgo tó atały w sch tpatuach ogą pzść o stau apzwozącgo. W zasaz w chwl obc a spógo olu ogącgo wyaść apzwoctwo tal oaz 3

132 zawso apzwoctwa wysootpatuowgo występuącgo w pzwozących w oalych wauach, w zwązach z zach. Zaczący o w zozuu zawsa apzwoctwa st ocpca pa Coopa toa aa Coopa Schffa CS. Jśl pzyąć, ż opó ltyczy atału zwązay st z ozpasza ltoów, a ba opou ltyczgo wya z ożlwośc całowc swobogo uchu ośów pąu, wyaśaąc fo apzwoctwa alży szuać zaws, tó lowałyby lub ogaczały ożlwość ozposzń poyczych ltoów. Mosopowy ol apzwoctwa. Pay Coopa W oalych wauach, w tpatuz K, gaz ltoów swoboych opsyway st pzz ol Fgo, w tóy ltoy zauą wszyst stay gtycz lżąc poż pozou Fgo. Fölch, a póź Coop wyazal, ż w sch tpatuach gaz ltoów Fgo st sta, w tóy uła ltoów swoboych w cl stały a u g. Oazu sę, ż w sc ystalcz st słab ozaływa pzycągaąc poęzy ltoa, tó obża gę ułau ltoów swoboych. Ozaływa to wya z fatu,ż pol ltycz łauu ltou polayzu sć ystalczą. Wytwozoy w t sposób zspół pol ltyczych, zwązaych z oa atoa sc wytwaza potcał, tóy pzz pozostał ltoy oczuway bęz ao potcał pzycągaący. Na ogół ozważa sę wa ozaływuąc z sobą ltoy. Obt ta azyway st paą Coopa. Zgo z guła cha watow gę pay Coopa oża oblczyć ozwązuąc astępuąc ówa Schöga. 5 gz,,, V,,, g,, st wultoową fucą falową,zaś, st wultoową fucą locha, tóą oża pzstawć pzy poocy loczyu fuc oltoowych w pzypau olu swoboych ltoów bęą to opow fal płas, zaś stał g, są współczya ozwęca. V, potcał ozaływaa poęzy ltoa. Dołaa aalza ozaływaa ltou z scą ystalczą, tóa tu zosta pzstawoa, pozwala stwzć, ż wystaczy uwzglęać tylo ozaływa poęzy ltoa o gach blsch g Fgo. Doła, g ltoów spłać uszą wau <, < F F ω D XI-6 XI- st 3

133 gz ω D st gą Dby a. Co węc oży uwzglęać tylo pay, tóych pęy są pzcw czyl ta,ż. Dla ch potcał ozaływaa pzyblżoy st pzz stałą watość, -V. Dla pozostałych pa ltoów potcał pzycągaący st ówy zu. N wchoząc w szczgóły oblczow poay pzyblżoą watość g o tóą powzch Fgo, obży sę ga pay Coopa wzglę g wóch swoboych ltoów a gz ω p V D Z F Z F XI-7 st powzchową gęstoścą staów a powzch Fgo. Dla pzyblża swoboych ltoów: Z F F XI-8 π gz F st wto Fgo. Ua ga pay Coopa powou, ż w sch tpatuach łącz sę ltoów w ta pay st ozyst gtycz. Jśl ozpatu sę paę Coopa ao a cząstę zauważay, ż obt ta a sp bęący suą lub óżcą spów ltoów, czyl aą watość lub w zczywstośc spotya sę tylo pay o sp zowy. W obu a pzypaach paa st sę bozo, polga węc statystyc osgo. Ozacza to, ż sończ wl pa oż zaować sę w y sta gtyczy. Sta postawowy gazu pa Coopa. Toa CS ga wyażoa wzo XI-7 st gą poycz pay ltoów, pzy założu,ż pozostał ltoy twozą pa. Jst oczywst,ż sytuaca taa aczolw ożlwa st pwy szczgóly ało pawopooby pzypa. W zczywstośc twozyć sę bęz zacz węc ż a paa. Każa sytuaca utwoza sę oślo lośc pa Coopa st pwy szczgóly pzypa aszgo ułau opowaa pwu staow gtyczu. Toa CS poa pzps a oblcz g stau postawowgo ułau, czyl stau, w tóy pay Coopa aą aższa gę. Poo, ż ga ułau zalżć bęz głów o lośc pa Coopa zaga to spowaza sę o postgo oża g pay pzz lość wszystch pa, zgo bow z lacą XI-6 gaca pay Coopa, popzz fat, ż a to aby twozyć paę ltoy uszą zostać wzbuzo poa pozo Fgo, powou wzost g tycz całgo ułau N wchoząc w szczgóły poay tu sposób w a zostały pzpowazo achu. ozważa sę uła ltoów w tpatuz K. Do oblcza g stau 33

