Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES

Podobne dokumenty
8. Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

KONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

8. Metody rozwiązywania układu równań

Zaawansowane metody numeryczne

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta

Przykład przedstawia rozwiązanie problemu brzegowego 7u +3xu=9x 2 +4 u ( 1)=3 u(2)= 2

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

Zastosowanie technik sztucznej inteligencji w analizie odwrotnej

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

KONSPEKT WYKŁADU. nt. MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH. Piotr Konderla

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Podstawy mechaniki komputerowej

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium

Metoda elementów skończonych

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

Karta (sylabus) przedmiotu

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

Elementy projektowania inżynierskiego

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Zagadnienia stacjonarne

Metody rozwiązania równania Schrödingera

4. Zjawisko przepływu ciepła

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej (L-5) Rozwiązanie zadania ustalonego przepływu ciepła w systemie MES / BMRS HEAT MIL

Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

WYKŁAD 10. kodem pierwotnym krzywej jest ciąg par współrzędnych x, y kolejnych punktów krzywej: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego

Kinematyka: opis ruchu

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

Stateczność układów ramowych

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Kilka spraw praktycz-

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Całkowanie numeryczne

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

DZIŚ I JUTRO METOD KOMPUTEROWYCH MECHANIKI

Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

FEM, generacja siatki, ciepło

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U

Wzornictwo Przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

1 Równania różniczkowe zwyczajne

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP

Γ D Γ Ν. Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe. problem modelowy: w Ω. warunki brzegowe: Dirichleta. na Γ D. na Γ N.

Metody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

Równania różniczkowe: poza metodę różnic skończonych -rozwiązania w bazie funkcyjnej

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych

Metoda elementów brzegowych

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Interpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Transkrypt:

Metody bezsatkowe nne metody komputerowe na tle MES Sławomr Mlewsk slawek@l5.pk.edu.pl Potr Plucńsk pplucn@l5.pk.edu.pl

Wprowadzene Metoda Elementów Skończonyc MES Ogólna, najbardzej rozpowszecnona, najbardzej rozwnęta Podstawa wększośc programów komercyjnyc (Abaqus, Adna, Ansys, Dana, FEL, Feap, Mark, Robot, ) Stosowana przy wększośc zadań nżynerskc mecank fzyk Rozwnęte klasy typy elementów skończonyc, podstawy matematyczne, opracowane wynków, metody szacowana błędów

Wprowadzene Dlaczego mówmy o nnyc metodac komputerowyc? Względy storyczne (MES ne jest najstarsza ) Względy dydaktyczne (łatwej rozwązać zadane ręczne za pomocą np. metody różnc skończonyc) Względy praktyczne Nektóre zastosowana (analza płyt, rucomy brzeg, szczelna, ) Dostępne oprogramowane (własne lub komercyjne) Kombnacje metod (np. MES + BMRS) Potrzeba weryfkacj oblczeń MES nną metodą Efektywność szybkość algorytmu Potrzeba częstej przebudowy satk (adaptacja) Dokładność rozwązana jego pocodnyc (nadzbeżność) Końcowe opracowane wynków (podejśce ybrydowe) Aktualne trendy w nauce (metody bezsatkowe)

Krytera klasyfkacj metod oblczenowyc

Dyskretyzacja obszaru Ω Ω MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH MEODA ELEMENÓW BRZEGOWYCH MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MEODY BEZSIAKOWE BEZSIAKOWA MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MEODY RESIDUÓW WAŻONYCH MEODY ENERGEYCZNE INNE

Aproksymacja rozwązana Metody brzegowe Metody bezsatkowe Metody elementowe

Klasyfkacja metod komputerowyc NAZWA MEODY SFOR- -MUŁOWANIE PODSAWA DYSKREYZACJI SPOSÓB DYSKREYZACJI SPOSÓB APROKSYMACJI CAŁKOWANIE NUMERYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH SŁABE (WARIACYJNE / FUNKCJONAŁ) OBSZAR WĘZŁY + + ELEMENY INERPOLACJA F.KSZAŁU W ELEMENCIE W ELEMENCIE MES + INNE MEODA ELEMENÓW BRZEGOWYCH RÓWNANIE CAŁKOWE OBSZAR BRZEG ELEMENY INERPOLACJA BRZEGOWA NA BRZEGU (CAŁKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE) MEB + INNE MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MOCNE (LOKALNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE NIE JES PORZEBNE APROKSYMACJA WARIACYJNA MRS SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE DOOKOŁA LUB POMIĘDZY WĘZŁAMI APROKSYMACJA MEODY BEZSIAKOWE (BEZSIAKOWA MRS) MOCNE / SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY MEODA MWLS RÓŻNE SPOSOBY MWLS MEODY RESIDUALNE (GALERKIN, NK, KOL.) SŁABE (WARIACYJNE) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALIYCZNIE INERPOLACJA MEODY ENERGEYCZNE (RIZ) SŁABE (FUNKCJONAŁ) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALIYCZNIE INERPOLACJA

