Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu NIEPRECYZYJNY OPIS PORZĄDKU ZATRZYMANIA STRATY Streszczenie: W pracy porządek zatrzymanej straty został opisany, jako rozmyty preporządek. Wtedy optymalne ryzyko jest reprezentowane przez rozmyty zbiór probabilistyczny. Słowa kluczowe: rozmyty preporządek, porządek zatrzymania straty Wstęp Konsekwencją behawioralnego podejścia do finansów jest między innymi poszukiwanie nieprecyzyjnych oszacowań wartości finansowych. W zamian za rezygnację z tej precyzji uzyskujemy możliwość uwzględnienia w naszych rozważaniach niejednoznacznie podanych informacji. W szczególnym przypadku odnosi się to oszacowań wartości wyznaczanych w rachunku ubezpieczeniowym. Ryzyko ubezpieczeniowe obejmujące szkody spowodowane danym wydarzeniem losowym może być skonstruowane na wiele sposobów. Wtedy jednym z podstawowych problemów rachunku ubezpieczeniowego jest wybór ryzyka optymalnego. Do oceny ryzyk ubezpieczeniowych może być stosowany porządek zatrzymanej straty. Porządek ten wielokrotnie nie jest liniowy, co uniemożliwia jednoznaczne uporządkowanie ocenianych ryzyk. W pracy tej będą studiowana będzie możliwość zastosowania tutaj rozmytych preporządków. 1. Podstawowe pojęcia 1.1. Stosowana funkcja użyteczności Dowolny jednowymiarowy proces gospodarczy możemy opisać za pomocą funkcji F: Ω R = [0; + [ określonej nad zbiorem Ω wszystkich dopuszczalnych stanów czynnika ω Ω kształtującego wynik procesu gospodarczego y = F(ω). Zbiór wszystkich rozważanych procesów gospodarczych tworzy zbiór H [R ] Ω. Zakładamy tutaj jedynie, że istnieje przeliczalna algebra σ 2 Ω gwarantująca mierzalność dowolnego procesu gospodarczego F H. Nasza wiedzę na temat czynnika kształtującego rozważane procesy gospodarcze opisujemy za pomocą dowolnej miary M: σ R. W szczególnym przypadku tą miara może być miara probabilistyczna. Przydatność uzyskanego wyniku procesu gospodarczego określamy za pomocą dobrze znanej z literatury funkcji użyteczności u: R R. W bogatej literaturze
przedmiotu dyskutowanych jest wiele słabszych lub silniejszych założeń o przebiegu zmienności funkcji użyteczności. W naszych rozważaniach ograniczymy się do założenia, że funkcja użyteczności jest ciągłą funkcją rosnącą. Wszystkie te założenia są wystarczające do tego, aby proces gospodarczy F H ocenić za pomocą funkcjonału oczekiwanej użyteczności u : H R określonego przez tożsamość u (F) = Ω u(f(ω))dm. (1) Dodatkowo korzystać tutaj będziemy z tezy zawartej w [Piasecki, 1991], gdzie wskazano na pewne analogie pomiędzy wielowartościowymi logikami Łukasiewicza a teorią użyteczności. Zgodnie z tą sugestią wartość u(y) funkcji użyteczności interpretować będziemy jako wartość logiczną zdania otrzymany wynik procesu gospodarczego y jest użyteczny. Wtedy funkcja użyteczności u: R [0; 1] spełnia dodatkowo warunek u(0) = 0, (2) lim y + u(y) = 1, (3) gdyż przedział [0; 1] jest teraz otoczeniem wypukłym zbioru wartości funkcji użyteczności. Oznacza to, że proponowana tutaj funkcja użyteczności jest bijekcją półprostej R na odcinek [0; 1]. Warunek ten szczególnym przypadkiem postulatu głoszącego, że funkcja użyteczności jest funkcją ograniczoną. 