Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a dla brak pierwiastków rzeczywistych -funkcja moduł -funkcja signum 1)Narysować wykresy funkcji: 2)Narysować wykresy funkcji: 3)Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór 4)Wyznaczyć i gdzie 5)Rozwiązać nierówność 6)Rozwiązać równanie 7)Wiedząc że to pierwiastki równania obliczyć ;
Zajęcia 2 Wykonywanie działań na wyrażeniach algebraicznych i przedstawianie wyniku w najprostszej postaci 1) 2) 3) Rozwiązywanie równań i nierówności -równania i nierówności modułowe ; jeśli jeśli 1) 2) to to -równania i nierówności wymierne 1) 2) 3) -równania i nierówności wykładnicze
1) 2) -równania i nierówności logarytmiczne 1) 2) Zajęcia 3 Wykonywanie potęgowania -dwumian Newtona -trójkąt Pascala 1 1 1 1 2 1 -wzory skróconego mnożenia różnica kwadratów różnica sześcianów suma sześcianów kwadrat sumy trzech składników 1) usunąć niewymierność z mianownika ; ; 1 3 3 1 1 4 6 4 1 2) wykonać potęgowanie ; ; Rysowanie wykresów funkcji elementarnych:
; ; ; ; ;( ); ; ; ; ; ; ; ; -podanie dziedziny i zbioru wartości -omówienie podst. własności (różnowartościowość parzystość nieparzystość monotoniczność) Zajęcia 4 Znajdowanie funkcji odwrotnej do danej funkcji f(x)=2x+1; f(x)= ; f(x)=5-2log(x+3); f(x)= ; f(x)=x 2 +2x+3 -podanie dziedziny i zbioru wartości -podanie wzoru funkcji odwrotnej Zajęcia 5 Indukcja matematyczna Jeżeli: 1. Zdanie w którym jest mowa o liczbach naturalnych jest prawdziwe dla określonej liczby naturalnej k 2. dla każdej liczby naturalnej n (n k) z założenia że to zdanie jest prawdziwe dla n wynika że jest ono prawdziwe dla liczby następnej n+1 to zdanie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej nie mniejszej niż k. -przykłady dowodów twierdzeń z zastosowaniem indukcji matematycznej. 1) Udowodnić że dla n 4 n!>2 n 2)Wykazać że dla wszystkich n N spełniony jest warunek 1+2+ +n= 3)Uzasadnić wzór na sumę ciągu geometrycznego 4) Udowodnić że wszystkie liczby postaci 8 n -2 n są podzielne przez 6. Liczby zespolone -postać algebraiczna liczby zespolonej: Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci z=x+iy gdzie xy R. Dodawanie odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak jak dodawanie odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i przy warunku i 2 =-1. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną postaci x+iy gdzie xy R należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x-iy aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą. -dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej 1)Wykonać działania: ; -postać trygonometryczna liczby zespolonej: każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci
z= z (cosφ+i sinφ) gdzie φ R oraz cosφ= oraz sinφ= ; ( z = ). 1)Przedstawić w postaci trygonometrycznej: z= -i; z= z=4i. -rozwiązywanie równań kwadratowych w zbiorze liczb zespolonych Do wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego az 2 +bz+c=0 (z C) wykorzystuje się wzory: z 1 = ; z 2 = gdzie δ 1 δ 2 są pierwiastkami kwadratowymi z liczby zespolonej Δ=b 2-4ac. 1) Rozwiązać równania: z 2 +(1+4i)z-(5+i)=0; z 2 +(6i-3)z-6-8i=0; z 2-6z+13=0. Mnożenie macierzy Dane są macierze A=[a ij ] o wymiarze m x n oraz B=[b ij ] o wymiarze p x q. Macierz C=AB istnieje tylko wtedy gdy n=p i ma wówczas wymiar m x q. Mnożenie macierzy nie jest przemienne (AB BA) 1)Dane są macierze A= ; B= ; C= ; D=. Wykonać (o ile to możliwe) następujące działania: (2A-B)C; D 2 ; AC+BC; A T BC; CBA T Zajęcia 6 Granice ciągów liczbowych Podane poniżej wyrażenia są symboliczną postacią twierdzeń o działaniach na granicach ciągów. np. gdzie oznacza że -działania algebraiczne na granicach niewłaściwych analogicznie dla. -symbole nieoznaczone -techniki rachunkowe 1) Obliczyć granice ciągów w których a n = ; a n = ; a n = ; a n = ;
a n = ; a n =1 ; a n = ; -wykorzystanie granicy równej liczbie e=2718281... a n = ; a n = Zajęcia 7 Granice funkcji Pewne granice funkcji warte zapamiętania ; e; -techniki rachunkowe 1)Obliczyć granice funkcji ; ; ; ; -pewne granice jednostronne funkcji 1) Wyznaczyć granice jednostronne funkcji ; ; ; -ciągłość funkcji Definicja( funkcja ciągła w punkcie) Założenie: oraz funkcja f jest określona przynajmniej na otoczeniu punktu. Mówimy że funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy
