Autoreferat. Tożsamości, relacje w grupach i powiązane z nimi automorfizmy. Witold Tomaszewski

Załącznik 2 Autoreferat Tożsamości, relacje w grupach i powiązane z nimi automorfizmy Witold Tomaszewski Zakład Algebry Instytut Matematyki Wydział Matematyki Stosowanej Politechnika Śląska Gliwice 2015

1 Autoreferat 1. Imię i nazwisko: Witold Tomaszewski 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe/ artystyczne z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej. 1. Dyplom magistra inżyniera podstawowych problemów techniki - specjalność matematyka stosowana - 1991 - Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechniki Śląskiej. 2. Dyplom doktora nauk matematycznych - 1999 - Wydział Matematyki Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego. Tytuł rozprawy doktorskiej: Automorfizmy permutujące w grupach i ich punkty stałe promotor: prof. dr hab. Olga Macedońska-Nosalska 3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych/ artystycznych. 1. 1.01.1991-30.09.1991 zatrudniony w Instytucie Matematyki na stanowisku laboranta. 2. 1.10.1991-30.09.1999 zatrudniony w Instytucie Matematyki Politechniki Śląskiej w Zakładzie Teorii Grup (później Zakładzie Algebry) na stanowisku asystenta. 3. 1.10.1999-14.02.2000 zatrudniony w Instytucie Matematyki Politechniki Śląskiej w Zakładzie Algebry na stanowisku wykładowcy. 4. 15.02.2000-15.02.2015 zatrudniony w Instytucie Matematyki Politechniki Śląskiej w Zakładzie Zakładzie Algebry na stanowisku adiunkta. 5. od 16.02.2015 zatrudniony w Instytucie Matematyki Politechniki Śląskiej w Zakładzie Zakładzie Algebry na stanowisku starszego wykładowcy. 4. Wskazanie osiągnięcia* wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.): cykl powiązanych tematycznie siedmiu publikacji: (a) Tytuł: Tożsamości, relacje w grupach i powiązane z nimi automorfizmy (b) Lista prac składających się na cykl publikacji powiązanych tematycznie: [H1] O. Macedońska, W. Tomaszewski, On Engel and positive laws, London Math. Soc. Lecture Notes, 388(2), (2011), 461-472. [H2] O. Macedońska, W. Tomaszewski, Group laws and varietal properties, Communications in Algebra 40 (2012) 4661-4667. [H3] W. Tomaszewski, The algorithms that recognize Milnor laws, Algebra and Discrete Mathematics 17(2), (2014), 300-324. [H4] W. Tomaszewski, Fixed points of automorphisms preserving the length of words in free solvable groups, Arch. Math. (Basel) 99 (2012), no. 5, 425 432. [H5] Z. Szaszkowski, W. Tomaszewski, On mep-relations in the wreath product of groups. J. Algebra 341 (2011), 306 312. [H6] W. Tomaszewski, Groups of bounded automorphisms of a free group of countable rank, Publ. Math. Debrecen, 83/4, (2013), 715-725. [H7] W. Tomaszewski, Self-similar automorphisms of a free group of countable rank, Math. Scand. 116 (1), (2015), 126-140. (c) Omówienie celu naukowego wyżej wymienionych prac i osiągniętych wyników wraz z omówieniem ich ewentualnego wykorzystania. Głównym celem naukowym wyżej wymienionych prac było badanie tożsamości oraz relacji w grupach. Nadrzędnym celem jest klasyfikacja tożsamości grupowych. Jest to stary, ale nadal bardzo istotny problem w kombinatorycznej teorii grup.

2 Chociaż pełna klasyfikacja tożsamości jest na razie daleka od kompletności i wydaje się bardzo trudna do osiągnięcia, to badania prowadzone w przedłożonych pracach przybliżają nas do niej. Jednym z otwartych problemów jest klasyfikacja rozmaitości metabelowych i rozwiązalnych ([30] problem 8.54). Przedłożone tu prace są wkładem autora w rozwiązanie tego problemu. Inspiracją do podjęcia badań w tej tematyce była duża ilość prac jej poświęconych (na przykład [4, 10, 13, 14, 18, 29, 31, 34, 51, 59, 62, 63]) i sporo otwartych problemów ([30], problemy 2.82, 4.46, 4.48, 4.50, 8.54, 11.17, 11.18, 14.40, 12.81, 15.51, 15.75, 15.88, 15.104, 17.126 i inne). Prace w tej tematyce pojawiały się od początku XX wieku. Początkowo badano wybrane klasy tożsamości: m.in. tożsamości nilpotentne, rozwiązalne czy skończonego wykładnika. Ta droga w pewnym momencie wyczerpała się, gdyż trudno było znaleźć nowe ważne z tego punktu widzenia klasy tożsamości. Dodatkowo część problemów okazała się bardzo trudna i do ich rozwiązania potrzebne były bardzo wyrafinowane metody. Zaczęto więc zastanawiać się jaki wpływ mogą mieć tożsamości na wybrane ważne klasy grup. Klasy grup, o których tu mowa, to klasy grup skończonych, rozwiązalnych, rezydualnie skończonych, lokalnie skończonych, proskończonych, macierzowych, lokalnie gradowanych, skończenie generowanych. Zauważono, że pewne tożsamości w szczególny sposób mogą oddziaływać na te klasy, a także, że mogą wywoływać dość nieoczekiwane własności. Takie podejście do badania tożsamości pojawiło się w pierwszej połowie dwudziestego wieku, kiedy Zorn [65] udowodnił, że każda skończona grupa spełniająca tożsamość engelową jest nilpotentna, chociaż wiemy, że istnieją nieskończone grupy spełniające te tożsamości, które nie są nilpotentne. Praca Zorna zainspirowała matematyków do dalszych badań nad klasą tożsamości engelowych. Jednym z pytań otwartych jest czy skończenie generowane grupy spełniające tożsamość [x, n y] 1 są nilpotentne? ([30], 2.82). Dotychczas udało się uzyskać pozytywną odpowiedź na to pytanie dla wszystkich n mniejszych lub równych 4 (dla n = 4 rozwiązanie znajduje się w pracy [22]). Innym ważnym problemem, związanym z poruszaną tu tematyką, jest pytanie czy tożsamości engelowe są równoważne tożsamościom półgrupowym (pozytywnym)? Także tutaj uzyskano na razie częściowe odpowiedzi dla n = 2, 3 w [57] (podobne wyniki uzyskano w pracy [MT3], której jestem współautorem), a dla n = 4 pokazano, że grupy 4-engelowe spełniają tożsamość półgrupową w [33] (w przypadku gdy grupa jest beztorsyjna) i w [63] (w klasie wszystkich grup). W latach dziewięćdziesiątych wprowadzono klasę tożsamości, które powodują, że każda skończenie generowana metabelowa grupa je spełniająca jest prawie nilpotentna [51]. Okazało się, że są to tożsamości, które wymuszają tak zwaną własność Milnora, którą Milnor wprowadził w swojej pracy o wzrostach grup [41]. Ma to też związek z podziałem rozwiązalnych rozmaitości na dwie klasy. Podział ten wprowadził J. Groves w [18]. Pierwsza klasa to rozmaitości, które zawierają sploty C p C grupy cyklicznej rzędu p i nieskończonej grupy cyklicznej, a druga to rozmaitości, w których każda skończenie generowana rozwiązalna grupa jest prawie nilpotentna [18] (czasami ten podział nazywany jest alternatywą lub dychotomią Grovesa). Przeglądając literaturę okazało się, że w wielu pracach pojawiały się inne warunki, które też powodują, że spełniające je grupy rozwiązalne spełniają również własność Milnora. Większość warunków, o których mowa jest podana poniżej w Twierdzeniu 6.1. Punktem wyjściowym prac [H1]-[H7] były problemy związane z tożsamościami grupowymi. W pracach [H1]-[H4] podano warunki określające różne ważne klasy tożsamości, a w pozostałych pracach badano wybrane problemy związane z problematyką tożsamości grupowych. Część z tych problemów to próba rozwiązania pytań pojawiających w Kourovka Noetebook ([30], m.in. problemy 2.82, 4.46,