134 postawowgo pa Coopa użyto pzyblża wlocząstowgo, w tóy sta ułau opsyway był pzz fucę falową bęącą loczy oltoowych fuc falowych poyczych pa. Pzyęto, ż aża z pa ltoów o wtoach falowych, oż zaować sę w wóch staach gtyczych; oż stć ao paa ay wówczas sta >- lub oż stć ao paa - ay wówczas sta >. Dlatgo tż fuca falowa poycz pay st obacą lową wóch słaów > >. W oswc sta ułau w to CS opsu sę pzz astępuącą fucę: CS a b φ > XI-9 gz a,b są pawopoobństwa, ż st lub st opowa paa Coopa o wto z falowy, -. gę ułau, W, oża polczyć zauąc watość oczwaą potcału ozaływa a poęzy ltoa w paz V, W φ φ. CS V Główy pobl polga a ty aby pzstawć potcał V w opow wygo fo, ao opato zalży tylo o wtoów falowych. Poważ sta postawowy a aższą gę szua sę u g powyższ cał W φ φ XI- CS V CS Pwszy sta wzbuzoy to sta, w tóy lczba pa Coopa zszyła sę o. Zaoość g stau postawowgo pozwala oblczyć gę pwszgo stau wzbuzogo, czyl gę aa st potzba o ozbca poycz pay. óżca g poęzy sta postawowy W W W a sta wzbuzoy ω D p XI- VZ F W st ówa Stutua gtycza pa Coopa pzstawoa st a ysuu XI-5. Pzstawoo tu gę pzypaaąca a lto. Dysty sta postawowy opowaa staow postawowu CS, czyl sta pa Coopa. Aby poycza paa została ozbta tzba ostaczyć o ułau gę węszą ż. CS ga Swobo ltoy Fg XI-5 Stutua gtycza apzwoa. Paso opowaa stao wzbuzoy pay czyl swoboy ltoo Pzstawo są 34

135 Sta postawowy CS Fat, ż o ozbca pay Coopa potzba st pwa ga st opowzaly za ba ozposzń pa Coopa a oszach lub ftach sc. a ozposzń pa wya z watow atuy zawsa apzwoctwa. Zauważy pz wszyst, ż paa Coopa słaa sę z wóch ltoów o pzcwych obz ośloych pęach. Zgo z zasaą ozaczoośc st węc oa obt zloalzoway w pzstz zczywst. Jśl ozważa sę ożlwość ozposza tago złożogo obtu pay Coopa a zloalzowaych ftach sc to alży uwzglęać tylo ozaływa ftu z poszczgóly ltoa a z paą w całośc. ozposz go ltou z pay wąż sę oczywśc z zaą go pęu, a poważ za sę pę tylo go ltou ówość pzsta być spłoa a sut zau potcału pzycągaącgo paa us sę ozpaść. ozpa pay z ol wyaga ostacza g. W s tpatuz a swoboych fooów tó ogłyby ostaczyć t g, ta węc opó ga tycza pay st sza ż ozposza są ożlw., Toa CS a popawy ops szgu właścwośc apzwoów talczych. Do tach właścwośc alży st tpatuy ytycz a taż ytyczgo pąu pola agtyczgo. ozważy a począt są bz sę pą ytyczy, czyl laczgo pzz apzwo oż płyąć pą o gęstośc węsz ż watość ytycza c.. Pą apzwozący st spowooway uch pa Coopa. Zgo z zasaa ya, gęstość pąu oż być oblczoa z wzou υ K XI- gz st łau ltou, a υ pęoścą pay Coopa. K st wto falowy pay Coopa K υ K. st oczywśc pzyost pęu poy czgo ltou wyaącgo z uchu pay. uch pay Coopa powou pzyost g tycz. T pzyost g pzypaaący a lto st ówy 35

