WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO ODPALANEGO ZE ŚMIGŁOWCA

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 57, ISSN 1896-771X WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO ODPALANEGO ZE ŚMIGŁOWCA Grzegorz Kowaleczko 1,2, Mirosław Nowakowski 1, Edward Olejniczak 1, Andrzej Żyluk 1 1 Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych, 2 Wyższa Szkoła Oficerska Sił Powietrznych Streszczenie W artykule przedstawiono sposób symulacji numerycznej przestrzennego lotu pocisku rakietowego klasy powietrze-ziemia odpalanego ze śmigłowca, na który w początkowej fazie lotu oddziałuje generowany przez wirnik strumień powietrza. Opisany został zarówno model ruchu pocisku, jak i model pola prędkości indukowanej przez wirnik nośny. Pokazano wyniki symulacji dla przypadku odpalania pocisku w zawisie oraz przy dużej prędkości postępowej. Wyniki te pozwoliły ocenić wpływ warunków odpalania pocisku na jego lot, a w szczególności na zasięg. Słowa kluczowe: Balistyka zewnętrzna pocisku rakietowego, prędkość indukowana wirnika nośnego śmigłowca INFLUENCE OF THE INDUCED VELOCITY FIELD ON FLIGHT OF A MISSILE FIRING FROM A HELICOPTER Summary This article shows the way of numerical simulation of spatial motion of a air-to-ground missille firing from a helicopter. The missille is influenced by a induced field of a helicopter rotor in the initial phase of flight. Both a mathematical model of missille spatial motion and a model of the velocity field induced by the rotor are presented. Results of simulation for two cases of flight are shown - for the case of hovering and for the case of the flight with high speed. This allows to evaluate an influence of flight conditions on courses of flight parameters, in particular range missile. Keywords: Missile external ballistics, the velocity field induced by helicopter rotor 1. WSTĘP Ważnym elementem badań nowo projektowanych pocisków rakietowych są badania, które pozwalają określić ich różnorodne charakterystyki. Ostatecznym etapem badań są badania poligonowe, ale poprzedzają je często badania symulacyjne. Wyniki symulacji pozwalają na wstępną ocenę poszukiwanych charakterystyk oraz na wskazanie potencjalnych zagrożeń. Dają też możliwość szybkiej oceny wprowadzanych zmian konstrukcyjnych na dynamiczne charakterystyki pocisku. Badania symulacyjne pozwalają też na określenie wpływu warunków odpalenia pocisku na jego lot oraz stwierdzenie, w jaki sposób pocisk reaguje na zaburzenia oddziałujące na niego w trakcie lotu. Chodzi tu o wpływ wiatru stałego lub też turbulencji atmosfery. Pocisk rakietowy powinien być odpalany ze śmigłowca w sposób zapewniający maksymalną precyzję trafienia w cel. Warunki w trakcie odpalania z nosiciela mogą ulegać znacznym zmianom wynikającym ze stanu lotu śmigłowca (prędkość i położenie przestrzenne). Również strumień powietrza generowany przez wirnik nośny ma znaczny wpływ na pocisk w chwili jego odpalania. Wirowa struktura tego strumienia jest złożona, turbulentna zaś średnia jego prędkość, tzw. prędkość indukowana, ulega znacznym zmianom zależnie od warunków pracy wirnika nośnego. Dodatko- 19

WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO wym czynnikiem wpływającym na pocisk rakietowy jest wiatr, który może zmienić jego trajektorię lotu. Z powyższych powodów ocena czułości pocisku na tego typu zaburzenia jest istotna. Analizy takie można przeprowadzać min. na drodze symulacji numerycznych. Należy w tym celu wykorzystać model przestrzennego ruchu pocisku. Kluczowym warunkiem poprawności wyników obliczeń jest uwzględnienie w nich wiarygodnych charakterystyk aerodynamicznych i masowych. Ostateczną ocenę poprawności zastosowanych modeli symulacyjnych daje porównanie wyników obliczeń z zarejestrowanymi w locie parametrami lotu. W niniejszym opracowaniu przedstawiono model symulacyjny opisujący ruch przestrzenny pocisku rakietowego. Model ten uzyskano w wyniku modyfikacji modelu używanego do badań dynamiki ruchu samolotów [4]. Podobne modele znaleźć można w literaturze z zakresu balistyki zewnętrznej [1, 2, 3, 5]. Pokazano też charakterystyki aerodynamiczne pocisku otrzymane na drodze obliczeń teoretycznych. 2. MODEL RUCHU POCISKU RAKIETOWEGO 2.1 ZAŁOŻENIA W celu analizy dynamiki ruchu pocisku przyjęto następujące założenia: 1. Pocisk jest ciałem sztywnym; jego masa i momenty bezwładności zmieniają się w początkowej fazie lotu w wyniku wypalania paliwa rakietowego; 2. Pocisk ma dwie płaszczyzny symetrii - są to płaszczyzny Oxz i Oxy (rys. 1). Płaszczyzny te są płaszczyznami symetrii geometrycznej, masowej i aerodynamicznej. Rys.1. Układy współrzędnych Oxgygzg i Oxyz oraz kąty transformacji 2.2UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH W analizach zastosowano następujące prostokątne, prawoskrętne układy współrzędnych. Są to: Oxyz układ związany z pociskiem; Oxayaza układ związany z przepływem; Oxgygzg układ związany z ziemią; Układy te związane są ze sobą następującymi kątami: układ Oxyz i Oxgygzg - poprzez kąty: kąt odchylenia Ψ, - kąt pochylenia Θ, - kąt przechylenia Φ; układ Oxyz i Oxayaza poprzez kąty: - kąt ślizgu β, - kąt natarcia α. Wykonując sekwencję obrotów o kąty Ψ, Θ i Φ, można przeprowadzić transformację dowolnego wektora z układu Oxgygzg do układu (1) gdzie macierz Ls/g jest równa: (2) ΨΘ ΨΘΦ ΨΦ ΨΘΦ + ΨΦ ΨΘ Θ ΨΘΦ + ΨΦ ΨΘΦ ΨΦ ΘΦ ΘΦ 2.3OGÓLNA POSTAĆ RÓWNAŃ RUCHU POCISKU RAKIETOWE- GO Równania ruchu określone zostaną w ruchomym układzie współrzędnych związanym z pociskiem Oxyz. 2.3.1 RÓWNANIE RUCHU POSTĘ- POWEGO Wektorowe równanie ruchu postępowego środka masy pocisku ma postać: + (3) i może być zapisane w układzie Oxyz w postaci trzech skalarnych równań różniczkowych zwyczajnych: & + & + (4) & + gdzie: m masa pocisku, V wektor prędkości bezwzględnej o składowych w ruchomym układzie Oxyz; [ ] wektor prędkości kątowej o składowych [ ] w układzie Oxyz; F wypadkowa siła działająca na pocisk o składowych [ ] w układzie Oxyz. 2.3.2 RÓWNANIE RUCHU OBROTO- WEGO Wektorowe równanie ruchu obrotowego względem środka masy pocisku ma następującą postać: + + + (5) gdzie: Ma moment sił aerodynamicznych działających na pocisk, który w układzie współrzędnych Oxyz ma następujące składowe [ ]. 20