3 4.48, 4.50, 8.54, 11.17, 11.18, 14.40, 12.81, 15.51, 15.75, 15.88, 15.104, 17.126). Prace [H1]-[H7] są wkładem w rozwiązanie tych problemów, a szczególnie problemu 8.54. Warto podkreślić, że z tematyką tożsamości grupowych powiązane są też inne działy kombinatorycznej teorii grup, w szczególności automorfizmy grup wolnych i ich ich punkty stałe oraz relacje w grupach skończonych. W pracach [H6] i [H7] badano wybrane klasy automorfizmów grup wolnych nieskończonej, przeliczalnej rangi. Pokazano w nich, że automorfizmy należące do tych klas pozwalają na opisywanie pewnych niemilnorowskich tożsamości grup rozwiązalnych oraz badano grupy generowane przez te automorfizmy. Tematyka poruszana w tych pracach ma związek z hipotezą D. Solitara [11]. W pracy [H5] były badane specjalne relacje w grupach skończonych, które mają związek z tożsamościami binarnymi określającymi skończone grupy rozwiązalne. W pracach [H1]-[H4] badano i klasyfikowano tożsamości z punktu widzenia ich oddziaływania na klasy grup rozwiązalnych i klasę grup skończonych. W tych pracach, a także w pracach, które były inspiracją do podjęcia badań tożsamości podzielono na różne klasy: R-tożsamości, tożsamości Milnora, t-tożsamości, P - tożsamości, A-tożsamości, SM-tożsamości i inne. Część z tych klas tożsamości była już badana we wcześniejszych pracach, a niektóre zostały zdefiniowane i badane w pracach [H1]-[H4]. Przeglądając literaturę dotyczącą tej tematyki okazało się, że wielu autorów rozważało tożsamości należące do wyżej wymienionych klas. W trakcie przygotowywania tego opracowania została przyjęta do druku praca ([WT2] wspólna z B. Bajorską i O. Macedońską), w której pokazano, że wiele z wymienionych tu klas tożsamości jest kratami. To daje nowe możliwości - badania tych klas z punktu widzenia teorii krat. Obecnie prowadzę badania nad własnościami tych krat. Z punktu widzenia wpływu jaki mają tożsamości na klasę grup rozwiązalnych możemy wyróżnić tożsamości, które powodują, że wszystkie grupy rozwiązalne spełniające je są prawie nilpotentne, to znaczy posiadają nilpotentny dzielnik normalny skończonego indeksu. Tożsamości o tej własności nazywamy tożsamościami Milnora. Nazwa ta została nadana przez F. Point w pracy [51], gdzie zauważono, że grupy rozwiązalne spełniające te tożsamości spełniają własność, którą rozważał J. Milnor w swojej pracy o wzrostach grup [41]. Przeglądając literaturę dotyczącą tej tematyki można zauważyć, że wielu autorów badało tożsamości, które jak się okazało są tożsamościami Milnora, a także że te tożsamości można określać na różne, równoważne sposoby. Można też definiować nowe klasy tożsamości. Moim wkładem pracy w tej dziedzinie jest opracowanie różnych metod sprawdzania, czy zadane tożsamości są tożsamościami Milnora, R-tożsamościami, czy też są tożsamościami spełniającymi wybrane własności grupowe. To pozwala w wielu przypadkach łatwo sprawdzać, czy zadane tożsamości mają wymienione wyżej własności, a także badać dodatkowe własności grup spełniających te tożsamości. Zbiór tożsamości Milnora można dalej podzielić na pewną ilość ważnych podzbiorów, m.in. R-tożsamości, tożsamości pseudo-abelowe, tożsamości, które powodują, że grupy nilpotentne je spełniające są abelowe i wiele innych (w dalszej partii tego tekstu wyjaśniamy wprowadzone tu pojęcia). Obecnie prowadzone są przeze mnie badania nad tożsamościami, które powodują, że skończenie generowane grupy rozwiązalne je spełniające są nilpotentne oraz nad pewnymi uogólnieniami pojęcia nilpotentności grup. Takie uogólnienia zostały zaproponowane między innymi w pracy G. Traustasona [62].

4 Interesująca jest również klasa tożsamości, które nie są tożsamościami Milnora. Ta klasa w naturalny sposób dzieli się na dwie podklasy. Pierwsza klasa to tożsamości, które spełniają wszystkie grupy metabelowe, a druga to pozostałe. W pierwszej klasie tożsamości znajdują się tożsamości symetryczne spełnione we wszystkich grupach rozwiązalnych określonego stopnia. Niektóre tożsamości mogą być traktowane jako punkty stałe pewnych automorfizmów (lub zbiorów automorfizmów). Dokładniej, jeśli δ jest automorfizmem grupy wolnej F n to obraz słowa w F n w relatywnie wolnej grupie G jest punktem stałym automorfizmu δ wtedy i tylko wtedy, gdy w w δ jest tożsamością w G. Postać takich tożsamości silnie zależy od własności automorfizmu δ w grupie wolnej F n, a w szczególności od obcięcia automorfizmu δ do podgrupy F n. Ponadto F n jest grupą wolną przeliczalnej rangi. W pracach [H6], [H7] badano specjalne typy automorfizmów, pozwalające opisywać tego typu tożsamości w grupach rozwiązalnych wolnych. Problematyka związana z tą tematyką jest następująca: 1. Jaką postać mogą przyjmować tożsamości należące do różnych klas? Taka postać była opisana w pracach F. Point [51], S. Black [4], G. Endimioniego [13] i innych. Jednak dopiero opis, który pojawił się w przedłożonych pracach [H1]-[H4] pozwala w sposób jednoznaczny określać do jakiej klasy dana tożsamość należy oraz wyjaśniać dlaczego grupy spełniające tożsamości różnych typów mają szereg podobnych cech. Na przykład wiemy, że grupy spełniające tożsamości półgrupowe mają szereg podobnych własności co grupy spełniające tożsamości engelowe. To pozwala również wprowadzać uogólnienia zarówno tożsamości półgrupowych, jak i tożsamości engelowych. Kolejnym osiągnięciem tych prac jest wskazanie, że pewne własności grupowe mogą być spowodowane przez tożsamości. Na przykład pewne tożsamości mogą powodować, że we wszystkich grupach je spełniających zachodzi przechodniości normalności podgrup. 2. Jak zachowują się tożsamości na innych niż rozwiązalne klasach grup? Na przykład w pracy [31] pokazano, że rezydualnie skończone, skończenie generowane grupy spełniające tożsamość Milnora są również prawie nilpotentne. Często badając tożsamości przypatrujemy się jak zachowują się grupy skończone spełniające te tożsamości. Może się zdarzyć, że każda grupa skończona spełniająca daną tożsamość jest abelowa, ale istnieją nieabelowe grupy ją spełniające. Takie tożsamości nazywamy tożsamościami pseudo-abelowymi. H. Neumann w [44] (Problem 5) zadała pytanie czy takie tożsamości istnieją. Pozytywną odpowiedź na to pytanie dał A. Olszański (A. Ol shanskii) wskazując przykłady takich tożsamości. Jednak jego przykłady są dość skomplikowane. A zatem celowe jest poszukiwanie prostszych i krótszych przykładów. Wprawdzie takich przykładów jeszcze nie znamy, ale w pracach [H1] i [H4] podane są potencjalne przykłady tego typu. 1. Wstęp Celem tej pracy jest przedstawienie wyników dr. Witolda Tomaszewskiego. Praca ma na celu zarówno opisanie wyników, jak również przedstawienie miejsca tych badań wśród innych prac dotyczących tej tematyki. 2. Podstawowe definicje i oznaczenia Będziemy oznaczać przez F n grupę wolną rangi n generowaną w sposób wolny przez elementy x 1, x 2,..., x n. W szczególności, standardowe generatory wolne grupy F 2 oznaczać będziemy przez x, y. Z każdym słowem binarnym w(x, y) F 2 kojarzyć będziemy tożsamość grupową w(x, y) 1. Czasem tożsamość będziemy zapisywać w postaci u(x, y) v(x, y),