1.2 Stosowane elementy teorii zbiorów rozmytych Przedmiotem naszych rozważań będą informacje nieprecyzyjne. Wielu badaczy przedmiotu w obrazie nieprecyzji pojedynczej informacji wyróżnia niewyrazistość informacji oraz niejednoznaczność informacji. Niewyrazistość informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego rozróżnienia pomiędzy daną informacją i jej zaprzeczeniem. Niejednoznaczność informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego wyróżnienia pomiędzy wieloma wskazanymi alternatywami jednej rekomendowanej alternatywy. Podstawowym modelem formalnym stosowanym do opisu nieprecyzji będzie rodzina 0 ;1 rozmytych zbiorów w przestrzeni X. Zbiór rozmyty A [0; 1] X będzie jednoznacznie reprezentowany za pomocą swej funkcji przynależności μ A : X [0; 1]. W całej pracy zakładać będziemy, że działania sumy, iloczynu i dopełnienia zbiorów rozmytych zostały określone w sposób zaproponowany pierwotnie przez L. A. Zadeha. Rozważmy relację R X Y. Zdanie element x X pozostaje w relacji R z elementem y Y zapisujemy w postaci xr y. Relacje takie mogą być określone w sposób nieprecyzyjny. Nieprecyzyjność relacji R polega na tym, że prawdziwość zdania xr y, dla przynajmniej jednej pary (x, y) X Y, jest rozstrzygnięta niejednoznacznie. Stosownym aparatem formalnym do rozstrzygnięcia prawdziwości takiego zdania jest
logika wielowartościowa. Wtedy każdej parze (x, y) X Y przyporządkowujemy wartość ρ(x, y) równą stopniowi prawdziwości zdania xr y. W ten to sposób rozważana nieprecyzyjna relacja została zapisana przy pomocy funkcji przynależności ρ: X Y [0; 1] wyznaczającej podzbiór rozmyty R [0: 1] X Y. Szczególnym przedmiotem naszego zainteresowania będą nieprecyzyjne preferencje określone przy pomocy rozmytych preporządków określonych na zbiorze X. Rozmytym preporządkiem R nazywamy relację daną przez funkcję przynależności ρ: X X [0; 1] posiadająca właściwości : zwrotność x X: ρ(x, x) = 1, (4) przechodniość x, y, z X: ρ(x, y) ρ(y, z) ρ(x, z), (5) brak symetrii x, y X: ρ(x, y) ρ(y, x). (6) Powyższy preporządek R wyznacza w zbiorze X rozmyty podzbiór Q [0; 1] X elementów niezdominowanych. Zbiór Q elementów niezdominowanych 1 jest reprezentowany za pomocą swej funkcji przynależności μ Q : X [0; 1] danej przez tożsamość μ Q (x) = inf{ρ(x, y) (1 ρ(y, x)) y X}. (7) Poza nieprecyzją, każda informacja może być obarczona niepewnością. Pod pojęciem niepewności rozumiemy niedostatek naszej wiedzy na temat napotykanego w przyszłości rezultatu rozważanego zdarzenia. Podstawowym modelem formalnym stosowanym do opisu obciążonej niepewnością i nieprecyzją informacji na temat pewnych zdarzeń są rozmyte zbiory probabilistyczne. Niech będzie dana ustalona przestrzeń probabilistyczna (Ω, σ, π). Formalnym obrazem niepewności jest rozkład prawdopodobieństwa π: σ [0; 1]. Wtedy dowolny rozmyty zbiór probabilistyczny H w przestrzeni X [Hiroto, 1981] jest dany, jako indeksowana przez zdarzenia elementarne ω Ω rodzina zbiorów rozmytych {H (ω) [0; 1] X : ω Ω}. Każdy zbiór rozmyty H (ω) jest reprezentowany przy pomocy swej funkcji przynależności μ H (, ω): X [0; 1]. Oznacza to, że zbiór probabilistyczny H jest reprezentowany jednoznacznie przez indeksowaną rodzinę funkcji przynależności {μ H (, ω): Ω [0; 1]: ω Ω}. Stopień przynależenia dowolnego elementu x do zbioru probabilistycznego H określamy wtedy, jako funkcję μ H (x, ): Ω [0; 1]. Dodatkowo zakładamy tutaj, że funkcja ta jest 1 Nazywanych także elementami maksymalnymi
