BADANIE NIETYPOWYCH ZJAWISK DYNAMICZNYCH W MASZYNACH SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI

Olgerd MAŁYSZKO Sebastan SZKONY BADANIE NIETYPOWYCH ZJAWISK DYNAMICZNYCH W MASZYNACH SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI STRESZCZENIE W pracy przedstawono konstrukcję maszyny elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych dedykowanej do napędu samochodów, a także sformułowano równana matematyczne opsujące zachowane maszyny w układze współrzędnych naturalnych trójfazowych oraz w układze współrzędnych kartezjańskch zwązanych z wrnkem. Przeanalzowano zjawska dynamczne zachodzące w rozważanej maszyne dla różnych wartośc jej parametrów ze szczególnym uwzględnenem możlwośc powstana bfurkacj stanów chaotycznych. Do predykcj wystąpena netypowych zjawsk dynamcznych w analzowanej maszyne wykorzystano funkcje autoregresj oraz autokorelacj. Słowa kluczowe: maszyny synchronczne, magnesy trwałe, napęd samochodów, stany dynamczne. WSTĘP Efektywne zastosowane slnków elektrycznych do napędu pojazdów samochodowych stwarza wele problemów technologcznych. Wszystke duże koncerny samochodowe posadają w swojej oferce samochody hybrydowe elektryczne, lecz rzeczywsta oferta samochodów wyłączne elektrycznych jest nadal dość uboga. Głównym ogranczenem jest tu bez wątpena źródło energ elektrycznej. Równeż same slnk elektryczne do napędów samochodów hybrydowych elektrycznych posadają klka stotnych wad. dr nż. Olgerd MAŁYSZKO e-mal: olgerd.malyszko@zut.edu.pl dr nż. Sebastan SZKONY e-mal: sebastan.szkolny@zut.edu.pl Katedra Elektroenergetyk Napędów Elektrycznych, Wydzał Elektryczny Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne ul. Skorskego 37, 7-33 Szczecn II MIĘDZYNARODOWE SYMPOZJUM MASZYN EEKTRYCZNYCH SME 6

6 O. Małyszko, S. Szkolny W przypadku rozwązań bezprzekładnowych jednostka napędowa mus być znaczne przewymarowana, aby zagwarantować stnene odpowedno dużego momentu obrotowego przy starce dla małych prędkośc obrotowych. Stosowane welostopnowych skrzyń begów komplkuje cały system oraz powoduje zwększene gabarytów masy wypadkowej układu. Preferowane obecne rozwązana wykorzystujące slnk z magnesam trwałym mają dodatkowo nną stotną wadę, którą jest ch zachowane przy dużych prędkoścach obrotowych (ndukowane wysokego napęca w układze zaslającym). Rozwązanem tych problemów może być maszyna umożlwająca regulację strumena magnesów trwałych za pomocą dodatkowej cewk zaslanej z nezależnego źródła prądu stałego o regulowanej wartośc [, 4,, 9].. MODE MATEMATYCZNY Model matematyczny przetwornków energ elektrycznej to układ równań opsujących ch wydealzowane cechy. Stworzene odpowednego modelu pocąga za sobą koneczność przyjęca welu założeń upraszczających, które są kompromsem mędzy prostotą modelu, a dokładnoścą odwzorowana zjawsk fzycznych w przetwornku energ. Do opsu maszyn elektrycznych w postac model obwodowych o bardzo różnym stopnu szczegółowośc wykorzystuje sę formalzm agrange a. Formalzm ten opera sę na opse energ elementów składowych układów elektromechancznych [-3]. Model matematyczny analzowanej maszyny elektrycznej o regulowanym strumenu magnesów trwałych można przedstawć w postac równań różnczkowych zawerających parametry reprezentujące zjawska magnetyczne (prądy, ndukcyjnośc M) oraz elektryczne (napęca u rezystancje R). Przykładowe ogólne równane napęcowo-prądowe obwodu jednego pasma fazowego ν badanej maszyny o n fazach stojana m fazach wrnka można zapsać następująco [-3] (gdze: ϑ - kąt obrotu wrnka): u R v v v n m M v, t M v, d () Rys.. Schemat zastępczy maszyny wzbudzanej magnesam trwałym z uzwojenem pomocnczym