gdzie u, v są pewnymi słowami binarnymi. W szczególności, gdy u, v w swoim zapisie mają wyłącznie dodatnie potęgi x i y to tożsamość u(x, y) v(x, y) nazywać będziemy tożsamością półgrupową lub pozytywną. Na przykład xy 2 y 2 x jest tożsamością półgrupową. Niech G będzie dowolną grupą, a, b, c elementami grupy G. Wtedy wprowadzamy oznaczenia: a b := b 1 ab, a b+c := a b a c. Dodatkowo w wykładniku można mnożyć elementy grupy zgodnie z formułą a bc = (a b ) c oraz można mnożyć element grupy przez liczbę całkowitą γ: a γb = (a γ ) b = (a b ) γ. Ogólnie, w wykładniku mogą się pojawiać sumy γ i b i, gdzie γ i Z, b i G. Zbiór tych sum w wykładniku wraz z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy prawie-pierścień. Ten prawie-pierścień jest podprawie-pierścieniem prawiepierścienia wszystkich funkcji przekształcających G w siebie (patrz, na przykład [53], 1.5). W ogólnym przypadku ani dodawanie, ani mnożenie nie jest przemienne; zachodzi lewostronna rozdzielność i prawie prawostronna rozdzielność. Dokładniej, dla każdych trzech elementów a, b, c G zachodzi (a + b)c = ac + bc, ale dla γ Z na ogół nie zachodzi (a + b)γ = aγ + bγ. Warto jeszcze zauważyć, że jeśli G jest grupą metabelową i a G, to sumy w wykładniku tworzą pierścień przemienny. Dla dowolnych elementów a, b grupy G oznaczamy przez [a, b] element a 1 b 1 ab= a 1+b. Jeśli A, B są dowolnymi podzbiorami grupy G to [A, B] oznacza podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory [a, b] takie, że a A, b B. W szczególności, każda grupa G wyznacza dwa ciągi podgrup normalnych: ciąg komutantów (zwany też ciągiem pochodnych) G (0) = G, G (n+1) = [G (n), G (n) ] dla n 0. Tradycyjnie początkowe wyrazy tych ciągów oznaczamy przez G (1) = G, G (2) = G, G (3) = G. Podgrupę G nazywamy komutantem grupy G. dolny ciąg centralny γ 1 (G) = G, γ n+1 (G) = [γ n (G), G] dla n 1. Powiemy, że grupa G jest rozwiązalna stopnia n > 0, jeśli G (n) = {1} i G (n 1) {1}. W szczególności, jeśli G = {1} to grupę G nazywamy abelową, a jeśli G = {1} to G nazywamy grupą metabelową. Powiemy, że grupa G jest nilpotentna klasy c, jeśli γ c+1 (G) = {1} i γ c (G) {1}. W szczególności, grupy abelowe są nilpotentne klasy 1. Ponieważ G (i) γ 2 i(g), każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna. Oznaczymy przez σ y odwzorowanie F 2 Z takie, że σ y (w) jest sumą wykładników potęg występujących przy y w zapisie skróconym słowa w(x, y) (w podobny sposób można określić odwzorowanie σ x ). Wtedy σ y jest homomorfizmem, a jego jądro Ker(σ y ) jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą x i taką, że grupa F 2 /Ker(σ y ) jest cykliczna generowana przez obraz y. Podgrupa Ker(σ y ) jest nieskończenie generowana w sposób wolny przez wszystkie elementy x yn dla n Z. Dlatego tę podgrupę będziemy oznaczać przez x y i mamy: x y = x yn ; n Z. Podobnie, jeśli a, b są elementami pewnej grupy G to przez a b oznaczać będziemy najmniejszą podgrupę normalną w a, b zawierającą element a. Zatem a b = a bn ; n Z. W zależności od grupy G i jej elementów podgrupa a b jest skończenie lub nieskończenie generowana. Na przykład w skończenie generowanej grupie nilpotentnej każda podgrupa a b jest skończenie generowana (każda podgrupa skończenie generowanej grupy nilpotentnej jest skończenie generowana [53], 3.1.6, 5.2.17). 5

6 Rozmaitością grup nazywamy klasę grup zamkniętą ze względu na branie podgrup, obrazy homomorficzne i iloczyny kartezjańskie. Wiadomo, że każda rozmaitość jednoznacznie wyznacza zbiór tożsamości takich, że każda grupa w tej rozmaitości spełnia każdą z tych tożsamości. Odwrotnie, każdy zbiór słów (tożsamości) wyznacza jednoznacznie rozmaitość grup spełniających wszystkie tożsamości z tego zbioru. W tej pracy używać będziemy oznaczeń rozmaitości zaczerpniętych z książki H. Neumann [44]. Jeśli U i V są rozmaitościami grup to UV jest rozmaitością złożoną z grup G, które mają podgrupę normalną N U taką, że G/N V. Powiemy, że grupa G jest rozszerzeniem grupy o własności Φ przez grupę o własności Ψ, jeśli G posiada podgrupę normalną N mającą własność Φ taką, że G/N ma własność Ψ (w terminologii angielskiej o takich grupach powiemy, że są Φ-by-Ψ ). Powiemy też, że grupa G jest prawie Φ jeśli ma normalną podgrupę N skończonego indeksu w G spełniającą własność Φ. W tej pracy będziemy używać następujących rozmaitości: (1) A - rozmaitość wszystkich grup abelowych, (2) A p - rozmaitość grup abelowych wykładnika dzielącego p, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą, (3) A n - rozmaitość grup rozwiązalnych stopnia mniejszego bądź równego n, w szczególności A 2 jest rozmaitością grup metabelowych, (4) A p A - rozmaitość grup, które są rozszerzeniami grup abelowych wykładnika dzielącego p przy pomocy grup abelowych, (5) N c - rozmaitość grup nilpotentnych klasy mniejszej bądź równej c, (6) B e - rozmaitość grup Burnside a, tj. grup wykładnika dzielącego liczbę naturalną e, (7) N c B e - rozmaitość grup, które są rozszerzeniami grup nilpotetnych klasy mniejszej bądź równej c przy pomocy grup wykładnika dzielącego e. Dla pewnej własności grupowej Φ powiemy, że grupa G jest lokalnie Φ, jeśli każda jej skończenie generowana podgrupa spełnia własność Φ. Na przykład grupa jest lokalnie nilpotentna, jeśli każda jej skończenie generowana podgrupa jest nilpotentna. Powiemy, że G jest rezydualnie Φ jeśli dla każdego g G istnieje podgrupa normalna N taka, że g N i G/N spełnia Φ. Powiemy, że grupa G jest doskonała, jeśli ma trywialne centrum i G = G. 3. R-tożsamości i tożsamości Milnora Definicja 3.1. Grupa G ma własność Milnora (lub jest restrained ), jeśli dla każdych a, b G podgrupa a b jest skończenie generowana. Powiemy, że G ma jednorodną własność Milnora, jeśli istnieje liczba naturalna k taka, że każda podgrupa a b jest co najwyżej k generowana. Przykładami grup, które spełniają jednorodną własność Milnora są grupy abelowe lub ogólniej, grupy nilpotentne. Grupy wolne jej nie spełniają. Grupy, które spełniają powyższą własność wprowadził w swojej pracy nad wzrostami J. Milnor ([41]). Następnie były prowadzone badania nad takimi grupami i S. Rosset udowodnił w [55], że jeśli grupa spełnia własność Milnora, to każda jej skończenie generowana podgrupa ma skończenie generowany komutant. O. Macedońska zauważyła, że warunek Rosseta jest równoważny z warunkiem Milnora. Zatem, grupa G posiada własność Milnora wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej skończenie generowana podgrupa ma skończenie generowany komutant [34]. Powstaje tu naturalne pytanie czy tożsamości grup mogą wymuszać własność Milnora. Z prowadzonych badań wynika, że takie tożsamości istnieją ([H1], [31]). Takie tożsamości nazywamy R-tożsamościami [31]. Definicja 3.2. Niech w(x, y) będzie słowem binarnym w grupie F 2. Wtedy

