Hydrodynamika równanie Naviera-Stokesa przepływ Hagena-Poseuille a 22 października 2013
Ośrodki ciągłe równanie ruchu Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ. Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego elementu to (1) masa du dt = F obj + F pow. Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do objętości elementu, a więc do trzeciej potęgi jego charakterystycznego wymiaru (L 3 ), a siły powierzchniowe do powierzchni (L 2 ). Przy L 0 dominują więc te drugie.
Siły powierzchniowe Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ). Tak jak widzieliśmy reguły rachunku tensorowego wymagają aby (2) F i τ ik x k = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3. Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować twierdzenie O-G w postaci tensorowej (3) V F i dv = V τ ik dv = τ ik dσ k. x k Σ
Siły powierzchniowe Wyrażenie pod całką powierzchniową τ ik dσ k τ i1 dσ 1 + τ i2 dσ 2 + τ i3 dσ 3 to iloczyn skalarny składowych tensora τ ik (pierwszy wskaźnik ustalony) i wektora dσ = (dσ 1, dσ 2, dσ 3 ) skierowanego elementu powierzchni całkowania Σ. Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych.
Interpretacja τ ik Z równania (3) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki. M l = ɛ lki x k F i Oczekujemy, że składowa l (gdzie l i, l k, i k momentu siły powinna dać się zapisać w postaci całki ( τil (F i x k F k x i )dv = x k τ ) kl x i dv. x l x l V V
Tensor τ ik jest symetryczny V (F i x k F k x i )dv = V ( τil x k τ ) kl x i dv. x l x l Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji a więc można ja przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to ( ) x k x i τ il τ kl dv = (τ il δ kl τ kl δ il ) dv = (τ ik τ ki ) dv. x l x l V Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki powierzchniowej tensor τ ik musi być tensorem symetrycznym. V V V
Tensor τ ik jest symetryczny τ ik = τ ki. Zawsze może być on przedstawiony w odpowiednim układzie układzie osi własnych w którym tylko diagonalne składowe są różne od zera, a składowe poza przekątną główną znikają. Suma składowych diagonalnych jest to tzw. ślad tensora τ ii τ 11 + τ 22 + τ 33 skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji.
Tensor τ ik a hydrostatyka Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy (4) τ 11 = τ 22 = τ 33 = 1 3 τ ii = p (ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku skierowanego na zewnątrz wektora dσ).
Przypadek ogólny; składowe ścinania W przypadku, kiedy mamy do czynienia z ruchem względnym warstw płynu tensor τ ik zapisujemy w postaci (5) τ ik = pδ ik + d ik. Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek od sił ciśnienia; drugi tensor d ik związany jest właśnie z ruchem cieczy. Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 x 2 będzie różne od zera. Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = µ u 1 x 2, gdzie współczynnik µ jest stałą materiałową i zależy, w pierwszym rzędzie, od rodzaju płynu.
Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d. Tensor d ij powinien być symetryczny, bo stanowi część symetrycznego tensora τ ik ; zresztą symetria zresztą wynika z założenia o izotropowych własnościach płynu konkretnie, określona zmiana składowej (np.) x-owej wzdłuż y powinna skutkować pojawieniem się takiej samej siły tarcia jak taka sama zmiana składowej y-owej wzdłuż x. Aby tak było zapisujemy tensor d ik w postaci (6) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast (7) = u i x i = div u = e ii to ślad tego tensora (skalar).
Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d. = u i x i = div u = e ii d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), Dodanie takiego (formalnie przekształconego do wielkości tensorowej mnożnik δ ik ) skalara niewiele zmienia określenie sił (pochodne tensora τ ik ) pozostaje bez zmian. Tak określony tensor ma ślad (sumę składowych diagonalnych) równy zeru łatwo to sprawdzić, o ile uzmysłowimy sobie że ślad delty Kroneckera (też tensor!) δ ii = 3. Takie zerowanie się dywergencji tensora pozwala na formułowanie dodatkowych wniosków.
Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa du dt = F obj + F pow. masa elementu objętości dv to ρdv (8) ρdv du i dt = F iρdv + τ ik x k dv, i = 1, 2, 3 gdzie F i to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dv i podstawiamy jawną postać tensora naprężeń (9) ρ du i dt = ρf i p x i + x k [ 2µ(e ik 1 ] 3 δ ik ). To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa.