136 K δ F F F K XI-3 Jżl ga tycza pay ozpaow. Wau F K δ pzoczy watość paa saozut ulg XI-4 pozwala a oblcz ytycz gęstośc pąu apzwoctwa. Postawaąc za K watość oblczoą z wzou XI- otzyay c XI-5 F Zaąc ytyczą watość gęstośc pąu oży oblczyć watość ytyczgo atęża pola agtyczgo, H c. Całowa postać ówaa Mawlla Hl S πh S XI-6 gz st po utu apzwozącgo, pozwala powązać pą płyący w apzwou z atęż uowago pzzń pola agtyczgo. Załaaąc zgo z laca XI-4, ż pą apzwozący pły tylo a powzchow wastw apzwoa, ż gubość t wastwy wyos Λ otzyuy πh πλ a stą H c Λc Λ XI-6 F Powyższ ozważaa otyczą oczywśc tpatuy K Pzaalzuy taz co sta co sta sę śl posy tpatuę. W tpatuz za bzwzglęgo śl pą apzwozący był ały uła zaował sę w sta postawowy CS. Jśl posy tpatuę część pa zosta ozwaa a ltoy wzbuzo o pasa ltoów swoboych. Joczś zaa lośc pa spowou zsz sę g potzb o ozpau astęp poycz pay, o watośc T > T Zauy sę w wyższy sta gtyczy CS. To z 36

137 ol zwęszy oatowo lość ozpaaących sę pa. Waz z wzost tpatuy lość pa wzasta węc lawowo la tpatuy ytycz, la tó T ay pzśc fazow apzwo- tal. Tpatuę, pzy tó zachoz to pzśc azyway tpatuą ytyczą. Toa CS pozwala a oblcz tpatuy ytycz Wyos oa : T c T.763 XI-7 Wyła Pzyblż oltoow. Każ cało słaa sę z ogo lośc ą ltoów. Maą lośc atoów w aosopowy obc st lczba Avogaa N Lczba ltoów st a ogół szcz węsza. Dla potzb tgo wyłau załóży, ż ąa yształu lub go cała pozostaą ucho. Wówczas uła opsay być oż pzz fucę falową, zalżą o położń wszystch ltoów ψ,,.., N.,... N są wtoa opsuacy położa poszczgólych ltoów. g stacoa ułau oża otzyać ozwązuąc ówa Schöga Hψ,,.., N ε ψ,,.., N I- gz haltoa H wyaża sę astępuąco H N ' H I-, gz H V I-3 37

138 a V st gą potcalą -tgo ltou. z W wzoz ty y Wsaź p pzy su w wzoz I- ozacza, z tzba poąć pzy suowau wyazy. Oczywśc zay ścsłych ozwązań ówaa I-. Nawt w pzypau lu ltoów wóch. Stosu sę węc a zwyl w chac watow toy pzyblżo. Oówoa zosta toa Hat' go - Foca. Postawowy założ t toy st zastąp w haltoa H potcal g wzago ozaływaa ltoów pol ftywy U f, w tóy wszyst ltoy pouszaą sę zalż. Pol to opsu uśo zała wszystch pozostałych ltoów a ay lto. Pzy ta założu haltoa ułau st ówy su haltoaów zalżych o współzęych go ltou. H gz N ' H I-4 ' H V U f I-5 Łatwo wyazać, ż ozwąza ówaa I- z ta haltoa st fuca w postac loczyu : ψ,,.., N I-6 N gz wsaź pzy fuc zspół lczb watowych chaatyzuących ay lto. W ogólośc wsaź t uwzglęa ówż sp ltou. Fuc falow są ozwąza ówań H ε ' I-7 38

139 gz ga ε st ga -tgo ltou. Całowta ga ułau st ówa N ε ε I-8 Postawaąc haltoa I-4 fucę falową I-6 o ówaa Schöga I- otzyay N H ' [ N ] ε[... ] N N I-9 Poważ haltoa ' H zała tylo a fucę falową -tgo ltou ówa I-7 ówa I-9 a sę pzształca sę a astępu zgo z N ε [... ] [... ] N ε N I- Dzląc obusto ówa I- pzz I-8, czgo właś alżało owść.... [ N ] otzyu sę ówa ozważy pzypa wóch ltoów N. Wówczas fuca falowa a bęz astępuąco ψ, I-. Opow haltoa bęz ówy H ' ' H H I- Zauważy, ż śl fuca I- st fucą własą haltoau I- to fuca ψ, I-3 st ówż fucą własą tgo sago haltoau. Tz. spło są ówaa [ ε ε ] I-4 ' ' H H 39