Metoda różnc skończonyc - wersja lokalna

MRS (lokalna) na tle MES MRS lokalna MES Sformułowane problemu brzegowego u = Lokalne f P Ω u u = u ( P ) α u + β = g P Ω n - Waracyjne - Funkcjonał u u vdω + vd Ω = f v dω n Ω Ω Ω u I( u)= F u, d Ω, mn I( u) =? n ( u) Ω Generacja satk Aproksymacja Generacja równań dyskretnyc Całkowane Warunk brzegowe Macerz Układu równań yp (prostokątna, trójkątna) + moduł Generacja wzorów różncowyc dla pocodnyc z równana Kolokacja Brak Dodatkowe wzory różncowe brzegowe Na ogół nesymetryczna Specjalne programy - generatory Interpolacja rozwązana w elemence za pomocą funkcj kształtu Spełnene równana waracyjnego w elemence Kwadratury Gaussa w elemence Modyfkacja układu równań Symetryczna pasmowa

Etapy MRS generacja satk Źródło: Orksz J., Fnte Dfference Metod, part III n Handbook of Computatonal Mecancs, ed: Kleber, Sprnger, 998

Etapy MRS generacja wzorów różncowyc D: gwazda trójwęzłowa standardowa D:, j + gwazda pęcowęzłowa u u u + u gwazda pęcowęzłowa u u + u + u +, j +, j, j, j + + gwazda dzewęcowęzłowa Sposoby generacj wzorów różncowyc: - Składane wzorów złożonyc ze wzorów prostyc: - Wymuszene zgodnośc dla jednomanów - Interpolacja różnczkowane - Metoda współczynnków neoznaczonyc ( metoda aylora )

Generacja wzorów różncowyc przykłady oblczeń D - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: u u au bu cu '' + + + u = u u + u + u = u u u u u '.5 ''... + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + b + c + u ' ( a + c) + u '' (.5 a +.5 c) u + u + a = b = c = - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: u '' au + bu ' + cu + u = u u ' = u ' u u u u + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + c + u ' ( b + c) + u ''.5 c u, u ' u + + a = b = c = - składane operatorów u+ u u u + u+ u ' u '' ( u ' )' = u ''' ( u '' )'...

Generacja wzorów różncowyc przykłady oblczeń D - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: ( '' ) ( '' ) u, j = u xx + u, yy au bu cu du eu j, j, j +, j + +, j +, j+ +, j ( ) ( ) u, j = u, j u ' x +.5 u '', xx +... j, j u, j = u, j ( u ' y ) +.5 ( u '' )..., yy + j, j u+, j = u, j + ( u ' x ) +.5 ( u '' )..., j xx +, j u, j+ = u, j + ( u ' y ) +.5 ( u '' )..., j yy +, j u, j = u, j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), j +, j, j +, j, j u u a b c d e u ' a c u ' b d...... + ( u '' ), (.5.5 ) ( '' ) (.5.5 ) 4 xx a + c + u j yy b + d, j e =, j =, j + + + + + x + +, j y + +, j a = b = c = d = - składane operatorów u u + u u u + u u + u + u + u 4u ( u '' xx ), ( u '' yy ), j, j +, j, j, j, j+, j, j ( '' ) ( '' ), j, j +, j, j+, j u, j = u xx + u, j yy, j

Etapy MRS generacja równań różncowyc L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω Kolokacja we węzłac Lu G u = f P Ω = g P j Ω j Uwzględnene warunków brzegowyc Operator budowany tylko na węzłac wewnętrznyc Operator budowany na węzłac wewnętrznyc - z wykorzystanem uogólnonyc stopn swobody Operator budowany na węzłac wewnętrznyc zewnętrznyc fkcyjnyc węzłac

Zgnana belka równane II rzędu sformułowane matematyczne równane różnczkowe zwyczajne II rzędu EI L q(x) x y d y dx M ( x) = f ( x) =, y() =, y( L) = EI ( ) M ( x) = qlx qx = qx L x dla q = const.