GRZEGORZ KOWALECZKO, MIROSŁAW NOWAKOWSKI, EDWARD OLEJNICZAK, ANDRZEJ ŻYLUK MT moment sił ciągu, który w układzie współrzędnych Oxyz ma jedną składową [ ] powodującą obrót wokół osi Ox. Mf moment od usterzenia, który w układzie współrzędnych Oxyz ma jedną składową [ ] powodującą obrót wokół osi Ox. Wektor krętu dla pocisku rakietowego jest równy: (6) gdzie tensor momentów bezwładności I jest określony następująco: (7) Jeżeli uwzględnić, że płaszczyzny Oxz i Oxy są płaszczyznami symetrii pocisku, to niektóre składowe tensora momentów bezwładności są równe zeru: (8) Jak to było stwierdzone powyżej, równania ruchu zapisane są w układzie związanym z pociskiem. Oznacza to, że pochodne tensora I względem czasu są równe zeru 1. Stąd mamy: + (9) Po przekształceniach, na bazie równania (5), uwzględniając (7) i (8) otrzymuje się trzy skalarne równania różniczkowe opisujące ruch obrotowy pocisku w układzie & [ + + + ( ) ] & [ + ( ) ] (10) & [ + ( ) ] Układy równań (4) i (10) uzupełnia się związkami kinematycznymi pozwalającymi obliczyć prędkość zmian kątów Ψ, Θ i Φ na postawie znajomości prędkości kątowych P, Q i R: Φ& + ( Φ + Φ) Θ Θ & Φ Φ (11) Ψ& ( Φ + Φ) Θ Dodatkowo, wykorzystując relacje (1), wektor prędkości środka masy pocisku ma w układzie inercjalnym Oxgygzg składowe: & (12) & & Równania (4), (10), (11) i (12) stanowią układ dwunastu równań różniczkowych zwyczajnych opisu- 1 Jest to uproszczenie, ponieważ w trakcie pracy silnika wypalane jest paliwo, co zmienia masę i momenty bezwładności. jących ruch przestrzenny pocisku traktowanego jako bryła sztywna. Mogą być one zapisane w następującej postaci: (13) X jest dwunastoelementowym wektorem parametrów lotu. [ ΦΘ Ψ ] U,V,W składowe prędkość lotu pocisku (względem układu inercjalnego); P, Q, R prędkości kątowe przechylania, pochylania i odchylania w układzie współrzędnych Oxyz; Ψ, Θ i Φ kąty: odchylenia, pochylenia i przechylenia; xg, yg, zg, współrzędne pocisku w inercjalnym układzie Oxgyg,zg. 3. SIŁY I MOMENTY DZIAŁA- JĄCE NA POCISK RAKIE- TOWY 3.1SIŁY Prawa strona równania (3) zawiera wektor siły działającej na pocisk: + + (14) gdzie: Q - ciężar pocisku, R - siła aerodynamiczna, T - ciąg silnika. Składowe siły F są równe: + + + + (15) + + Poszczególne składniki w wyrażeniach (15) określono poniżej. 1. ciężar pocisku Q w układzie Oxgygzg ma tylko jedną składową Q[0,0,mg] T. Wykorzystując transformację (1) można obliczyć składowe ciężaru w układzie (16) 2. Siła aerodynamiczna R ma dwie składowe - siłę oporu Pxa o kierunku zgodnym z wektorem prędkości i zwrocie przeciwnym do prędkości oraz siłę nośną Pza prostopadłą do wektora prędkości leżącą w płaszczyźnie wyznaczonej przez osie Ox i Oxa. Pokazano to na rys. 2. Kąty te zależą od kąta nutacji 2. Na rysunku zaznaczono też stosowane w analizach kąty natarcia α i ślizgu β. 21

WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO β Rys.2. Siły działające na pocisk β α Sposób wyznaczenia składowych siły aerodynamicznej w układzie Oxyz jest następujący: A. Definiuje się wektor jednostkowy n zgodny z osią Ox, który ma w układzie związanym z pociskiem Oxyz składowe n[1,0,0] T. B. Tworzy się wektor jednostkowy n1[n1x,n1y,n1z] T zgodny z osią Oxa /wektorem prędkości pocisku względem powietrza 3 /. Jego składowe w układzie Oxyz można obliczyć, znając składowe prędkości n1[u*,v*,w*] T :,, + + + + + + (17) Wektor n1 określa kierunek siły oporu pocisku Pxa /przeciwny zwrot/. C. Określa się kąt nutacji /przestrzenny kąt natarcia/ - kąt pomiędzy wektorem prędkości i podłużną osią pocisku: (18) D. Tworzy się wektor jednostkowy n2[n2x,n2y,n2z] T prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez osie Ox i Oxa. Można go obliczyć z iloczynu wektorowego wektorów