140 ' ' H H [ ε ε ] I-5 Fuca ψ, óż sę o fuc I- ty, ż ltoy zostały zao sca. Wya sę oczywst, ż pzy zaa ltoów sca powa sę zć całowta ga ułau. Właścwośc pzstz Hlbta st to pzstzń fucya, tó lta są fuc bęąc ozwązaa opowgo ówaa Schöga, śl fuc I- I-3 są fuca własy haltoau I- to owola ch obaca lowa ówż st fucą własą tgo haltoau. Cawy st szczgóly pzypa gy ob fuc są opsa ty say lczba watowy, tz. gy. Jśl uwzglęoo tu sp to wówczas oba ltoy zauą t sa sta watowy. Poważ ltoy są foa, zgo z zaaz Paulgo taa sytuaca st ożlwa. Aby zaaz Paulgo był spłoy autoatycz spośó wszystch obac lowych fuc I- I- wybay fuc w postac φ, [ ] I-6! Zauważay, ż śl, wówczas fuca I-6 st ówa zu. N st ułau wóch ltoów gy oba schaatyzowa są pzz t sa zstaw lczb watowych. Jśl ay o czya z węszą lczbą ltoów wybay fucę w postac wyzacza : φ,,.., N... N! N... N N N... N N I-7 4

141 Zauważy, ż fuca I-7 st ówa zo gy owol wa ltoy byłyby schaatyzowa pzz t sa zspół lczb watowych., la owolgo powou, ż wyzacz posaa wa ów wsz. Ta wyzacz st ówy zu. Wybó wloltoow fuc falow w postac wyzacza autoatycz powou, z uła wloltoowy spłać bęz zaaz Paulgo. Powóćy o pzypau wu ltoów. Spóbuy poać sposób oblcza ftywgo potcału, w tóy pouszaą sę poycz ltoy. ga ułau wóch ltoów oż być oblczoa ao φ, Hφ, I-8 Pzstawy haltoa w postac I- uwzglęaąc potcał ozaływaa poęzy woa ltoa. Dla wóch ltoów haltoa bęz ał postać H H H H H H I-9 Postawaąc fucę falową z wzou I-6, oaz wyozystuąc astępuąc lac otogoalośc δ δ I- otzyay 4

142 { H H H H H H H } H I- Zauważaąc, ż H H I- H H I-3 H H H H -4 I-5 lub po postawu haltoa ówa I- oż być pzształco o postac H H H H H 4

143 H H I-6 au I-6 w pwsz cał opowaaą go ltoów z wwętzy a cała pztu ltostatycz opycha sę ltoów są pzstzy gęstośca łauów pwszg t cała pztu gę wyay. Ozał opowa w ltostatyc lasycz. Moża tptowa bows poęzy zspoloy łaua opsay. ówa I-6 oż być łatwo uogólo a pzypa gy ay węc ż wa ltoy. Dla N ltoów ay : W ów potcal, tzc o uggo l ywa wyay ć ao ozał pzz gęstośc ł ou. Czwata, a ywa ulo auów ua N N N H,, ' ' -7 Poob a popzo p pzy suach ozacza, ż bz sę po uwagę słaów pzy. óćy o poblu zaowaa ftywgo potcału U f. Moża go zalźć używaąc toy waacy. ozważy ówa I-7 zbaay a za sę ga śl fuc zą sę o. Foal za sę o watość W δ δ ga st "ob ą własą ż δ us sę ówać zu.. ałaaąc, ż ą watośc ", cała I-7 us ć watość alą. Wau a u powou, Z 43

144 Otzyay N N N H ', ' δ δ δ δ, { ' N N H δ I-8 lub } ' N ε I-9 Ostat sła w awas w wzoz I-9 poawł sę poważ la owol waac zay fuc oży założyć, ż la owolgo. oważ ą owol zowa s ga zowaa sę wszystch wspó czyów pzy. W y la ażgo astępuąc ówa : δ waac fuc s ł δ ę suy wya t sposób otzyu δ P ' N ε ' N H ówa I-3 oża pzstawć w astępu posób I-3 ący s 44