Badane netypowych zjawsk dynamcznych w maszynach synchroncznych 7 Oznaczając M v,μ = ν dla ν = μ, otrzymuje sę dla jednej z faz: M,3 d u R M t dm 3,3 dm 4 3 M,4 t t,,4 dm, t dm 4 M, t, () W powyższym równanu napęcowym jednej fazy strumeń od magnesów trwałych jest wywoływany przez zastępczy prąd 4, a pomocncze uzwojene regulujące wartość tego strumena to obwód elementów skuponych R, przez który przepływa prąd (rys. ). Układ równań napęcowych opsujących poszczególne obwody uzwojeń stojana oraz dodatkowe uzwojena, należy uzupełnć o równane ruchu (3) (gdze: J moment bezwładnośc, B współczynnk tłumena, T moment obcążena, W c energa kogeneracj): d d J B T Wc, v, (3) 4 Przestrzenny charakter zjawsk elektromagnetycznych zachodzący w przedstawonej maszyne sprawa, że ndukcyjnośc własne oraz wzajemne M model obwodowych określonych w naturalnych współrzędnych ne mają stałych wartośc zmenają sę one w zależnośc od kąta położena wrnka, a także natężena prądu. W przypadku rozpatrywanej konstrukcj maszyny zmenność parametrów jest stotnym problemem, którego ne można wyelmnować w prosty sposób, poneważ wartość ndukcj magnetycznej pod żelaznym begunem wrnka zależy od wartośc prądu w dodatkowej cewce. Zależność wartośc parametrów od kąta położena wrnka można wyelmnować poprzez odpowedne modyfkacje modelu matematycznego maszyny []. Do analzy maszyny zastosowano zaps wektorowy, który pozwala na stworzene najbardzej unwersalnego modelu matematycznego maszyny prądu przemennego. Pozwala on na uproszczene usystematyzowane postac równań; przy czym welkośc wektorowe mają określony sens fzyczny, dzęk czemu można je merzyć odwzorowywać w konkretnych układach napędowych. Wektorowy zaps równań pozwala na analzę maszyny elektrycznej w dowolnym układze współrzędnych zwązanych ze stojanem, wrnkem lub wektoram napęć, strumen skojarzonych czy prądów. Pozwala równeż, dzęk transformacj do wspólnego dla stojana wrnka układu współrzędnych wrujących z dowolną prędkoścą, na wyelmnowane reaktancj wzajemnej zależnej od kąta obrotu wrnka []. Transformując układ równań modelu matematycznego z układu współrzędnych naturalnych (trójfazowych) do układu wektorowego zapsanego w układze współrzędnych kartezjańskch zwązanego z wrnkem (dq) (rys. ) otrzymuje sę następujący układ równań różnczkowych, (gdze: ω m - prędkość kątowa rotora, β - współczynnk tłumena): u u d rs m d d rs m d df u f rf f d (4)

8 O. Małyszko, S. Szkolny m dm tl m () d T df f f f f df (6) Rys.. Schemat zastępczy analzowanej maszyny z uzwojenem pomocnczym w układze dq Model ten charakteryzuje sę najmnejszym pozomem komplkacj opsu matematycznego maszyny wzbudzanej magnesam trwałym. Można go dodatkowo rozbudować, uwzględnając np. zjawska dynamczne [4,, 9]. Wstępne badana wykazały, że przyjęta struktura modelu matematycznego prawdłowo odzwercedla zjawska zachodzące w analzowanej maszyne. Zmana natężena prądu f płynącego przez dodatkową cewkę wywołującego efekt odwzbudzena strumena magnesów, kontrolowana jest przez dzałane regulatora prądu w os d. 3. ANAIZA WYBRANYCH ZJAWISK DYNAMICZNYCH Z uwag na nelnowość ndukcyjnośc występujących w modelu matematycznym jest on modelem trudnym do analzy matematycznej, dlatego koneczne było jego uproszczene. Wstępną analzę ogranczono do przypadku, w którym natężene prądu w dodatkowym uzwojenu f równe jest zero. Dodatkowo przyjęto, że ndukcyjność jest stała (uproszczene take jest zawsze dopuszczalne w pewnym otoczenu punktu pracy). Po uwzględnenu powyższych założeń otrzymano uproszczony model maszyny złożony z trzech nelnowych równań różnczkowych: d d d d u u r r s s m m (7)