7 1. w(x, y) 1 będziemy nazywać R-tożsamością, jeśli każda grupa spełniająca tożsamość w(x, y) ma własność Milnora. 2. w(x, y) 1 będziemy nazywać tożsamością Milnora, jeśli każda metabelowa grupa spełniająca tożsamość w(x, y) ma własność Milnora. 3. w(x, y) 1 będziemy nazywać t-tożsamością, jeśli każda grupa ją spełniająca ma przechodnią relację normalności podgrup, to znaczy jeśli G spełnia tę tożsamość i M, N są podgrupami G takimi, że M G, N M to N G. 4. Tożsamości nazywać będziemy półgrupowymi lub P -tożsamościami jeśli mają postać u(x, y) v(x, y), gdzie u, v mają w swoim zapisie tylko dodatnie potęgi x i y. 5. w(x, y) 1 nazywamy tożsamością pseudo-abelową lub P A-tożsamością jeśli każda metabelowa grupa ją spełniająca jest abelowa. Uwaga 3.1. nic 1. Jest jasne, że jeśli własność Milnora jest wymuszana przez R-tożsamość w(x, y) 1 to grupa spełniająca tę tożsamość ma jednorodną własność Milnora. 2. W definicji tożsamości Milnora można zastąpić słowo metabelowa przez rozwiązalna - otrzymując równoważny warunek. 3. grupy z własnością przechodniości normalności były intensywnie badane przez wielu autorów ([53], 13.4), jednak istnienie relatywnie wolnych grup spełniających tę własność długo było otwartym problemem. Pierwszy przykład takich grup był podany w 1997 roku w [35]. 4. H. Neumann pokazała w [44] (opierając się na nieopublikowanym wyniku Sh. Oates), że tożsamość jest pseudo-abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda skończona grupa ją spełniająca jest abelowa. A. Yu. Olszański podał pierwszy przykład nieabelowej, pseudo-abelowej tożsamości ([46], rozdział 29.2). R-tożsamości zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Y. Kima i A. Rhemtullę w [31]. Niezależnie wprowadzono je w [34], gdzie odpowiedziano na pytanie R. Burnsa: dlaczego tożsamości Engela i tożsamości półgrupowe mają szereg wspólnych własności? Trzy ważne klasy R-tożsamości: tożsamości półgrupowe [34], [H1], tożsamości Engela - tożsamości postaci [x, n y] 1, zbiór wszystkich takich tożsamości oznaczać będziemy przez E [34], [H1], uogólnione tożsamości Engela - tożsamości postaci [x, n y] [x, m y] [34], [H1]. Wprost z definicji wynika, że każda R-tożsamość jest tożsamością Milnora. Podobnie jak dla tożsamości możemy wyróżnić odpowiednie zbiory rozmaitości grup. Będą to: RV - R-rozmaitości, MV - rozmaitości Milnora, T V - t-rozmaitości, PV - rozmaitości półgrupowe, PAV - P A-rozmaitości. Na przykład rozmaitość jest R-rozmaitością jeśli każda grupa w tej rozmaitości spełnia warunek Milnora. Dodatkowo w literaturze pojawiło się też pojęcie silnie uogólnionej rozmaitości Burnside a [62]. Jest to rozmaitość, w której każda lokalnie nilpotentna grupa jest nilpotentna. Na przykład każda rozmaitość nilpotentna jest silnie uogólnioną rozmaitością Burnside a. Również każda pseudo-abelowa rozmaitość jest silnie uogólnioną rozmaitością Burnside a. Inne przykłady takich rozmaitości to rozmaitości grup, w których każda nilpotentna grupa jest abelowa. Takie przykłady podawane są w dalszej części tej pracy (Twierdzenie 6.1). Przykładem rozmaitości, która nie jest silnie uogólnioną rozmaitością Burnside a jest rozmaitość grup 3-engelowych tj. spełniających tożsamość [x, y, y, y]. Wiadomo, że każda skończona grupa spełniająca tę tożsamość jest nilpotentna (M. Zorn [65]) i każda skończenie generowana grupa rozwiązalna spełniająca tę

8 tożsamość jest nilpotentna (K. Gruenberg [19]). Do tej rozmaitości należy splot G = Z2 Z 2 nieskończonej potęgi prostej grupy Z 2 i grupy Z 2, która jest lokalnie skończona, a więc lokalnie nilpotentna, ale nie jest nilpotentna. Lokalna skończoność grupy G wynika stąd, że grupa ta ma wykładnik 4, a Sanov udowodnił [56], że skończenie generowana grupa wykładnika 4 jest skończona. Zależności pomiędzy klasami tożsamości: PV RV MV, T V PAV MV. Przypatrując się tym zawieraniom można zapytać, czy między poszczególnymi zbiorami zachodzą ostre nierówności. W wielu sytuacjach możemy wskazać przykłady rozmaitości, które należą do jednej z klas i nie należą do innej, ale niektóre zawierania stanowią problemy otwarte. Na przykład wiadomo, że zawieranie PAV MV jest ostre, ale nie znamy przykładu rozmaitości Milnora, która nie jest R- rozmaitością - mamy klika potencjalnych przykładów rozmaitości Milnora, które prawdopodobnie nie są R-rozmaitościami. W [WT2] (wspólnej pracy z B. Bajorską i O. Macedońską) pokazano, że większość omawianych tu zbiorów rozmaitości tworzy kratę. W literaturze można znaleźć różnie definiowane tożsamości, które mają szereg wspólny cech. Pojawiło się, zatem naturalne pytanie co powoduje, że tożsamości należące do różnych klas wymuszają podobne własności grup je spełniających. Odpowiedź na to pytanie wiąże się z tym, że są one podobnie skonstruowane jako elementy grupy wolnej. Wprowadzenie takiej konstrukcji pozwala nie tylko porównywać tożsamości z różnych klas, ale również poszerzać zbiór tożsamości wymuszających takie własności. Dzięki tej konstrukcji możemy również porównywać ze sobą zbiory tożsamości i zbiory rozmaitości. Tożsamości i rozmaitości, o których mowa, były badane w różny sposób. Istnieją dwa główne nurty badań. Pierwszy, to badanie jakie własności tożsamości prowadzą do tego, że tożsamości te są R-tożsamościami lub tożsamościami Milnora. Drugi, to jakie dodatkowe własności wymuszają R-tożsamości i tożsamości Milnora. Najczęściej pojawiające się oznaczenia [x, 0 y] = x, [x, 1 y] = [x, y] = x 1 y 1 xy, [x, n+1 y] = [[x, n y], y], dla n 0, E = [x, i y], 0 i, E n = [x, i y], 0 i n, W pracy [H1] pokazano równości: E n = [x, i y], 0 i n = x, [x, y i ], 0 i n = x yi, 0 i n. Wyniki dotyczące R-tożsamości i tożsamości Milnora Poniżej w sposób zbiorczy podano wyniki dotyczące R-tożsamości oraz tożsamości Milnora. Każda lokalnie gradowana, skończenie generowana grupa spełniająca R- tożsamość jest prawie nilpotentna ([10]). Każda rezydualnie skończona, skończenie generowana grupa spełniająca tożsamość Milnora jest prawie nilpotentna ([31]). Każda skończenie generowana grupa w klasie S spełniająca R-tożsamość jest prawie nilpotetna (klasa S została wprowadzona w pracy [10] i jest to najmniejsza klasa zawierająca grupy skończone, rozwiązalne i zamknięta ze względu operatory lokalności i rezydualności). Warunki opisane w poniższych dwóch pracach opierają się na dwóch faktach. Pierwszy z nich mówi, że w dwu generowanej grupie metabelowej wolnej, podgrupa [x, i y] : i N jest nieskończenie generowana. Drugi, że komutator [x, y 1 ] nie należy do podgrupy [x, i y] : i N (patrz [44], 36.24).