145 [ ' N ] ' N H ε I-3 ówa I-3 st ówa Schöga la tgo ltou, tóy pousza sę w potcal ftywy ' ' N N f U I-3 p oblcza sę ftyw potcały ozystaąc z wzou I-3. Potcały t wstawa ę o ówań I-3 ozwązuąc t ówaa otzyu sę g włas W patyc g fuc włas ułau wloltoowgo lczy sę w sposób tacyy. Na początu wyba sę początow fuc w postac wyzaczów I-7, astę s ε a fuc falow wstawa s opowaaąc c włas w pwsz tac. Ta otzy ę o ówaa I-3 otzyu sę ow potcały ftyw, tó z ol używa sę o oblcza g fuc w ug tac. Pocuę taą powtaza sę opóty aż óżc g w olych tacach bęą zo. Jśl właścw wybz sę wau początow czyl wyzaczow fuc włas wystaczy la tac aby otzyać ystaczaąco zbż ozwązaa. toa tacya, tóa tu pzstawoo azywa sę często toą pola saouzgoogo lub toą Hat - Foca. Wyła 3. fu w M 45

146 Pzyblż aabatycz oa -Opphaa Do t poy zaowalśy sę ops ltoów pouszaących sę w polu uchoych oów. Oczywśc wy, ż w alych ułaach obach lub yształach ąa atoów są ucho awt w tpatuz K ąa wyouą pw gaa o g ω st stałą Placa a ω częstoścą ołową gań. Uwzglę uchu oów lub ą bęz tat tgo wyłau. Moży sozystać z wosów popzgo wyłay pzyąć, ż uało a sę oblczyć g fuc włas ułau wlolltoowgo w pzyblżu oltoowy la aych położń oów. M oży węc ozważać aży lto osobo używaąc o go opsu haltoau H fuc falow. Jśl lto zau sę w ysztal lub ob słaaąc sę z N ą całowta ga ułau bęz opsaa haltoa N N N Z J Z J Z K J H U f ' II- M J J J J J, K W haltoa ty pwsz tzy człoy są zay a uż haltoa oltoowy z ftywy potcał opsuący ozaływaa ęzyltoow, w tóy potcał ozaływaa lto z ąa pzstawoo ao suę potcałów poszczgólych ą. Czwata sua pztu gę tyczą ą zaś pąta sua gę potcala opychaa łauów ą. Lta Z J M J z sa ozaczoo opowo lczby atoow asy ą. Ltą J ozaczoo położa ą. Na ogół gaa sc ystalcz lub ob polgaą a zalżych gaach wszystch oów. Zawsz ay o czya z uch upoząoway, w tóy ąa gaą lub baz sytycz. Współzę opsuąc uch ą są o sb wza zalż. N a węc potzby używaa N zalżych położń W apostszy pzypau uch wszystch ą bęz ógł być opsay a współzęą J K Pzyblż aabatycz 46

147 Jao tsuący pzyła oża ozpatzyć cząstczę wuatoową, p. H, lub o talu w zwązu ooyacyy p. CO 6. ysu a b a b H - H W oby pzypaach aa ułau oów oża opsać pzy poocy współzę,. Powou to, ż haltoa oż być pzstawoy w zacz postsz postac H, H, H II- gz H H są opatoa opsuący uch ltoów ą / H, V,, H V M II-3 Soo ooao spaac zych oża pzstawć fuc falową w postac loczyu : Ψ,, χ II-4 Fuca w t postac os czas azwę fuc oa Opphaa. Pwszy sła st fucą ltoową, opsuącą uch ltoów la aych położń ą. Obazu to ówa Shöga w postac, V V, ε, II-5 g z ε st paatycz zalżą o położń ą gą ltoów. Nalży zwócć uwagę, ż w ówau II-5 występu potcał ozaływaa ą. Dla ltou st stała, zalża o położń ą. Na ogół stał lty haltoau są poa. W ty pzypau bzy to po uwagę. oby to poważ w całowty haltoa ułau II- st to fuca zalża o położń ą. Zobaczy taz, w a pzypau oży tptować ówa II-5 ao ówa Shöga la ltoów. W ogóly pzypau oży ozwązywać ówa z haltoa II- fucą II-4. Otzyay : 47