Badane netypowych zjawsk dynamcznych w maszynach synchroncznych 9 d d m Tm t l m (8) Dla analzowanej maszyny możlwe jest równeż przyjęce, że = =. W odpowedno zdefnowanym nowym układze współrzędnych: rs d, rs q, rs m, t r s (9) po podstawenu:,, ud u, uq u t p rs rst m rs r, s rs Tm otrzymuje sę znormalzowany układ równań opsujący uproszczony model slnka. Interesujące jest, że dla u d uq tp (fzyczne odpowada to sytuacj wyłączonego spod napęca neobcążonego slnka) otrzymuje sę szczególny przypadek znanego z teor chaosu równana orenza [6-8]: t l dd d q dq d d q q () Równana orenza jest to układ trzech nelnowych równań różnczkowych modelujących m.n. zjawsko konwencj termcznej w atmosferze. Dla pewnego zboru parametrów dynamka układu jest chaotyczna, a wykresy zmennych w przestrzen fazowej przedstawają tak zwany dzwny atraktor. Punkty stałe równana () wynoszą odpowedno: eq, qeq, deq oraz (nestotne w praktyce) eq, qeq, deq. Dla zlnearyzowanego równana (), równane charakterystyczne ma postać: 3 () Równane charakterystyczne () jest równanem trzecego rzędu, co oznacza, że ma trzy rozwązana, przy czym jedno z nch jest zawsze lczbą rzeczywstą. W zależnośc od znaku wartośc częśc rzeczywstych urojonych poszczególnych wartośc własnych λ układ dynamczny ma różne rozwązana. W tabel zestawono przykładowe wynk dla parametru σ = 3 w zależnośc od różnych wartośc parametru γ. W przedzale γ = ( ) układ ma jedno rozwązane węzeł stablny [,,]. Dla γ = występuje bfurkacja pojawają sę dwa węzły stablne w punktach eq, qeq, deq. W punkce γ =,9 występuje kolejna bfurkacja dwa węzły stablne zamenają sę na dwa ognska stablne. Dla γ = występuje ostatna bfurkacja, tzw. bfurkacja Hopfa, w której zmenają znak częśc rzeczywste

O. Małyszko, S. Szkolny wartośc własnych. Powyżej tego punktu znkają stablne rozwązana układ posada dynamkę chaotyczną. Na rysunkach 3- pokazano przykładowe atraktory stablne oraz chaotyczny dla różnych wartośc parametrów γ. TABEA Wartośc własne równana w zależnośc od parametru γ (dla σ = 3) γ Re(λ ) Im(λ ) Re(λ ) Im(λ ) Re(λ 3 ) Im(λ 3 ) Uwag ( ) + - - Węzeł stablny - - I bfurkacja (,9) - - - węzły stablne,9 II bfurkacja (,9,333) - - - - + ognska stablne,333 III bfurkacja (,333 ) - - - - + ognska stablne - - + IV bfurkacja (bf. Hopfa) > - + - + + Dynamka chaotyczna 4 omega 3 omega g - 4 3 q Rys. 3. Atraktor stablny (ognsko stablne) dla σ = 3 γ =,333 d 4 6 8 - q - - Rys. 4. Atraktor stablny (ognsko stablne) dla σ = 3 γ = d - 3 q - - Rys.. Atraktor chaotyczny dla σ = 3 γ = d 3 4 Z przedstawonej analzy wynka, że możlwość występowana zjawsk chaotycznych w analzowanym slnku zależy od współczynnka, którego wartość zmena sę wraz ze zmaną strumena magnetycznego. W pewnych warunkach wraz ze zmaną wartośc strumena magnetycznego regulowanego przez dodatkową cewkę można wpłynąć na stablność pracy slnka. 4. METODY ANAIZY DANYCH DOŚWIADCZANYCH Przedstawona w poprzednm punkce metoda analzy dynamk polegająca na badanu wartośc własnych możlwa jest do zastosowana tylko w badanach teoretycznych, kedy mamy funkcje matematyczne opsujące dany układ dynamczny. Dynamkę układu można równeż badać korzystając z danych dośwadczalnych. Do tego celu można wykorzystać funkcje autoregresj autokorelacj. W dalszej częśc artykułu opsano podstawy teoretyczne oraz przeanalzowano możlwość ch zastosowana do badana netypowych stanów dynamcznych w maszynach synchroncznych z magnesam trwałym.