9 4. Konstrukcje tożsamości (oparte głównie na pracy [H1]) Praca [H1] jest początkiem współpracy z O. Macedońską nad klasami tożsamości grup. Współpraca ta zaowocowała czterema publikacjami i nadal prowadzone są wspólne badania. Dwie z tych publikacji ([H1] i [H2]) są włączone do tego opracowania. Praca [H1] jest kontynuacją artykułu [34]. W artykule [34] pokazano, że pewne własności grup spełniających daną tożsamość zależą od formy tej tożsamości. Zarówno w pracy [H1] jak i w [H2] pokazano formy w jakich można zapisywać tożsamości z różnych klas. W konstrukcjach tych oparto się na różnych własnościach komutatorów w grupach absolutnie wolnych (lub wolnych rozwiązalnych). Punktem wyjściowym pierwszej z tych prac był fakt, że w grupie wolnej F 2 (a nawet grupach rozwiązalnych wolnych) podgrupy [x, i y], i 0, [x, y i ], i Z, x yi, i Z są nieskończenie generowane, a punktem wyjściowym drugiej z nich był fakt, że w grupie metabelowej wolnej komutatora [x, y 1 ] nie da się zapisać przy pomocy komutatorów [x, n y] dla n 0. W literaturze można znaleźć różne definicje wprowadzonych powyżej klas tożsamości - tożsamości Milnora i R-tożsamości. Na przykład G. Endimioni w [14] definiuje tożsamości Milnora jako te, które nie są spełnione w żadnej rozmaitości A p A. Inne definicje tożsamości Milnora podają F. Point w [51] i S. Black w [4], a przeglądając literaturę związaną z różnymi własnościami grup metabelowych można podać szereg innych warunków charakteryzujących tożsamości Milnora. W Twierdzeniu 6.1 podajemy różne równoważne warunki określające tożsamości Milnora. Podobnie rzecz się ma z R-tożsamościami. Jedną z pierwszych prac o tych tożsamościach był artykuł Y. Kima i A. Rhemtulli [31], którzy zdefiniowali je jako te tożsamości, które powodują, że grupy je spełniające spełniają warunek Milnora. Podobnie jak w przypadku tożsamości Milnora można wprowadzić wiele innych warunków równoważnie określających R-tożsamości. Definicje podane w pracach [4], [14], [51] mogą być niewygodne w użyciu ponieważ nie dają wyczerpującej odpowiedzi na poniższe zagadnienia: 1. do jakiego ze zbiorów należy zadana tożsamość lub klasy tożsamości (engelowe, półgrupowe itp.), 2. jak wzajemnie położone są różne zbiory tożsamości, 3. jakie dodatkowe własności są wymuszane przez tożsamości należące do zadanej klasy, 4. dlaczego tożsamości z różnych klas wymuszają podobne własności grup je spełniających. Interesujące też jest pytanie: jakie własności mogą być wymuszane przez tożsamości. Aby poradzić sobie z powyższymi problemami w pracach [34] i [H1] wprowadzono pojęcie S-konstrukcji tożsamości. Niech S będzie podzbiorem F 2. Powiemy, że tożsamość w(x, y) ma S-konstrukcję u(x, y) S, jeśli w(x, y) jest równoważna z tożsamością postaci u(x, y) s, gdzie s S. Pokazano, że zarówno słowo u jak i zbiór S pozwalają scharakteryzować tożsamości. W szczególności konstrukcję postaci x k0 [x, y] k1 [x, 2 y] k2... [x, n y] kn E, gdzie E = [x, i y], 0 i nazywamy uogólnioną konstrukcją Engela. W Twierdzeniu 1 w [34], a także w Twierdzeniu 5.5 w [H1] pokazano, że każda tożsamość jest równoważna tożsamości, która jest w postaci uogólnionej konstrukcji Engela. W [H1] pokazano również, że własności tożsamości, oraz własności grup je spełniających zależą od tego jaką formę przyjmuje konstrukcja Engela danej tożsamości. To często zależy od wykładników k 0, k 1,..., k n pojawiających sie w tej postaci.

