FEM, generacja siatki, ciepło

Transkrypt

1 FEM, generacja siatki, ciepło Sposoby generacji siatki, błędy w metodzie FEM, modelowanie ciepła M. Rad

2 Plan wykładu Teoria FEM Generacja siatki Błędy obliczeń Ciepło Realizacja obliczeń w FEMm

3 Jaka powinna być siatka? Siatka powinna być dostosowana do rozpatrywanego zagadnienia, nie za gęsta ale i nie za rzadka.

4 Co to jest rodzaj siatki Rodzaj siatki jest ściśle związany z kształtem elementu, choć nie zależy tylko od niego. Siatki mogą się różnić: gęstością równomiernością - mogą mieć stałą lub zmienną gęstość mogą być generowane automatycznie bądź ręcznie

5 Triangulacja Co to jest triangulacja? Triangulacja to podział (skończony!) figury geometrycznej na trójkąty (lub czworościany) w taki sposób, że część wspólna dowolnych dwu różnych sympleksów jest ich wspólną ścianą, wspólnym wierzchołkiem, wspólnym bokiem lub wspólnym trójkątem albo zbiorem pustym. Ponadto każdy podobszar tej figury zawiera skończoną liczbę trójkątów.

6 Co to jest triangulacja Delaunay'a? Triangulacja Delaunay'a (od nazwiska Borys Nikołajewicz Delone Борис Николаевич Делоне) to taka triangulacja, w której każde koło opisane na wierzchołkach pojedynczego trójkąta nie zawiera w sobie innego wierzchołka (punktu).

7 Definicja matematyczna

8 Dlaczego triangulacja Delaunay'a jest tak chętnie stosowana? daje dobry podział przestrzeni (elementy są dosyć zbliżone do trójkątów równobocznych) można ograniczyć tworzenie trójkątów z małymi kątami (zbyt "szpiczastych") istnieją dobre algorytmy automatyczne wraz z algorytmami optymalizacji siatki

9 Algorytm triangulacji Ogólny schemat postępowania: 1. generacja punktów początkowych, 2. triangulacja powłoki chmury punków początkowych, 3. znalezienie brzegu obszaru i wyeliminowanie trójkątów leżących na zewnątrz obszaru, 4. wygenerowanie w miarę potrzeb węzłów wewnętrznych i wprowadzenie ich do triangulacji, 5. poprawa otrzymanej siatki (adaptacja siatki).

10 Bardziej szczegółowo... definiowanie geometrii brzegu: (skierowanie krawędzi które mówi czy dany obszar jest wypełniony czy też pusty)

11 Algorytm - ciąg dalszy - dyskretyzacja brzegu (dodanie punktów na brzegu tak aby siatka miała pożądaną gęstość)

12 Algorytm - c.d. - triangulacja punktów brzegowych: wyznacz prostokąt obejmujący wszystkie punkty, dodaj wierzchołki tego prostokąta do siatki, zainicjuj triangulację dwoma trójkątami opartymi na tych punktach, dla każdego węzła brzegowego: dodaj węzeł do siatki, wykonaj retriangulację,

13 Algorytm - c.d. Retriangulacja w/g kryterium koła opisanego:

14 Algorytm - c.d. rekonstrukcja brzegu (uwzględnienie krawędzi wewnętrznych obszaru) usuwanie elementów znajdujących się poza materiałem sprawdzenie siatki i generowanie punktów wewnętrznych poprawa siatki (oparta na różnych kryteriach, np poprzez przesuwanie punktów które poprawia jakość trójkątów, zamianę krawędzi)

15 Całość algorytmu

16 Gdzie można szukać więcej O modelowaniu geometrii 3d: [ 1 ] Edward Lisowski,"Modelowanie geometrii elementów maszyn i urządzeń w systemach CAD 3D - z przykładami w SolidWorks, Solid Edge i Pro/Engineer", podręcznik, Wydawnictwo PK, Kraków 2003 O siatkach i triangulacji: [ 2 ] [ 3 ] Tomasz Jurczyk, "Generowanie niestrukturalnych siatek trójkątnych z wykorzystaniem triangulacji Delaunay a", praca dyplomowa, AGH Kraków, 2000r [ 4 ] Grzegorz Wojdyła, "Algorytmy automatycznej generacji siatek niestrukturalnych",pit 11 grudnia 2002

17 Co otrzymujemy z obliczeń? Otrzymanie rozwiązania za pomocą programu MES nie powinno nigdy być końcem procedury rozwiązywania problemu. Trzeba mieć świadomość, że uzyskany wynik prawie zawsze obarczony jest błędem. Istnieje wiele możliwych źródeł błędu rozwiązania. Kilka najważniejszych to:

18 Skąd biorą się różnice? błąd modelowania (zastosowany model matematyczny nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistości) błąd wartości współczynników (przyjęte wartości współczynników RRC i warunków brzegowych, czyli np. dane materiałowe, dane o interakcji obiektu ze światem zewnętrznym obarczone są błędem) błąd odwzorowania obszaru (obszar obliczeniowy nie odpowiada dokładnie rzeczywistemu obszarowi zajmowanemu przez analizowany obiekt)

