System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

Transkrypt

1 System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia Aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, września 2014 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 1

2 Plan referatu 1. Wprowadzenie 2. System bonus-malus 3. System bonus-malus z korektą składki 4. Wyznaczanie stawek składki i korekty 5. Przykłady obliczeniowe 6. Podsumowanie Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 2

3 Wprowadzenie Systemy bonus-malus (SBM) powszechnie stosowane narzędzie oceny ryzyka a posteriori Dyskusja na temat wad i zalet SBM sugeruje, że pożądane mogą być jego modyfikacje Rozważymy system, w którym w zależności od liczby zgłoszonych szkód na końcu okresu następuje zwrot lub dopłata składki Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 3

4 System bonus-malus - formalnie System bonus-malus jest określony przez: 1) Zbiór klas taryfowych L = {0,,s} 2) Wektor stawek składki r = (r 0,,r s ) 3) Klasę startową l 0 (najczęściej taką, że r l 0 = 1) 4) Reguły przejścia reprezentowane za pomocą macierzy T(k) takich że t ij (k) = 1 jeśli po zgłoszeniu k szkód następuje zmiana klasy taryfowej z klasy i na klasę j i 0 w przeciwnym przypadku. Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 4

5 Proces zgłaszania szkód (1) 1) Portfel złożony z M umów ubezpieczenia 2) i-ty ubezpieczony opisany jest przez ciągi 3) Ciągi N i i X i są niezależne dla każdego i. Pary (N i,x i ) oraz (N j,x j ) są niezależne dla i j 4) Elementy ciągu X i mają ten sam rozkład o wartości oczekiwanej µ 5) Łączna wartość szkód zgłoszonych w okresie (t-1,t] jest równa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 5

6 Proces zgłaszania szkód (2) 6) Zmienne losowe Q i są niezależne i mają taki sam rozkład o wartości oczekiwanej 1 7) Przy ustalonym Q i = q i zmienne N it są niezależne i mają rozkład Poiss(l it q i ). Przy tych założeniach zatem parametr q można interpretować jako względną skłonność do ryzyka. Przy założonym procesie zgłaszania szkód klasy taryfowe, w których znajduje się ubezpieczony w kolejnych okresach tworzą warunkowy łańcuch Markowa (L 0,L 1,L 2, ) Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 6

7 System bonus-malus z korektą składki w rozważanej modyfikacji SBM składka płacona jest w dwóch ratach: na początku okresu - w wysokości zależnej od klasy taryfowej na końcu okresu - w wysokości zależnej od klasy taryfowej oraz liczby zgłoszonych szkód. stawka składki całkowitej płacona przez ubezpieczonego wybranego losowo z populacji jest więc równa: cel: wyznaczyć funkcje p i b tak, aby system spełniał określone warunki optymalności. przyjęte podejście: przybliżanie parametru ryzyka Q za pomocą stawki składki P t+1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 7

8 Wyznaczanie stawek składki: metoda I Interesuje nas minimalizacja wyrażenia Rozwiązanie powyższego zadana dane jest wzorami Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 8

9 Wyznaczanie stawek składki: metoda I Własności otrzymanych współczynników: globalna równowaga finansowa: lokalna równowaga finansowa: lepsza ocena ryzyka: sprawiedliwe traktowanie ubezpieczonych: dla każdego l = 0,,s. Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 9

10 Wyznaczanie stawek składki: metoda I Uwaga: ostatnia własność jest spełniona dla modelu, w którym liczba szkód rośnie wraz z parametrem ryzyka. Formalnie: warunkiem dostatecznym jest relacja dla θ θ. Relacja LR to porządek wyznaczony przez iloraz wiarygodności (ang. likelihood ratio order): W szczególności, powyższy warunek jest spełniony dla poissonowskiego modelu wiarygodności Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 10

11 Wyznaczanie stawek składki: metoda II Zastosowanie metody I może być skomplikowane obliczeniowo, a także prowadzić do taryfy mało przejrzystej dla klienta Alternatywa: liniowa taryfa składki i korekty Innymi słowy, szukamy wartości parametrów minimalizujących wyrażenie gdzie Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 11