148 / V V,, χ, χ M II-6 W ówau ty ga st ga własą ułau ltoów oów. Moża pzyąć astępuący wau oalzac fuc falowych :, χ, χ II-7 ówa II-6 a sę pzpsać w postac: V, V /, χ, χ, χ M II-8 Dug sła ówaa a sę zapsać w postac : / /, χ, χ /, / χ M M M / χ, M II-9 Pwszy sła w ówau II-9 pztu gę tyczą oów / czy χ poożoą pzz ltoowa fucę falową, wa pozostał M staową tzw. Opato aabatyczośc. Foal oouy pzyblża aabatyczgo gy załaay, ż : M / /, / χ χ, M II- Pzyblż to st uzasao w wszystch pzypaach, gy ltoowa fuca falowa, zalży lub bazo słabo zalży o położń ą. Na ogół pzypau wlu oluł założ to st spło. W pzypau yształów ay o czya z baz soplowaą sytuacą założ o aabatyczośc ułau tzba zawsz osobo aalzo wać. Często poa sę opato aabatyczośc agutuąc, ż w wyu go załaa ostay popaw o watośc g zęu stosuu asy ltou o M asy ou. Jśl założy sę spł wauów oalzac cząstow tz. 48

149 ,, χ χ II- II- poważ st to óżczowa stał powaz o zowaa sę pwszgo słaa I- pzy oblczau watośc włas g. ówa II-8 oża ozwązać ożąc lwosto pzz całuąc po z ltoow,. Otzyuy Wówczas,,,, I,,,,,,,,,, χ χ χ χ / / / / M M V V,, χ M II-3 Kozystaąc z pwszgo wauu oalzac oaz ówaa II- otzyay,,,, χ χ χ / / II-4 śl założyy, ż V V, χ M M J /,, M to ówa II-4 a sę pzształcć o postac:,,, χ χ χ / M V V II-5 a opsuąc uch oów Kozystaąc al z ówaa II-5 otzyay ówa Schög 49

150 / M ε χ χ II-6 Posuowuąc tą część wyłau oża powzć, ż pzyblż aabatycz pozwala spaować uch ltoów uch oów. Otzyuy wa ówaa. Napw ozwązuy ówa II-5 otzyuąc g ltoów w polu uchoych ą la ażgo położa ą osobo. Następ ozwązu sę ówa II-6 otzyuąc g całgo ułau. Z wóćy uwagę co słaa sę gę ε. ówa II-5 pozwala a pzstaw t g w fo suy ε ε V II-7 gz ε st gą ltou, watość własa otzyaa z ówaa Schöga uwzglęaącgo potcału wzago ozaływaa ą. V,, ε, II-8 Aby zlustować powyższ ozważaa wyoay pzyłaow oblcza. Spóbuy zaalzować ówa II-7. Zastaówy sę a o położń ą zalżć bęz ga ε w ltoowy sta postawowy. Jśl uła zauę sę w położu ówowag aolw pzsuęca oów powouą wzost g ułau. Z cha lasycz waoo, ż oży wówczas pzyblżyć gę ułau pzy poocy g spężyst. W pzypau gy uła a sę opsać pzy poocy współzę ε ε ε II-9 Ja wać st to ozwęc fuc g w szg potęgowy wzglę położa ówowag oów,, pzy założu,ż pwsza pochoa st ówa zu ε. Łatwo poazać, ż ε V, V,, II- Łatwo zauważyć, ż wys zalżośc g o położń ą st ay pzz paabolę. Moża wpowazć ową zą Q- wówczas ówa II-9 oża pzstawć w postac: ε Q ε Q II- ówa II-6 st węc po postu ówa oscylatoa haoczgo patz wyła z fzy totycz lub cha watow 5

151 Q ε χ Q Q χ II- M Q W pzypau, gy uła ltoów zosta wzbuzoy o wyższych staów ε gtyczych wau us być spłoy. ówa opsuąc zalżość g ltoów o położa oów w sta wzbuzoy a bęz wzo: ε ε ε ε II-3 lub ε Q ε VQ Q II-4 Stała V oż być lczoa ao ε, V,, V II-5 gz, ltoową fuca falową ułau w sta wzbuzoy. Zauważy, ż śl, V,,, V,,., awt śl w sta postawowy Na ysuu pzstawo są zyw opsuąc g ułau w sta postawowy wzbuzoy. Wać, ż po wzbuzu o stau astępu lasaca oów o owgo położ ówowag Q. ltaa atatya pozwala oblczyć położ ówowag oów w ltoowy sta wzbuzoy : ε Q V Q Q Q V, II-6 oaz zwąza z pzsuęc oów obż g ułau V II-7 5