Problemy brzegowe II rzędu - zamana pocodnyc ścsłyc na numeryczne + y ' y + y y y y + y + ''

Przykład: satka 5-co węzłowa EJ 4 L q(x) 5 x d y M ( x) = f ( x) = dx EI y() =, y( L) = = L 4 y zaps tradycyjny do oblczeń ręcznyc zaps macerzowy do oblczeń komputerowyc y y + y y y + y4 y y4 + y5 = f ( x ) ( ) = f x y y, y = f, 4 ( x ) 4 y y f x y ( ) ( ) ( x ) 4 4 4 y f y y 5 y 5 A y = f x y = B y A B

Zgnany wspornk równane II rzędu sformułowane matematyczne równane różnczkowe zwyczajne II rzędu q EI x L y d y dx M ( x) = f ( x) =, y '() =, y() = EI M ( x) = q( L x)

Zgnany wspornk równane II rzędu - model oblczenowy MRS warant I węzeł fkcyjny L n- n = = const n y y + y x : = f x ( ) xn = L y y y = = y = y... y... y f ( x )... y f ( x ) y 4 =........................ f ( xn ) y n f ( xn ) y n

Zgnany wspornk równane II rzędu - model oblczenowy MRS warant II ulepszony operator brzegowy L n- n = = const n xn = L y y ' + y = f x y = ( )... y... y f ( x )... y f ( x ) y 4 =........................ f ( xn ) y n f ( xn ) y n ten sam układ równań, co dla warantu I

Ustalony przepływ cepła (D) Ω = '' xx + '' yy = w Ω = na = qn na n Ω Ω q f k q n Ω Ω q wartość operatora w węźle - 4 4 = '' xx + '' yy Ω = ( + + + 4 ) 4

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS m m = C = C = C Materał zotropowy kx = k y = k = 7 = C o J Cms Intensywność generacj cepła wewnątrz obszaru (na jedn. grubośc) J f ( x, y) = m s ( x y + ) = C m = C m

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS satka MRS 9 moduł satk ( węzłów) = [ m] Węzły wewnętrzne (5): 8, 9,,, 4 Węzły brzegowe (6): -6, 7,,, 5- m m 4 5 6 7 8 (, ) 7 8 9 (,) (,) (,) ( 4,) 4 5 6 m m

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS układ równań początkowa postać układu równań ( x ) algebracznyc równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr 4 - węzeł nr 4 - brzeg równane nr 5 - węzeł nr 5 - brzeg równane nr 6 - węzeł nr 6 - brzeg równane nr 7 - węzeł nr 7 - brzeg równane nr 8 - węzeł nr 8 - wnętrze równane nr 9 - węzeł nr 9 - wnętrze równane nr - węzeł nr - wnętrze równane nr - węzeł nr - wnętrze równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr 4 - węzeł nr 4 - wnętrze równane nr 5 - węzeł nr 5 - brzeg równane nr 6 - węzeł nr 6 - brzeg równane nr 7 - węzeł nr 7 - brzeg równane nr 8 - węzeł nr 8 - brzeg równane nr 9 - węzeł nr 9 - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg 4 5 6 7 8 9 = 4 5 6 7 8 9

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe 9 4 5 6 7 4 8 9 = 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 8 9 4 5 6 + 9 + 4 + 7 4 8 = f ( x8, y8 ) = k

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe 9 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 = 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 8 9 4 5 6 + + 5 + 8 4 9 = f ( x9, y9 ) = k 7

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe 9 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 4 4 / 7 = 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 8 9 4 5 6 4 + + 6 + 9 4 = f ( x, y ) = k 4 7

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe 9 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 4 4 / 7 4 = 6 / 7 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 8 9 4 5 6 6 5 + + 7 + 4 = f ( x, y ) = k 7

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe 9 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 4 4 / 7 4 = 6 / 7 4 4 / 7 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 8 9 4 5 6 8 + 5 + + 4 4 = f ( x4, y4 ) = k 7

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS warunk brzegowe = 9 9 = = = 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 4 4 / 7 4 = 6 / 7 4 4 / 7 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 7 = 8 = 5 = 6 = 7 = 7 8 9 = = 4 5 6 = = 4 = 5 = 6 =

Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS układ równań końcowa postać układu równań ( x ) algebracznyc 4 5 6 7 4 8 4 9 / 7 4 4 / 7 4 = 6 / 7 4 4 / 7 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8.7 9.46.454 =.756 4 8.947 5 6 7 8 9