10 Warto dodać, że w pracy [H3] pokazano jak można osiągać taką formę tożsamości algorytmicznie. Dzięki powyższej konstrukcji możemy podać warunek określający R-tożsamości: Twierdzenie 4.1 (Stwierdzenie 6.3, [H1]). Tożsamość w(x, y) jest R-tożsamością wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoważna z tożsamością postaci: [x, n y] x, [x, y], [x, 2 y],..., [x, n 1 y]. Dowód powyższego Twierdzenia opiera się między innymi na, wykazanych w [H1], równościach (Lemat 5.3, Wniosek 5.4): (1) E n = [x, i y], 0 i n = x, [x, y i ], 0 i n = x yi, 0 i n. W pracy [34] podany jest również warunek charakteryzujący R-tożsamości, ale ma on nieco inną i mniej wygodną w użyciu postać. Z powyższego Twierdzenia wynikają następujące wnioski. Wniosek 4.1 (Wniosek 6.4, [H1]). Tożsamości półgrupowe i tożsamości Engela są R-tożsamościami. Wniosek 4.2 (Wniosek 6.4, [H1]). Każda grupa spełniająca tożsamość pólgrupową lub tożsamość Engela spełnia warunek Milnora. Z tego wynika następnie, że tożsamości Engela i tożsamości półgrupowe mają podobne własności. Nieprzypadkowe, więc jest pytanie, czy tożsamości engelowe pociągają tożsamości półgrupowe. Na razie ten problem jest otwarty, wiemy jedynie, że tożsamości [x, n y] 1 pociągają tożsamości półgrupowe dla n = 1, 2, 3 (Shirshov [57]) i n = 4 (Traustason [63]). Warto również zauważyć, że z powyższego Twierdzenia wynika, że tożsamości postaci [x, n y] [x, m y], gdzie n < m są R-tożsamościami. Ponadto te tożsamości są nietrywialne ponieważ każda grupa skończona spełnia taką tożsamość. Jeśli skończona grupa nieprzemienna G spełnia tożsamość [x, n y] [x, m y] dla n > m to dwu-generowana grupa wolna w rozmaitości definiowanej przez tożsamość [x, n y] [x, m y] jest nieskończona i nieprzemienna. Badaniem takich tożsamości zajmowała się D. Nikolova (jedną z wielu prac na ten temat jest na przykład [43]). Wśród tożsamości tego typu istnieją potencjalne przykłady R-tożsamości, które nie są tożsamościami półgrupowymi. Szczególnym rodzajem takich tożsamości są tożsamości L n : [x, y] [x, n y]. N. D. Gupta udowodnił w [20], że każda grupa spełniająca tożsamość L 2 lub L 3 jest abelowa. Wysnuł też przypuszczenie, że dla n > 3 tożsamość L n nie jest równoważna tożsamości abelowej. Z analizy dokonanej w pracy [H1] wynika, że abelowość tożsamości L 2 i L 3 wynika z faktu, że [x, n y 1 ] są równe [x, n y] ±a dla n = 2, 3 i pewnych a F 2. Natomiast komutator [x, 4 y] nie ma tej własności. Nadal jednak przypuszczenie Gupty jest problemem otwartym. Obecnie prowadzę intensywne badania nad tymi tożsamościami. Można zauważyć, że te tożsamości są równoważne z tożsamościami postaci ab ba, gdzie a, b są słowami grupy F 2 generującymi ją w sposób normalny. Te rozważania były punktem wyjściowym przyjętej właśnie do druku pracy [WT1] nad tożsamościami postaci ab ba, dla pewnych słów a, b F 2. Można również zauważyć, że każda metabelowa grupa spełniająca tożsamość L n jest abelowa. To oznacza, że tożsamości L n są albo abelowe, albo pseudo-abelowe. Mamy więc dwie możliwości albo tożsamość [x, y] [x, 4 y] jest równoważna tożsamości abelowej, albo jest przykładem tożsamości pseudo-abelowej, prostszym niż przykład Olszańskiego ([46], 29.2). Najważniejszymi wynikami pracy [H1] są Twierdzenie 5.5, Stwierdzenie 6.3, wnioski z niego płynące oraz równości oznaczone tu przez (1).

11 5. Tożsamości o konstrukcji [x, y 1 ] u(x, y) ([H2]) Praca [H2] jest kontynuacją poprzedniej pracy. W poprzedniej pracy punktem startowym był fakt, że grupa E = [x, n y], n N jest nieskończenie generowana. Rozważano więc tożsamości, które powodują, że grupa E staje się skończenie generowana; okazało się, że wiele klasycznych tożsamości posiada tę cechę oraz każda taka tożsamość wykazuje wiele podobieństw z tożsamościami półgrupowymi oraz tożsamościami engelowymi. W pracy [H2] rozważano tożsamości, które implikują tożsamość o konstrukcji [x, y 1 ] s(x, y). Punktem wyjściowym badań w tej pracy było stwierdzenie, że w grupie metabelowej wolnej G = F 2 /F 2 generowanej przez a, b komutator [a, b 1 ] nie jest iloczynem komutatorów bazowych ([44], 36.24). Można pokazać, że zachodzą równości [a, k b, l a] = [a, k b] ( 1+a)l, a więc powyższe stwierdzenie jest równoważne ze stwierdzeniem, że w grupie metabelowej wolnej komutator [a, b 1 ] nie należy do zbioru E. Naturalne jest, więc pytanie co stałoby się gdyby komutator [x, y 1 ] należał do zbioru E? Dlatego też podjęto badanie tożsamości o postaci [x, y 1 ] s(x, y). Rozważano pytanie jak własności tożsamości o tej postaci zależą od wyboru elementu s, a właściwie od wyboru podgrupy, do której s należy. W szczególności dla s należącego do E otrzymujemy własność opisaną w poprzednim akapicie. Głównymi wynikami pracy [H2] są Twierdzenia 1-4 oraz Stwierdzenie 1. Prezentujemy je poniżej: Twierdzenie 5.1 (Twierdzenia 1-3, [H2]). nic 1. Rozmaitość V jest R-rozmaitością wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy w V spełniają pewną (wspólną) tożsamość postaci [x, y 1 ] s, gdzie s E. 2. Rozmaitość V jest rozmaitością Milnora wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy w V spełniają pewną (wspólną) tożsamość postaci [x, y 1 ] s, gdzie s EF 2. 3. Rozmaitość V jest t-rozmaitością (tj. rozmaitością, w której każda grupa ma własność przechodniości normalności podgrup) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy w V spełniają pewną (wspólną) tożsamość postaci [x, y 1 ] s, gdzie s [F 2, x ]. Z Twierdzenia 3 z pracy [H2] wynika następujący wniosek: Wniosek 5.1 (Stwierdzenie 1, [H2]). Rozmaitość t-grup jest rozmaitością pseudoabelową, to znaczy każda metabelowa grupa w tej rozmaitości jest abelowa. To oznacza, że również każda skończona grupa w tej rozmaitości jest abelowa. W wielu pracach zajmowano się t-grupami, czyli grupami z przechodniością normalności podgrup. W szczególności intensywnie badane są skończone t-grupy. Jedną z pierwszych prac dotyczącą skończonych t-grup była praca W. Gashütza w [16]. Jednakże powyższy Wniosek mówi, że przechodniość normalności w skończonych grupach nie jest wymuszana przez tożsamości, a decydują o tym zależności innego rodzaju. Dalej wynika z tego, że jeśli G jest skończoną t-grupą to w rozmaitości var(g) istnieją skończone grupy, które nie są t-grupami. W pracy [H2]] udowodniono również następujące Twierdzenie. Twierdzenie 5.2 (Twierdzenie 4, [H2]). Rozmaitość V spełnia tożsamość [x, y 1 ] [x, y] k wtedy i tylko wtedy, gdy każda grupa G w tej rozmaitości jest 2-Engelowa i (G ) k+1 = 1.