n i n2: (19) ( ) + ( ) Wektor n2 określa oś, względem której działa moment pochylający M. E. Tworzy się wektor jednostkowy n3[n3x,n3y,n3z] T prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory n1 i n2. Można go obliczyć z iloczynu wektorowego: wektorów n1 i n2: 3 Prędkość V* będzie zdefiniowana w dalszej części opracowania. (20) Wektor n3 określa kierunek siły nośnej pocisku Pza /przeciwny zwrot/. F. Znając liczbę Macha i kąt nutacji z charakterystyk pocisku, odczytuje się wartości współczynników aerodynamicznych Cxa(,Ma) i Cza(,Ma). G. Oblicza się wartości sił aerodynamicznych: - siły oporu: ρ (21) - siły nośnej: ρ (22) gdzie: S pole powierzchni /przekroju poprzecznego/; ρ gęstość powietrza. Przykładowe przebiegi współczynników Cxa(,Ma) i Cza(,Ma) pokazano na rysunkach 3 i 4. Otrzymano je, wykonując serię obliczeń programem PRODAS [6], wykorzystując geometrię konkretnego pocisku rakietowego. Mogą one być opisane następującymi zależnościami: + (23) + (24) Rys.3. Współczynnik siły oporu pocisku rakietowego Rys.4. Współczynnik siły nośnej pocisku rakietowego H. Oblicza się składowe siły oporu Pxa na osie układu,, (25) I. Oblicza się składowe siły nośnej Pza na osie układu,, (26) 22

GRZEGORZ KOWALECZKO, MIROSŁAW NOWAKOWSKI, EDWARD OLEJNICZAK, ANDRZEJ ŻYLUK J. Oblicza się składowe całej siły nośnej na osie układu +, +, + (27) 3. Siła ciągu silnika T ma tylko jedną składową skierowaną wzdłuż osi podłużnej pocisku Ox: T[T,0,0] T (28) Ciąg silnika uwzględnia się tylko na aktywnym odcinku toru lotu. Przykładowy przebieg zmian ciągu silnika rakietowego pokazano na rys. 5. ρ (33) Rys.5.Ciąg silnika rakietowego T 3.2MOMENTY SIŁ Na rys. 2 pokazano między innymi wektor momentu sił aerodynamicznych Ma. Moment ten działa na pocisk, obracając go w płaszczyźnie wyznaczonej przez osie Ox i Oxa, tzn. wokół osi określonej wektorem n2. Wartość tego momentu można wyznaczyć z zależności: ρ (29) gdzie d - wymiar charakterystyczny /średnica pocisku/, Cm - współczynnik momentu pochylającego, który oblicza się z zależności: (30) + Pierwszy składnik z wzoru (30) pokazano na rys. 6. Drugi składnik decyduje o tłumieniu. Moment Ma ma składowe Ma[L,M,N] T, które można obliczyć, uwzględniając wektor jednostkowy n2:,, (31) W równaniu opisującym ruch obrotowy występuje również moment generowany przez układ napędowy MT[LT,0,0] T. Ma on jedną składową LT "rozkręcającą" pocisk wokół osi Ox na początkowym odcinku toru lotu. Ten obrót może być wywołany dzięki odpowiedniemu ukształtowaniu dysz wylotowych silnika rakietowego. Moment LT oblicza się z zależności: (32) gdzie a jest umownym "ramieniem działania" siły ciągu, które można określić, znając charakterystyki podane przez producenta w dokumentacji pocisku. Odpowiednie wychylenie usterzenia służy do wytworzenia momentu przechylającego Mf[Lf,0,0] T powodującego obrót wokół osi Ox pocisku. Jego jedyna składowa jest równa: Rys.6. Współczynnik statycznego momentu pochylającego pocisku rakietowego Współczynnik Cl można obliczyć z zależności: + (34) Pierwszy składnik zależy od wychylenia usterzenia, zaś drugi związany jest z tłumieniem przechylania. 