Krzywolnowy brzeg? MRS klasyczna MRS dla satek neregularnyc

Blans MRS MES MRS: zalety: wady: Najstarsza metoda komputerowa Łatwość mplementacj Istnene wersj lokalnej Łatwa generacja satk Dydaktyczny carakter rudnośc przy krzywolnowym brzegu Ne można przeprowadzć adaptacj Ne można lokalne zagęszczać satk (naroża, obcążena skupone, ) rudna do automatyzacj MES: zalety: wady: Najbardzej powszecna metoda komputerowa Podstawa programów komputerowyc Szeroke pole zastosowań Ogromna bbloteka elementów skończonyc Duża dokładność rozwązana Kłopotlwa generacja satk dla obszarów o skomplkowanej geometr Mało efektywna przy częstej przebudowe satk Uwzględnane nelnowośc geometrycznyc (duże przemeszczena, ) rudnośc w analze rucomego brzegu, rozwoju szczelny Zjawsko blokady

Bezsatkowa metoda różnc skończonyc

Satk neregularne SIAKA REGULARNA W PODOBSZARACH SIAKA NIEREGULARNA, RZUOWANA Z SIAKI REGULARNEJ DOWOLNIE NIEREGULARNA SIAKA SIAKI O RÓŻNYM SOPNIU NIEREGULARNOŚCI

Bezsatkowa (Uogólnona) Metoda Różnc Skończonyc BMRS DOWOLNIE NIEREGULARNE CHMURY WĘZŁÓW (WĘZŁY NIE POWIĄZANE ZE SOBĄŻADNĄ SRUKURĄ YPU SIAKA REGULARNA CZY ELEMEN) KAŻDY WĘZEŁ MOŻE BYĆ USUNIĘY, DODANY, PRZESUNIĘY (ADAPACJA YPU, OBCIĄŻENIE SKUPIONE, SZCZELINA, WĘDRUJĄCY BRZEG,...) Ceca metod bezsatkowyc MB ZAMIANA OPERAORÓW RÓŻNICZKOWYCH NA RÓŻNICOWE Ceca metod różncowyc MRS APROKSYMACJA LOKALNA JES OPARA NA GRUPIE WĘZŁÓW, DOKONYWANA MEODĄ NAJMNIEJSZYCH WAŻONYCH KROCZĄCYCH KWADRAÓW MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH Ceca metody BMRS MEODA BEZSIAKOWA (np. BMRS)

Generacja węzłów opologa - welokąty opologa - trójkąty Generacja gwazd Generacja wzorów różncowyc (MWLS) f Du = u ( x, x ) K q u ( x, x) Całkowane numeryczne x x x x x x x x x x x x x x x x x x x u u u u j x Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over te Vorono polygons b) ntegraton over te Delaunay trangles c) ntegraton over te element of te ndependent mes d) ntegraton over te support of te approxmaton wegt x x Uwzględnene warunków brzegowyc ( x, u ) ( x, u ) j j Generacja równań różncowyc - kolokacja - mnmum funkcjonału - równane waracyjne Rozwązane układu Równań + Postprocessng

Generacja węzłów : Kryterum generacj: p - funkcja określająca żądaną gęstość satk ρ ρ max p

Podzał obszaru essalacja Vorono

Połączena węzłowe rangularyzacja Delaunay

Determnacja topolog Sąsedztwa węzłowe

Optymalna selekcja gwazd różncowyc Krytera selekcj sąsadów Vorono krzyża

Aproksymacja MWLS dea D 4 u( x, x ) 5 u( x, x ) n aproksymacja globalna rucoma lokalna aproksymacja Aproksymacja lokalna D zaps tradycyjny (welomanowy) ( ) ( ) ( ) ( ) u( x, x ) = a + a x x + a x x +... + a x x = p+ p+ = a x x = Aproksymacja lokalna D zaps bezsatkowy (rozwnęce w szereg aylora) p a - matematyczne stopne swobody p p du d u d u p d u = + + + + p = dx dx p! dx =! dx u( x, x ) u... = x x d u - fzyczne (mecanczne) dx stopne swobody