12 Wyznaczanie stawek składki: metoda II Można pokazać, że rozwiązanie tak postawionego zadania istnieje i jest wyznaczone jednoznacznie Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 12

13 Wyznaczanie stawek składki: metoda II Własności omawianej metody: Przejrzysta taryfa i stała dopłata za każdą szkodę Wyznaczenie współczynników wymaga obliczenia momentów pierwszego i drugiego rzędu Możliwość innego podziału całkowitej składki, np. obniżenie składki początkowej w zamian za mniejszy zwrot na końcu okresu Dla ubezpieczeń typu autocasco (ang. first-party) system jest podobny do postulowanego w literaturze systemu z udziałem własnym określonym jako procent składki bazowej Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 13

14 Wyznaczanie stawek składki: metoda III Poprzednie metody zakładały, że w przypadku braku szkód następuje zwrot składki, a zgłaszanie szkód jest karane dopłatą składki Z marketingowego punktu widzenia korzystna może być budowa systemu, w którym możliwy jest tylko zwrot składki Formalnie, szukamy optymalnych stawek składki postaci Interesuje nas zatem minimalizacja wyrażenia Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 14

15 Wyznaczanie stawek składki: metoda III Można pokazać, że omawiany problem ma jednoznaczne rozwiązane dane wzorami Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 15

16 Wyznaczanie stawek składki: metoda III Własności otrzymanych współczynników: Przy założeniach analogicznych do pierwszej metody dla każdego l=0,,s zachodzi Koszty zwrotu składki przenoszone są na szkodowych kierowców, zatem na początku okresu wszyscy ubezpieczeni płacą składkę wyższą w stosunku do standardowego systemu: Własność globalnej i lokalnej równowagi finansowej Wysokość zwrotu składki jest rosnącą funkcją prawdopodobieństwa bezszkodowego roku. Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 16

17 Przykład liczbowy założenia przyjmujemy poissonowski model wiarygodności parametr Q ma rozkład Gamma(a,a) przyjmujemy a = 1 oraz l = 0.1 rozważamy następujący system bonus-malus (-1/+2): liczba szkód klasa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 17

18 Przykład liczbowy metoda I stawka składki 600% 500% 400% 300% składka początkowa 0 szkód 1 szkoda 2 szkody 200% 3 i więcej szkód 100% 0% klasa taryfowa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 18

19 Przykład liczbowy metoda II stawka składki 500% 450% 400% 350% 300% 250% 200% 150% składka początkowa 0 szkód 1 szkoda 2 szkody 3 szkody 100% 50% 0% klasa taryfowa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 19

20 Przykład liczbowy metoda III stawka składki 400% 350% 300% 250% 200% składka początkowa brak szkód 150% 100% 50% klasa taryfowa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 20

21 Przykład liczbowy: porównanie metod stawka składki 400% 350% 300% 250% 200% 150% składka początkowa (metoda I) brak szkód (metoda I) składka początkowa (metoda II) brak szkód (metoda II) składka początkowa (metoda III) brak szkód (metoda III) 100% 50% klasa taryfowa Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 21

22 Podsumowanie system bonus-malus z korektą składki alternatywa dla systemu UBI i tradycyjnego SBM wskazane zostały sposoby konstrukcji takiego systemu na podstawie kryteriów statystycznych parametry systemu uzyskane z wykorzystaniem przedstawionych metod mają szereg własności pożądanych z aktuarialnego i marketingowego punktu widzenia Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 22

23 Podsumowanie Korzyści dla zakładu ubezpieczeń: wyjście naprzeciw oczekiwaniom klientów przyciąganie dobrych kierowców i odstraszanie kierowców szkodowych lepsza ocena ryzyka bez ingerencji w prywatność klienta Korzyści dla klienta: wpływ na płaconą składkę klient dostaje produkt, który może traktować jak umowę z udziałem w zyskach z ubezpieczenia Korzyści społeczne: wzmocnienie funkcji prewencyjnej ubezpieczeń Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 23

24 Literatura Denuit M., Maréchal X., Pitrebois S., Walhin J. (2007), Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems Lemaire J. (1995), Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance Norberg R. (1976), A Credibility Theory for Automobile Bonus Systems Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 24

25 Dziękujemy za uwagę! mgr Kamil Gala dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny 25