4. PRĘDKOŚĆ POCISKU WZGLĘDEM POWIETRZA W wyrażeniach (21), (22) i (27), na podstawie których oblicza się siłę oporu, siłę nośną oraz moment działający na pocisk rakietowy, występuje prędkość pocisku względem powietrza V*. Prędkość ta stanowi różnicę pomiędzy prędkością bezwzględną pocisku V i prędkością powietrza Vw. (30) Na rys. 7 pokazano wszystkie prędkości, ich składowe oraz kąty nutacji, natarcia i ślizgu. α β Rys.7. Składowe prędkości oraz kąty nutacji, natarcia α i ślizgu β Uwzględnienie prędkości wiatru Vw umożliwia badanie lotu pocisku w zmiennych warunkach atmosferycznych. Prędkość ta jest określana najczęściej w układzie Oxgygzg. Z tego powodu w obliczeniach należy zastosować macierz transformacji Ls/g, tzn. we wzorze (30) zamiast Vw należy użyć Ls/gVw. Jeżeli pocisk odpalany jest z pokładu śmigłowca, to w obliczaniu prędkości pocisku względem powietrza należy uwzględnić prędkość indukowaną generowaną przez wirnik nośny Vind. Prędkość ta oddziałuje na 23

WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO pocisk, gdy znajduje się on pod wirnikiem 4. Można przyjąć, że ma ona jedną składową - skierowaną wzdłuż osi wirnika pionowo do dołu. Zakładając, że oś wirnika jest równoległa do osi Oz układu związanego z pociskiem w chwili początkowej prędkość indukowana ma w układzie Oxyz składowe Vw[0,0,Vind] T. Gdy pocisk znajduje się pod wirnikiem jego prędkość względem powietrza jest równa: (31) Prędkość indukowaną można obliczyć z wykorzystaniem analitycznych, uproszczonych zależności /patrz [8, 11]/. Wzory te pozwalają określić składową prędkości indukowanej prostopadłą do płaszczyzny wirnika. Przykładowe zależności: - dla zawisu stała prędkość: (32) ρ gdzie: T ciąg wirnika nośnego równy ciężarowi śmigłowca; Swn pole powierzchni wirnika nośnego; - dla pionowego wznoszenia lub opadania stała prędkość z rozwiązania równania nieliniowego: ρ + (33) gdzie: Ww/o pionowa prędkość śmigłowca. - dla lotu postępowego stała prędkość z rozwiązania równania nieliniowego: ρ + + (34) gdzie: Usm, Vsm, Wsm są składowymi prędkości lotu śmigłowca. Usm jest składową wzdłuż prostej otrzymanej w wyniku przecięcia płaszczyzny wirnika i płaszczyzny symetrii kadłuba, Vsm jest prostopadła do płaszczyzny symetrii kadłuba i leży w płaszczyźnie wirnika. Wsm jest zgodny z osią wirnika nośnego. - dla lotu postępowego - zmienna wzdłuż azymutu prędkość według modelu Glauerta: + ψ (35) gdzie Vind_0 oblicza się z rozwiązania równania (34), ψ jest azymutem łopaty mierzonym od belki ogonowej zgodnie z kierunkiem obrotów wirnika nośnego, zaś współczynnik K jest równy: (36) + - dla lotu postępowego - zmienna wzdłuż azymutu i promienia prędkość według modelu Manglera- Squire'a: ψ + ψ ψ + ψ (37) gdzie: 4 W rzeczywistości może to być czas krótszy, ze względu na skośny kształt strumienia zawirnikowego w trakcie lotu postępowego. ( ) µ µ (38) π + α ( µ ) µ (39) α π (41) ( ) + µ α µ + µ + µ + µ α ( µ ) + α α (40) µ + α (42) µ + µ + µ + + µ α Oznaczono tu: (r - odległość punktu od µ osi wirnika, R - promień wirnika), αwnarctan(usm/wsm) kąt natarcia wirnika nośnego. 5. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY I WNIOSKI Na podstawie opisanego powyżej modelu ruchu pocisku rakietowego przeprowadzono szereg obliczeń testowych. Ich celem było określenie wpływu oddziaływania wirnika nośnego na lot pocisku. Założono, że pocisk odpalany jest ze śmigłowca wykonującego ustalony lot poziomy z różnymi prędkościami, przyjmując jednocześnie, że początkowy kąt pochylenia pocisku jest równy zeru. Średnią wartość prędkości indukowanej, obliczoną z wykorzystaniem zależności (32) i (34), dla różnych prędkości lotu śmigłowca pokazano na rys. 8. Prędkością początkową pocisku jest prędkość lotu śmigłowca. Rys.8. Prędkość indukowana przez wirnik nośny Na rysunkach 9 13 przedstawiono przebieg wybranych parametrów lotu dla dwóch skrajnych przypadków - zawisu oraz lotu z prędkością 200 km/h. Rys. 9 pokazuje, że pocisk na aktywnym odcinku nabiera prędkości około 600m/s, która następnie maleje. Z porównania przebiegów odnoszących się do zawisu i do lotu postępowego wynika, że odpalenie pocisku w locie postępowym powoduje: wzrost bezwzględnej prędkości pocisku w wyniku sumowania się prędkości nosiciela i prędkości uzyskiwanej poprzez pracę silnika rakietowego (rys.9) i wzrost zasięgu lotu (rys.12); 24

GRZEGORZ KOWALECZKO, MIROSŁAW NOWAKOWSKI, EDWARD OLEJNICZAK, ANDRZEJ ŻYLUK zmniejszenie kąta pochylenie pocisku /rys.10/; zmniejszenie kąta odchylenia pocisku /rys.11/; niewielkie zmiany prędkości kątowej przechylania /rys.13/. Na początkowych fragmentach przebiegów kątów pochylenia i przechylenia, przedstawionych na rysunkach 10 i 11 można zauważyć szybko tłumione oscylacje kątów, co świadczy że pocisk jest dynamicznie stateczny. Rysunki te pokazują też, że wpływ prędkości indukowanej na te kąty jest istotny i tym większy, im mniejsza jest wartość prędkości postępowej nosiciela. Wynika to z dużych wartości prędkości indukowanej przy małych prędkościach lotu śmigłowca (rys.8). Przeprowadzając obliczenia dla szeregu pośrednich wartości prędkości nosiciela, oceniono wpływ prędkości indukowanej na dwa zasadnicze parametry - zasięg i odchylenie boczne. Wyniki zbiorcze pokazano na rysunkach 14 i 15. Wynika z nich, że prędkość indukowana zmniejsza zasięg (rys.14), nawet o około 150 metrów oraz powoduje odchylenie punktu upadku maksymalnie o około 12 metrów (rys.15). Stąd wniosek, że tak duży wpływ prędkości indukowanej na celność strzelania powinien być uwzględniany w procesie celowania. Rys.12. Rzut pionowy trajektorii na płaszczyznę Oxgzg Rys.13. Prędkość kątowa przechylania P Rys.9. Prędkość pocisku V Rys.14. Zasięg pocisku rakietowego Θ Rys.10. Kąt pochylenia Θ Rys.15. Odchylenie boczne pocisku rakietowego Ψ Rys.11. Kąt odchylenia Ψ 25

WPŁYW POLA PRĘDKOŚCI INDUKOWANEJ NA LOT POCISKU RAKIETOWEGO Literatura 1. Baranowski L.: Effect of the mathematical model and integration step on the accuracy of the results of computation of artillery projectile flight parameters. Bull. Pol. Ac.:Tech. 2013, 61 (2), p. 475-484. 2...:., 1972. 3. Gacek J.: Balistyka zewnętrzna. Warszawa: Wyd. WAT, 1998. 4. Kowaleczko G.: Zagadnienie odwrotne w dynamice lotu statków powietrznych. Warszawa: Wyd. WAT, 2003. 5. McCoy R.L.: Modern exterior ballistics. Atglen PA, Schiffer Publishing, 2012, ISBN: 978-0-7643-3825-0 6. PRODAS - User Manual. 7. Shapiro J.: Balistyka zewnętrzna. Warszawa: Wyd. MON, 1956. 8. Kowaleczko G.: Model śladu zawirnikowego wirnika nośnego śmigłowca. Sprawozdanie z pracy 14-4249-03. Warszawa: Wyd. ITWL, 2012. 9...: -.,., 1966 10. Bramwell A. R. S.: Helicopter dynamics. London: Edward Arnold Publishers Ltd., 1986. 11. Mangler K. W., Squire H., B.: The induced velocity field of a rotor. London, Reports of Memoranda, No. 2624, 1950. 26