Aproksymacja MWLS { u } u ' aproksymacja u( x, x) = p Du p =..., Du = lokalna [ p+ ] [ p+ ]... p ( p) u p! ważona funkcja błędu J = ( PDu q) W ( PDu q) q [ n ] P p ( ) ω( x x )... p ( ) =,............ W =... ω( x xn ) p ( n ) [ n p+ ] [ n n] = { u } [ u,..., u ] - występuje, gdy dany punkt ne jest węzłem n mnmalzacja błędu J Du ( u ) u ( ) = = = P W PD q D P W P P W q = Mq Du = M q ( ) [ p+ n] M = P W P P W Macerz wzorów różncowyc

FUNKCJE WAGOWE ( ) Aproksymacja MWLS ω x x = f ( d) d = x x powszecne stosowane KLASYFIKACJA osoblwe nterpolacja neosoblwe wygładzane nośnk neskończony (wygodne dla oblczeń) BMRS: operatory różncowe ω ( d ) = p+ s d + ε BMRS: wygładzane danyc nośnk skończony (wygodne dla matematycznyc dowodów) ω ( d ) = d + ε, x, BMRS: operatory różncowe ( ), x a, a p+ s ( a a) a EFG, metody jądrowe, p-clouds BMRS: wygładzane danyc a

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' + ( ) w'' +... w w = w w' + w'' +... w w = w w4 = w + w' + w'' +... w4 w = w + w' + ( ) w'' +... w 5 5 funkcja wagowa (dla D: d = ) ω ( d ) = ω ( ) = + d p+ s budowa funkcj błędu + ε J = ( w w ) + ( w w ) +... ( ) + + ( w4 w4 ) + ( w5 w5 ) ( )

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w', w'' ) J = w' J = w'' J w w w4 w5 = 6 ( w w ) + 6 ( w w ) + 6 ( w4 w4 ) + 6 ( w5 w5 ) = w' 79 w' w' w' 79 w' J w w w w 4 ( w w ) ( w w ) ( w w ) ( w w ) 5 = + 6 6 + 6 4 4 + 6 5 5 = w'' 79 w'' w'' w'' 79 w'' ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) w w + 79 w w + 79 w w + w w = 4 4 5 5 9 9 w w + 79 w w + 79 w4 w4 + w5 w5 = ( ) ( ) ( ) ( )

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 ( w w ) ( w w ) ( w4 w4 ) ( w5 w5 ) ( w w ) + 8( w w ) + 8( w w ) + ( w w ) = 4 + 4 + = 4 4 5 5 w w' + ( ) w'' w 4 w w' + w'' w + + 4 w + w' + w'' w4 + w + w' + ( ) w'' w5 = w w' + ( ) w'' w + 8 w w' + w'' w + + 8 w + w' + w'' w4 w ( ) + + w' + w5 = w''

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 49 w' = w 4w + 4w + w 9 4 5 w'' = w + 8w 64w + 8w4 + w5 w' w'' w 4w + 4w4 + w5 49 w + 8w 64w + 8w + w 9 4 5 np. dla w( x) = sn( x) x =, x = π, x = π, x4 = π, x5 = π = π 6 w 4w + 4w4 + w5 w' = e = 49.967 ( ) w + 8w 64w + 8w4 + w5 e.9 4% w'' =. 967 = = 9

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą f.lnowej) Szukane: w =?, w' =? w w w4 w5 rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' +... w w = w w' +... w w4 = w + w' +... w4 w = w + w' +... w 5 5 funkcja wagowa ω p+ s d + ε ( d ) = ω ( ) = + budowa funkcj błędu J = ( w w ) + ( w w ) + ( ) + ( w4 w4 ) + ( w5 w5 ) ( ) mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w, w' ) J = w J = w'

Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą f.lnowej) w w ' Szukane: w w w 4 ' 4 =?, w' =? rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' +... w, s = w' = w' w'' +... w', s = w = 4 w + +... w4, s = w' w' 4 = w' + w'' +... w' 4, s = funkcja wagowa ω ( d ) = ω ( ) = d p+ s + ε + s budowa funkcj błędu J = ( w w ) + ( w' w' ) + + ( w4 w4 ) + ( w' 4 w' 4 ) mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w, w' ) J = w J = w'

Aproksymacja MWLS dea D u j j ω funkcja wagowa ( d ) = = p+ s p+ s d + ε + + ε ( k ) k j d j X x, y ( ) Aproksymacja lokalna D du du d u d u d u u( x, y, x, y) = u + + k + + k + k +... dx dy dx dxdy dy p= p= p= = x x, k = y y