19 Skąd biorą się różnice? błąd numeryczny (błąd dyskretyzacji, zastosowana metoda aproksymacji wprowadza błąd w stosunku do rozwiązania dokładnego problemu wyjściowego w postaci RRC) błąd zaokrągleń (ze względu na zastosowanie ograniczonej dokładności reprezentacji liczb w komputerze, rozwiązanie uzyskane programem komputerowym nie odpowiada rozwiązaniu przybliżonemu, które zostałoby otrzymane przy dokładnej reprezentacji liczb)

20 Co w takim razie zrobić? Po uzyskaniu rozwiązania wyniki należy poddać weryfikacji. Jeśli to możliwe sprawdzić model na prostszym zagadnieniu Sprawdzić wrażliwość modelu na zmiany parametrów obliczeniowych Sprawdzić czy inni za pomocą tego modelu otrzymywali wiarygodne wyniki Wiedza jak skonstruowany jest dany model jest właściwie konieczna dla uzyskania wiarygodnych wyników

21 Ciepło

22 Co to jest ciepło? Jeden z dwóch sposobów przekazywania energii wewnętrznej układowi termodynamicznemu. Przekazywanie energii chaotycznego ruchu cząstek. Jest to forma zmian energii, a nie energia. Ciepło przepływa między ciałami (można powiedzieć: zachodzi wymiana cieplna) które nie są w równowadze termicznej (mają różne temperatury). Jednostką ciepła jest 1 J.

23 Sposoby wymiany ciepła przewodzenie (bezpośredni kontakt) konwekcja (w cieczach i gazach na skutek makroskopowego ruchu cząstek) promieniowanie elektromagnetyczne (drgający ruch cząsteczek wywołuje promieniowanie)

24 Energia termiczna Inaczej zwana energią cieplną, to część energii wewnętrznej układu, która związana jest z chaotycznym ruchem cząstek układu. Jej miarą jest temperatura. 0 o C = 273,15 o K

25 Współczynnik przewodnictwa cieplnego Określa zdolność ciała do przewodzenia ciepła. Im większy, tym więcej ciepła przepłynie przez ciało w określonych warunkach. gdzie: Q to ilość ciepła Q=λ S Δ T t d λ współczynnik przewodnictwa cieplnego S pole przekroju przez który przepływa ciepło ΔT różnica temperatur d grubość przegrody

26 Współczynnik przewodnictwa cieplnego więc: λ= Q t d S ΔT jednostką współczynnika przewodnictwa jest: J m s K = W m K Współczynnik ważny jest jedynie dla przewodzenia ciepła.

27 Opór cieplny Stosunek grubości warstwy materiału do współczynnika przewodnictwa cieplnego to opór cieplny: R i = d i λ i Jego jednostka: R i = m2 K W

28 Procedury brzegowe dla ciepła: Istnieje sześć typów warunków brzegowych dla problemów przepływu ciepła, pierwszy: (1) Fixed Temperature - stała temperatura ustalona wzdłuż granicy. (2) Heat Flux - strumień ciepła, f, przepływ w poprzek granicy jest wymuszony. Ten warunek brzegowy może być reprezentowany matematycznie jako: k T n + f =0 gdzie n oznacza kierunek normalny do granicy

29 Procedury brzegowe c. d. (3) Convection - konwekcja, występuje wtedy, gdy granica jest chłodzona za pomocą przepływu czynnika. Ten warunek brzegowy może być reprezentowany jako: k T n +h(t T o)=0 gdzie h jest "współczynnikiem przenikania ciepła" i T o jest temperaturą czynnika chłodzącego.

30 Procedury brzegowe c. d. (4) Radiation - promieniowanie. Przepływ ciepła pochodzący od promieniowania może być określony matematycznie jako: k T n +β k sb(t 4 T o 4 )=0 gdzie β jest emisyjnością powierzchni (bezwymiarowa wartość pomiędzy 0 a 1), a k sb jest stałą Stefana-Boltzmanna.

31 Stała Stefana Boltzmanna Stała Stefana-Boltzmanna to stała promieniowania ciała doskonale czarnego. k sb = E 0 T 4 Gdzie E 0 to moc emitowana przez jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego, T - temperatura bezwzględna. k sb = W m 2 K 4

32 Procedury brzegowe c.d. (5) Periodic (6) Antiperiodic Okresowe jak poprzednio.

33 Procedury brzegowe - domyślnie Jeżeli nie zdefiniowano warunków brzegowych, każda granica jest domyślnie przyjmowana jako izolowana - tzn. przyjmowany jest brak przepływu ciepła przez granicę. Jakkolwiek musi być gdzieś zdefiniowany warunek brzegowy (nie za pomocą pochodnej), lub musi zbyć zdefiniowany potencjał w jakimś punkcie, tak aby problem miał unikalne rozwiązanie.

34 Conductor properties Celem właściwości "przewodniki" (conductors) jest głównie umożliwienie użytkownikowi zadania całkowitej ilości ciepła przepływającego przez definiowaną powierzchnię. Można również zdefiniować przewodniki o stałej temperaturze i wtedy program wyliczy całkowity przepływ ciepła przez tak zdefiniowaną powierzchnię podczas rozwiązania problemu.

35 Conductor properties vs boundary condition Dla zdefiniowana stałej temperatury, można posłużyć się również odpowiednim warunkiem brzegowym, jakkolwiek posługiwanie się zamiast tego własnością "conductors" umożliwia grupowanie razem kilku powierzchni i obliczenie całego strumienia ciepła.