152 ysu Daga ofguacyy. Na ysuu pzstawoo sta postawowy z staów wzbuzoych. Pozoy oscylacy zwąza z aży sta ltoowy pzstawoo pzy poocy l pozoych. ga Ε g Q -V/ Q Wboow fuc falow aa postać χ ω π! / Q ' p Q ' Q, H ' gz H ' [ Q ] p [ ' ] Q ' p Q Q ' Q ' Q Q Pawopoobństwo pzśca st popocoal o waatu otu pzśca P Qχ Q Q χ Q Q g g Q W s tpatuz wo s a st pzz pzśca z stau poczatowgo χ Wówczas ol l bęą ały atężaa 5

153 P o Qχ Q Q χ Q g Q g Q p S S! Aalogcz bęz w pzypau absopc. Sta początowy bęz sta pawopoobństwa pzść o olych staów wbacyych wzbuzogo stau ltoowgo bęą a wzo χ g a P Qχ Q Q o χ Q g Q g Q p S S! gz S ozacza lczbę fooów, tóa śc sę w g lasac sc S ω Pta ysu. Wo absopc s pzstawo st a ysuu 3. Wyła 4 Pzyblż paw swoboych ltoów Kla uwag a tat twza locha. Twz locha oża sfoułować astępuąco: stay włas haltoau oltoowgo H V - gz V V st potcał poyczy z os sc oża wybać w postac loczyu fuc opowaaąc fal płas fuc poycz o os sc u III- gz fuca poycza u spła wau: u u. III-3 53

154 Is "" pztu zspół lczb watowych wto st wto falowy ltou. Zauważy, ż z wauu III-3 wya astępuąca laca: III-4 laca III-4 oż być ówż tatowaa ao a fca fuc locha. Zgo z ą oży powzć, ż fuc włas opatoa H ago wzo III- oża wybać ta aby spłały wau III-4. Wato zapozać sę z owo tgo twza locha. W ty clu wpowaza sę opato taslac o wto, T załaący a fucę f astępuąco: T f f III-5 załóży, ż fuca fucą własą haltoau III-, tz. H. Zauważy al, ż poważ haltoa st zczy z wzglęu a opac taslac bęz ówość : T H H H. Wobc powyższgo spłoa T H H H H T III-6 Z ug stoy fuc oża wybać ta aby były fuca własy opatoa taslac, czyl : T C III-7 Dzałaąc a fucę olo opatoa T T ' otzyay. T T C C ' C ' III-8 ' 54

155 laca C C ' C ' st spłoa gy C. W t sposób uowolśy Twz locha. Poęc wazpęu. Wto w pzypau swoboych ltoów, opsaych fucą falową wto falowy, zwązay z pę ltou astępuącą lacą ta poważ fal płas są ówż fuca własy opatoa pęu st p. Dz sę pˆ. pˆ III-9 Pozałay opato pęu a fuc locha : [ u ] [ u ] [ u ] III- Wać, ż fuca locha st fucą własą opatoa pęu. Dlatgo wlość azyway wazpę czas psuopę. Kwazpę st ośloy z ołaoścą o wtoa sc owot G, to zaczy, ż wto st ówoważy wtoow ' śl G 'G. Zauważy, ż la owolgo wtoa sc post sc owot. ozważy astępuąc ówa : G, G, G, G III- Z ówaa III- wya, ż fuca st ówż fucą locha. Co węc,, G G p oważ u G u to,, G. Dzała haltoau III- a fucę III- pzstaway astępuąco V u u III- 55

156 Wyouąc załaa otzyay u u V u u u III-3 lub po pzształcach u u V III-4 atwo zauważyć, ż ówa III- tzba ozwązywać w cał obętośc yształu, zaś ów III-4 tylo w W astępych oóach ay ta sao ówa poważ fuca u st poycza. Oblcza słaowych tsoa owotośc asy ftyw. ozważy ówa III-3 spóbuy zaalzować w pzypau gy fuca zalżośc g o wtoa falowgo osąga watość stalą. Dla uposzcza załóży, z a a Ł oóc lta. u u to sc gy wto falowy a watość zo. May wówczas astępuący uł ówań u u V u III-5 załóży, ż potafy ozwązać to ówa la ażgo pasa oślogo pzz lczbę watową otzyać watośc g oaz opowaaąc fuc falow Jśl chcy oblczyć a zać sę bęz ga waz z wzost wtoa oży yoać oblcza posługuąc sę achu zabuzń. u w... 56