Aproksymacja MWLS przykład D a Dane: w, w, w, w4, w5 Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą płaszczyzny) Szukane: w' =?, w' =? x,5 y,5 o 45 a 5 a a w = w5 aw' x,5 +... w π π w = w a cos w' + a sn w' +... w 4 4 w = w5 + aw' x,5 +... w w4 = w5 aw' y,5 +... w4 w5 = w5 5 x,5 y,5 4 J = ( w w ) + ( w w ) + a a + ( w w ) + ( w4 w4 ) + a a J = w' 5,x mn J ( w' 5, x, w' 5, y ) J = w' 5,y

Całkowane w BMRS a) CAŁKOWANIE DOOKOŁA WĘZŁA PO WIELOKĄACH VORONOI (NAJLEPSZE DLA PARZYSYCH OPERAORÓW) AK JAK W KLASYCZNEJ MRS b) CAŁKOWANIE POMIĘDZY WĘZŁAMI PO RÓJKĄACH DELAUNAY (D) (NAJLEPSZE DLA NIEPARZYSYCH OPERAORÓW) AK JAK W MES c) CAŁKOWANIE PO SIACE ŁA NIEZALEŻNEJ OD WĘZŁÓW AK JAK W MEODACH BEZSIAKOWYCH d) CAŁKOWANIE PO SREFACH WPŁYWU FUNKCJI WAGOWYCH APROKSYMACJI MWLS AK JAK W ME. BEZSIAK. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x punkt Gauss Gaussa ponts węzeł nodes punkt central centralny pont a) całkowane ntegraton po over welokące te Vorono Vorono b) b) całkowane ntegraton po over trójkące te Delaunay c) c) całkowane ntegraton po over nezależnej te element satce of d) całkowane d) ntegraton po nośnku over te funkcj support wagowej polygons trangles te ndependent mes of te approxmaton wegt

Warunk brzegowe w BMRS ( x, u ) użyce jedyne wewnętrznyc węzłów słaba jakość m u = a u j j j= użyce węzłów wewnętrznyc uogólnonyc stopn swobody m m ( k) = j j + j j j= j= u a u b u podejśce welopunktowe użyce wewnętrznyc dodatkowyc zewnętrznyc węzłów m m f = j j + k k j= k = u a u b u, f f ( x, u ) ( x, u ) użyce węzłów wewnętrznyc z warunkem brzegowym równanem z obszaru zapsanym na brzegu Lu = f, Gu = g, P Ω m kombnacje powyższyc sposobów m a u = b f j j j j j= j= k k j ( xj, uj, f j, gj) ( x, u ) ( x, u ) j ( x, u ) j j ( x, u ) j j

Rozwązane zadana D za pomocą BMRS w w 4 5 46w 7w + 4w 6w4 w5 w' 49w 56w + 464w + 59w + 4w w'' 5 4 5 w4 w w 4w + 4w4 + w5 w' ( ) 49 w + 8w 64w + 8w4 + w5 w'' 9 w = w = 49w 56w + 464w + 59w4 + 4w5 5 ql = 4 7 ql 5( L EI ) w =.86 ql 6 EI w' =.6 4 EI w + 8w 64w + 8w4 + w5 ql ql = w =.4 w' = 9 8 EI EI ( L 6) ql.6 EI EI w = 5 w = 5 4 ql w' 4 = w w 4 = w 4 =.86 w 5 q sformułowane lokalne d w M ( x) = f ( x) = dx EI w() =, w( L) = ( ) M x = qlx qx = qx L x ql w'' =.694 EI ql w'' =.5 EI ql w'' 4 =.694 EI = L 6

Rozwązane zadana D za pomocą BMRS sformułowane waracyjne L w' v ' dx = f v dx w() = w( L) = L v() = v( L) = w w 4 5 w4 w w w v v w w v v + f v fv ( fv fv ) = + + + w w w w w v + + v = v f + f + v f, v, v w 5 q = L 6 w w + = f w w = f w = w5 = ql w = w4 =.9 EI ql w =. EI 4 4

Rozwązane zadana D za pomocą BMRS sformułowane lokalne F '' + F '' = f ( x, y) xx yy F = na Ω sformułowane waracyjne F ' v ' + F ' v ' dω = f ( x, y) vdω Ω x x y y F = na Ω, v = na Ω Ω 8 9 F = Ω Ω 4 5 8 9 4 /6 / /6 / / -/ /6 / /6 sformułowane lokalne sformułowane waracyjne F9 + F4 F8 + F v9 + v4 v8 + v F8 + F9 F + F4 v8 + v9 v + v4 L = + P = fv + f8v8 + f9v9 + f4v4 4 ( ) F 4