Badane netypowych zjawsk dynamcznych w maszynach synchroncznych 4.. Autoregresja Autoregresja jest metodą służącą do przewdywana przyszłych wartośc szeregu czasowego. Jest to, naczej mówąc, regresja statystyczna, w której szukana zmenna jest przyszłą wartoścą szeregu czasowego nazywana jest zmenną objaśnaną (lub zależną) a zmenne objaśnające (lub naczej nazywane nezależne) to wartośc szeregu czasowego z przeszłośc. W najprostszym przypadku używa sę autoregresj lnowej, w której wykorzystuje sę model regresj lnowej (zakładany model zależnośc mędzy zmennym zależnym a nezależnym jest funkcją lnową). X n a X n a X n... ak X nk c () gdze: X wartośc szeregu czasowego, a,.., a k, c współczynnk modelu, - błąd modelu. W celu estymacj współczynnków modelu statystycznego wykorzystuje sę zazwyczaj metodę najmnejszych kwadratów jej pochodne. Metoda ta jest prosta łatwa w zastosowanu, ale ma swoje wady jak np. małą odporność na elementy odstające, czyl posadające netypową wartość. W bardzej zaawansowanych analzach stosuje sę odporne metody statystyczne (ang. robust methods) np. metody rangowe. Rys. 6. Przebeg prądu q dla różnych wartośc parametru γ Rys. 7. Wartośc funkcj autoregresj (Man AR Coeffcent) wyznaczonej dla prądu q Rys. 8. Wartość szumu (AR Nose Varance) funkcj autoregresj wyznaczonej dla prądu q Na rysunkach 6-8 pokazano przebeg prądu q dla różnych wartośc parametru γ oraz wyznaczone za pomocą paketu abvew wartośc funkcj autoregresj (Man AR Coeffcent) oraz szumu (AR Nose Varance). W mejscu przejśca z obszaru stablnej

O. Małyszko, S. Szkolny pracy do obszaru chaotycznego funkcja autoregresj znaczne zmena swoją wartość. Ponao w obszarze chaotycznym gwałtowne rośne pozom szumu. Właścwośc te można wykorzystać do predykcj zachowań chaotycznych. 4.. Funkcja autokorelacj Funkcja autokorelacj stanow marę podobeństwa trajektor w chwl t do jej wartośc w chwl późnejszej (t + τ). Inaczej mówąc jest to statystyka opsująca w jakm stopnu dany wyraz zależy od wyrazów poprzednch w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentow naturalnemu k przypsuje wartość współczynnka korelacj Pearsona pomędzy szeregem czasowym, a tym samym szeregem cofnętym o k jednostek czasu. Dla układu z dyskretnego funkcja autokorelacj opsana jest wzorem: N c ( m) lm xˆ mxˆ (3) N N gdze: x ˆ x x, x lm N N N x Trajektore chaotyczne są neregularne ne mają żadnych własnośc powtarzalnych okresowo. Oznacza to, że trajektore chaotyczne ne są skorelowane z wcześnejszym wartoścam. W przecweństwe do nch trajektore stablne są skorelowane z wcześnejszym wartoścam. W zwązku z tym, funkcja autokorelacj będze mała nny przebeg dla obszarów pracy stablnej chaotycznej. Pokazano to na rysunkach 9- gdze przedstawono wykresy funkcj autokorelacj otrzymane za pomocą paketu abvew dla prądu q dla różnych wartośc parametru. Rys. 9. Wykres funkcj autokorelacj dla wartośc prądu q dla =,333 (obszar