Funkcja f ma w punkcie granicę wtedy i tylko wtedy gdy Granica funkcji jest wtedy równa wspólnej wartości granic : lewostronnej i prawostronnej. Zbadać ciągłość funkcji w podanych punktach i naszkicować ich wykres: 1) dla f(x)= dla dla w punkcie ; 2) dla f(x)= dla dla w punkcie ; Zajęcia 8 Pochodne funkcji Definicja(pochodna właściwa funkcji) Zał.: funkcja f jest określona przynajmniej na otoczeniu punktu. Pochodną właściwą funkcji f w punkcie nazywamy granicę właściwą Uwaga. Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia: przyrost argumentu iloraz różnicowy przyrost wartości funkcji odpowiadający przyrostowi argumentu to pochodna funkcji f w punkcie jest granicą ilorazu różnicowego gdy czyli
-obliczanie pochodnej na podstawie definicji 1) Na podstawie definicji pochodnej obliczyć pochodną danej funkcji w ustalonym punkcie -reguły obliczania pochodnych Reguły obliczania pochodnych sumy różnicy iloczynu ilorazu funkcji gdzie 1) Obliczyć pochodne podanych funkcji:
Zajęcia 9 Funkcje złożone Definicja (funkcja złożona) Założenia: zawiera się w Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję dla 1)Wyznaczyć złożenie funkcji ; dla funkcji i i Pochodne funkcji cd. O pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie to -pochodne funkcji złożonych 1)Obliczyć pochodne podanych funkcji -sprawdzanie czy dana funkcja złożona spełnia dane równanie różniczkowe 1)Sprawdzić czy dana funkcja spełnia wskazane równanie:
Interpretacja geometryczna pochodnej Niech oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie i dodatnią częścią osi Ox. Wówczas Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ma postać -zastosowanie pochodnej do wyznaczenia równia stycznej do krzywej 1)Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej w punkcie o odciętej jeżeli 2)Wyznaczyć punkt w którym styczna do linii jest równoległa do prostej. Zajęcia 10 Elementy badania funkcji -dziedzina funkcji -dziedzina funkcji pochodnej 1) Wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz dziedzinę jej pochodnej
Zajęcia 11 Elementy badania funkcji Pochodna a wykres funkcji Warunki które spełniają pochodne funkcji na danym przedziale a własności funkcji: i f rosnąca i wypukła i f rosnąca i wklęsła i f malejąca i wypukła i f malejąca i wklęsła -powtórzenie: równania i nierówności funkcyjne -badanie znaku pierwszej i drugiej pochodnej 1) Wyznaczyć przedziały z dziedziny funkcji f(x)w których jest ona jednocześnie malejąca i wypukła 2) Wyznaczyć przedziały z dziedziny funk cji w których jest ona jednocześnie rosnąca i wklęsła Zajęcia 12 Asymptoty wykresu funkcji Definicja(asymptota pionowa) Jeśli to prostą nazywamy asymptotą pionową lewostronną Jeśli to prostą nazywamy asymptotą pionową prawostronną.
Jeśli prosta pionową. jest as. pion. lewostronną i jednocześnie prawostronną to nazywamy ją as. Definicja (asymptoty ukośne) Prosta jest asymptotą ukośną funkcji f w wtedy i tylko wtedy gdy Uwaga 1. Prosta jest asymptotą ukośną funkcji f w ( wtedy i tylko wtedy gdy Uwaga 2. -reguła de l' Hospitala do obliczania granic funkcji -asymptoty pionowe i ukośne-zaznaczanie na płaszczyźnie 1)Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresów podanych funkcji i zaznaczyć je na płaszczyźnie Zajęcia 13 Powtórzenie -elementy badania funkcji 1) Wyznaczyć te przedziały w których funkcja jest rosnąca i przyjmuje jednocześnie wartości ujemne
2) Wyznaczyć te przedziały w których funkcja jest wypukła przyjmuje wartości dodatnie Zajęcia 14 Równania trygonometryczne nierówności trygonometryczne -rozwiązania ogólne elementarnych równań trygonometrycznych równanie rozwiązanie ogólne: ; równanie rozwiązanie ogólne: ; równanie rozwiązanie ogólne: równanie rozwiązanie ogólne: gdzie 1) Rozwiązać równania: 2) Rozwiązać nierówności:
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych (funkcje cyklometryczne albo kołowe) Określenie funkcji cyklometrycznych. Funkcje trygonometryczne różnowartościowe są odpowiednio na zbiorach. Zbiorami wartości odpowiednio zbiory : Na zbiorach (*) określone są funkcje odwrotne. (*) 1) Obliczyć wartości: ; ; ; ; ; 2) Wyznaczyć dziedziny następujących funkcji:
Zajęcia 15 Całka nieoznaczona Definicja funkcji pierwotnej Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I jeśli dla każdego I -funkcje pierwotne 1) Uzasadnić że funkcje są funkcjami pierwotnymi dla podanych funkcji f -"łatwe" i "trudne" całki 1) dx dx dx dx 2) dx 3)
Literatura W. Leksiński B. Macukow W. Żakowski Matematyka w zadaniach Wydawnictwa Naukowo- Techniczne Warszawa 1987. R.Grzymkowski Matematyka zadania i odpowiedzi Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego Gliwice 2002. M.Gewert Z.Skoczylas Analiza matematyczna I Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2001. A.Cewe H.Nahorska I.Pancer Tablice matematyczne Wydawnictwo Podkowa Gdańsk 2005.