157 Dla ałych watośc zabuz bęz opato W ˆ III-6 Oblczy popaw o g pwszgo uggo zęu:. ˆ ˆ ˆ W u u W u u W u u III-7 W wzoach III-7 użyto otac wtoów ba t o pztac opowch cał u W u W u u ˆ ˆ III-8 H H ˆ ˆ ˆ p łatwo owść, ż poważ ˆ ˆ u u H H u u u u III-9 u u u u W u u ˆ III- oaz [ ] [ ] u u u u 4 III- 57

158 W ostat ówau loczyy w awasach waatowych są loczya salay w postac [ ] z y u z u u y u u u u u. Kozystaąc z powyższgo oża pzstawć zalżość g o wtoa falowgo w sposób astępuący : αβ αβ β α III- gz α β pztuą os, y, z. Wlość αβ st tso owotośc asy ftyw ay wzo u u u u β α αβ αβ δ III-3 ostawaąc α α p p u p u u p u u p u α αβ β α αβ αβ δ δ III-3 toy oblczaa stutuy gtycz yształów I. Mtoa fal płasch. ay haltoa yształu w postac : M M V H III-4 58

159 Postuluy ozwązaa w postac u III-4a Zaga włas a st ówa : V u u III-5 Poważ potcał V oaz fuca u są poycz z os sc oży ozwąć w szg Foua wzglę wtoów sc owot : G V V, III-6 G G u G a G G III-7 Załaay,ż zay potcał, wao są g fuc falow. Po postawu III-6-7 o III-5 otzyay: G G G G G' ag G G VG' ag G G G' 9 G a G G III- Zauważy, ż poważ suuy po wszytch wtoach wy zalży o olośc suowaa. Wobc powyższgo G G' V G' G G' a G G G' G' V G' G G' a G G" G' V G' G" a G" G' III-3 59

160 Załaaąc, ż postawaąc z powot G"G otzyay la ażgo wtoa G ówa w postac : ' G G' G G G G a V a III-3 lub K K K G G G a V a III-3 współczyów ozwęca oycz częśc fuc locha. g oblcza sę pzyówuąc o za wyzacz ułau III-3. W ty clu usy bać sończoy uła ówań Jst to uła ówań pozwalaący a oblcz g p. G G G G G G G G G G G G G G G G G V V V V V V G V III-33 sposób oża polczyć g la aż watośc wtoa. K wybay z wsz stfy lloua. Dlatgo waży st ształt pwsz stfy. yła 5 Stutua pasowa półpzwoów. Pwsza stfa lloua Półpzwo aa stutuę atu S, G lub bly cyow ZS aa sć gulaa płaso ctowaą. Sć owota st scą gulaa pzstz ctowaą. W t p W 6

161 Koóa Wga Stza sc owot st pzstawoa a ysuu. Na ysuu zazaczoo sytycz puty Γ, X,L,K, U, W oaz l Σ,Λ,Z, ys. Pwsza stfa lloua Stutua pasowa Pust sc pzstawoa st a ysuu pzyłaowa stutua pasowa yształu gau a ysuu 3. ys. 6

162 ys. 3 Stutua gtycza gau gz suowa obywa sę po wszystch staach z. Fuc staów z ou. Współczy b c a są wzo Jśl ozway w fucę falową potcał w szg fal płasch opsaych wtoa sc owot zaga st ty tusz węc wtoów sc owot st użyt w ozwęcu. W alych yształach st ch wl, bow potcał w poblżu za oów za sę bazo szybo. Dlatgo tż w alych oblczach używa sę baz wyafowaych to. Mtoy aczęśc używa to toa otogoalzowaych fal płasch toa psuopotcału. Mtoa otogoalzowaych fal płasch Wyba sę fucę falową w postac otogoalzowa fal płas c φ b IV- c c c są fuca b c c IV- wobc czgo otogoalzowa fal płas są autoatycz otogoal o wszystch staów z oów: c φ IV-3. 6