stablny) Rys.. Wykres funkcj autokorelacj dla wartośc prądu q dla = (granca obszaru stablnego) Rys.. Wykres funkcj autokorelacj dla wartośc prądu q dla = 3 (obszar chaotyczny) W obszarze stablnej pracy funkcja autokorelacj ma kształt trójkątny z wartoścą maksymalną w środku oraz lnowo malejącym wartoścam w marę wzrostu odległośc mędzy kolejnym wyrazam szeregu czasowego. W obszarze chaotycznym wartość funkcj autokorelacj spada praktyczne do zera nawet dla blskch wyrazów. Tą różnce można wykorzystać do predykcj zachowań chaotycznych.

Badane netypowych zjawsk dynamcznych w maszynach synchroncznych 3. WNIOSKI W przedstawonej maszyne elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych możemy zaobserwować zmenność wartośc ndukcyjnośc synchroncznych[], co wpływa znacząco na pracę maszyny w stanach dynamcznych. Uproszczony model analzowanego slnka opsany jest równanem orenza (opsującym m.n. zjawsko konwekcj termcznej w atmosferze). Równane to, dla pewnych zakresów welkośc parametrów, posada dynamkę chaotyczną. Do predykcj występowana obszarów pracy chaotycznej, z danych dośwadczalnych, można wykorzystać funkcje autoregresj autokorelacj. W rzeczywstym układze zjawska bfurkacj chaosu mogą sę pojawć w przypadku dodatkowego zewnętrznego zakłócena, np. knetycznego wzbudzena łożysk. Praca jest kontynuacją badań prowadzonych przez autorów. Skoncentrowal sę na predykcj wykrywana zdarzeń chaotycznych wykorzystując w tym celu funkcję autokorelacj oraz autoregresj. Kolejnym etapem badań będze analza wpływu zman wartośc parametrów konstrukcyjnych maszyny na możlwość powstana zjawsk chaotycznych oraz ch ntensywność. ITERATURA. May H., Pałka R., Paplck P., Szkolny S., Canders W.-R.: Modfed concept of permanent magnet excted synchronous machnes wth mproved hgh-speed features. Archves of Electrcal Engneerng, vol. 6(4), s. 3-4 ().. Sobczyk T.J.: Problemy modelowana matematycznego prądnc synchroncznych wzbudzanych magnesam trwałym. Prace Instytutu Elektrotechnk, zeszyt 3, 7, s. 99-3. 3. Szkolny S.: Modelowane tarczowych maszyn synchroncznych wzbudzanych magnesam trwałym z uwzględnenem zastępczego obwodu tłumącego. Transactons on computer applcatons n electrcal engneerng: XIII Conference ZKwE 8, Poznań, 8, s. 3-4. 4. Małyszko O., Pałka R., Szkolny S.: Analza stanów dynamcznych maszyny elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych do napędu samochodów. Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów Pomarów Elektrycznych Poltechnk Wrocławskej. Sera: Studa Materały 66. Zagadnena maszyn, napędów pomarów elektrycznych, T., nr 3 (), s. 34-39.. Canders W.-R., May H., Pałka R., Paplck P.: Szkolny S., Model obwodowy maszyny elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych do napędu samochodów. Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów Pomarów Elektrycznych Poltechnk Wrocławskej. Sera: Studa Materały 66. Zagadnena maszyn, napędów pomarów elektrycznych, T., nr 3 (), s. 4-4. 6. Zhong, Jn Bae Park, Young Hoon Joo, Bo Zhang, Guanrong Chen: Bfurcatons and Chaos n a Permanent-Magnet Synchronous Motor. IEEE Transactons on Crcuts and Systems I: Fundamental Theory and Applcatons, vol. 49, nr 3, March, s. 383-387. 7. Guo-Qng Huang, Xn Wu: Hopf Bfurcaton of Permanent-magnet Synchronous Motor Chaos System. Internatonal Conference on Computatonal and Informaton Scences, ICCIS, October -3,, Chengdu, Schuan, Chna, s. 4-7.