zmienną losową na ciele zdarzeń losowych σ. Obrazem formalnym rozmytego zbioru probabilistycznego H w przestrzeni X jest funkcja H : Ω [0; 1] X. 2.Nieliniowość porządku zatrzymanej straty Niech będzie dany zbiór ryzyk ubezpieczeniowych zbiorem H [R ] Ω, gdzie symbol Ω oznacza zbiór wszystkich stanów przedmiotu ubezpieczenia ω Ω. Rozważmy dowolny rodzaj ryzyka X H. Rozkład ryzyka X jest określony za pomocą dystrybuanty F X : R [0; 1]. Wtedy dla ustalonej wysokości retencji d 0 wyznaczamy wartość zatrzymanej straty daną za pomocą tożsamości (X(ω) d) + = max{x(ω) d, 0}. (8) Dla wyznaczenia wartości oczekiwanej reasekuracyjnej umowy nadwyżki szkody h X (d) wykorzystujemy tutaj zależność h X (d) = E(X d) + = + d 1 F X (x)dx. (9) W ten sposób dla dowolnego ryzyka X H określamy transformatę zatrzymania straty h X : R R. Z oczywistych względów są preferowane są ryzyka charakteryzujące się niższymi wartościami oczekiwanymi reasekuracyjnej umowy nadwyżki szkody. Sugestia ta prowadzi do określenia na zbiorze ryzyk H relacji preferencji zdefiniowanej dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H 2 w następujący sposób 2 X Y d R : h X (d) h Y (d). (10) Uzyskana w ten sposób relacja preferencji jest zwrotna, quasi-asymetryczna i przechodnia. Zatem jest relacją częściowego porządku. W literaturze przedmiotu 3 porządek ten jest nazywany porządkiem zatrzymanej straty. Dla każdorazowo jednoznacznego wyboru najbardziej preferowanego ryzyka wymagana jest liniowość porządku. Odpowiedzią na pytanie o spełnienie przez porządek zatrzymanej straty wymogu liniowości jest poniższy przykład. Przykład 1: Rozważmy dwa ryzyka X, Y H. Rozkład ryzyka X jest określony za pomocą dystrybuanty 0 x 0, F X (x) = { x > 0. x 2 x2 16 Wtedy transformata zatrzymanej straty tego ryzyka dana jest za pomocą tożsamości h X (d) = 4 3 d + d2 4 d3 48. 2 Symbol X Y czytamy: ryzyko X jest preferowane w porównaniu z ryzykiem Y 3 Na przykład [Ronka-Chmielowiec, 2000]
Rozkład ryzyka Y jest określony za pomocą dystrybuanty 0 x 0, F Y (x) = { x 2 x > 0. 9 Wtedy transformata zatrzymanej straty tego ryzyka dana jest za pomocą tożsamości h Y (d) = 2 d + d3 Porównując obie transformaty otrzymujemy 27 h X (d) < h Y (d) d [0; 2.55421[, h X (d) = h Y (d) d {2.55421} [4; + [, h X (d) > h Y (d) d ]2.55421; 4[. Oznacza to, że rozważanej pary ryzyk (X, Y) nie można uporządkować za pomocą porządku zatrzymanej straty. 4 W ten sposób w wystarczający sposób wykazano, że w ogólnym przypadku porządek zatrzymanej straty nie jest porządkiem liniowym. Ponadto zgodnie z tożsamością (10), użyteczność u : (R ) 2 [0; 1] zatrzymanej straty ryzyka X H rośnie wraz ze spadkiem jej wartości. Oznacza to, że dla dowolnej wysokości retencji d 0 możemy zapisać u (X(ω), d) = g((x(ω) d) + ), (11) gdzie g: R [0; 1] jest funkcją malejącą. Jeśli teraz dla dowolnego ustalonego ryzyka X H zastosujemy zasadę ceteris paribus, to stwierdzamy, że użyteczność wysokości retencji rośnie wraz ze wzrostem tej wysokości. Ponadto, chcąc uniknąć wyróżniania a priori pewnych wartości wysokości retencji, zakładamy, że nad dowolną rodziną zbiorów mierzalnych w R jest rozpięta jedynie miara Lebesque. 3. Rozmyty porządek zatrzymanej straty Zgodnie z wnioskami płynącym z Przykładu 1 istnieją takie pary ryzyk, których porównanie za pomocą porządku zatrzymanej straty jest niejednoznaczne. Zgodnie z sugestią zawartą w Części 1.2 do opisu takiego uporządkowania należy wtedy wykorzystać opisane tam nieprecyzyjne preferencje. W tym celu preporządek H H dany równoważnością (10) rozszerzamy do rozmytego preporządku H H. Preporządek H H jest opisany za pomocą funkcji przynależności ρ : H H [0; 1]. Wspomniana funkcja przynależności powinna być zdefiniowana w taki sposób, aby w ujęciu logiki wielowartościowej wartość ρ (X, Y) mogła być interpretowana, jako wartość logiczna zdania ryzyko X jest preferowane w. 4 Do przeprowadzenia obliczeń zastosowano program Mathematica numer licencji L4719-1731.