12 6. Algorytmy dla tożsamości Milnora ([H3]]) Pojęcie tożsamości Milnora zostało wprowadzone przez F. Point w [51]. Każde słowo z grupy x y może być zapisane w postaci x f(y) ξ, gdzie f(y) jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych, a ξ jest czynnikiem porządkującym (tak aby w wykładniku otrzymać wielomian) należącym do ( x y ). Definicja Point mówi, że tożsamość w(x, y) jest tożsamością Milnora, jeśli w(x, y) pociąga tożsamość x f(y) ξ, gdzie f(y) jest wielomianem prymitywnym (tj. ma względnie pierwsze współczynniki). G. Endimioni [14] zauważył, że definicja Point jest równoważna ze stwierdzeniem, że rozmaitość V definiowana przez w(x, y) nie zawiera żadnej rozmaitości A p A, gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą. Okazało się, że w wielu pracach pojawiały się warunki, które są równoważne z pojęciem tożsamości Milnora - w tych pracach nie zawsze była mowa wprost o tożsamościach, ale zwykle podawano pewne własności, które grupa spełniająca daną tożsamość może posiadać. Poniżej zostały wymienione najważniejsze warunki określające tożsamości Milnora. W poniższym twierdzeniu słowo w(x, y) utożsamiamy z tożsamością w(x, y) 1. Twierdzenie 6.1. Niech w(x, y) będzie słowem binarnym. warunki są równoważne: Wtedy następujące 1. w(x, y) jest tożsamością Milnora. 2. w(x, y) pociąga tożsamość postaci x f(y) ξ, gdzie f(y) jest wielomianem prymitywnym, a ξ należy do podgrupy ( x y ) (F. Point [51]). 3. w(x, y) pociąga tożsamość x g(y) ξ, gdzie g(y) należy do Z[y, y 1 ] i ma względnie pierwsze współczynniki, a ξ należy do ( x y ) (S. Black [4]). 4. Rozmaitość grup definiowana przez w(x, y) nie zawiera żadnej rozmaitości A p A (J. Groves [18], G. Endimioni [14]). 5. Jeśli G jest nieabelową metabelową grupą w rozmaitości definiowanej przez tożsamość w(x, y), to G nie zawiera dwu-generowanego monoidu wolnego (J. Rosenblatt [54]). 6. Każda metabelowa grupa spełniająca tożsamość w(x, y) jest rozszerzeniem grupy nilpotentnej przez grupę lokalnie skończoną skończonego wykładnika (J. Groves [18]). 7. w(x, y) nie jest tożsamością w żadnym splocie C p C grupy cyklicznej rzędu p i grupie cyklicznej nieskończonej (R. Burns i Y. Medvedev [10] i inni). 8. Każda grupa metabelowa spełniająca tożsamość w(x, y) spełnia pewną tożsamość półgrupową (A. I. Malcew [39], B. Neumann i T. Taylor [45]). 9. Tożsamość w(x, y) pociąga tożsamość postaci [x, n y] uξ, gdzie u E n 1 = [x, i y] : i {0,..., n 1}, ξ F 2 (O. Macedońska, W. Tomaszewski [H1]). 10. Tożsamość w(x, y) pociąga tożsamość postaci [x, y 1 ] uξ, gdzie u E = [x, i y] : i 0, ξ F 2 (O. Macedońska, W. Tomaszewski [H2]). Powyższe warunki są zwykle niekonstruktywne. Na przykład tożsamość [x 2, y 2 ] można zapisać w postaci x 2+2y, co nie pozwala skorzystać z warunku F. Point, ale ta tożsamość jest półgrupowa, więc jest tożsamością Milnora (jest nawet R- tożsamością). Natomiast tożsamość [x, y] 2 może być zapisana w postaci x ( 1+y)2 = x 2+2y ξ, gdzie ξ = [x 2y, x 1 ][x 1, x y ] ( x y ) i ta tożsamość nie jest tożsamością Milnora, bo rozmaitość grup ją spełniających zawiera A 2 A. Wiele zależy więc od czynnika ξ. Powstało więc pytanie czy można w sposób algorytmiczny sprawdzić, czy dane słowo w(x, y) definiuje tożsamość Milnora (ewentualnie R-tożsamość). Okazuje się, że tak, i w pracy [H3] znajduje się odpowiedź na to pytanie.

13 Jeśli słowo w(x, y) nie należy do komutanta F 2 to tożsamość w(x, y) pociąga pewną tożsamość x n, a taka tożsamość jest tożsamością Milnora. Wystarczy więc ograniczać się do słów z komutanta grupy F 2. Jeśli w(x, y) jest słowem komutatorowym to można je zapisać jednoznacznie w postaci iloczynu komutatorów [x n, y m ] ([38], 4.3). Korzystając z tożsamości komutatorowych [x 1, y] = [x, y] x 1, [x n, y] = [x, y] xn 1 +...+1, każde słowo komutatorowe można zapisać w postaci: (2) ([x, y] f(x,y) ) x n y m ξ, gdzie f(x, y) jest wielomianem dwóch zmiennych o współczynnikach całkowitych; n, m są pewnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi, a ξ jest czynnikiem porządkującym należącym do F 2. Ta forma zapisu pozwala nam sformułować następujące kryterium: Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie 2.1, [H3]). Dane jest słowo w(x, y) = ([x, y] f(x,y) ) x n y m ξ, gdzie n, m są liczbami nieujemnymi, ξ F. Tożsamość w(x, y) 1 jest tożsamością Milnora wtedy i tylko wtedy, gdy f(x, y) jest wielomianem prymitywnym (czyli ma względnie pierwsze współczynniki). Powyższe Twierdzenie daje jasne i czytelne kryterium pozwalające na stwierdzenie czy dane słowo definiuje tożsamość Milnora oraz, dodatkowo, pokazuje jak mając dane słowo otrzymywać tożsamości spełniające warunki F. Point, S. Black, czy warunki z prac [H1] i [H2]. Kolejny fakt z pracy [H3] mówi, że każde słowo komutatorowe można jednoznacznie zapisać w postaci (3) w(x, y) = ( [x, l y, k x] b lk) x n y m ξ, gdzie b lk są liczbami całkowitymi, ξ F 2. Twierdzenie 6.3 (Twierdzenie 3.1, [H3]). Tożsamość w(x, y) 1, gdzie w jest w postaci (3) jest tożsamością Milnora wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki b lk są względnie pierwsze. W pracy [H3] podano też trzy algorytmy pozwalające przechodzić z zapisu ([x, y] f(x,y) ) x n y m ξ do zapisu ( [x, l y, k x] lk) b x n y m ξ (i odwrotnie). Pierwszy z nich jest oparty na rachunku komutatorowym. Ten algorytm pozwala pokazać, że zapis (3) istnieje dla dowolnego słowa w(x, y) F 2. Drugi jest oparty na rachunku macierzowym w iloczynach tensorowych Z-algebr. Ten algorytm pozwala udowodnić powyższe Twierdzenie. Ostatni algorytm jest oparty na zastosowaniu podwójnego wzoru Taylora i moim zdaniem ma największą wartość algorytmiczną. Warto też podkreślić, że te rozważania prowadzą do innego dowodu Twierdzenia 5.5 z pracy [H1]. W pracy [H3] znajdują się również inne warunki określające dodatkowe własności tożsamości. Na przykład, rozmaitość grup, w której każda nilpotentna grupa jest abelowa jest rozmaitością Milnora. Następujące Twierdzenie wyjaśnia jak sprawdzić, czy dane słowo definiuje rozmaitość o tej własności. Twierdzenie 6.4 (Twierdzenie 4.1,[H3]). Niech słowo w(x, y) będzie równe ([x, y] f(x,y) ) x n y m ξ.