4 O. Małyszko, S. Szkolny 8. Xnghua Zhang,: Inverse System Control for Chaos of Salent Permanent Magnet Synchronous Motors. Internatonal Conference on Electrcal and Control Engneerng (ICECE), Sept. 6-8, Ychang, Chna, s. 8-. 9. Małyszko O., Pałka R., Szkolny S.: Analza netypowych zjawsk w maszyne elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych do napędu samochodów. Przegląd Elektrotechnczny, nr /3.. Szkolny S., Jakubowsk T.: Identyfkacja parametrów modelu matematycznego maszyny elektrycznej z regulacją strumena magnesów trwałych. Maszyny Elektryczne: zeszyty problemowe, nr 8, s. -,. ANAYSIS OF UNUSUA DYNAMICA BEHAVIOR IN PERMANENT-MAGNET SYNCHRONOUS MOTOR Olgerd MAŁYSZKO, Sebastan SZKONY ABSTRACT Ths paper presents a machne topology used n drves for electro-mobles, by whch the flux control s enabled. Mathematcal equatons descrbng behavor of the proposed machne have been defned both n real three phase co-ordnates and n Cartesan co-ordnates systems. The dynamc phenomena occurrng n the machne for dfferent values of ts parameters, wth partcular reference to the possblty of bfurcaton and chaotc states have been analyzed. The autocorrelaton and the autoregressve functons have been used to predcton of unusual dynamcal behavor n Permanent-Magnet Synchronous Motor. Keywords: synchronous machnes, permanent magnets, vehcle drve, dynamc states Dr nż. Olgerd MAŁYSZKO jest absolwentem Wydzału Elektrycznego Poltechnk Szczecńskej, gdze w 3 roku uzyskał tytuł doktora nauk techncznych. Aktualne pracuje, jako adunkt w Katedrze Elektroenergetyk Napędów Elektrycznych, Wydzał Elektryczny, Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne (dawnej Poltechnka Szczecńska). Jest autorem współautorem klkudzesęcu artykułów referatów dotyczących główne pracy systemu elektroenergetycznego. Aktualne w pracy naukowej zajmuje sę wdrażanem nowych metod badana stablnośc systemu elektroenergetycznego. Dr nż. Sebastan SZKONY ukończył studa wyższe na Wydzale Elektrycznym Poltechnk Szczecńskej w roku uzyskując stopeń magstra nżynera. W tym samym roku podjął studa doktorancke zakończone w 7 roku obroną pracy doktorskej. Aktualne pracuje, jako adunkt w Katedrze Elektroenergetyk Napędów Elektrycznych, Wydzał Elektryczny, Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne (dawnej Poltechnka Szczecńska). Współautor ponad dwudzestu ekspertyz oddzaływana farm watrowych na system elektroenergetycznych. Autor współautor klkudzesęcu publkacj referatów wygłaszanych na konferencjach krajowych zagrancznych. Obecne jego zanteresowana naukowe zwązane są z analzą elektromechancznym przetwornków energ współpracujących z odnawalnym źródłam energ oraz technkam ch szybkego prototypowana.