porównaniu z ryzykiem Y. Dlatego wydaje się być właściwym, aby dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H H wartość ρ (X, Y) określała jaka część wartości wysokości retencji d 0 jest preferencyjnych, to jest spełnia nierówność występującą w równoważności (10). Niestety nie można uzyskać tej wartości na drodze porównania miary zbioru preferencyjnych wysokości retencji z miarą zbioru dopuszczalnych wysokości retencji, gdyż obie miary są na ogół nieskończone. Rozwiązanie tego problemu można znaleźć na drodze określenia takiego izomorfizmu, który przekształci zbiór dopuszczalnych wysokości retencji na zbiór charakteryzujący się miarą skończoną. Izomorfizmem takim może być użyteczność wysokości retencji u: R [0; 1]. Użyteczność ta jest bijekcją, co pozwala na zdefiniowanie dla dowolnego ryzyka X H funkcji f X = h X u 1 określającej wpływ użyteczności wysokości retencji na wartość zatrzymanej straty. Mamy wtedy d R : h X (d) h Y (d) f X (u(d)) f Y (u(d)). (12) Dzięki temu, dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H H określamy wtedy zbiór preferencyjny P(X, Y) = {x [0; 1]: f X (x) f Y (x)} (13) zawierający preferencyjne użyteczności, to jest użyteczności preferencyjnych wysokości retencji. Funkcję przynależności ρ : H H [0; 1] określamy wtedy jako miarę zbioru preferencyjnego, gdyż miara zbioru wszystkich dopuszczalnych wartości użyteczności jest równa jeden. W ten sposób otrzymujemy tożsamość ρ (X, Y) = dx. (14) P(X,Y) Jeśli jest spełniony warunek X Y, to wtedy mamy P(X, Y) = [0; 1]. Oznacza to, że wyznaczony za pomocą tożsamości (14) rozmyta preferencja H H jest rozszerzeniem preporządku H H. Łatwo można też wykazać, że ta preferencja jest rozmytym preporządkiem. Wszystko to pozwala nazwać preferencję H H rozmytym porządkiem zatrzymanej straty. Warto tutaj też zwrócić uwagę na to, że określając dodatkowe właściwości funkcji użyteczności możemy określać wagi poszczególnych wartości wysokości retencji. Na przykład, jeśli założymy, że funkcja użyteczności uwzględnia awersję do ryzyka to wtedy większą wagę przypisujemy mniejszym wartościom wysokości retencji. Przykład 2: Zdefiniujemy poniżej rozmyty porządek zatrzymanej straty określony na zbiorze A = {X, Y} H, gdzie ryzyka X, Y zostały określone w Przykładzie 1. Przykładową funkcję użyteczności u: R [0; 1] definiujemy za pomocą tożsamości u(d) = 2 arctg(d). π
Tak określona funkcja użyteczności uwzględnia awersję do ryzyka. Przy wyznaczaniu funkcji przynależności korzystać będziemy z następujących wartości 0,762435 = 2 π arctg(2.55421), 0,844042 = 2 π arctg(4). Wtedy, zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w Przykładzie 1, poszczególne zbiory preferencyjne przyjmują postać P(X, X) = [0; 1], P(X, Y) = [0; 0,762435] [0,844042; 1], P(Y, X) = [0,762435; 1], P(Y, Y) = [0; 1]. Wtedy funkcja przynależności przyjmuje wartości ρ (X, X) = 1, ρ (X, Y) = 0,918393, ρ (Y, X) = 0,155958, ρ (Y, Y) = 1. Rozmyty porządek zatrzymanej straty wyznacza w zbiorze ryzyk H rozmyty podzbiór Q ( ) [0; 1] X ryzyk niezdominowanych. Zbiór ten wyznacza ryzyko optymalne. Zgodnie z definicją (7) ryzyko optymalne jest reprezentowane za pomocą swej funkcji przynależności