Równanie Naviera-Stokesa c.d. Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni mamy (równanie ciągłości!) divu = e ii = = 0. Mamy wówczas też 2µ e ik x k = µ x k ( ui x k + u k x i ) ( 2 u i = µ x 2 + ) e kk = µ 2 u i k x i x 2 k (wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości). Równanie (9) w zapisie wektorowym przybiera wówczas postać (10) ρ du dt = ρf p + µ u.
Równanie N-S bez tensorów Równanie N-S można też wyprowadzić bez tensorów, stosując proste rachunki, z których wynikają te same postacie przyczynków do sił powierzchniowych. Zobaczmy Siły powierzchniowe ciśnienia (a) i lepkości(b)
Siły ciśnienia Na element cieczy dxdydz działa z lewej siła F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz. Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy nieskończenie małe pierwszego rzędu [ F x = p(x + dx, y, z)dydz p(x, y, z) + p ] x dx dydz. Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest F wypadkowa x = p x dxdydz, (x,y,z) a więc na jednostkę objętości F wypadkowa x /dv = p x. (x,y,z)
Siły lepkości Na dolną podstawę elementu działa zgodnie z założeniem Newtona siła µ u x(x, y, z) dxdy z na górną µ u x(x, y, z + dz) z [ ux (x, y, z) = µ + z z ] u x (x, y, z) dz dxdy; z ich wypadkowa odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz to µ 2 u x (x, y, z) z 2 dxdydz.
Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t) du dt = u t + u x dx dt + u dy y dt + u z du i dt = u i t + u k dz dt = u t + u x u x + u y u y + u z u z u i x k, i = 1, 2, 3. W żargonie mechaniki ośrodków ciągłych mamy pochodną śledczą.
Pochodna śledcza, c.d. pamiętając, że du i dt = u i t + u k grad = e i u i x k, i = 1, 2, 3. x i, i ostatecznie u k u i x k = (u )u i du i dt = u i t + (u )u i
Równanie ruchu Dla (jednostkowego elementu objętości) nieściśliwej cieczy lepkiej równaniem dynamicznym jest (11) ρ u t + ρ(u )u = P + µ 2 u + ρg. Oznaczenie jak zwykle: ρ gęstość płynu (z założenia stała; założenie nieco dyskusyjne dla gazów, chociaż przy prędkości powietrza poniżej 50 m/s nieźle spełnione); u prędkość; P ciśnienie; g - przyspieszenie ziemskie; µ wsp. lepkości. Pierwszy wyraz po lewej stronie (11) nazywa się pochodną lokalną (wzgl.czasu); drugi to przyspieszenie konwekcyjne elementu objętości. Prawa strona równania to oczywiście siły działające na element objętości: gradient ciśnienia, siły lepkie i ciążenie. (12) ρ u i t + ρu k u i = P + µ x k x i 2 u i x j x j + ρg i. (i = 1, 2, 3) sumujemy po powtarzających się wskaźnikach.
Równanie ruchu zapis in extenso ρ u ( ) 1 t + ρ u 1 u 1 u 1 u 1 + u 2 + u 3 x 1 x 2 x 3 = P ( 2 ) u 1 + µ + 2 u 1 + 2 u 1 + ρg 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 dla i = 1 i analogicznie dla i = 2, 3. Trzy równania skalarne typu (13) zawierają cztery niewiadome: trzy składowe prędkości i ciśnienie. Brakującym czwartym równanie jest równanie ciągłości (rozdz. 1). Rozwiązanie układu czterech równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych wymaga też sformułowania adekwatnych warunków brzegowych (początkowych).
Hydrostatyka Nieruchomy płyn w polu sił ciężkości Najprostszy przypadek równań N-S to u = 0: (13) P = ρg. Dla jednowymiarowego przypadku (por. rysunek) rozwiązaniem (13) jest (14) P = ρgx 2 + P 0, gdzie P 0 jest ciśnieniem na powierzchni.