14 Każda nilpotentna grupa spełniająca tożsamość w(x, y) jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy f(1, 1) = ±1. W literaturze pojawiają się liczne przykłady tożsamości i rozmaitości o powyższej własności. Poniżej przedstawiam przegląd takich sytuacji. 6.1. Rozmaitości, w których każda skończona grupa jest A-grupą. A. Olszański badał w [47] rozmaitości grup, w których każda grupa jest rezydualnie skończona. Udowodnił, że każda taka rozmaitość musi być generowana przez skończoną A-grupę, to jest grupę, w której każda podgrupa Sylowa jest abelowa. To dalej oznacza, że każda skończona grupa nilpotetna w tej rozmaitości musi być abelowa. W pracy [H3] pokazano, że każda skończona grupa w rozmaitości jest A-grupą wtedy i tylko wtedy, gdy każda nilpotetna grupa w tej rozmaitości jest abelowa. Stwierdzenie 6.1 (Stwierdzenie 4.3, [H3]). Niech W będzie rozmaitością grup. Wtedy każda skończona grupa w rozmaitości W jest A-grupą wtedy i tylko wtedy, gdy każda nilpotentna grupa w rozmaitości W jest abelowa. Wynika stąd, że takie rozmaitości są silnie uogólnionymi rozmaitościami Burnside a. Z rozmaitościami, w których każda skończona grupa jest A-grupą związane jest pytanie: czy takie rozmaitości mają skończoną bazę tożsamości? ([30], 4.48). 6.2. Tożsamości pseudo-abelowe. Również A. Olszański pokazał [46], że istnieją nieabelowe rozmaitości, w których każda metabelowa (a więc i rozwiązalna grupa) jest abelowa. To oznacza, że również w tej rozmaitości każda nilpotentna grupa jest abelowa. 6.3. Tożsamości ab ba. Słowa a, b F 2 można jednoznacznie zapisać w postaci a = x k y l c, b = x m y n d, gdzie c, d F 2. Wtedy z tożsamością ab ba można stowarzyszyć wyznacznik W = k l m n. Okazuje się, że jeśli każda grupa spełniająca tożsamość ab ba jest abelowa, to W = ±1 (Stwierdzenie 4.8, [H3]). Ten warunek nie jest wystarczający, ponieważ grupa S 3 spełnia tożsamości uv vu, gdzie a = x 1 [x, n y], b = y 1 [y, n x], a n jest dowolną liczbą naturalną (Stwierdzenie 4.9, [H3]). W pracy [H3] pokazano, że jeśli W = ±1, to każda nilpotentna grupa spełniająca tożsamość ab ba jest abelowa (w szczególności, oznacza to, że w tym przypadku taka tożsamość jest tożsamością Milnora). Motywacją do podjęcia badań w tej dziedzinie były prace N.D. Gupty [20] i innych ([29],[15],[52],[42]), w których pokazano, że wiele tożsamości prowadzi do abelowości. Większość z omawianych w tych artykułach tożsamości można zapisać w równoważnej postaci ab ba. Na przykład, tożsamości Gupty [x, y] [x, n y] można zapisać w postaci ab ba, gdzie a = x[x n 1 y] 1, b = y, a tożsamości Psomopoulosa [52] [x k, y n ] [x m, y l ] są równoważne tożsamościom (x k y l )(x m y n ) (x m y n )(x k y l ). Badaniom tożsamości postaci ab ba poświęcona jest przyjęta właśnie do druku praca [WT1]. 6.4. SM-rozmaitości. Z dowolnym słowem w(x 1,..., x n ) F n można stowarzyszyć funkcję: f : G n G, f(g 1,..., g n ) = w(g 1,..., g n ), a dla permutacji σ S n definiujemy: f σ (g 1,..., g 1 ) = f(g 1 σ,..., g n σ). Powiemy, że funkcja f (lub słowo w) jest n-symetryczna (n-symetryczne) w G, jeśli f σ = f dla każdego σ S n. Inaczej mówiąc, operacja f jest n-symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy w w σ jest tożsamością w G dla każdego σ S n.

15 W [H3] wprowadzono pojęcie SM-grup i SM-rozmaitości. Powiemy, że G jest SM-grupą, jeśli operacja xy w G jest złożeniem symetrycznych operacji (niekoniecznie o tej samej liczbie argumentów), to znaczy, że: istnieją operacje symetryczne w, w 1,..., w n takie, że x y w(w 1,..., w n) jest tożsamością w G, gdzie w i jest słowem binarnym otrzymanym ze słowa w i przez pewne podstawienia symboli x, y w miejsce zmiennych. Oczywiście, abelowe grupy są SM-grupami (to jedyne grupy, w których mnożenie jest operacją symetryczną). Badania operacji symetrycznych w różnych algebrach były prowadzone przez E. Marczewskiego, który zadał pytanie, czy jedynie w grupach abelowych mnożenie można wyrazić przez złożenie operacji symetrycznych [40]. Używając powyższej terminologii pytanie Marczewskiego możemy zadać w postaci: czy istnieją nieabelowe SM-grupy? W dalszej części tego podrozdziału będziemy używać tej teminologii. E. Płonka odpowiedział na pytanie Marczewskiego negatywnie. Pokazał w [49], że grupa symetryczna S 3 jest SM-grupą. Natomiast nadal otwartym problemem pozostaje klasyfikacja wszystkich SM-grup, a w szczególności skończonych SM-grup. Zarówno słowa symetryczne, jak i x y w(w 1,..., w n) są tożsamościami w grupie, więc jeśli grupa G jest SM-grupą to również każda grupa w rozmaitości var(g) jest SM-grupą. W związku z tym warto rozpatrywać rozmaitości, w których wszystkie grupy są SM-grupami. Takie rozmaitości będziemy nazywać SM-rozmaitościami. Na przykład z faktu, że S 3 jest SM-grupą, wynika, że A 3 A 2 = var(s 3 ) jest SM-rozmaitością. Zatem każda grupa, która jest rozszerzeniem grupy abelowej wykładnika 3 przy pomocy grupy wykładnika 2 jest SM-grupą. To pozwala znacznie rozszerzyć klasę nieabelowych SM-grup. Płonka w [50] udowodnił, że jeśli G jest nilpotentną SM-grupą to G jest abelowa. Zatem, każda nilpotentna grupa w SM-rozmaitości jest abelowa. To oznacza, że takie rozmaitości spełniają warunek, o którym jest mowa w tej części pracy. W szczególności, wszystkie SM-rozmaitości są rozmaitościami Milnora. W ostatniej części pracy [H3] jest mowa o warunkach jakie musi spełniać tożsamość, aby każda skończenie generowana rozwiązalna grupa w tej rozmaitości była rozszerzeniem grupy skończonej przy pomocy grupy nilpotentnej. Wiadomo, że grupa, która jest rozszerzeniem grupy skończonej przy pomocy grupy nilpotentnej jest również rozszerzeniem grupy nilpotentnej przy pomocy grupy skończonej. Tak więc rozmaitości, w których dwu generowane grupy metabelowe są rozszerzeniami grup skończonych przy pomocy grup nilpotentnych są rozmaitościami Milnora. Najważniejszym Twierdzeniem tej części jest: Twierdzenie 6.5 (Twierdzenie 5.1, [H3]). Niech w(x, y) = [x, y] f(x,y) będzie tożsamością, która modulo F 2 pociąga tożsamości [x, 2 y] P (y) i [x, 2 y] Q(y) dla pewnych wielomianów P (y), Q(y) Z[x, y]. Jeśli P (y) i Q(y) są względnie pierwsze oraz f(1, 1) 0, to w(x, y) pociąga modulo F 2 tożsamość [x, y] n dla pewnej liczby naturalnej n. W szczególności, każda metabelowa grupa spełniająca tożsamość w(x, y) jest rozszerzeniem grupy lokalnie skończonej przy pomocy grupy abelowej. W pracy [H3] jest pokazanych wiele przypadków, które prowadzą do wielomianów P (y) i Q(y) spełniających założenia powyższego Twierdzenia. Takimi wielomianami mogą być na przykład P (y) = f(1, y), Q(y) = y t P (1/y), gdzie t jest stopniem wielomianu P (y) (Stwierdzenie 5.1, [H3]). Innym przykładem sa wielomiany P (y) = f(1, y) i Q(y) = f(y, 1). Podobne warunki pojawiały się w literaturze, na przykład P. Shumyatsky w [59] pokazał, że jeśli G jest grupą spełniającą tożsamość [x, y] pk, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą, a k jest liczbą naturalną, to G jest grupą lokalnie skończoną. Głównymi osiągnięciami pracy [H3] są Twierdzenia 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, algorytmy pozwalające na zapisywanie słów komutatorowych w postaciach