μ Q( ) : H [0; 1] danej przez tożsamość μ Q( ) (X) = inf{ρ (X, Y) (1 ρ (Y, X)) Y H}. (15) Wyznaczone w ten sposób ryzyko optymalne jest rozmytym zbiorem probabilistycznym danym jako indeksowana przez stany przedmiotu ubezpieczenia ω Ω rodzina nieprecyzyjnych wartości optymalnego ryzyka {H (ω) [0; 1] R : ω Ω}. Każda taka nieprecyzyjna wartość H (ω) jest reprezentowana przez swą funkcję przynależności μ H (, ω): R [0; 1] zdefiniowana za pomocą tożsamości μ H (x, ω) = sup{0; ρ Q( ) (X): X H, x = X(ω)}. (16) Stopień przynależenia dowolnej liczby x R do oszacowania wartości optymalnego ryzyka określamy wtedy, jako zmienną losową μ H (x, ): Ω [0; 1]. Przykład 3: Rozważamy rozmyty porządek zatrzymanej straty opisany w Przykładzie 2. Zgodnie z zależnością (15) funkcja przynależności μ Q( ) : A [0; 1] optymalnego ryzyka osiąga wartości μ Q( ) (X) = inf{1 (1 1), 0,918393 (1 0,155958)} = 0,918393, μ Q( ) (Y) = inf{0,155958 (1 0,918393), 1 (1 1)} = 0,155958. Dla każdego stanu przedmiotu ubezpieczenia ω Ω nieprecyzyjne wartość H (ω) optymalnego ryzyka jest opisana za swej funkcji przynależności μ H (, ω): R [0; 1] danej za pomocą tożsamości μ H (x, ω) = { 0,918393 x = X(ω) 0,155958 x X(ω) x = Y(ω) 0 x X(ω) x Y(ω).
Obserwowana tutaj zbieżność wartości funkcji optymalnego ryzyka z pewnymi wartościami funkcji przynależności porządku zatrzymanej straty jest przypadkowa i w bardziej ogólnym wypadku nie występuje. Istotne rozbieżności pomiędzy wartościami tych funkcji przynależności mają miejsce przede wszystkim w przypadku bardziej licznych zbiorów porównywanych ryzyk. Ze zrozumiałych względów w tym artykule rozpatrywanie takich przykładów zostało pominięte. Zakończenie Brak liniowości porządku zatrzymanej straty prowadzi do niejednoznacznego uporządkowania ryzyk ubezpieczeniowych. W pracy założono, że niejednoznaczność ta zostanie opisana za pomocą rozmytego preporządku. Wtedy obraz optymalnego ryzyka został uzyskany jako rozmyty zbiór probabilistyczny. Warto w tym miejscu przypomnieć, że w [Piasecki, 2009] podobnie przedstawiono prognozę rezerwy finansowej ubezpieczyciela. Fakty te pozwalają spojrzeć na bogate instrumentarium oferowane przez teorię rozmytych zbiorów probabilistycznych 5 jako na obiecujące narzędzie analizy matematyki ubezpieczeniowej. Bibliografia Hiroto, K., 1981, Concepts of probabilistic sets, Fuzzy Sets and Systems 5. Piasecki, K., 1991, Funkcja oczekiwanych korzyści w świetle teorii logik wielowartościowych, Zeszyty Naukowe AE, S.I, z.189. Piasecki, K., 2009, Zastosowanie rozmytych zbiorów probabilistycznych do teorii ruiny, w: J. Handschke (red.), Studia Ubezpieczeniowe 2009, Zeszyty Naukowe UEP 127. Ronka-Chmielowiec, W., (red.), 2000, Zarządzanie ryzykiem w ubezpieczeniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław. Smoliak, S.A., 2001, Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта), Центральный экономико-математический институт Российской Академии наук, Moskwa. Imprecise description of stop-loss order Summary: At this paper stop-loss order was described as fuzzy preorder. Then the optimum risk is represented by means of fuzzy probabilistic set. 5 Można znaleźć na przykład w [Smoliak, 2001]