Ciśnienie wewnętrzne; powierzchnia swobodna Ciśnienie P występujące w równ. N-S można zapisać w postaci sumy trzech wyrazów: (15) P = p 0 + ρg x + p, gdzie: p 0 to pewne stałe ciśnienie zewnętrzne (np. atmosferyczne); ρg x to ciśnienie hydrostatyczne i w końcu p właściwe ciśnienie wewnętrzne, albo zmodyfikowane, związane z ruchem płynu. Jeżeli nie interesuje nas hydrostatyka (np. zaniedbujemy zmiany ciśnienia z głębokością), ani to, co dzieje się na(d) powierzchni(ą) swobodnej (-ną) płynu to podstawiając z (15) do (11) otrzymujemy nieco prostsze równanie (16) ρ Du Dt = p + µ 2 u.
Przepływy ustalone: jednokierunkowe i okrężne Rozważamy ustalone przepływy jednokierunkowe takie, w których wszystkie cząstki poruszają się w jednym kierunku. Wektory prędkości cząstek są równoległe, a w dodatku nie zmieniają się wzdłuż linii prądu przepływ jest ustalony, albo stacjonarny, pochodne cząstkowe względem czasu równe są zeru. Gradient prędkości (jej wartości bezwzględnej) będzie więc prostopadły do tych linii prądu (bo to jest kierunek najszybszych zmian wartości prędkości), a jeżeli tak to konwekcyjny wyraz w pochodnej śledczej prędkości jest równy zeru. (u )u = 0.
Przepływy ustalone: Przykłady Górna ścianka porusza się w kierunku 0x
Przepływy ustalone: Przykłady (1) Górna ścianka porusza się w kierunku 0x Mamy tylko jedną składową prędkości u x ; tensor naprężeń (17) τ xy = µ u x y µdu x dy. siła lepkości w danym kierunku jest proporcjonalna do zmiany prędkości w kierunku normalnym, przypadającej na jednostkę tej normalnej wysokości.
Przepływy ustalone: Przykłady (2) Obie ścianki poruszają się w kierunkach przeciwnych z równymi prędkościami
Przepływy ustalone: Przykłady (3) przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia)
Przepływy ustalone: Przykłady (4) Przepływ rotacyjny w pierścieniu, którego zewnętrzna ścianka obraca się ze stałą prędkością kątową
przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia) (18) dp dx = µd2 u x dy 2. Pochodna dp/dx musi mieć stałą wartość wynika to ze stałości przepływu wzdłuż osi 0x. Warunki brzegowe: du x /dy = 0 dla y = 0 (symetria względem osi 0y) i u x = 0 dla y = ±a (na stałej powierzchni prędkość płynu znika ze względu na lepkość; mówimy o przepływach bez poślizgu). Rozwiązaniem (18) spełniającym oba te warunki jest (19) u x = 1 dp 2µ dx (a2 y 2 ), (zauważmy, że aby przepływ zachodził w dodatnim kierunku osi 0X musimy mieć dp/dx < 0.)
przepływ tłokowy w rurze o promieniu a (20) dp dz = µd2 u z dr 2. wzór Hagena-Poiseuille a. (21) u z = 1 dp 4µ dz (a2 r 2 ), (r odległość od osi rury). Uśredniając po całym przekroju rury, możemy wyliczyć średnią prędkość (22) u z = 1 dp 8µ dz a2.
przepływ tłokowy w rurze o promieniu a tensor naprężeń W układzie współrzędnych cylindrycznych, składowa τ a zr to ( ur (23) τ zr = µ z + u ) z = µ u z r r (składowa radialna u r = 0). Podstawiając za u r z (21) dostaniemy (24) τ zr = µ d [ 1 ] dp dr 4µ dz (a2 r 2 ) = 1 dp 2 dz r. To bardzo ważny wynik naprężenie pomiędzy kolejnymi warstwami (o symetrii cylindrycznej) płynu rośnie liniowo, w miarę jak odsuwamy się od osi rury i osiąga maksymalną wartość na ściance rury. Ten liniowy wzrost spotkamy także w przypadku przepływów turbulentnych płynów newtonowskich!! a W oryginale autor konsekwentnie zmienia szyk wskaźników tensora τ. Tensor jest symetryczny, ale siłę tarcia lepkiego, z jaką ścianka rury działa na poruszający się wzdłuż osi 0z płyn ( na jednostkową powierzchnię, normalną do promienia r) oznaczamy τ zr a nie jak u Clarka τ rz.